高一数学第一次月考卷1（解析版）

1/102025-2026学年高一数学上学期第一次月考卷（考试时间：120分钟，分值：150分）注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教A版（2019）必修第一册第1--2章集合与逻辑+一元二次函数、方程与不等式。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．如图所示的Venn图中，A，B是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合.若集合，集合，则集合（

）A．B．C．或D．或【答案】D【分析】根据给定的韦恩图，结合集合的运算求解.【详解】集合，集合，则，由韦恩图得或.故选：D2．命题“，或”的否定形式是A．，或B．，或C．，且D．，且【答案】D【详解】试题分析：特称命题的否定是全称命题，故选D.考点：全称命题与特称命题．【易错点晴】全称量词与全称命题：（1）短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“”表示．（2）含有全称量词的命题，叫做全称命题．存在量词与特称命题：（1）短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“”表示．（2）含有存在量词的命题，叫做特称命题．全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题.3．若a＞b，c＞d，则（

）A． B．a－c＞b－dC．a－d＞b－c D．ac＞bd【答案】C【分析】根据不等式的基本性质，或举出反例，逐一检验选项即可.【详解】选项A：若，则.所以选项错误.选项B：若,满足，但是.所以选项B错误.选项C：因为所以又因为，所以所以选项C正确选项D：若,满足，但是,所以选项D错误.故选：C.4．已知集合，，则满足的集合的个数为（

）A．4 B．7 C．8 D．15【答案】B【分析】根据题意写出集合，再由子集和真子集的定义即可解得.【详解】方法一：的含义是有的都有，有的都有，但不能等于．因为集合，，所以集合可为，共7个．方法二：集合中有2个元素，中有5个元素，则集合可以是集合的任意一个真子集与集合并集组成，所以满足的集合有（个）．故选：B．5．已知集合，，若集合中恰好只有两个整数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先算出集合A中的整数，再分中的两个整数是2，3和中的两个整数是0，1两种情况讨论，分别得到不等式组，计算可得．【详解】由题意，集合A中的整数为0，1，2，3．因为，所以集合中至少有3个整数，所以集合中的两个整数只能为0，1或2，3．若集合中的两个整数是2，3，则解得；若集合中的两个整数是0，1，则解得．综上可得，或，即的取值范围是．故选：A6．已知，且，则的最小值为（

）A． B． C． D．1【答案】A【分析】首先根据已知条件将变形为，然后利用“1”的代换，结合均值不等式进行求解即可.【详解】已知，得，代入得：由于，，得：当且仅当，即：，时等号成立.故的最小值为.故选：A7．设集合，则B是A的真子集的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】解方程得A，再分析的根，得出B是A的子集时对应的，再由充分不必要条件的概念，真子集的概念得解.【详解】，若，则，BA，若，则，BA，若，则，BA，∴BA的一个充分不必要条件是.故选：B8．如图，已知二次函数的图象顶点在第一象限，且经过、两个点．则下列说法正确的是：①；②；③；④．（

）A．①② B．①③④ C．①②④ D．①②③④【答案】D【分析】根据图象结合一元二次函数的性质逐项判断即可.【详解】由图象可知二次函数图象开口向下，则，图象与轴交点为，所以，顶点在第一象限，对称轴，又，所以，所以，①说法正确；因为图象经过、两个点，所以，解得，因为，，所以，②说法正确；由得，即，③说法正确；因为图象顶点在第一象限，且经过，由二次函数的对称性可知与轴另一个交点的横坐标在上，所以当时，，又，，，所以，即，④说法正确；综上①②③④正确；故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知实数a，b满足，，则（

）A． B． C． D．【答案】ABC【分析】根据不等式的性质，判断AB，再根据凑配法，利用和表示和，再结合不等式的性质，即可求范围.【详解】由条件可知，，两式相加得，即，故A正确；由条件可知，，，两式相加得，得，故B正确；设，得，得，即，且，，所以的范围是，故C正确；设，得，得，即，且，，所以的范围是，故C正确；设，得，得，即，且，，所以的范围是，故D错误.故选：ABC10．关于的不等式的解集可能为（

）A． B．C． D．【答案】BCD【分析】二次项系数含有参数，应先讨论是否为0，容易遗漏时为一次不等式的情况．【详解】当时，不等式可化为，则不等式的解集为，故B正确．当时，为一元二次不等式，且可因式分解为．二次项系数影响不等式是否变号，因此再分两种情况．当时，．当，即时，不等式的解集为，故C正确．当，即时，不等式的解集为；当，即时，不等式的解集为．当时，，此时显然，不等式的解集为，故D正确．故选：BCD11．已知，，且，则（

