【人教九上数学情境课堂教学课件】 21.2.1.2 配方法 课件

人教九上数学情境课堂教学课件第二十一章

一元二次方程21.2解一元二次方程21.2.1配方法第2课时配方法主题情境·柜子刷漆1.理解并掌握配方法的一般步骤.2.能根据方程的结构特点熟练、灵活地运用配方法解一元二次方程.某小区计划设置一块面积为1200m2的矩形绿地，并且长比宽多40m.这块绿地的长、宽各为多少？解：设矩形绿地的宽为xm，则长为(x+40)m，根据长方形面积公式，可得

x(x+40)=1200不能直接通过降次解方程能否将方程转化为可以直接降次的形式再求解呢？观察

等式左边的常数项和一次项系数有什么关系？对于形如x2+ax的式子，如何配成完全平方式？(1)x2+2x+___=(

)2；(2)x2+8x+___=(x+____)2.12424x+1一半一半通过观察可以发现，对于二次项系数为1的单字母二次三项式，将常数项配成一次项系数一半的平方时，可得完全平方式.x2+ax+()2=(x+)2对于形如x2+ax的式子，不妨猜测：

.x2+6x=-4x2+6x+9=-4+9(x+3)2=5降次(直接开平方法)解：x2+6x+4=0移项两边加9二次项系数是1即

使左边配成x2+2bx+b2的形式左边写成完全平方形式配一次项系数一半的平方x+3=x+3=

，或

x+3=解一次方程

可以验证，-3±

是方程x2+6x+4=0的两个根.探究

尝试用你发现的规律解方程x2+6x+4=0.归纳总结

通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法，叫做配方法.

基本思路：将一般式

ax²+bx+c=0(a≠0)转化为(x+n)2=p的形式，再通过直接开平方法(降次)，转化为一元一次方程求解．

核心思想：配方是为了降次，把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程.问题解决

某小区计划设置一块面积为1200m2的矩形绿地，并且长比宽多40m.这块绿底的长、宽各为多少？解：设矩形绿地的宽为xm，则长为(x+40)m，根据长方形面积公式，可得，

x(x+40)=1200.化简，得

x2

+40x=1200.配方，得

x2

+40x+(20)2=1200+(20)2，(x+20)2=1600.由此可得

x+20=±40，x1=20，x2=-60.根据问题的实际意义，矩形绿地的宽为20m，则这块绿地的长为(20+40)=60m.(1)x2-8x+1=0解：移项，得x2－8x=－1，由此可得配方，得x2－8x+(4)2=－1+42，(x－4)2=15即分析：方程的二次项系数为1，直接运用配方法.例

解下列方程：(2)2x2+1=3x分析：先把方程化为2x2-3x+1=0.它的二次项系数为2，为了便于配方，需将二次项系数化为1，为此方程两边都除以2.解：移项，得2x2－3x=－1，二次项系数化为1，得配方，得由此可得例

解下列方程：(3)3x2-6x+4=0例

解下列方程：分析：与(2)类似，将二次项系数化为1后再配方.解：移项，得二次项系数化为1，得配方，得因为实数的平方不会是负数，所以

x取任何实数时，(x-1)2都是非负数，上式都不成立，即原方程无实数根．变式

应用配方法求最值：(1)2x2-4x+5的最小值；

(2)-3x2+6x-7的最大值.解：原式

=2(x2

-2x)

+5

=2(x2

-2x+1)-2

+5

=2(x-1)2+3当x=1时，有最小值3.解：原式=-3(x2

-2x)

-7=-3(x2

-2x+1)+3

-7=-3(x-1)2-4

当x=1时，有最大值-4.思考

将一元二次方程通过配方法转化成(x+n)2=p形式后，它的根和

p有什么关系？

一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成

(x+n)²=p(Ⅱ)的形式，那么就有：(1)当

p＞0时，方程(Ⅱ)有两个不等的实数根：(2)当

p=0时，方程(Ⅱ)有两个相等的实数根：(3)当

p＜0时，因为对任意实数x，都有(x+n)2≥0，所以方程(Ⅱ)无实数根.配方法解一元二次方程的步骤：一移，化成一般式，把常数项移到等号右边；二化，二次项系数化为1(等式两边同时除以二次项系数)；三配，等式两边同时加上一次项系数一半的平方；四写，方程写成(x+n)2=p的形式；五开，将等式两边直接开平方；六解，解一元一次方程；七定，写出原方程的根.注意：移项要改变符号注意：p≥0，才有根.归纳总结类别解题策略求最值或证明代数式的值恒为正(或负)对于一个关于x的二次多项式通过配方成a(x+m)2＋n的形式后，(x+m)2≥0，n为常数，当a＞0时，可知其最小值；当a＜0时，可知其最大值.利用配方构成非负数和的形式对于含有多个未知数的二次式的等式，求未知数的值，解题突破口往往是配方成多个完全平方式得其和为0，再根据非负数的和为0，各项均为0，从而求解.如：a2＋b2-4b＋4=0，则a2＋(b－2)2=0，即a=0，b=2.归纳总结配方法的应用1.

(2023新疆)用配方法解一元二次方程x2-6x+8=0配方后得到的方程是()A.(x+6)2

=28

B.(x-6)2

=28

C.(x+3)2

=1

D.(x-3)2

=1D(1)x2-4x+3=-12.

用配方法解下列方程：(2)x2-x+1=25解：解：x2-4x+4=0(x

-2)2=0x1=x2=2(3)2x2-3x-1=12.

用配方法解下列方程：解：(4)x(x-4)=-8x+12

解：x2+4x=12x2+4x+4=16(x

+2)2=16x1=2，x2=-63.试用配方法说明：不论k取何实数，多项式k2－2k＋4的值必定大于零.解：k2－2k＋4=k2－2k＋1＋3=(k－1)2＋3因为(k－1)2≥0，所以(k－1)2＋3≥3.所以k2－2k＋4的值必定大于零.4.(解题方法型阅读理解)【阅读材料】若x²+y²＋8x-6y＋25=0，求x，y的值．解：(x2+8x+16)＋(y2-6y+9)=0，(x+4)2+(y-3)2=0，∴x+4=0，y-3=0.∴x=-4，y=3.【解决问题】(1)已知m²＋n2-12n＋10m＋61=0，求(m＋n)2023的值；解:(1)∵m²+n²-12n+10m+61=0，将61拆分为25和36，可得：(m²＋10m＋25)＋(n2-12n＋36)=0，根据完全平方公式得(m＋5)2＋(n-6)2=0，∴m＋5=0，n-6=0，∴m=-5，n=6，∴(m＋n)2023=(-5＋6)2023=1.(2)已知a，b，c是△ABC的三边长，且b，c满足b2+c2=8b+4c-20，a是△ABC中最长的边，求a的取值范围.(2)∵b2

+

c2

=

8b

+

4c

-

20，∴b2

+

c2

-

8b

-

4c

+

20

=

0，将20拆分为16和4，可得(b2-8b+16)+(c2-4c+4)=0，根据完全平方公式得(b-4)2+(c-2)2=0,∴b

-

4

=

0，c

-

2

=

0，∴b

=

4，c

=

2.在△ABC中，b

-

c<

a

<

b

+

c，即2

<

a

<