鸽巢问题的应用（学霸课堂笔记）-数学六年级下册培优讲义（人教版）

5.3鸽巢问题的应用抽屉原理是组合数学中的一个重要原理。抽屉原理有两个经典案例：一个是把10个苹果放进9个抽屉里，总有1个抽屉里至少放了2个苹果，所以这个原理称为“抽屉原理”；另一个是6只鸽子飞进5个鸽巢，总有一个鸽巢至少飞进2只鸽子，所以这个原理称也为“鸽巢原理”。一般的，把不少于（m×n+1）个物品分成n类，则总有某一类中至少会有（m+1）个物品。：基础过关练一、填空题1．袋子中有形状和大小相同的黑球4个和白球6个，那么摸到()球的可能性大。至少摸出()个球，才能保证有1个白球。2．有黑、白、黄色袜子各10只，不用眼睛看，任意取出袜子来，使得至少有两双袜子不同色，那么至少要取出()只袜子。3．口袋里装着6个黄球和4个黑球，那么摸到()球的可能性大些。至少摸出()个球，才能保证其中至少一个是黄球。4．黑色袋子有黑、白、黄三种颜色的袜子各5只，不用眼睛看，任意取出袜子来，使得至少有2双袜子不同色，那么至少取出()只袜子。5．黑色袋子中装有同一型号的4支红铅笔，6支黄铅笔，5支蓝铅笔。要保证摸出三支颜色不同的铅笔，至少要摸出()支铅笔。6．鱼缸中有很多小鱼，共5个品种，至少要捞出()条小鱼才能保证有3条鱼的品种相同。7．一个袋子中有2个黄球，3个红球，5个白球。如果从袋子中任意摸出一个球，摸到()球的可能性最大，至少摸出()个球才能保证一定摸到2个黄球。8．盒子里有同样大小的9个红球和3个白球。如果摸一次，只摸一个球，摸到白球的可能性是()。如果想要保证摸出2个红球，至少一次要摸出()个球。9．一个鱼缸里有5种鱼，至少捞起()条鱼，才能保证至少有2条鱼的种类相同；至少捞起()条鱼，才能保证至少有4条鱼的种类相同。二、判断题10．从一副（54张）扑克牌中，至少抽出42张牌，才能保证一定有1张红桃。()11．把一些书放进5个抽屉中（任何一个抽屉不能空着），要保证总有一个抽屉至少有3本，那么这些书至少需要有11本。()12．从45名同学中至少选出3名同学，才能选出2名男生。()13．在50个同学里，至少有6个同学是在同一个月出生的。()14．要保证从一副完整的扑克牌（54张）中，抽到一张黑桃至少要抽取42张。()三、选择题15．把红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色的珠子（珠子的大小、形状完全相同）各10颗放到一个袋子里。至少取出几颗才能保证取到两颗颜色相同的珠子？（

）A．7颗 B．8颗 C．10颗 D．11颗16．一个盒子里有同样大小的红苹果和青苹果各10个，要想摸出的苹果一定有2个红苹果，至少要摸出（

）个苹果。A．3 B．10 C．12 D．1517．给一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色，无论怎样涂，至少有（

）个面颜色相同。A．4 B．3 C．218．明明玩投骰子游戏（掷一枚骰子），要保证掷出的点数至少有2次是相同的，明明至少应该掷（

）次。A．5 B．6 C．7 D．819．把25枚棋子放入图的三角形内，那么一定有一个小三角形中至少放入（

）枚。A．6 B．7 C．820．有白色手套和黑色手套各5只（不分左右手），如果蒙上眼睛，至少拿出（

）只，才能使拿出的手套中一定有一双是同色的。A．4 B．5 C．3 D．以上都不对：培优提升练四、解答题21．把红、黄、蓝、白4种颜色的球各10个放到1个袋子里。至少取多少个球，可以保证取到两个颜色相同的球？你知道吗？22．把104粒花生分给15只小猴，每只小猴都要分到花生，那么至少有两只小猴分得的花生一样多，为什么？23．在100张卡片上不重复地编写上1～100，请问至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出卡片上的数相乘后之乘积可被4整除？24．宁宁到舅舅家去做客。舅妈端出一大盘水果，对他说：“这些都是你爱吃的水果，不过我要先考考你。盘子里有苹果、柚子、菠萝三种水果共12个，其中柚子的个数是菠萝的2倍。随便拿出4个，其中至少有1个苹果，你知道这三种水果各有几个吗？”25．纸箱里杂乱地放着黑、白、红、绿、黄五种颜色的袜子各50只，规格都相同。在黑暗中至少要取出多少只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子？26．一个玻璃瓶里一共装有44个弹珠，其中：白色的2个，红色的3个，绿色的4个，蓝色的5个，黄色的6个，棕色的7个，黑色的8个，紫色的9个，如果要求每次从中取出1个弹珠，从而得到2个相同颜色的弹珠，请问最多需要取几次？27．有49个小孩，每人胸前有一个号码，号码从1到49各不相同。现在请你挑选若干个小孩，排成一个圆圈，使任何相邻两个小孩的号码数的乘积小于100，那么你最多能挑选出多少个孩子？

