2026届高三一轮复习讲义(基础版)数学第八章8.7双曲线

§8.7双曲线课标要求1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、渐近线、离心率).3.了解双曲线的简单应用.1.双曲线的定义把平面内与两个定点F1，F2的距离的差的等于非零常数(|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的，两焦点间的距离叫做双曲线的.注意：(1)若将“小于|F1F2|”改为“等于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点的轨迹是以F1，F2为端点的两条射线(包括端点)；若将其改为“大于|F1F2|”，其余条件不变，此时动点轨迹不存在.(2)若将绝对值去掉，其余条件不变，则动点的轨迹是双曲线的一支.(3)若将“等于非零常数”改为“等于零”，则此时动点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.2.双曲线的标准方程和简单几何性质标准方程x2a(a>0，b>0)y2a(a>0，b>0)图形性质焦点焦距范围或

，y∈R

y≤－a或y≥a，x∈R对称性对称轴：；对称中心：

性质顶点轴实轴：线段，长：；虚轴：线段B1B2，长：；实半轴长：，虚半轴长：

渐近线离心率e＝ca∈a，b，c的关系c2＝(c>a>0，c>b>0)

1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)平面内到点F1(0，4)，F2(0，－4)的距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)方程x2m－y2n＝1(mn>0)表示焦点在(3)双曲线x2m2－y2n2＝1(m>0，n>0)的渐近线方程是x(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2.()2.双曲线x2－4y2＝1的离心率为()A.2 B.3 C.52 D.3.(多选)已知双曲线方程x216－y29A.焦点坐标为(0，±5)B.虚轴长为6C.焦距为10D.渐近线方程为y＝±544.已知点P在双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)上，双曲线的左、右焦点分别记为F1，F2，焦距为25，已知PF1⊥PF2，|PF1|1.双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2.若P是双曲线右支上一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则|PF1|min＝a+c，|PF2|min＝c－a.3.同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于实轴的弦)，其长为2b题型一双曲线的定义及应用例1(1)已知圆C1：(x+3)2+y2＝1和圆C2：(x－3)2+y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆的圆心M的轨迹方程为()A.x2－y28＝1(x≥1) B.x2－yC.x2－y28＝1(x≤－1) D.y28－x(2)(2025·永州模拟)已知F1，F2分别是双曲线E：x24－y212＝1的左、右焦点，M是双曲线E的左支上一点，过F2作∠F1MF2平分线的垂线，垂足为N，O为坐标原点，则|A.4 B.2 C.3 D.1圆锥曲线的第二定义平面内到一个定点和相应一条定直线l的距离之比为常数e的点的轨迹：(1)当0<e<1时，轨迹为椭圆.(2)当e>1时，轨迹为双曲线.①定点为焦点，定直线l叫准线，左焦点对应左准线，右焦点对应右准线.②焦点在x轴上的椭圆(双曲线)的准线方程为x＝±a2典例(1)椭圆x2a2+y2b2＝1(a>b>0)，焦距为4，P为椭圆上任一点，若P到点(2，0)的距离与到直线x＝(2)已知双曲线x29－y216＝1的右焦点为F2，M是双曲线右支上一点，定点A(9，2)，则|MA|+35思维升华在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系，利用三角形的面积公式求解.对于选择题或填空题直接利用焦点三角形的面积公式计算即可.跟踪训练1(1)设P是双曲线x216－y220＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1|＝9，则|PFA.1 B.17 C.1或17 D.5或13(2)F1，F2分别为双曲线C：x2a2－y26＝1(a>0)的左、右焦点，P是双曲线C右支上的一点，PF1与双曲线C的左支交于点Q.已知△题型二双曲线的标准方程例2(1)(2024·济南模拟)已知双曲线C1过点A(－15，1)，且与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，则双曲线C1的标准方程为()A.x212－y24＝C.x215－y25＝(2)中心在原点，焦点在坐标轴上，且一个焦点在直线3x－4y+12＝0上的等轴双曲线的标准方程是.思维升华求双曲线的标准方程的方法(1)定义法：由题目条件判断出动点轨迹是双曲线，确定2a，2b或2c，从而求出a2，b2.(2)待定系数法：“先定型，再定量”，如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为x2m2－y2n2＝λ(λ≠0)，与双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)有公共焦点的双曲线方程可设为x2a2+λ－y2b2跟踪训练2江西景德镇青花瓷始创于元代，到明清两代达到了顶峰，它蓝白相映，怡然成趣，晶莹明快，美观隽永.现有某青花瓷花瓶的外形可看成是焦点在x轴上的双曲线的一部分绕其虚轴旋转所形成的曲面，如图所示，若该花瓶的瓶身最小的直径是4，瓶口和底面的直径都是8，瓶高是6，则该双曲线的标准方程是()A.x216－y29＝1 B.C.x28－y29题型三双曲线的几何性质命题点1渐近线例3(2025·石家庄质检)已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的实半轴长为3A.y＝±3x B.y＝±33C.y＝±32x D.y＝±2思维升华(1)渐近线方程的求法：求双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令x2a(2)在双曲线的几何性质中，重点是渐近线方程和离心率，在双曲线x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±b命题点2离心率例4(1)(2024·武汉模拟)已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线所成的角为π3，则双曲线的离心率为(A.233 BC.2或233 D.2(2)(2024·武汉模拟)已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线与双曲线的右支交于A，B两点，若△ABFA.62，+C.1，62思维升华求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式，利用c2＝a2+b2和e＝ca转化为关于e的方程(或不等式)，通过解方程(或不等式)求得离心率的值(或范围)跟踪训练3(1)已知双曲线E：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的焦点恰好为矩形ABCDA.2+22 B.3+22C.1+2 D.22－1(2)(2024·绍兴模拟)若双曲线C1：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与圆C2：(x－2)2+y2＝A.1，23C.(1，2) D.(1，2]

