第09讲余数的性质与计算（教师版）

第9讲余数的性质与计算五年级秋季第9讲余数的性质与计算五年级秋季知识点知识点余数的性质与计算（五上）

总结总结余数与除法算式的基本关系，能利用余数特性和替换求余，解决简单的余数问题。复杂周期求余，注意解题方法，保证最后计算准确。课堂例题课堂例题特性求余1、用一个自然数去除另一个整数，商是40，余数是16，被除数、除数的和是877，求被除数和除数各是多少？【答案】

856，21【解析】

被除数为，被除数为．2、被除数除以除数商为11，余数为1．如果将被除数和除数都扩大到2倍构成新的带余除式，在新的带余除式中被除数、除数、商和余数之和为2007．求被除数原来是多少？【答案】

914【解析】

被除数和除数都扩大到2倍，商不变是11，余数扩大2倍是2．所以新的带余除式中被除数、除数之和为，所以新的除数是，新的被除数是．所以被除数原来是．3、（2011希望杯五年级初赛）一个除法算式中，被除数、除数、商与余数都是自然数，并且商与余数相等．若被除数是47，则除数是_________，余数是_________．【答案】

46；1【解析】

假设除数为a，余数为b，则商也为b．根据题意，，所以b是47的因数，而47的因数只有1和47，所以b的值为1或47．若，则，，这与题意不符．所以，，即．4、（1）20132013除以4和8的余数分别是多少？（2）20142014除以3和9的余数分别是多少？【答案】

（1）1，5（2）2，5【解析】

（1）一个数除以4和8的余数，只要分别看这个数末两位和末三位除以4和8的余数即可．，．（2）一个数除以3和9的余数，只要分别看这个数的数字和除以3和9的余数即可．，，．5、（1）123456789除以7和11的余数分别是多少？87654321呢？（2）360360360除以99的余数是多少？【答案】

（1）1，5；6，7（2）63【解析】

（1），456除以7和11的余数分别为1和5，因此123456789除以7和11的余数分别是1和5．，发现不够减，要求除以7的余数，加上7的倍数即可．比如：，104除以7余6，因此87654321除以7余6．求除以11的余数，可用，发现不够减，要求除以11的余数，加上11的倍数即可．比如：，因此87654321除以11余7．（2）一个数除以99的余数，等于将它两位截断再求和之后的余数．容易发现360360可被99整除，因此只要看360除以99的余数即可，因此余数为63．6、多位数123456789101112…20132014除以9的余数是多少？【答案】

1【解析】

根据9的乱切，多位数除以9的余数等于除以9的余数．根据等差数列求和公式算式结果是．再根据替换求余，除以9的余数是，即余数是1．替换求余7、（1）除以5的余数是__________；（2）除以9的余数是__________．【答案】

（1）4（2）4【解析】

（1）135除以5的余数是0，137除以5的余数是2，139除以5的余数是4；除以5的余数是．（2）3579除以9的余数是6，1357除以9的余数是7，13579除以9的余数是7；因此除以9的余数和除以9的余数相同，是4．8、（1）除以4、9的余数分别是多少？（2）除以7、11、13的余数分别是多少？【答案】

（1）0，2（2）2，2，2【解析】

特性求余法和替换求余法结合使用．（1）除以4的余数等于除以4的余数，即为0．除以9的余数等于除以9的余数，即为2．（2）除以7的余数等于除以7的余数，即为2．除以11的余数等于除以11的余数，即为2．除以13的余数等于除以13的余数，即为2．9、一年有365天，轮船制造厂每天都可以生产零件1234个．年终将这些零件按6个一包的规格打包，最后一包不够6个．请问：最后一包有多少个零件？【答案】

2【解析】

本题是要求算式的结果除以6的余数．利用替换求余法易知结果是2．10、某工厂有128名工人生产零件，他们每个月工作23天，在工作期间每人每天可以生产300个零件．月底将这些零件按17个一包的规格打包，发现最后一包不够17个．则最后一包有__________个零件．【答案】

16【解析】

；；．所以与除以17的余数相同．．所以最后一包有16个零件．11、（2009年金帆六秋）a、b、c为三个自然数，且a>b>c，它们除以13的余数分别是2，9，11，那么除以13的余数是_______．【答案】

