2026届高三数学微专题12.6成对数据的相关关系-专项训练【含答案】

2026届高三微专题12.6成对数据的相关关系1.变量的相关关系(1)相关关系：两个变量有关系，但又没有确切到可由其中的一个去精确地决定另一个的程度，这种关系称为相关关系.(2)相关关系的分类：正相关和负相关.(3)线性相关：一般地，如果两个变量的取值呈现正相关或负相关，而且散点落在一条直线附近，我们就称这两个变量线性相关.2.样本相关系数(1)r＝n∑(2)当r>0时，称成对样本数据正相关；当r<0时，称成对样本数据负相关.(3)|r|≤1；当|r|越接近1时，成对样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，成对样本数据的线性相关程度越弱.3.一元线性回归模型(1)我们将y^＝b^x＋a^其中b(2)残差：观测值减去预测值所得的差称为残差.4.列联表与独立性检验(1)2×2列联表如图,给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2×2列联表.XY合计Y=0Y=1X=0aba+bX=1cdc+d合计a+cb+dn=a+b+c+d(2)独立性检验=1\*GB3①依据上述2×2列联表构造统计量χ2=nad-bc忽略χ2的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值α，可以找到相应的正实数x使得Pχ2≥xα=α成立.我们称xα=2\*GB3②基于小概率值α的检验规则是：当χ2≥xα时，我们就推断H0不成立，即认为X当χ2<xα时，我们没有充分证据推断H0不成立，可以认为这种利用χ2的取值推断分类变量X和Y是否独立的方法称为χ2独立性检验，读作“卡方独立性检验”下表给出了χ2α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【重要结论】1.线性回归直线一定经过样本点的中心(x,y),据此性质可以解决有关的计算问题、判断结论的正确性.3.根据χ2的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若χ1．红蜘蛛是柚子的主要害虫之一，能对柚子树造成严重伤害，每只红蜘蛛的平均产卵数y(个)和平均温度x(摄氏度)有关，现收集了以往某地的7组数据，得到下面的散点图及一些统计量的值.参考数据(z＝lny)：77∑i=1xi7∑i=1xixyz5215177137142781.33.6(1)根据散点图判断，y＝bx＋a与y＝cedx(其中e＝2.718…为自然对数的底数)哪一个更适合作为平均产卵数y(个)关于平均温度x(摄氏度)的经验回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)由(1)的判断结果及表中数据，求出y关于x的经验回归方程.附：y^＝b^x＋a^2.为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物(单位:只)试验,得到如下列联表:药物疾病合计未患病患病未服用10080s服用15070220合计250t400(1)求s,t;(2)记未服用药物A的动物患疾病B的概率为p,给出p的估计值;(3)根据小概率值α=0.01的独立性检验,能否认为药物A对预防疾病B有效?附:χ2=n(ad-bc)α0.050.010.001xα3.8416.63510.828【方法储备】判断数据相关关系的方法：1.散点图：如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系.如果所有的样本点都落在某一函数曲线的附近,变量之间就有相关关系.2.样本相关系数法：若|r|的值越接近于1,说明变量之间的线性相关程度越高；当时,称成对样本数据正相关；当时,称成对样本数据负相关.3.经验回归方程法：在经验回归方程中,当b>0时,正相关；当b<0【典例精讲】例1.(2025·全国·模拟)某工厂为了确定工效进行了5次试验，收集数据如下：加工零件个数X1020304050加工时间Y(分)6469758290经检验，这组样本数据的两个变量X与Y具有线性相关关系，那么对于加工零件个数X与加工时间Y这两个变量，下列判断中正确的是(

)A.负相关，其回归直线经过点(30,75) B.正相关，其回归直线经过点(30,75)

C.负相关，其回归直线经过点(30,76) D.正相关，其回归直线经过点(30,76)例2.(2025·山东省·模拟)为了研究儿子身高与父亲身高的关系，某机构调查了某所高校14名男大学生的身高及其父亲的身高(单位：cm)，得到的数据如表所示．编号1234567891011121314父亲身高x174170173169182172180172168166182173164180儿子身高y176176170170185176178174170168178172165182父亲身高的平均数记为x，儿子身高的平均数记为y，根据调查数据，得到儿子身高关于父亲身高的回归直线方程为y=0.839x+28.957.则下列结论中正确的是(

)A.y与x正相关，且相关系数为0.839

B.点(x,y)不在回归直线上

C.x每增大一个单位，y增大0.839个单位

D.当x=176时，y【拓展提升】练1-1(.(2025·天津市·期末考试)对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其样本相关系数的比较，下列结论正确的是(

)

