2025年人教版9年级数学上册《一元二次方程》综合训练试卷（含答案详解版）

人教版9年级数学上册《一元二次方程》综合训练考试时间：90分钟；命题人：教研组考生注意：1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。第I卷（选择题30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、若关于x的一元二次方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有实数根，则k的取值范围为（）A．且k≠2 B．k≥0且k≠2 C． D．k≥02、我们知道方程x2＋2x-3＝0的解是x1＝1，x2＝-3，现给出另一个方程(2x＋3)2＋2(2x＋3)-3＝0，它的解是()．A．x1＝1，x2＝3 B．x1＝1，x2＝-3C．x1＝-1，x2＝3 D．x1＝-1，x2＝-33、若实数a（a≠0）满足a﹣b＝3，a+b+1＜0，则方程ax2+bx+1＝0根的情况是（

）A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根C．无实数根 D．有两个实数根4、某校组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式是（

）A． B．C． D．5、某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（

）A．5 B．6 C．7 D．86、若菱形两条对角线的长度是方程的两根，则该菱形的边长为（

）A． B．4 C． D．57、用配方法解一元二次方程，配方正确的是（

）．A． B．C． D．8、如图，有一张矩形纸片，长10cm，宽6cm，在它的四角各减去一个同样的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体纸盒．若纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，求剪去的小正方形的边长．设剪去的小正方形边长是xcm，根据题意可列方程为（）A．10×6﹣4×6x=32 B．（10﹣2x）（6﹣2x）=32C．（10﹣x）（6﹣x）=32 D．10×6﹣4x2=329、已知关于x的一元二次方程(m－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（