1．白5【分析】比较白球与黑球的个数，哪个颜色的球多，那么任意摸一个球，摸到这种颜色的球的可能性就更大些。要保证一定能摸到白球，从最糟糕的情况出发，前面4次摸到的都是黑球，那么第5次一定摸到的是白球，据此来解答。【详解】4＜6袋子中有形状和大小相同的黑球4个和白球6个，那么摸到白球的可能性大。至少摸出5个球，才能保证有1个白球。2．13【分析】因为袜子的颜色有3种，最坏的取法是先取的10只都是同一种颜色的，又取了2只颜色还是不同的，所以只要再取1只，就能跟第二次取的配成一双袜子了；所以至少要取10＋2＋1＝13只，据此解答。【详解】10＋2＋1＝13（只）故至少要取13只。【点睛】本题考查的是处理抽屉原理问题最基本和常用的方法，运用“最不利原则”,构造“最不利”“点最背”的情形。3．黄5【分析】哪个颜色的球数量多，那么任意摸到这个球的可能性就更大些。黑球有4个，从最糟糕的情况考虑，前4次都摸到的是黑球，那么第5次一定摸到的是黄球，由此可知至少要摸出5个球。【详解】6＞44＋1＝5（个）口袋里装着6个黄球和4个黑球，那么摸到黄球的可能性大些。至少摸出5个球，才能保证其中至少一个是黄球。4．8【分析】因为颜色有3种，最坏的取法是先取出的5只袜子都是同一种颜色，再取出2只袜子是不同的颜色，最后再取1只，无论是什么颜色，都可以得到2双不同颜色的袜子，所以至少要取5＋2＋1＝8（只）袜子。【详解】5＋2＋1＝7＋1＝8（只）则至少取出8只袜子。5．12【分析】把红铅笔、黄铅笔和蓝铅笔看作是三个抽屉，4＋6＋5＝15；15只铅笔看做是15个元素，根据抽屉原理，考虑最差情况：摸出11支铅笔中，6支黄铅笔和5支蓝铅笔，那么再任意摸出一支就是红铅笔，据此解答。【详解】6＋5＋1＝11＋1＝12（支）黑色袋子中装有同一型号的4支红铅笔，6支黄铅笔，5支蓝铅笔。要保证摸出三支颜色不同的铅笔，至少要摸出12支铅笔。【点睛】本题考查了利用抽屉原理解决问题的灵活应用，这里要注意考虑最差情况。6．11【分析】考虑最倒霉的情况，捞出5种鱼，每种鱼都是2条，再捞一条，无论什么品种，都可保证有3条鱼的品种相同，据此分析。【详解】5×2＋1＝10＋1＝11（条）鱼缸中有很多小鱼，共5个品种，至少要捞出11条小鱼才能保证有3条鱼的品种相同。【点睛】因为要保证有3条鱼的品种相同，此题应从最极端的情况进行分析。7．白10【分析】不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关，数量越多，可能性越大，反之则越小。因为白球的数量最多，所以摸到白球的可能性最大。要想摸出2个黄球，最坏情况是其他颜色的球都被摸出，此时再摸出2个，一定是黄球，所以一共需要摸出（3＋5＋2）个球。【详解】5＞3＞23＋5＋2＝10（个）如果从袋子中任意摸出一个球，摸到白球的可能性最大，至少摸出10个球才能保证一定摸到2个黄球。【点睛】本题考查可能性大小的判断以及利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，理解不确定事件发生的可能性的大小与事物的数量有关。8．5【分析】用白球的个数除以球的总个数即可求出摸到白球的可能性；根据最不利原理，摸出的球中有3个白球，则再摸出2个球就可以保证一定有2个红球。【详解】3÷（9＋3）＝3÷12＝3＋2＝5（个）则如果摸一次，只摸一个球，摸到白球的可能性是。如果想要保证摸出2个红球，至少一次要摸出5个球。【点睛】本题考查求一个数是另一个数的几分之几，明确用除法是解题的关键。9．616【分析】鱼缸里有5种鱼，那么把这5种鱼看成5个抽屉，要求至少捞起多少条鱼才能保证有2条鱼的种类相同，从考虑最差情况出发：5条鱼平均分配到5个抽屉中，再捞起1条即可，5＋1＝6；第二问和第一问相同，先从考虑最差情况出发，再利用抽屉原理解答即可。