A.r2<r4<0<r3<r1练1-2(2025·浙江省宁波市模拟)（多选）根据某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温数据(单位： ∘C)绘制如下折线图，那么下列叙述正确的是(

)

A.5号到11号的最低气温与日期之间呈线性相关关系且为正相关

B.9号的最高气温与最低气温的差值最大

C.最高气温的众数为27∘C

D.5号到考点二一元线性回归模型及其应用考点二一元线性回归模型及其应用【方法储备】1.求线性回归万程的步骤:

=1\*GB2⑴利用散点图或进行相关性检验判定两个变量具有线性相关关系；

=2\*GB2⑵列表求出x,y,i=1nxi2,i=1nxiyi；

=3\*GB2⑶利用相应公式计算a,b；

=4\*GB2=5\*GB2⑸经验回归方程的拟合效果，可以利用相关系数|r|判断，当|r|越趋近于1时，两变量的线性相关性越强.或利用决定系数R2判断，R2越大，拟合效果越好.2.利用回归方程可以进行预测和估计总体,回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸,是我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制、依据自变量的取值估计和预报因变量值的基础和依据.3.非线性经验回归方程转化为线性经验回归方程的方法如：①若y=a+bx，设t=x，则y=a+bt；②若满足对数式：y=a【典例精讲】

例3.(2025·湖南省长沙市模拟)若需要刻画预报变量w和解释变量x的相关关系，且从已知数据中知道预报变量w随着解释变量x的增大而减小，并且随着解释变量x的增大，预报变量w大致趋于一个确定的值，为拟合w和x之间的关系，应使用以下回归方程中的(b>0,e为自然对数的底数)(

)A.w=bx+a B.w=-blnx+a C.w=-b例4.(2025·江苏省无锡市月考)为了解某地区未成年男性身高与体重的关系，对该地区12组不同身高xi(单位：cm)的未成年男性体重的平均值yi(单位：kg)(i=1，2，⋯，12)数据作了初步处理，得到下面的散点图和一些统计量的值．

xyωi=1i=1i=111524.3582.958143006300286表中ωi=lnyi(i=1,2,⋯,12)，ω-=112i=112ωi．

(1)根据散点图判断y=ax+b和y=ecx+d哪一个适宜作为该地区未成年男性体重的平均值y与身高x的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)．

(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；

(3)如果体重高于相同身高的未成年男性平均值的1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么该地区的一位未成年男性身高为175cm，体重为78kg，他的体重是否正常？

附：对于一组数据(【拓展提升】练2-1.(2025·山东省济南市·模拟题)（多选）一组样本数据(xi,yi)，i∈{1,2,3,⋯,100}.其中xi>1895，i=1100xi=2×105，i=1100yi=970，求得其经验回归方程为：y=-0.02x+a1，残差为ei.A.样本(xi,yi)负相关 B.a练2-2.(2025·河南省漯河市·期末考试)某制药公司研发一种新药，需要开展临床用药试验．随机征集了一部分志愿者作为样本参加试验，并得到一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,10)，其中xi，yi表示连续用药ii=110xi2=385，i=110yi=86(1)求y关于x的经验回归方程；(2)该公司要用甲与乙两套设备同时生产该种新药，已知设备甲的生产效率是设备乙的1.5倍，设备甲生产药品的不合格率为0.008，设备乙生产药品的不合格率为0.006，且设备甲与乙生产的药品是否合格相互独立．①从该公司生产的新药中随机抽取一件，求所抽药品为不合格品的概率；②在该新药产品检验中发现有三件不合格品，求其中恰有二件是设备乙生产的概率．参考公式：对于一组数据(xi,yi)(i=1,2,…,n)，其回归方程考点三列联表与独立性检验考点三列联表与独立性检验【方法储备】独立性检验的一般步骤：

(1)独立性检验原理只能解决两个对象,且每个对象有两类属性的问题,所以对于一个实际问题,我们首先要确定能否用独立性检验的思想加以解决；

(2)如果确实属于这类问题,要科学地抽取样本,样本容量要适当,不可太小；

(3)根据数据列出2×2列联表；(4)提出假设H0：所研究的两类对象(X,Y)无关；

(5)根据公式计算χ2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)的值；【典例精讲】例5.(2025·山东省枣庄市模拟)根据分类变量x与y的成对样本数据，计算得到χ2=6.147.依据α=0.01的独立性检验(x0.01=6.635)A.变量x与y不独立

B.变量x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

C.变量x与y独立

D.变量x与y独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01例6.(2022·湖南省长沙市期中)新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成为未来汽车产业发展的导向与目标.某机构从某地区抽取了500名近期购买新能源汽车的车主，调查他们的年龄情况，其中购买甲车型的有200人，统计得到如下的频率分布直方图．

