2024-2025学年广西南宁普通高中高二上学期11月期中联合考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西南宁普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中联合考试数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，由可知直线的斜率，，即直线的倾斜角为.故选：C.2.已知圆，则该圆的圆心和半径分别是（）A.，5 B.，5 C.， D.，【答案】C【解析】将圆的一般式方程化为标准方程得，所以圆心为，半径为.故选：C.3.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线的斜率，所以直线的一个方向向量为，故选：A.4.已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，，，因为过点的直线与线段相交，结合图象可知，该直线的斜率的取值范围为.故选：B.5.已知两直线，，若，则两直线间的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，解得：，，即，两直线间的距离.

故选：D.6.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，，，，在上投影向量可为，故选：A.7.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设关于直线对称的点为，则，解得：，即，“将军饮马”的最短总路程为.

故选：D.8.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点到相异两点和距离比值为不等于1的定值，则动点的轨迹是圆心在直线上的圆，该圆被称为点和相关的阿氏圆．已知在点和相关的阿氏圆上，其中点，点在圆上，则的最小值为（）A B. C.4 D.6【答案】C【解析】方法一：因为圆的圆心为，点，由阿氏圆定义知，点在轴上，设，圆与轴的交点，，则由阿氏圆定义知，即，解得或（舍），故，且，即，故，当且仅当，，，四点共线时，取最小值4，故选：C．方法二：设，则，故，故，即，则，故，当且仅当，，，四点共线时，取最小值4.故选：C．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若是一个圆的方程，则实数可取的值有（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】是一个圆的方程，，解得：，实数可取的值有和.故选：CD.10.空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（）A.B.点A关于平面对称的点的坐标为C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】对于A，由题意，A正确；对于B，关于平面对称的点的坐标相同，坐标相反，因此点关于平面对称的点的坐标为，B错误；对于C，若，则，所以，C正确；对于D，若且，则，解得，D正确，故选：ACD．11.点在圆上，点在圆上，则（）A.的最小值为B.最大值为C.两个圆相交弦所在直线的方程为D.两圆的公共弦长为【答案】BCD【解析】由圆的方程知：圆心，半径；由圆的方程知：圆心，半径；则两圆圆心距，，两圆相交；对于A，两圆相交，当为两圆同一个公共点时，，即，A错误；对于B，，B正确；对于C，两圆方程作差可得相交弦所在直线方程为：，C正确；对于D，圆心到相交弦所在直线的距离，两圆公共弦长为，D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点________.【答案】（－1，－1）【解析】方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化为（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由得所以定点坐标是（－1，－1）.13.已知圆和点，则过点的的切线方程为__________.【答案】或【解析】由圆方程可得圆心，半径；当过点直线斜率不存在时，即时，圆心到其距离，与相切；当过点的的切线斜率存在时，可设为，即，圆心到切线的距离，解得：，切线方程为，即；综上所述：所求切线方程为或.14.人教版选择性必修一习题拓广探索第题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”.现已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，且直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为__________.【答案】【解析】由题意知：平面的一个法向量，平面的一个法向量，平面的一个法向量，的方向向量为，，令，解得：，，，，即直线与平面所成角的正弦值为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）求，，；（2）求向量与夹角的余弦值.解：（1），，，，.（2），，，即向量与夹角的余弦值为.16.已知直线经过直线与直线的交点.（1）求点P坐标；（2）若直线垂直于，求直线的方程；（3）若直线与经过两点，的直线平行，求直线的方程.解：（1）联立，解得，故；（2）直线垂直于，故设直线方程为，将代入得，，解得，故直线方程为；（3），故直线的斜率为，直线的方程为，化为一般式方程为.17.如图所示，平行六面体中，．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．解：（1），则，所以.（2）由空间向量运算法则，可得，因为且，所以，，则.18.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系.（1）试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离；（2）试求经过三点的圆的标准方程；（3）某日经观测发现，在该平台正南方向的处，有一艘轮船正以每小时的速度沿北偏东方向行驶，如果航向不变，该轮船是否会进入安全预警区？如果不进入，请说明理由；如果进入，则它在安全预警区内会行驶多长时间？解：（1）由题意知：，，，，，.（2）设经过三点的圆的方程为：，，解得：，所求圆的一般方程为：，则经过三点的圆的标准方程为：.（3）由题意知：，则轮船航向所在直线方程为：，即，由（2）知：经过三点的圆的圆心为，半径，圆心到直线的距离，直线与圆相交，即轮船会进入安全预警区；设直线与圆的交点为，则，则轮船在安全预警区内会行驶小时.19.如图，在四棱锥中，平面平面，为棱的中点．（1）证明：平面；（2）若，（i）求二面角的余弦值；（ii）在线段上是否存在点Q，使得点Q到平面的距离是？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．（1）证明：取的中点N，连接，如图所示：为棱的中点，，，∴四边形是平行四边形，，又平面平面平面．（2）解：，∵平面平面，平面平面平面，平面，又平面，而，∴以点D为坐标原点，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图：则，为棱的中点，（i），设平面的一个法向量为，则，令，则，平面的一个法向量为，，根据图形得二面角为钝角，则二面角的余弦值为（ii）假设在线段上存在点Q，使得点Q到平面的距离是，设，则，由（2）知平面的一个法向量为，，∴点Q到平面的距离是，．广西南宁普通高中2024-2025学年高二上学期11月期中联合考试数学试卷一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.直线的倾斜角为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】设直线的倾斜角为，由可知直线的斜率，，即直线的倾斜角为.故选：C.2.已知圆，则该圆的圆心和半径分别是（）A.，5 B.，5 C.， D.，【答案】C【解析】将圆的一般式方程化为标准方程得，所以圆心为，半径为.故选：C.3.直线的一个方向向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】直线的斜率，所以直线的一个方向向量为，故选：A.4.已知点，，若过点的直线与线段相交，则该直线斜率的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由题意，，，因为过点的直线与线段相交，结合图象可知，该直线的斜率的取值范围为.故选：B.5.已知两直线，，若，则两直线间的距离为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，解得：，，即，两直线间的距离.

