（人教A版）选择性必修二高二数学 同步学案+同步练习 5.3.2 函数的极值与最大 (小) 值（原卷版）

第页5．3．2函数的极值与最大（小）值【题型归纳目录】题型一：求函数的极值题型二：由极值求参数的值或取值范围题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题题型四：不含参函数的最值问题题型五：含参函数的最值问题题型六：由函数的最值求参数问题题型七：导数在解决实际问题中的应用题型八：利用导数研究函数的极值与最值问题题型九：利用导数研究恒成立问题题型十：利用导数研究不等式问题题型十一：利用导数证明不等式题型十二：利用导数研究零点问题【知识点梳理】知识点一、函数的极值（一）函数的极值的定义：一般地，设函数在点及其附近有定义，（1）若对于附近的所有点，都有，则是函数的一个极大值，记作；（2）若对附近的所有点，都有，则是函数的一个极小值，记作．极大值与极小值统称极值．在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值．知识点诠释：由函数的极值定义可知：（1）在函数的极值定义中，一定要明确函数在及其附近有定义，否则无从比较．（2）函数的极值是就函数在某一点附近的小区间而言的，是一个局部概念；在函数的整个定义域内可能有多个极值，也可能无极值．由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小．（3）极大值与极小值之间无确定的大小关系．即一个函数的极大值未必大于极小值．极小值不一定是整个定义区间上的最小值．（4）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点．而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能在区间的端点．（二）用导数求函数极值的的基本步骤：①确定函数的定义域；②求导数；③求方程的根；④检查在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则在这个根处取得极大值；如果左负右正，则在这个根处取得极小值．（最好通过列表法）知识点诠释：①可导函数的极值点一定是导函数为0的点，但导数为0的点不一定是极值点．即是可导函数在点取得极值的必要非充分条件．例如函数，在处，，但不是函数的极值点．②可导函数在点取得极值的充要条件是，且在两侧的符号相异．知识点二、函数的最值（一）函数的最大值与最小值定理若函数在闭区间上连续，则在上必有最大值和最小值；在开区间内连续的函数不一定有最大值与最小值．如．知识点诠释：①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得．②函数的极值可以有多个，但最值只有一个．（二）求函数最值的的基本步骤：若函数在闭区间有定义，在开区间内有导数，则求函数在上的最大值和最小值的步骤如下：（1）求函数在内的导数；（2）求方程在内的根；（3）求在内使的所有点的函数值和在闭区间端点处的函数值，；（4）比较上面所求的值，其中最大者为函数在闭区间上的最大值，最小者为函数在闭区间上的最小值．知识点诠释：①求函数的最值时，不需要对导数为0的点讨论其是极大还是极小值，只需将导数为0的点和端点的函数值进行比较即可．②若在开区间内可导，且有唯一的极大（小）值，则这一极大（小）值即为最大（小）值．（三）最值与极值的区别与联系①函数的最大值和最小值是比较整个定义域上的函数值得出的（具有绝对性），是整个定义域上的整体性概念．最大值是函数在整个定义域上所有函数值中的最大值；最小值是函数在整个定义域上所有函数值中的最小值．函数的极大值与极小值是比较极值点附近两侧的函数值而得出的（具有相对性），是局部的概念；②极值可以有多个，最大（小）值若存在只有一个；极值只能在区间内取得，不能在区间端点取得；最大（小）值可能是某个极大（小）值，也可能是区间端点处的函数值；③有极值的函数不一定有最值，有最值的函数未必有极值，极值可能成为最值．知识点三、函数极值与最值的简单应用1、不等式恒成立，求参数范围问题．一些含参不等式，一般形如，若能分离参数，即可化为：（或）的形式．若其恒成立，则可转化成（或），从而转化为求函数的最值问题．若不能分离参数，就是求含参函数的最小值，使．所以仍为求函数的最值问题，只是再求最值时可能需要对参数进行分类讨论．2、证不等式问题．当所要证的不等式中只含一个未知数时，一般形式为，则可化为，一般设，然后求的最小值，证即可．所以证不等式问题也可转化为求函数最小值问题．3、两曲线的交点个数问题（方程解的个数问题）一般可转化为方程的问题，即的解的个数问题，我们可以设，然后求出的极大值、极小值，根据解的个数讨论极大值、极小值与0的大小关系即可．所以此类问题可转化为求函数的极值问题．【典型例题】题型一：求函数的极值例1．已知函数，则（