）A．的最小值为 B．的最小值为C． D．的最小值为【答案】ACD【分析】由得到，利用基本不等式可判断选项A正确，选项B错误；利用可得选项C正确；根据，通过分离参数结合基本不等式可得选项D正确.【详解】由得，，由得，，整理得，解得或（舍去），当且仅当时等号成立，故的最小值为，选项A正确.由得，，即，解得（舍去），当且仅当时等号成立，故的最小值为，选项B错误.由得，，所以，解得，选项C正确.，当且仅当，即时等号成立，选项D正确.故选：ACD.【点睛】关键点点睛：解决选项D的关键是根据把代数式等价变形为，利用基本不等式可得结果.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．关于的不等式组的最小整数解为，则符合条件的的取值范围为．【答案】【分析】根据不等式组的解集结合条件解的范围即可.【详解】由解得，由解得，所以不等式组的解集为，因为不等式组的最小整数解为，所以，解得，所以符合条件的的取值范围为，故答案为：13．已知x＞0，y＞0且x≠y，M＝x3+y3，N＝xy2+x2y，则M与N的大小关系为．【答案】【分析】作差法比较大小即可.【详解】，由x＞0，y＞0且x≠y知，，,即故答案为：14．命题，，使成立．若为真命题，则实数的取值范围为．【答案】【分析】构造函数，由已知条件将问题转换为，利用基本不等式可求得，分类讨论，构造不等式即可得求出实数a的取值范围.【详解】因为，，使成立．若为真命题，设，则可将问题转化为，，，当且仅当，即时等号成立，故，的对称轴为，且开口向上，当，则，函数在上单调递增，所以，解之可得，此时无解，故舍之当时，即，，解之可得，则可得，当时，，函数在单调递减，，解之可得，则可得，综上可知实数的取值范围为.故答案为：四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）设集合，．(1)若，求的取值范围；(2)若，求的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）由可得，再根据集合关系讨论求参数即可；（2）由，分和两种情况讨论求参数即可；【详解】（1）因为，所以．当时，，解得；(3分）当时，解得．综上所述，的取值范围为．(6分）（2）由题意，需分和两种情形进行讨论：当时，由（1）得；当时，因为，所以解得，或无解．综上所述，的取值范围为．(13分）16.（15分）已知集合，非空集合．(1)若是的必要条件，求实数的取值范围；(2)是否存在实数，使是的充分条件，若存在，求出的取值范围，若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，【分析】（1）由构造不等式即可求解；（2）由构造不等式即可求解；【详解】（1）非空集合．可得：，解得：由是的必要条件，可得：,所以，解得：，综上实数的取值范围；(7分）（2）存在，由是的充分条件，则,所以，解得：，所以实数的取值范围(15分）17.（15分）已知函数．(1)当时，求不等式的解集；(2)求不等式的解集；(3)若不等式的解集中恰有三个整数解，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)答案见解析(3)【分析】（1）求出方程的根后可得不等式的解；（2）就、、分类讨论后可得不等式的解；（3）根据二次函数的对称轴可得不等式的三个不同的整数解，从而可得实数的取值范围．【详解】（1）当时，，所以方程的根为或－3，所以不等式的解集为．(4分）（2）若，即，此时二次函数的图象在轴上方，不等式的解集为；②若，即，此时方程为，只有一个根，不等式的解集为；③若，即，此时方程的两根分别为，，不等式的解集为．综上所述，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为．(9分）（3）因为，故抛物线的对称轴为且开口向上，而不等式的解集中恰有三个整数解，故且，在不等式的解集中（、关于对称），，不在不等式的解集中（、关于对称），故，故.(15分）18.（17分）已知为正实数，利用基本不等式证明（1），确定（2），并指出等号成立的条件，然后解（3）中的问题．(1)请根据基本不等式，证明；(2)请根据（1）中的结论，确定与的大小关系（无须推导）；(3)若，求的最小值．【答案】(1)证明见解析(2)(3)3【分析】（1）两次利用基本不等式证明即可；（2）令，结合（1）的结论，即可证明；（3）结合（1），（2）利用基本不等式证明即可.【详解】（1）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立．又，当且仅当时等号成立，所以，当且仅当时等号成立．(5分）（2），当且仅当时等号成立．推导如下：由于，当且仅当时等号成立，令，得，即，故，所以，当且仅当时等号成立.(11分）（3）因为，所以，当且仅当时等号成立，所以，因此，当且仅当时等号成立，所以的最小值为3．(17分）19.（17分）已知函数.(1)关于的不等式的解集为，求关于的不等式的解集;(2)已知，当时，，①若存在正实数a，b，使不等式有解，求的取值范围;②求的最小值.【答案】(1)答案见解析(2)①，②36【分析】（1）由根与系数的关系求出关系，代入所求不等式，分类讨论解集；（2）由条件得，再利用基本不等式求解问题.【详解】（1）因为关于的不等式的解集为，所以，即所以不等式可