答案精析落实主干知识1.绝对值小于焦点焦距2.F1(－c，0)，F2(c，0)F1(0，－c)，F2(0，c)|F1F2|＝2cx≤－ax≥a坐标轴原点A1(－a，0)，A2(a，0)A1(0，－a)，A2(0，a)A1A22a2baby＝±baxy＝±abx(1，+∞)a2+自主诊断1.(1)×(2)×(3)√(4)√2.C[因为x2－4y2＝1，即x2－y214所以a＝1，b＝12c＝a2所以e＝ca＝3.BC[由双曲线方程x216－得a＝4，b＝3，c＝16+9＝5，又焦点在x轴上，所以焦点坐标为(±5，0)，A选项错误；所以虚轴长为2b＝6，B选项正确；焦距为2c＝10，C选项正确；渐近线方程为y＝±bax＝±34x，D选项错误4.2解析因为|PF1|＝2|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝2a，所以|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，因为PF1⊥PF2，所以(4a)2+(2a)2＝(25)2解得a＝1，则实轴长为2.探究核心题型例1(1)C[设动圆M的半径为r，则|MC1|＝r+1，|MC2|＝r+3，则|MC2|－|MC1|＝2<|C1C2|＝6，根据双曲线的定义知，动圆的圆心M的轨迹为双曲线x2－y28＝1的左半支(2)B[双曲线x24－y212＝延长F2N，MF1交于点H，由题意△MNH≌△MNF2，则|MH|＝|MF2|，|NH|＝|NF2|，又O是F1F2的中点，所以|ON|＝12|F1H|＝12(|MH|－|MF1|)＝12(|MF2|－|MF1|)＝a＝微拓展典例(1)x216+y解析依题意，右焦点F2(2，0)，右准线x＝a2由椭圆第二定义知ca∵c＝2，故a＝4，∴b2＝a2－c2＝12，∴椭圆方程为x216+y2(2)36解析设M到直线x＝a2c＝由双曲线第二定义知，MF2|d＝∴d＝35|MF2|∴|MA|+35|MF2|＝|MA|+d如图，可知(|MA|+d)min＝xA－95＝9－9跟踪训练1(1)B[由双曲线x216－y220＝1得a＝4，b＝2由双曲线的定义可得||PF1|－|PF2||＝2a＝8.因为|PF1|＝9，所以|9－|PF2||＝8，得|PF2|＝1或17，若|PF2|＝1，则P在双曲线的右支上，应有|PF2|≥c－a＝2，不成立；若|PF2|＝17，则P在双曲线的左支上，应有|PF2|≥c+a＝10，成立.所以|PF2|＝17.](2)2解析由双曲线的对称性，设点P在第一象限，如图.因为△PQF2是等边三角形，所以|PQ|＝|PF2|＝|QF2|，所以|PF1|－|PF2|＝|QF1|＝2a，又|QF2|－|QF1|＝2a，则|QF2|＝4a，|PF1|＝6a，在△PF1F2中，由余弦定理可得cos∠F1PF2＝P＝36a整理得c2＝7a2，所以b2＝c2－a2＝6a2＝6，解得a＝1，所以实轴长为2.例2(1)A[由双曲线C1与双曲线C2：x2－3y2＝1有相同的渐近线，故可设双曲线C1的方程为x2－3y2＝λ(λ≠0)，又因为C1过点A(－15，1)，代入双曲线C1的方程得15－3＝λ，解得λ＝12，所以双曲线C1的标准方程是x212－y(2)x28－y28解析直线3x－4y+12＝0与坐标轴的交点为(－4，0)，(0，3)，若双曲线的焦点在x轴上，∴等轴双曲线的一个焦点为(－4，0)，即c＝4，∴a2＝b2＝12c2＝8故等轴双曲线的标准方程为x28－若双曲线的焦点在y轴上，∴等轴双曲线的一个焦点为(0，3)，即c＝3，∴a2＝b2＝12c2＝9故等轴双曲线的标准方程为y292跟踪训练2D[由题意可知该双曲线的焦点在x轴上，实轴长为4，点(4，3)在该双曲线上.设该双曲线的方程为x2a2－y2b2＝1则2a＝故该双曲线的标准方程是x24－y例3B[设双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0)的上焦点为(0，c)(c>0由点到直线的距离公式可得|bc±a×0|又双曲线C：y2a2－x2b2＝1(a>0，b>0所以双曲线C的渐近线方程为3y±3x＝0，即y＝±33x.例4(1)C[依题意，双曲线的一条渐近线的倾斜角为π6或π所以ba＝tanπ6或ba＝tan即ba＝3所以e＝ca＝1+332＝综上，双曲线的离心率为233或2(2)D[根据双曲线定义知，△ABF1的周长为4a+2|AB|，所以4a+2|AB|＝10a，所以|AB|＝3a，又|AB|≥2b2a，所以3a即3a2≥2b2，所以3a2≥2(c2－a2)，即