数学基本考研试题及答案

数学基本考研试题及答案

一、单项选择题1.函数$f(x)=\frac{\sinx}{x}$在$x=0$处的间断点类型是（）A.可去间断点B.跳跃间断点C.无穷间断点D.振荡间断点答案：A2.设函数$y=f(x)$在点$x_0$处可导，且$f^\prime(x_0)=2$，则$\lim\limits_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{h}=$（）A.0B.2C.4D.不存在答案：C3.已知函数$f(x)$的一个原函数是$e^{-x^2}$，则$\intf^\prime(x)dx=$（）A.$e^{-x^2}+C$B.$-2xe^{-x^2}+C$C.$e^{-x^2}$D.$-2xe^{-x^2}$答案：B4.设$A$为$3$阶方阵，且$\vertA\vert=2$，则$\vert2A^{-1}\vert=$（）A.1B.2C.4D.8答案：C5.设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$线性无关，则下列向量组中线性无关的是（）A.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_3-\alpha_1$B.$\alpha_1+\alpha_2,\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1+2\alpha_2+\alpha_3$C.$\alpha_1+2\alpha_2,2\alpha_2+3\alpha_3,3\alpha_3+\alpha_1$D.$\alpha_1+\alpha_2+\alpha_3,\alpha_1-\alpha_2-\alpha_3,-\alpha_1+\alpha_2-\alpha_3$答案：C6.设随机变量$X$服从正态分布$N(1,4)$，已知$\Phi(1)=0.8413$，则$P(X\leq3)=$（）A.0.6826B.0.8413C.0.9772D.0.9987答案：B7.已知函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处可微，则在该点处函数$z=f(x,y)$（）A.必有极限B.偏导数一定不存在C.偏导数不一定连续D.以上都不对答案：C8.幂级数$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{x^n}{n}$的收敛半径是（）A.0B.1C.2D.$+\infty$答案：B9.设$D$是由$x=0$，$y=0$，$x+y=1$所围成的区域，则$\iint_Dxydxdy=$（）A.$\frac{1}{24}$B.$\frac{1}{12}$C.$\frac{1}{6}$D.$\frac{1}{3}$答案：A10.设$A,B$为两个随机事件，且$P(A)=0.6$，$P(B)=0.5$，$P(A\vertB)=0.8$，则$P(A\cupB)=$（）A.0.7B.0.8C.0.9D.1答案：C二、多项选择题1.下列函数中，在定义域内连续的函数有（）A.$y=\frac{1}{x}$B.$y=\vertx\vert$C.$y=\sinx$D.$y=\lnx$答案：BC2.设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上可导，则下列结论正确的有（）A.若$f(x)$在$[a,b]$上单调递增，则$f^\prime(x)\geq0$在$[a,b]$上恒成立B.若$f^\prime(x)\geq0$在$[a,b]$上恒成立，则$f(x)$在$[a,b]$上单调递增C.若$f(x)$在$[a,b]$上有最大值，则最大值点一定是驻点D.若$f(x)$在$[a,b]$上有极值点，则极值点一定是驻点答案：AB3.下列积分中，值为$0$的有（）A.$\int_{-\pi}^{\pi}x\cosxdx$B.$\int_{-\pi}^{\pi}x\sinxdx$C.$\int_{-1}^{1}\frac{x}{1+x^2}dx$D.$\int_{-1}^{1}(x^3+1)dx$答案：AC4.设$A,B$为$n$阶方阵，则下列等式成立的有（）A.$(AB)^T=B^TA^T$B.$(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$C.$\vertAB\vert=\vertA\vert\vertB\vert$D.$(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}$（当$A,B$都可逆时）答案：ACD5.设向量组$\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s$线性相关，则（）A.该向量组中至少有一个向量可以由其余向量线性表示B.该向量组中任意一个向量都可以由其余向量线性表示C.存在一组不全为零的数$k_1,k_2,\cdots,k_s$，使得$k_1\alpha_1+k_2\alpha_2+\cdots+k_s\alpha_s=0$D.该向量组的秩小于$s$答案：ACD6.设随机变量$X$的概率分布为$P(X=k)=\frac{c}{k(k+1)},k=1,2,\cdots$，则（）A.$c=1$B.$E(X)=2$C.$D(X)=2$D.$E(X^2)=6$答案：ABD7.对于二元函数$z=f(x,y)$，下列说法正确的有（）A.若函数在某点的偏导数存在，则函数在该点可微B.若函数在某点可微，则函数在该点连续C.若函数在某点可微，则函数在该点的偏导数存在D.若函数在某点的偏导数连续，则函数在该点可微答案：BCD8.下列级数中，收敛的级数有（）A.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}$B.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}$C.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{n}$D.$\sum\limits_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n\sqrt{n}}$答案：ACD9.