【详解】5＋1＝6（条），至少捞起6条鱼，才能保证至少有2条鱼的种类相同；3×5＋1＝16（条），至少捞起16条鱼，才能保证至少有4条鱼的种类相同。【点睛】本题考查了抽屉原理，关键是确定鸽巢与分放的物品。10．√【分析】一副扑克牌中有13张红桃、13张方块、13张黑桃、13张梅花、大小王2张，根据最不利原理，把方块、黑桃、梅花和大小王都取完后，再取一张就可以保证一定有1张红桃。【详解】13×3＋2＝39＋2＝41（张）41＋1＝42（张）则至少抽出42张牌，才能保证一定有1张红桃。原题干说法正确。故答案为：√【点睛】本题考查鸽巢问题，明确最不利原理是解题的关键。11．√【分析】抽屉原理（鸽巢原理）：m÷n＝a……b（m＞n＞1），把m个物体放进n个抽屉里，不管怎么放总有一个抽屉至少放进（a＋1）个物体。由抽屉原理可知：要使其中一个抽屉至少有3本，则这些书的本数至少要比抽屉数的（3－1）倍多1本，即抽屉数×（其中一个抽屉至少有的本数－1）＋1＝这些书至少的本数。【详解】5×（3－1）＋1＝5×2＋1＝10＋1＝11（本）所以这些书至少需要11本。原题说法正确。故答案为：√【点睛】解决抽屉原理问题，要分清“要放的物体数和抽屉数”。12．×【分析】要从45名同学中选出男生，首先要保证这45名同学中有男生，而题目中并没有说明这一情况，如果考虑最差的情况，45名同学全是女生的话，无论选多少同学，都不可能选出男生。据此解答。【详解】根据分析得，原题中关于“从45名同学中至少选出3名同学，才能选出2名男生”的说法是错误的。故答案为：×【点睛】解决抽屉原理问题的关键是根据最差原理对问题进行分析。13．×【分析】把一年12个月看作12个抽屉，把50名同学看作50个元素，那么每个抽屉需要放4个，剩下的2个不论怎么放，总有一个抽屉里至少有5个，据此解答。【详解】50÷12＝4（个）……2（个）至少有：4＋1＝5（个）同学是同一个月出生；故答案为：×【点睛】本题的解题关键是利用抽屉原理解决实际问题。14．√【分析】一副扑克牌有54张，每种花色都有13张牌，把这四种花色看作四个抽屉，考虑最差情况：红桃、方块、梅花、大小王都全部抽出，则再任意抽出一张，必定是黑桃，据此即可解答问题。【详解】13×3＋2＋1＝39＋2＋1＝42（张）即要抽出42张来，才能保证一定有一张黑桃；所以原题说法正确。故答案为：√【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。15．B【分析】把红、橙、黄、绿、青、蓝、紫七种颜色看做7个抽屉，利用抽屉原理，考虑最差情况，摸出7个球，分别是红、橙、黄、绿、青、蓝、紫不同的颜色，再任意摸出1个球即可。【详解】7＋1＝8所以，至少取出8颗才能保证取到两颗颜色相同的珠子。故答案为：B16．C【分析】由于盒子里有同样大小的红苹果和青苹果各10个，如果一次取10个，最差情况为这10个苹果全是青苹果，所以只要再多取2个苹果，就能保证取到2个红苹果。据此解答。【详解】10＋2＝12（个）即至少要摸出12个苹果。故答案为：C【点睛】解决抽屉原理问题的关键是根据最差原理对问题进行分析。17．C【分析】把红、黄、蓝、绿四种颜色看做4个抽屉，6个面看做6个元素，利用抽屉原理最差情况：要使涂的颜色相同的面数最少，只要使每个抽屉的元素数尽量平均，即可解答。【详解】6÷4＝1（个）⋯⋯2（个）1＋1＝2（个）给一个正方体的6个面分别涂上红、黄、蓝、绿四种颜色，无论怎样涂，至少有2个面颜色相同。故答案为：C【点睛】本题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。18．