(1)将年龄不低于45岁的人称为中年，低于45岁的人称为青年，购买其他车型的车主青年人数与中年人数之比为3:1

.完成下列2×2列联表，依据α=0.005

的独立性检验，能否认为购买甲车型新能源汽车与年龄有关？青年中年合计甲车型其他车型合计(2)用分层抽样的方法从购买甲车型的样本中抽取8人，再从中随机抽取4人，记青年有X人，求X的分布列和数学期望．附：χ2α0.1000.0500.0100.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【拓展提升】练3-1(2025·广东省东莞市·期末考试)（多选）根据分类变量x与y的成对样本数据，提出零假设H0，并计算得到χ2=2.974附：χα0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828A.零假设为H0:分类变量x与y独立

B.根据小概率值α=0.1的χ2独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.1

C.根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，可以认为x与y不独立，这个结论犯错误的概率不超过0.01

D.若所有样本数据都扩大为原来的10倍，根据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，可以认为练3-2(2025·安徽省合肥市联考)针对“中学生追星问题”，某校团委正在对“性别与中学生追星是否有关”做相关研究.现从本校随机抽取100名学生进行调查，得到下表：是否追星性别合计男生女生追星4570不追星20合计100(1)请将上述2×2列联表补充完整，并依据α=0.01的独立性检验，能否认为性别与中学生追星有关联?(2)根据是否追星，在样本的女生中，按照分层抽样的方法抽取9人作为研究小组.为了更详细地了解情况，再从研究小组中随机抽取4人，求抽到追星人数X的分布列及数学期望．参考公式：χ2=下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值．α0.0500.0250.0100.001x3.84105.0246.63510.8281.(2025·山东省济南市·模拟题)(多选)为了验证牛的毛色(黑色、红色)和角(有角、无角)这两对相对性状是否相关，某学院进行了一次数据统计，并根据形成的2×2列联表，计算得到χ2≈2.727，根据小概率值为α的独立性检验，则附：P(0.1000.0500.010k2.7063.8416.635A.若α=0.100，则认为“毛色”和“角”无关

B.若α=0.100，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过10%

C.若α=0.010，则认为“毛色”和“角”无关

D.若α=0.010，则认为“毛色”和“角”有关，此推断犯错误的概率不超过1%2.(2025·重庆市市辖区模拟)(多选)小张同学收集了某商品销售收入y(单位：万元)与相应的广告支出x(单位：万元)共10组数据，绘制出散点图，如下图所示，并利用线性回归模型进行拟合．她将图中10个点中的A点去掉后再重新进行线性回归分析，则下列说法正确的是(

)

A.决定系数R2变大

B.残差平方和变大

C.相关系数r的值变大

D.去掉A点后，若所有散点都在一条直线上，则决定系数3.(2025·河北省唐山市·模拟题)某学术平台引入AI智能检测系统对所收到的文本进行筛查.检测系统对AI生成文本的识别准确率为98%，对人类撰写文本的识别准确率为96.5%.检测系统对所收到的文本进行筛查时，会对每篇文本输出一个“AI生成概率”得分y(分).y与文本长度x(字)可以用一元线性回归模型来刻画，其线性回归方程为y=bx+0.95，且x=480，y=0.35.已知该平台中15%的文本由(1)求回归系数b(2)从该平台随机选取一篇文本，求该文本被检测系统识别为人类撰写文本的概率(精确到0.001);(3)现从平台中随机抽取200篇文本进行统计分析，填写列联表(篇数四舍五入取整数):文本真实性检测结果总计识别为AI生成(篇)识别为人类撰写(篇)真实AI生成(篇)真实人类撰写(篇)总计200依据小概率值α=0.01的χ2独立性检验，能否判断“检测结果”与“文本真实性”有差异参考公式：χ提示：χ2α0.10.050.010.0050.001x2.7063.8416.6357.87910.828【答案解析】1.解(1)由散点图可以判断，随温度升高，平均产卵数增长速度变快，符合指数函数模型的增长特点，所以y＝cedx更适宜作为平均产卵数y关于平均温度x的经验回归方程类型.(2)将y＝cedx两边同时取自然对数，可得lny＝lnc＋dx，即z＝lnc＋dx，由题中的数据可得，7∑i=1xizi－7x7∑i=1(xi-所以d^＝7∑i=1xizi-7xz7∑所以z关于x的经验回归方程为z^＝0.3x－4.5，故y关于x的经验回归方程为y^＝e0.3x－2.解(1)s=100+80=180,t=80+70=150.(2)∵80180=49,∴p的估计值为(3)零假设H0:药物A对预防疾病B无效.根据列联表中的数据可得χ2=400×100×70-80×1502250×150×180×根据小概率值α=0.01的独立性检验,推断H0不成立,即认为药物A对预防疾病B有效.考点考点一成对数据相关性与相关系数例1.解：由表中数据可得Y随X的增大而增大，故Y与X正相关.又x=15×(10+20+30+40+50)=30，y=15×