）A．有极小值，无极大值 B．有极大值，无极小值C．既有极小值又有极大值 D．无极小值也无极大值例2．关于函数的极值，下列说法正确的是（

）A．导数为零的点一定是函数的极值点B．函数的极小值一定小于它的极大值C．一个函数在它的定义域内最多只有一个极大值和一个极小值D．若一个函数在某个区间内有极值，则这个函数在该区间内不是单调函数变式1．函数（

）A．有最大（小）值，但无极值 B．有最大（小）值，也有极值C．既无最大（小）值，也无极值 D．无最大（小）值，但有极值变式2．已知函数，则下列说法正确的是（

）A．当时，取得极小值1 B．当时，取得极大值1C．当时，取得极大值33 D．当时，取得极大值变式3．已知函数，则的极大值点为（

）A．1 B． C．－1 D．2变式5．设函数，若为奇函数，求：(1)曲线在点处的切线方程；(2)函数的极大值点．【方法技巧与总结】函数极值和极值点的求解步骤（1）确定函数的定义域．（2）求方程的根．（3）用方程的根顺次将函数的定义域分成若干个小开区间，并列成表格．（4）由在方程的根左右的符号，来判断在这个根处取极值的情况．题型二：由极值求参数的值或取值范围例4．已知函数有极值，则的取值范围为（

）A． B． C． D．例5．函数在处有极值，则的值等于（

）A．0 B．6 C．3 D．2变式7．若是函数的极值点，则a为（

）A． B．0 C．1 D．2变式8．若函数在处有极值10，则（

）A．6 B． C．或15 D．6或变式9．已知函数既有极大值，又有极小值，则的取值范围是（

）A．或 B．或C． D．变式10．设函数f(x)＝lnx＋在内有极值，求实数a的取值范围（

）A． B． C． D．变式11．函数在处有极值10，则为（

）A． B．15 C．或15 D．不存在【方法技巧与总结】已知函数的极值求参数的方法（1）对于已知可导函数的极值求参数的问题，解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的导数值为0，极值点两侧的导数值异号．注意：求出参数后，一定要验证是否满足题目的条件．（2）对于函数无极值的问题，往往转化为其导函数的值非负或非正在某区间内恒成立的问题，即转化为或在某区间内恒成立的问题，此时需注意不等式中的等号是否成立．题型三：利用函数极值解决函数零点（方程根）问题例7．已知函数在x=1处取得极值3.(1)求a，b的值；(2)若方程有三个相异实根，求实数k的取值范围.例8．已知函数．(1)求证：有且仅有两个极值点的；(2)若，函数有三个零点，求实数c的取值范围．变式14．已知函数在点处的切线斜率为4，且在处取得极值．(1)求函数的解析式；(2)求函数的单调区间；(3)若函数有三个零点，求的取值范围．变式15．已知函数在和处取得极值．(1)求a，b的值；(2)若函数的图象与抛物线恰有三个不同交点，求m的取值范围．【方法技巧与总结】（1）利用导数可以判断函数的单调性，研究函数的极值情况，并能在此基础上画出函数的大致图象，从直观上判断函数图象与轴的交点或两个函数图象的交点的个数，从而为研究方程根的个数问题提供了方便．（2）解决这类问题，一个就是注意借助几何图形的直观性，另一个就是正确求导，正确计算极值．题型四：不含参函数的最值问题例10．已知函数，设函数，则的最大值是______．例11．已知函数，，则的最大值为___________.变式17．已知函数，且函数是偶函数，则函数的最大值为______．变式19．函数的最大值为___．变式20．函数在区间上的最大值为______．【方法技巧与总结】求函数最值的步骤（1）求函数的定义域．（2）求，解方程．（3）列出关于，，的变化表．（4）求极值、端点处的函数值，确定最值．注意：不要忽略将所求极值与区间端点的函数值进行比较．题型五：含参函数的最值问题例13．已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)求的单调性；(3)求函数在上的最小值．例14．已知函数．(1)讨论的单调性；(2)当时，记在区间上的最大值为M，最小值为m，求的取值范围．变式21．已知函数．(1)若函数f（x）在x=－1处取得极值，求实数a的值；(2)当时．求函数f（x）的最大值．【方法技巧与总结】含参数的函数最值问题的两类情况（1）能根据条件求出参数，从而化为不含参数的函数的最值问题．（2）对于不能求出参数值的问题，则要对参数进行讨论，其实质是讨论导函数大于0、等于0、小于0三种情况．若导函数恒不等于0，则函数在已知区间上是单调函数，最值在端点处取得；若导函数可能等于0，则求出极值点后求极值，再与端点值比较后确定最值．题型六：由函数的最值求参数问题例16．设函数，若函数存在最大值，则实数的取值范围是____．例17．已知函数的最小值为0，则实数a的值为__________．例18．已知函数的最小值为2，则实数a的值是___________.变式24．若函数在区间上有最大值，则实数的取值范围是__________.变式25．已知函数，若函数在上存在最小值，则a的取值范围是______．变式26．已知函数在区间上有最大值，则实数a的取值范围是______．变式27．已知函数，，若对，，且，使得，则实数a的取值范围是___________.【方法技巧与总结】已知函数在某区间上的最值求参数的值（或范围）是求函数最值的逆向思维，一般先求导数，利用导数研究函数的单调性及极值点，探索最值点，根据已知最值列方程（不等式）解决问题．题型七：利用导数研究函数的极值与最值问题例22．已知函数．(1)若，求函数在区间上的值域；(2)求函数的极值．例24．已知是函数的极值点，且曲线在点处的切线斜率为．(1)求函数的解析式；(2)若在区间上存在最小值，求实数m的取值范围．变式30．已知函数.(1)当时，求在上的最值；(2)讨论的极值点的个数.变式31．已知函数．(1)若，求的单调区间(2)若函数在处取得极值，求的最大值和最小值．【方法技巧与总结】（1）已知极值点求参数的值后，要代回验证参数值是否满足极值的定义．（2）讨论极值点的实质是讨论函数的单调性，即的正负．（3）将函数的各极值与端点处的函数值进行比较，最大的那个值是最大值，最小的那个值是最小值．题型九：利用导数研究恒成立问题例25．已知函数.(1)若在上恒成立,求实数的取值范围;(2)若函数在上单调递增,求实数a的取值范围.例26．已知函数.(1)求函数的单调区间；(2)若恒成立，求的取值范围.例27．已知函数，其中.(1)求函数的单调区间；(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.变式32．已知函数．(1)若，求的单调区间；(2)若对一切恒成立，求m的取值范围．变式33．已知函数在与处都取得极值．（1）求，的值；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．【方法技巧与总结】解决不等式恒成立问题，有两种求解方法．一种是转化为求最值，另一种是分离参数．分离参数求解不等式恒成立问题的步骤题型十：利用导数研究不等式问题例29．是定义在区间上的可导函数，其导函数为，且满足，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．例30．设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（