故选：D.6.已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根据题意，，，，在上投影向量可为，故选：A.7.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设关于直线对称的点为，则，解得：，即，“将军饮马”的最短总路程为.

故选：D.8.古希腊数学家阿波罗尼斯发现：在平面上，若动点到相异两点和距离比值为不等于1的定值，则动点的轨迹是圆心在直线上的圆，该圆被称为点和相关的阿氏圆．已知在点和相关的阿氏圆上，其中点，点在圆上，则的最小值为（）A B. C.4 D.6【答案】C【解析】方法一：因为圆的圆心为，点，由阿氏圆定义知，点在轴上，设，圆与轴的交点，，则由阿氏圆定义知，即，解得或（舍），故，且，即，故，当且仅当，，，四点共线时，取最小值4，故选：C．方法二：设，则，故，故，即，则，故，当且仅当，，，四点共线时，取最小值4.故选：C．二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.若是一个圆的方程，则实数可取的值有（）A. B. C. D.【答案】CD【解析】是一个圆的方程，，解得：，实数可取的值有和.故选：CD.10.空间直角坐标系中，已知，下列结论正确的有（）A.B.点A关于平面对称的点的坐标为C.若，则D.若，则【答案】ACD【解析】对于A，由题意，A正确；对于B，关于平面对称的点的坐标相同，坐标相反，因此点关于平面对称的点的坐标为，B错误；对于C，若，则，所以，C正确；对于D，若且，则，解得，D正确，故选：ACD．11.点在圆上，点在圆上，则（）A.的最小值为B.最大值为C.两个圆相交弦所在直线的方程为D.两圆的公共弦长为【答案】BCD【解析】由圆的方程知：圆心，半径；由圆的方程知：圆心，半径；则两圆圆心距，，两圆相交；对于A，两圆相交，当为两圆同一个公共点时，，即，A错误；对于B，，B正确；对于C，两圆方程作差可得相交弦所在直线方程为：，C正确；对于D，圆心到相交弦所在直线的距离，两圆公共弦长为，D正确.故选：BCD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点________.【答案】（－1，－1）【解析】方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化为（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由得所以定点坐标是（－1，－1）.13.已知圆和点，则过点的的切线方程为__________.【答案】或【解析】由圆方程可得圆心，半径；当过点直线斜率不存在时，即时，圆心到其距离，与相切；当过点的的切线斜率存在时，可设为，即，圆心到切线的距离，解得：，切线方程为，即；综上所述：所求切线方程为或.14.人教版选择性必修一习题拓广探索第题中提到“在空间直角坐标系中，已知向量，点，若平面经过点，且以为法向量，点是平面内的任意一点，则平面的方程为”.现已知平面的方程为，直线是平面与平面的交线，且直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为__________.【答案】【解析】由题意知：平面的一个法向量，平面的一个法向量，平面的一个法向量，的方向向量为，，令，解得：，，，，即直线与平面所成角的正弦值为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知向量，.（1）求，，；（2）求向量与夹角的余弦值.解：（1），，，，.（2），，，即向量与夹角的余弦值为.16.已知直线经过直线与直线的交点.（1）求点P坐标；（2）若直线垂直于，求直线的方程；（3）若直线与经过两点，的直线平行，求直线的方程.解：（1）联立，解得，故；（2）直线垂直于，故设直线方程为，将代入得，，解得，故直线方程为；（3），故直线的斜率为，直线的方程为，化为一般式方程为.17.如图所示，平行六面体中，．（1）用向量表示向量，并求；（2）求．解：（1），则，所以.（2）由空间向量运算法则，可得，因为且，所以，，则.18.为了保证我国东海油气田海域海上平台的生产安全，海事部门在某平台的北偏西方向处设立观测点，在平台的正东方向处设立观测点，规定经过三点的圆以及其内部区域为安全预警区.如图所示：以为坐标原点，的正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系.（1）试写出的坐标，并求两个观测点之间的距离；（2）试求经过三点的圆的标准方程；（3）某日经观测发现，在该平台正南方向