例2.解：A选项，因0.839>0，则y与x正相关，但相关系数不是0.839，故A错误；B选项，回归方程过定点(x,yC选项，由回归方程可知x每增大一个单位，y增大0.839个单位，故C正确；D选项，回归方程得到的y为预测值，不一定满足实际情况，故D错误．故选：C练1-1.解：由图知，r1,r从散点密集程度看，r3,r4相关性分别比故选：D．练1-2.解：由某地3月5日到3月15日的每天最高气温与最低气温(单位：℃)数据，折线图，知：

在A中，5号到11号的最低气温与日期之间，在一条直线附近，成上升趋势，即呈线性相关关系且为正相关，故A正确；

在B中，由图知，6号的最高气温与最低气温的差值最大，故B错误；

在C中，最高气温27°出现2次，次数最多，则众数为27℃，故C正确；

在D中，5号到15号的最低气温的极差小于15-3=12，最高气温的极差为27-15=12，故最高气温的极差大，故D错误

故选：AC．

例3.解：对于A：因为

y=x

在定义域内单调递增且

b>0

，所以

w

随着

x

的增大而增大，不合题意，故A错误；对于B：因为

y=lnx

在定义域内单调递增且

b>0

，所以

w

随着

x当解释变量

x→+∞

，

w→-∞

，不合题意，故B错误；对于C：因为

y=x

在定义域内单调递增且

b>0

，所以

w

随着

x当解释变量

x→+∞

，

w→-∞

，不合题意，故C错误；对于D：因为

y=e-x=(1e)x

在定义域内单调递减且

b>0

，所以

当解释变量

x→+∞

，

w→a

，故D正确；故选：D．例4.解：(1)根据散点图，选择模型y=ecx+d更适宜作为该地区未成年男性体重的平均值y与身高x的回归方程类型；

(2)对y=ecx+d两边同时取对数，可得lny=cx+d，即ω=cx+d，

所以c=28614300=0.02，则d=ω-cx=2.958-0.02×115=0.658，

所以y=e0.002x+0.658；练2-1.解：对于A、由经验回归方程的斜率为负可知样本(xi,yi)负相关，故A正确;

对于B、x=i=1100xi100=2×103，y=i=1100yi100=9.7，

代入y=-0.02x+a1练2-2.解：(1)t=15.010=1.5，y=110i=110yi=8.6，

b=i=110tiyi-10t yi=110ti2-10t2=143.0-10×1.5×8.627.5-10×1.52=2.8，

a=y-bt=8.6-2.8×1.5=4.4，

所以y关于t的线性回归方程为：y=2.8t+4.4，

所以y关于x例5.解：α=0.01时，χα=6.635，则大于χα时相关，不独立，

而χ2=6.147<χα=6.635，所以变量x与y独立，

但是这个结论犯错误的概率超过0.01，故A，B例6.解：(1)由直方图可知，购买甲车型的青年人数为

200(0.005+0.025+0.0325)×10=125

人，中年人数为

200-125=75

人，购买其他车型的青年人数为

(500-200)×33+1=225

人，中年人数为

可得2×2

列联表：青年中年合计甲车型12575200其他车型22575300合计350150500零假设H0因为

χ2=根据小概率值α=0.005的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为购买甲车型新能源汽车与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.005(2)用分层抽样的方法从购买甲车型的样本中抽取8人，则青年有

8×125200=5

人，中年有

8×75200=3

人，所以X的可能取值为1，PX=1=C51CPX=3=C53C得分布列：X1234P1331所以

E(X)=1×114练3-1.解：选项A：χ2独立性检验的零假设H0定义为“分类变量x与y独立”，符合基本概念，故A正确；

选项B：当α=0.1时，临界值x0.1=2.706，由于计算得到的χ2=2.974>2.706，

零假设不成立，即认为x与y不独立，且犯错误的概率不超过α=0.1，故B正确；

选项C：当α=0.01时，临界值x0.01=6.635，由于χ2=2.974<6.635，

零假设成立，无法认为x与y不独立，故C错误；

选项D：样本数据扩大10倍时，χ2公式中分子n(ad-bc)2变为10n×[100(ad-bc)]2=10n×10000(ad-bc)2，

分母变为104(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，因此新χ'2为原练3-2.解：(1)列联表补充为是否追星性别合计男生女生追星452570不追星102030合计5545100零假设H0:性别与中学生追星无关联，

x2=10