C【分析】骰子有6个面，每个面的点数不同，能掷出6种结果；假设运气最差的情况，先掷出的6次都是不同的点数，此时再掷出1次，就会出现2个相同的点数，所以至少要掷出（6＋1）次。【详解】6＋1＝7（次）要保证掷出的点数至少有2次是相同的，明明至少应该掷7次。故答案为：C【点睛】本题是鸽巢问题（抽屉问题），采用最不利原则（运气最差原则）来解题。19．B【分析】将4个三角形作为抽屉，将25枚棋子放入抽屉中，利用抽屉原理最差情况：要使每个抽屉里的枚数最少，只要使每个抽屉里的元素数尽量平均分即可。【详解】25÷4＝6（枚）……1（枚）6＋1＝7（枚）一定有一个小三角形中至少放入7枚。故答案为：B【点睛】此题考查了利用抽屉原理解决实际问题的灵活应用，关键是从最差情况考虑。20．C【分析】因只有两种颜色，所以考虑到最差情况，就是拿出的2只是不同颜色的，这时，只要再拿出一只，不论是什么颜色的，就一定有一双是同色的。据此解答。【详解】2＋1＝3（只）即至少拿出3只，才能使拿出的手套中一定有一双是同色的。故答案为：C【点睛】根据抽屉原理中的最差情况进行分析是完成本题的关键。21．5个【分析】最坏情况是4种颜色的球各摸出一个，此时再摸出1个，一定有2个同色的，所以至少需要摸出5个球。【详解】4＋1＝5（个）答：至少取5个球，可以保证取到两个颜色相同的球。22．见详解【分析】考虑最不利原则，假设前13只小猴分得的花生各不相同，从1一直加到13为91粒，还剩下2只小猴子分13粒花生，不管怎么分，至少有2只小猴分得的花生一样多。【详解】假设前13只小猴分得的花生各不相同，共有：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13＝（1＋13）×13÷2＝14×13÷2＝91（粒）还剩下花生：104－91＝13（粒）还有小猴：15－13＝2（只）不管怎么分，至少有2只小猴分得的花生一样多。答：至少有2只小猴分得的花生一样多，因为前13只小猴分得的花生各不相同后，剩下的2只小猴不管怎么分剩下的13粒花生，分得的花生粒数都只能是1～12粒，这样至少有2只小猴分得的花生一样多。【点睛】本题考查鸽巢问题，采用最不利原则进行分析是解题的关键。23．52张【分析】若想确保若干个数的乘积能被4整除，就要先抽出这些数中所有的奇数，再抽2张偶数卡片即可，1～100中所有的奇数有50个，若一开始就抽中的50张奇数卡片，则还需要抽出2张偶数卡片，它们之积才能被4整除。【详解】（个）先取出1～100中所有的奇数，一共50个；至少还需要取出两个偶数，共52个数，这52个数的乘积一定可以被4整除。答：至少要随意抽出52张卡片。【点睛】本题考查的是最不利原则，解题的关键是需要找出能被4整除的数的特征，从1～100中的数抽取，即可解答。24．苹果有9个；菠萝有1个；柚子有2个【分析】根据抽屉原理，随便拿出4个，其中至少有1个苹果，除苹果以外的其它水果共有3个，可知苹果有12－3＝9个，又因为柚子的个数是菠萝的2倍，且柚子与菠萝共有3个，可求得柚子有2个，菠萝有1个，据此解答即可。【详解】苹果有：12－3＝9（个）菠萝有：3÷（1＋2）＝3÷3＝1（个）柚子有：3－1＝2（个）答：柚子有2个，菠萝有1个，苹果有9个。【点睛】理解抽屉原理，读清题意，运用规律灵活解题。25．146只【分析】15双就是30只，考虑最不利原则，五种颜色，每种都摸到29只，怎么办呢，那就随便再摸一只，因为不管摸到什么色，都可以跟前面的29相加，到30了，这样就能保证有15双颜色相同的袜子。【详解】5×29＋1＝145＋1＝146（只）

答：在黑暗中至少要取出146只袜子，才能保证有15双颜色相同的袜子。【点睛】本题考查鸽巢问题，解答本题的关键是掌握抽屉原理解决问题。26．9次【分析】总共有8种颜色的弹珠，要取出2个相同颜色的弹珠，