）A． B．C． D．变式36．定义在上的函数满足，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．变式38．定义域为R的可导函数的导函数为，满足且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【方法技巧与总结】解决不等式问题，通常先构造新函数，然后再利用导数研究这个函数的单调性，从而使不等式问题得以解决．题型十一：利用导数证明不等式例31．已知函数，．(1)若在区间上单调递减，求实数a的取值范围；(2)若，存在两个极值点，，证明：．变式39．已知函数.(1)若在上有2个零点，求a的取值范围；(2)证明：.变式43．已知函数．（1）若，求的极值；（2）证明：当时，．变式44．已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）求证：．【方法技巧与总结】利用导数证明不等式（比较大小）常与函数最值问题有关．因此，解决该类问题通常是构造一个函数，然后考察这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间端点的函数值使问题得以求解．题型十二：利用导数研究零点问题例34．已知函数.(1)若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；(2)若函数在区间上为增函数，求实数的取值范围(3)若在定义域内有两个零点，求实数的取值范围.变式46．已知函数在处取得极值.(1)求在上的最小值；(2)若函数有且只有一个零点，求b的取值范围.变式47．已知函数f(x)＝－1，（1）求f(x)的单调区间；（2）当a≤1时，求函数f(x)在区间(0，e]上零点的个数．变式48．已知函数的图像过点.（1）求函数的单调区间；（2）若函数有3个零点，求实数的取值范围.变式50．已知函数．(1)求的单调区间；(2)若有两个不同的零点，求的取值范围．【方法技巧与总结】解决零点问题，有两种求解方法．一种是直接法，另一种是分离参数转化为两图像交点问题．【同步练习】一、单选题1．若在区间内有定义，且x0∈，则“”是“x0是函数的极值点”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分条件也非必要条件2．若函数有最小值，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．如图所示，在等腰梯形ABDE中，AE＝ED＝BD＝a，当等腰梯形ABDE的面积最大时，（

）A． B． C． D．．4．函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则下列命题不正确的是（

）．A．函数在内一定不存在最小值B．函数在内只有一个极小值点C．函数在内有两个极大值点D．函数在内可能没有零点5．设函数，若对任意的有恒成立，则实数m的取值范围为（

）A． B