9【解析】

．周期求余12、（1）的个位数字是多少？除以10的余数是多少？（2）除以7的余数是多少？【答案】

（1）6，9（2）4【解析】

（1）的个位数字依次是2、4、8、6、……，每四个数为一周期．100除以4的余数是0，那么的个位数字是周期中的第四个数6．的个位数字依次是3、9、7、1、……，每四个数为一个周期．2014除以4的余数是2，那么的个位数字是周期中的第二个数9．（2）除以7的余数依次是3、2、6、4、5、1、……，每六个数为一个周期．2014除以6的余数是4，所以除以7的余数是周期中的第四个数4．13、的个位数字是多少？除以7的余数是多少？除以13的余数是多少？【答案】

4，4，0【解析】

的个位数字依次是2、4、8、6、……，每四个数一个周期．2014除以4余2，所以的个位数字与周期中的第二个数字相同，即为4．除以7的余数依次是3、2、6、4、5、1、……，每6个数一个周期．2014除以6余4，所以所以除以7的余数与周期中的第4个数字相同，即为4．除以13的余数是0．所以除以13的余数是0．14、（2013希望杯六年级复赛）除以5，余数是___________．（注：表示2013个相乘）【答案】

0【解析】

除以5余数是1；除以5的余数依次是2、4、3、1为周期，所以最后余数是2；除以5的余数依次是3、4、2、1为周期，所以最后余数是3；除以5的余数依次是4、1为周期，所以最后余数是4；除以5的余数是0．故这个算式的结果除以5的余数是：，即余数是0．15、的计算结果除以10的余数是多少？【答案】

1【解析】

用替换求余和特殊求余法．除以10余1，除以10余6，除以10余1，除以10余6，除以10余5，除以10余6，除以10余1，除以10余6，除以10余1，除以10余0．所以算式的计算结果除以10的余数是除以10的余数，即余数是1．16、（2009高思杯六年级）算式结果的个位数字是________．【答案】

9【解析】

尾数只与个位数有关，的个位为9，共201组，所以结果个位即为的个位，为9．

随堂练习随堂练习1、甲、乙两数的和是2014，甲数除以乙数商99余14，求甲、乙两数．【答案】

1994，20【解析】

设乙数为a，则甲数为，那么有，．可求出甲数为1994，乙数为20．2、（1）20121221除以5和25的余数分别是多少？（2）20130209除以3和9的余数分别是多少？【答案】

（1）1，21（2）2，8【解析】

（1）一个数除以5和25的余数，只要分别看这个数末一位和末两位除以5和25的余数即可．，，所以20121221除以5和25的余数分别是1和21．（2）一个数除以3和9的余数，只要分别看这个数的数字和除以3和9的余数即可．，，，所以20130209除以3和9的余数分别是2和8．3、201420132012除以13和99的余数分别是多少？【答案】

8，0【解析】

三位截断后，奇段和为，偶段和为，，除以13的余数是8．两位截断后，所有段的和是，除以99的余数是0．4、（1）的结果除以111的余数是多少？（2）的结果除以22的余数是多少？【答案】

（1）36（2）12【解析】

利用替换求余法计算．（1）本题就是要求算式的结果除以111的余数，即为36．（2）本题就是要求算式的结果除以22的余数，当不够减时，增加22的倍数，即，所以最后的余数是12．课后作业课后作业1、甲、乙两数的和是2425，甲数除以乙数商39余25，则甲数为__________．【答案】

2365【解析】

甲数除以乙数商39余25，即甲比乙的39倍多25，所以乙数是．甲数是．2、1234567除以5的余数是__________．【答案】

2【解析】

一个数除以5的余数，只要分别看这个数末一位除以5的余数即可．，即1234567除以5的余数是2．3、1234567除以9的余数是__________．【答案】

1【解析】

一个数除以9的余数，只要分别看这个数的数字和除以9的余数即可．，，所以1234567除以9的余数是1．4、151515151515除以11的余数是__________．【答案】

2【解析】

，24除以11的余数是2，所以这个数除以11的余数是2．5、151515151515除以7的余数是__________．【答案】

0【解析】

奇位段之和减偶位段之和的差，除以7的余数即这个数除以7的余数．，．所以这个数除以7的余数是0．6、算式除以31的余数是_________．【答案】

15【解析】

用替换求余法．这个算式除以31的余数即降以31的余数，．所以这个算式除以31的余数是15．7、除以9的余数是_________．【答案】

6【解析】

特征求余和替换求余法．算式除以9的余数等同除以9的余数．不够减，增加9的倍数即可，即．所以算式除以9的余数是6．8、除以11的余数是__________．【答案】

9【解析】

特征求余和替换求余法．算式除以11的余数等同除以11的余数，即．所以算式除以11的余数是9．9、除以8的余数是__________．【答案】

1【解析】

替换求余和周期求余，首先每4个连续的数除以8的余数依次是1