）A．m＜2 B．m≤2 C．m＜2且m≠1 D．m≤2且m≠110、x=是下列哪个一元二次方程的根（）A．3x2+5x+1=0 B．3x2﹣5x+1=0 C．3x2﹣5x﹣1=0 D．3x2+5x﹣1=0第Ⅱ卷（非选择题70分）二、填空题（10小题，每小题4分，共计40分）1、如图，在一块长12m，宽8m的矩形空地上，修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条平行)，剩余部分栽种花草，且栽种花草的面积77m²，设道路的宽为xm，则根据题意，可列方程为_______.2、若关于x的方程x2-x+sinα=0有两个相等的实数根，则锐角α的度数为___．3、已知3人患流感，经过两轮传染后，患流感总人数为108人，则平均每人每轮感染_____个人．4、已知关于x的一元二次方程（a﹣3）x2﹣4x+3＝0有实数根，则a的值为__．5、关于x的方程有两个实数根．且．则_______．6、中国“一带一路”倡议给沿线国家带来很大的经济效益．若沿线某地区居民2017年人均收入300美元，预计2019年人均收入将达到432美元，则2017年到2019年该地区居民年人均收入增长率为______________.7、对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为：a※b＝a2－ab，例如1※3＝12－1×3．若x※4＝0，则x＝___．8、关于x的方程x2-kx-2k=0的两个根的平方和为12，则k=________．9、已知a，b是一元二次方程x2+x﹣1＝0的两根，则3a2﹣b的值是_____．10、若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0有一个根为0，则m的值为_____．三、解答题（5小题，每小题6分，共计30分）1、在美丽乡村建设中，某县通过政府投入进行村级道路硬化和道路拓宽改造.（1）原计划是今年1至5月，村级道路硬化和道路拓宽的里程数共50千米，其中道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，那么，原计划今年1至5月，道路硬化的里程数至少是多少千米？（2）到今年5月底，道路硬化和道路拓宽的里程数刚好按原计划完成，且道路硬化的里程数正好是原计划的最小值.2017年通过政府投入780万元进行村级道路硬化和道路拓宽的里程数共45千米，每千米的道路硬化和道路拓宽的经费之比为1:2，且里程数之比为2:1，为加快美丽乡村建设，政府决定加大投入.经测算：从今年6月起至年底，如果政府投入经费在2017年的基础上增加10a%（a>0），并全部用于道路硬化和道路拓宽，而每千米道路硬化、道路拓宽的费用也在2017年的基础上分别增加a%，5a%，那么道路硬化和道路拓宽的里程数将会在今年1至5月的基础上分别增加5a%，8a%，求a的值.2、解方程：．3、在平面直角坐标系中，直线在与直钱交于点A，直线与x轴交于点B．(1)求点B的坐标（用含k的代数式表示）；(2)横、纵坐标都是整数的点叫做整点．结合函数图象回答：i)当时，直接写出△AOB内部的整点个数；ii)若△AOB内部没有整点，直接写出k的取值范围．4、水果批发市场有一种高档水果，如果每千克盈利(毛利)10元，每天可售出600kg．经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20kg．(1)若以每千克能盈利17元的单价出售，求每天的总毛利润为多少元；(2)现市场要保证每天总毛利润为7500元，同时又要使顾客得到实惠，求每千克应涨价多少元；(3)现需按毛利润的10%缴纳各种税费，人工费每日按销售量每千克支出1.5元，水电房租费每日300元．若每天剩下的总纯利润要达到6000元，求每千克应涨价多少元．5、解方程（1）（x+1）2﹣64=0（2）x2﹣4x+1=0（3）x2+2x－2＝0（配方法）（4）x2-2x-8=0-参考答案-一、单选题1、A【解析】【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于k的一元一次不等式组，解之即可得出k的取值范围．【详解】解：∵关于x的方程（k﹣2）x2﹣2kx+k＝6有两个实数根，∴，解得：且k≠2，故选：A．【考点】本题考查了一元二次议程的定义及根的判别式，解题的关键是对定义的掌握及根的判别式的应用．2、D【解析】【分析】将作为一个整体，根据题意，即可得到的值，再通过求解一元一次方程，即可得到答案．【详解】根据题意，得：或∴或故选：D．