5.3 第1课时和差倍分问题 北师大版2025-2026学年数学（2024）八年级上册表格式教案

第1课时和差倍分问题课标摘录1.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程。2.掌握消元法,能解二元一次方程组。3.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。4.建立模型观念。素养目标1.能分析现实问题中的数量关系,建立方程组解决实际问题。2.经历和体验列二元一次方程组解决实际问题的过程,体会方程(组)是刻画数量关系的有效数学模型,发展模型思想和应用意识。3.通过解决中国古代数学书籍中的趣题,感受中华民族独特的数学智慧,增强文化自信和民族自豪感。教学重难点重点:根据等量关系列出二元一次方程组解决实际问题。难点:1.读懂古算题。2.根据题意找出等量关系,列出方程组。教学策略本着以学生自主学习为主体、教师引导点拨为主导的教学原则,采用“问题情境——建立模型——解释——应用与拓展”的模式展开教学。充分利用实际问题、古代的趣题,尽可能增加教学过程的趣味性、实践性;利用多媒体课件和实物等丰富学生的学习资源,生动活泼地展示所学内容;强调学生的动脑思考和主动参与,通过丰富多彩的集体讨论、小组活动,以合作学习促进自主探究。情境导入《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题:今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?(1)这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系?(2)你能根据(1)中的等量关系列出方程组吗?(3)你能解决这个有趣的问题吗?新知初探探究一鸡兔同笼问题活动1:解法一:假设推理解:如果都是鸡,35头应该有70只脚,实际有94只脚,多出24只脚,应该是兔子的,每只兔子多两只脚,所以兔子应该有12只,所以鸡有35-12=23(只)。解法二:用一元一次方程求解解:设笼中有鸡x只,则有兔(35-x)只,得2x+4(35-x)=94,解得x=23.所以35-x=12。所以笼中有鸡23只,兔12只。解法三:用二元一次方程组求解解:设笼中有鸡x只,兔y只,则依题意,列方程组,得x解这个方程组,得x=23,y=12。所以笼中有鸡23只归纳小结:用二元一次方程组解答的优点:相比小学的算术方法求解和一元一次方程求解,更快速简单;用二元一次方程解答的不足:计算较复杂,费时间。意图说明体验解决“鸡兔同笼”问题的不同思维过程,通过比较算术方法、列一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点,从而感受方程模型思想的必要性和优越性,并从列一元一次方程和列二元一次方程组的方法中,领会列二元一次方程组,思维方式的简洁明了性和在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性。探究二和差倍分问题活动2:尝试·思考列方程组求解下面的问题:若甲从乙处得到7个钱币,则甲拥有的钱币数是乙的5倍;若乙从甲处得到5个钱币,则乙拥有的钱币数是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥有多少个钱币?(选自意大利数学家斐波那契的《计算之书》)问题1:这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系?问题2:你能列方程解决这个问题吗?你是怎样做的?与同伴进行交流。活动3:今有甲、乙怀钱,各不知其数。甲得乙十钱,多乙余钱五倍。乙得甲十钱,适等。问甲、乙怀钱各几何?(选自《张丘建算经》)题目大意:甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱,那么甲的钱数比乙剩余的钱数多5倍;如果乙得到甲的10钱,那么两人钱数相等。甲、乙两人各带了多少钱?分析:题目涉及哪些数量关系?你能用含未知量的式子表示这些数量关系吗?解:设甲带的钱数为x,乙带的钱数为y,根据题意,得x解这个方程组,得x所以,甲带了38钱,乙带了18钱。活动4:思考·交流1.列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区别和联系?与同伴进行交流。2.类比一元一次方程解决实际问题的一般过程,请你总结归纳出运用二元一次方程组解决实际问题的步骤。二元一次方程组解决实际问题的基本步骤:①审:通过审题找出等量关系;②设:用字母表示题目中的两个未知数;③列:依据找到的等量关系,列出方程组;④解:解方程组,求出未知数的值;⑤验:检验所得的解是否是方程组的解,并且要检验其是否符合实际问题的意义;⑥答:回答题目中要解决的问题,注意单位名称。意图说明通过习题的讲解与练习进一步巩固列二元一次方程组解应用题的思想,以及掌握列二元一次方程组解应