设$D$是由$x^2+y^2\leq1$所围成的区域，则下列二重积分的值为$\pi$的有（）A.$\iint_D1dxdy$B.$\iint_D(x+1)dxdy$C.$\iint_D(y^2+1)dxdy$D.$\iint_D\frac{1}{\pi}dxdy$答案：AD10.设$A,B$为两个随机事件，且$P(A)\gt0$，$P(B)\gt0$，则下列说法正确的有（）A.若$A,B$相互独立，则$P(A\vertB)=P(A)$B.若$P(A\vertB)=P(A)$，则$A,B$相互独立C.若$A,B$互不相容，则$P(A\vertB)=0$D.若$P(A\vertB)=0$，则$A,B$互不相容答案：ABC三、判断题1.若函数$f(x)$在点$x_0$处极限存在，则$f(x)$在点$x_0$处连续。（）答案：错误2.函数$y=x^3$在$R$上是凸函数。（）答案：错误3.若$\intf(x)dx=F(x)+C$，则$\intf(ax+b)dx=\frac{1}{a}F(ax+b)+C(a\neq0)$。（）答案：正确4.若$A,B$为$n$阶方阵，且$AB=0$，则$\vertA\vert=0$或$\vertB\vert=0$。（）答案：正确5.向量组中任意两个向量线性无关，则整个向量组线性无关。（）答案：错误6.设随机变量$X$服从参数为$\lambda$的泊松分布，则$E(X)=D(X)=\lambda$。（）答案：正确7.函数$z=f(x,y)$在点$(x_0,y_0)$处的偏导数$f_x(x_0,y_0)$和$f_y(x_0,y_0)$都存在，则函数在该点可微。（）答案：错误8.幂级数$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的收敛区间就是其收敛域。（）答案：错误9.二重积分$\iint_Df(x,y)dxdy$的值与积分区域$D$的划分方式无关。（）答案：正确10.若$P(A)+P(B)\gt1$，则$A$与$B$一定不是互斥事件。（）答案：正确四、简答题1.求函数$f(x)=x^3-3x^2-9x+5$的单调区间与极值。答案：首先求导$f^\prime(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$。令$f^\prime(x)=0$，得驻点$x=-1$和$x=3$。当$x\lt-1$时，$f^\prime(x)\gt0$，函数单调递增；当$-1\ltx\lt3$时，$f^\prime(x)\lt0$，函数单调递减；当$x\gt3$时，$f^\prime(x)\gt0$，函数单调递增。所以极大值为$f(-1)=10$，极小值为$f(3)=-22$。单调递增区间为$(-\infty,-1)$和$(3,+\infty)$，单调递减区间为$(-1,3)$。2.计算不定积分$\int\frac{1}{x^2+4x+5}dx$。答案：先对分母进行配方，$x^2+4x+5=x^2+4x+4+1=(x+2)^2+1$。令$u=x+2$，$du=dx$，则原式变为$\int\frac{1}{u^2+1}du$。根据积分公式$\int\frac{1}{u^2+1}du=\arctanu+C$，将$u=x+2$代回，可得$\int\frac{1}{x^2+4x+5}dx=\arctan(x+2)+C$。3.已知矩阵$A=\begin{pmatrix}1&2&3\\0&1&2\\0&0&1\end{pmatrix}$，求$A$的逆矩阵$A^{-1}$。答案：利用初等行变换求逆矩阵。构造增广矩阵$(A\vertE)=\begin{pmatrix}1&2&3&1&0&0\\0&1&2&0&1&0\\0&0&1&0&0&1\end{pmatrix}$。进行初等行变换，第一行减去第二行的$2$倍，再减去第三行的$3$倍；第二行减去第三行的$2$倍。得到$\begin{pmatrix}1&0&0&1&-2&1\\0&1&0&0&1&-2\\0&0&1&0&0&1\end{pmatrix}$，所以$A^{-1}=\begin{pmatrix}1&-2&1\\0&1&-2\\0&0&1\end{pmatrix}$。4.设随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)=\begin{cases}kx^2,&0\leqx\leq1\\0,&其他\end{cases}$，求常数$k$及$E(X)$。答案：由概率密度函数的性质$\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx=1$，即$\int_{0}^{1}kx^2dx=1$。计算积分$\int_{0}^{1}kx^2dx=\frac{k}{3}x^3\big|_0^1=\frac{k}{3}=1$，解得$k=3$。$E(X)=\int_{-\infty}^{+\infty}xf(x)dx=\int_{0}^{1}3x\cdotx^2dx=\int_{0}^{1}3x^3dx=\frac{3}{4}x^4\big|_0^1=\frac{3}{4}$。五、讨论题1.讨论函数$f(x)=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1-x^{2n}}{1+x^{2n}}x$的连续性，若有间断点，指出其类型。答案：当$\vertx\vert\lt1$时，$\lim\limits_{n\to\infty}x^{2n}=0$，则$f(x)=x$；当$\vertx\vert=1$时，$f(x)=0$；当$\vertx\vert\gt1$时，$\lim\limits_{n\to\infty}x^{2n}=+\infty$，$f(x)=-x$。即$f(x)=\begin{cases}x,&\vertx\vert\lt1\\0,&\vertx\vert=1\\-x,&\vertx\vert\gt1\end{cases}$。在$x=\pm1$处，左右极限存在但不相等，所以$x=\pm1$是跳跃间断点，函数在除这两点外的其他点连续。2.讨论向量组$\alpha_1=(1,1,1),\alpha_2=(1,2,3),\alpha_3=(1,3,t)$的线性相关性。答案：构造矩阵$A=\begin{pmatrix