【考点】本题考查了一元一次方程、一元二次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元二次方程的性质，从而完成求解．3、B【解析】【分析】先求出根的判别式，再根据已知条件判断正负，即可判断选项．【详解】解：在方程ax2+bx+1＝0中，△=b2﹣4a，∵a﹣b＝3，∴a＝3+b，代入a+b+1＜0和b2﹣4a得，b＜﹣2，b2﹣4（3+b）=b2﹣4b﹣12=(b+2)(b﹣6)∵b+2＜0，b-6＜0，∴(b+2)(b-6)＞0，所以，原方程有有两个不相等的实数根；故选：B．【考点】本题考查了一元二次方程根的判别式和因式分解，解题关键是求出根的判别式，利用因式分解判断值的正负．4、B【解析】【分析】关系式为：球队总数×每支球队需赛的场数÷2=4×7，把相关数值代入即可．【详解】解：每支球队都需要与其他球队赛（x-1）场，但2队之间只有1场比赛，所以可列方程为：．故答案为：B．【考点】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解决本题的关键是得到比赛总场数的等量关系，注意2队之间的比赛只有1场，最后的总场数应除以2．5、B【解析】【分析】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可．【详解】解：设有x个班级参加比赛，，，解得：（舍），则共有6个班级参加比赛，故选：B．【考点】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．6、A【解析】【分析】先求出方程的解，即可得出AC＝4，BD＝2，根据菱形的性质求出AO和OD，根据勾股定理求出AD即可．【详解】解：解方程x2−6x＋8＝0得：x＝4或2，即AC＝4，BD＝2，∵四边形ABCD是菱形，∴∠AOD＝90°，AO＝OC＝2，BO＝DO＝1，由勾股定理得：AD＝＝，故选：A．【考点】本题考查了解一元二次方程和菱形的性质，能求出方程的解是解此题的关键．7、A【解析】【分析】按照配方法的步骤进行求解即可得答案．【详解】解：，移项得，二次项系数化1的，配方得，即，故选：A．【考点】本题考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤为（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．8、B【解析】【详解】分析：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据长方形的面积公式结合纸盒的底面（图中阴影部分）面积是32cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解．详解：设剪去的小正方形边长是xcm，则纸盒底面的长为（10−2x）cm，宽为（6−2x）cm，根据题意得：（10−2x）（6−2x）＝32．故选B．点睛：本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．9、D【解析】【分析】根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围．【详解】解：因为关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有实数根，所以b2－4ac＝22－4(m－1)×1≥0，解得m≤2．又因为(m－1)x2＋2x＋1＝0是一元二次方程，所以m－1≠0．综合知，m的取值范围是m≤2且m≠1，因此本题选D．【考点】本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，根据二次项系数非零及根的判别式△≥0，找出关于m的一元一次不等式组是解题的关键．10、D【解析】【分析】根据一元二次方程的求根公式进行求解.【详解】一元二次方程的求根公式是，对四个选项一一代入求根公式，正确的是D.所以答案选D.【考点】本题的解题关键是掌握一元二次方程求根公式.二、填空题1、（12-x）（8-x）=77【解析】【分析】道路外的四块土地拼到一起正好构成一个矩形，矩形的长和宽分别是(12-x)和(8-x)，根据矩形的面积公式，列出关于道路宽的方程求解．【详解】道路的宽为x米．依题意得：(12-x)(8-x)=77，故答案为(12-x)(8-x)=77.【考点】本题考查了一元二次方程的应用，关键将四个矩形用恰当的方式拼成大矩形列出等量关系．2、30°##30度【解析】【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根，∴解得：

∴锐角α的度数为30°．故答案为∶30°3、5【解析】【分析】设1个人传染x人，第一轮共传染（x+1）人，第二轮共传染（x+1）2人，由此列方程解答，再进一步求问题的答案．【详解】解：设每个人传染x人，根据题意列方程得，3（x+1）2=108，解得：x1=5，x2=8（不合题意，舍去），故答案为：5．【考点】此题考查了一元二次方程的应用，解答此题的关键是找出题目中蕴含的数量关系：1个人传染x人，n轮共传染（x+1）n人．4、且【解析】【分析】由根的判别式和一元二次方程的定义求出的取值范围即可得出答案．【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，△，且，，解得，故答案为：且．【考点】本题考查了一元二次方程根的情况与根的判别式△的关系：解题的关键是掌握（1）△方程有两个不相等的实数根；（2）△方程有两个相等的实数根；（3）△方程没有实数根；也考查了一元二次方程的解法．5、3【解析】【分析】先根据一元二次方程的根与系数的关系可得，再根据可得一个关于的方程，解方程即可得的值．【详解】解：由题意得：，，，化成整式方程为，解得或，经检验，是所列分式方程的增根，是所列分式方程的根，故答案为：3．【考点】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系、解分式方程，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．6、20【解析】【分析】设该地区人均收入增长率为x，根据2017年人均收入300美元，预计2019年人均收入将达到432美元，可列方程求解.【详解】解：设该地区人均收入增长率为x，则300×（1+x）2=432，∴（1+x）2=1.44，解得x=0.2（x=-2.2舍），∴该地区人均收入增长率为20％.故本题答案应为：20％.【考点】一元二次方程在实际生活中的应用是本题的考点，根据题意列出方程是解题的关键.7、0或4【解析】【分析】先认真阅读题目，根据题意得出方程，解方程即可．【详解】解：※，，，，，或4，故答案为：0或4．【考点】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能得出一元二次方程，题目比较典型，难度适中．8、2【解析】【分析】设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x1、x2，根据根与系数的关系可求出x1+x2=k，x1•x2=-2k．再利用完全平方式可知，即可得到方程，解出方程．再利用根的判别式求出k的取值范围，舍去不合题意的解即可．【详解】设关于x的方程x2-kx-2k=0的两实数根分别为x1、x2，则x1+x2=k，x1•x2=-2k．∵原方程两实数根的平方和为12，∴，∴，即．解得：，．∵方程有两实数根，∴，即，∴或．∴舍去．综上．故答案为：2．【考点】本题考查一元二次方程根的判别式与根与系数的关系，熟记一元二次方程根的判别式和根与系数的关系的公式是解答本题的关键．9、8．【解析】【分析】由根与系数的关系及根的定义可知a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，据此对3a2﹣b进行变形计算可得结果.【详解】解：由题意可知：a+b＝﹣1，ab＝﹣1，a2+a＝1，∴原式＝3（1﹣a）﹣b+＝3﹣3a﹣b+＝3﹣2a﹣（a+b）+＝3﹣2a+1+＝4﹣2a+＝4+＝4+＝4+4＝8，故答案为：8．【考点】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系及根的定义，利用性质对式子进行降次变形是解题关键.10、﹣1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得到m-1≠0；根据方程的解的定义得到m2-1=0，由此可以求得m的值．【详解】解：把x＝0代入（m﹣1）x2+x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m=±1，而m﹣1≠0，所以m＝﹣1．故答案为﹣1．【考点】本题考查一元二次方程的解的定义和一元二次方程的定义．注意：一元二次方程的二次项系数不为零．三、解答题1、（1）40千米；（2）10.【解析】【分析】（1）设道路硬化的里程数是x千米，根据道路硬化的里程数至少是道路拓宽的里程数的4倍，列不等式进行求解即可得；（2）根据题意先求出2017年道路硬化、道路拓宽的里程数以及每千米的费用，然后表示出今年6月起道路硬化、道路拓宽的经费及里程数，根据投入比2017年增加10%，列方程进行求解即可得.【详解】（1）设道路硬化的里程数是x千米，则由题意得：x≥4(50-x)，解不等式得：x≥40，答：道路硬化的里程数至少是40千米；（2）由题意得：2017年：道路硬化经费为：13万/千米，里程为：30km道路拓宽经费为：26万/千米，里程为：15km∴今年6月起：道路硬化经费为：13（1+a%）万/千米，里程数：40（1+5a%）km，道路拓宽经费为：26（1+5a%）万/千米，里程数：10（1+8a%）km，又∵政府投入费用为：780（1+10a%）万元，∴列方程：13(1+a%)×40(1+5a%)+26(1+5a%)×10(1+8a%)=780(1+10a%)，令a%=t，方程可整理为：13(1+t)×40(1+5t)+26(1+5t)×10(1+8t)=780(1+10t)，520(1+t)(1+5t)+260(1+5t)(1+8t)=780(1+10t)，化简得：，2(1+t)(1+5t)+(1+5t)(1+8t)=3(1+10t)，10-t=0，t(10t-1)=0，∴（舍去），，∴综上所述：a=10，答：a的值为10.【考点】本题考查一元一次不等式的应用，一元二次方程的应用，解决本题的关键是将道路硬化，道路拓宽的里程数及每千米需要的经费求出.2、，【解析】【分析】先去括号、整理，将方程变形为一般形式，再求出，代入求根公式即可解答．【详解】解：整理得：，，，，．【考点】本题考查一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的解法，本题属于基础题型．3、(1)(2)i)1个；ii)或【解析】【分析】(1)令中即可求出点B的坐标；(2)i)当k=3时，求出交点坐标A、B(3,0)，画出△AOB的图像即可确定整点个数；ii)分k＞0、k=0、-1<k<0、k<-1分类讨论是否在△AOB存在整点即可．(1)解：令中，∴，∴B的坐标为；(2)解：联立方程组，解得，∴A的坐标为，i)当时，A的坐标为，B点坐标为(3,0)，在直角坐标系中画出△AOB的图像如下所示：在△AOB的内部，横、纵坐标都是整数的点只有(1，1)，∴整点个数为1个；ii)A的坐标为，B点坐标为(，当时，点A必在第一象限，点B在x的正半轴上，且A的横坐标中分子k小于分母k+1，即A点横坐标必在0到1之间，如下图所示：当AB刚好经过点C(1,1)时，△AOB内部刚好没有整点，若B再往x轴正方向移动，则会将整点(1,1)包含在△AOB内部，此时A、C、B三点共线，设直线AB解析式为：y=mx+n，代入C(1,1)和B(k,0),∴，解出，∴直线AB解析式为：，代入点A，∴，整理得到：解得：，代入检验是原方程的解，∴时△AOB内部刚好没有整点；当时，构不成△AOB，不符合题意；当时，直线为第二、四象限的角平分线，必经过整点，而直线相当于是将直线往下平移个单位，由于，故往下平移的距离不足1，此时显然△AOB内部没有整点，如下图所示；∵直线在与直钱交于点A，∴；当时，函数与y轴交于点(0，k)，此时整点(0,-1)必在△AOB内部，故不满足题意；综上所述，的取值范围为：或．【考点】本题考查了一次函数的交点坐标求法、一次函数与坐标轴的交点坐标及新定义等，对于新定义题型，读懂题意是解题的关键．4、(1)每天的总毛利润为7820元；(2)每千克应涨价5元；(3)每千克应涨价15元或元【解析】【分析】（1）设每千克盈利x