2025年湖南省湘潭市高考数学适应性试卷（5月份）【附答案】

第1页（共1页）2025年湖南省湘潭市高考数学适应性试卷（5月份）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则A． B．，1，2， C．，2， D．，0，1，2，2．某市智能机器人比赛项目有29位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前15名的同学才能进入决赛．若某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这29位同学的预赛积分的A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差3．已知椭圆的离心率为，则的短轴长为A． B．1 C．2 D．44．展开式中项的系数为A．10 B． C． D．55．记，为实数，设甲：，乙：，则A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件6．已知函数在区间上单调，则的取值范围为A． B． C． D．7．现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为A． B． C． D．8．设函数的两个极值点分别为，．则过，，，两点的直线斜率为A． B． C． D．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。（多选）9．（6分）已知双曲线，则A．的实轴长为6 B．的渐近线方程为 C．的焦点坐标为 D．的焦点到其渐近线的距离为（多选）10．（6分）定义域为的函数满足：①，②的图象过点，则A． B．为偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．（多选）11．（6分）记圆是△的外接圆，且，，，则A． B． C．△的面积为 D．圆的周长为三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．复数的实部与虚部之和为．13．已知锐角满足，则．14．记为数列的前项和，且，2，，若每个数字出现的概率相同，则是奇数的概率为．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）为了解正在研发的新产品在岁和岁两个年龄段青年群体中的受众面，某科技公司发布问卷调查，回收整理了400份问卷并整理数据，得到如下列联表：感兴趣不感兴趣合计岁16040200岁70合计290110400（1）求表中，的值；（2）分别计算岁和岁青年群体对新产品感兴趣的频率；（3）根据小概率值的独立性检验，能否认为对新产品感兴趣与青年的年龄段有关？附：0.050.010.0013.8416.63510.82816．（15分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）若，求的取值范围．17．（15分）如图，矩形纸片中，，，将点沿对角线折叠至点，使得平面平面，形成三棱锥．（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值．18．（17分）已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于，两点，点在第一象限，过点作直线的垂线，交轴正半轴于点，直线交直线于点．记△，△，△的面积分别为，，．（1）求的准线方程；（2）证明：；（3）求的最小值及此时点的坐标．19．（17分）已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且，，，是公差为1的等差数列，，，是公差为的等差数列，，，，是公差为的等差数列，以此类推．（1）当，时，求；（2）求的最小值（用含的代数式表示）；（3）记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含，，，，的代数式表示）．

2025年湖南省湘潭市高考数学适应性试卷（5月份）参考答案与试题解析一．选择题（共8小题）题号12345678答案DABCABDA二．多选题（共3小题）题号91011答案ACDACBCD一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，则A． B．，1，2， C．，2， D．，0，1，2，解：由，可得，故，故，0，1，2，．故选：．2．某市智能机器人比赛项目有29位同学参赛，他们在预赛中所得的积分互不相同，只有积分在前15名的同学才能进入决赛．若某同学知道自己的积分后，要判断自己能否进入决赛，则他只需要知道这29位同学的预赛积分的A．中位数 B．众数 C．平均数 D．极差解：由中位数的概念可知，29位同学的积分，中位数是第15名，所以知道中位数即可判断是否在前15．故选：．3．已知椭圆的离心率为，则的短轴长为A． B．1 C．2 D．4解：因为椭圆的离心率为，所以，即，所以，则椭圆的焦点在轴上，因此，解得，故椭圆的短轴长为．故选：．4．展开式中项的系数为A．10 B． C． D．5解：二项式的展开式的通项公式为，，1，，5，令，解得，故展开式中项的系数为．故选：．5．记，为实数，设甲：，乙：，则A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解：令，由可得，即，且，可知在定义域上递增，则等价于，显然可以推出，即充分性成立，但不能推出，必要性不成立，所以甲是乙的充分条件但不是必要条件．故选：．6．已知函数在区间上单调，则的取值范围为A． B． C． D．解：函数在区间上单调，因为，令，则，因为，所以．故原条件等价于已知函数在区间上单调，而函数在区间上单调，所以，解得，又因为，故．故选：．7．现有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，则该平面在木料上的截面面积为A． B． C． D．解：已知有一块棱长为2的正四面体木料，用平行于该木料底面的一个平面将木料截成两部分，若这两部分的表面积相等，由正四面体木料知，底面为边长为2的正三角形，故底面面积为，因为平面平行于该木料底面，故该平面在木料上的截面也为正三角形，设该正三角形与底面的相似比为，则该平面在木料上的截面面积为，截下部分一部分为小四面体，一部分为正三棱台，其中小四面体部分的表面积即，正三棱台表面积为，故，解得，所以该平面在木料上的截面面积为．故选：．8．设函数的两个极值点分别为，．则过，，，两点的直线斜率为A． B． C． D．【解答】解；因为，则，又函数的两个极值点分别为，，所以，满足，，也即，，而，同理，故过，，，两点的直线斜率．故选：．二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，选错得0分。（多选）9．（6分）已知双曲线，则A．的实轴长为6 B．的渐近线方程为 C．的焦点坐标为 D．的焦点到其渐近线的距离为解：已知双曲线，对于，根据双曲线定义，，，故的实轴长为6，故正确；对于，由有解得的渐近线方程为，故错误；对于，，故，易得的焦点坐标为，故正确；对于，由对称性，不妨取焦点到渐近线的距离为，故正确．故选：．（多选）10．（6分）定义域为的函数满足：①，②的图象过点，则A． B．为偶函数 C．的图象关于点中心对称 D．解：因为，对于，令，，则（1）（1），又因为的图象过点，所以（1），所以（1）（1），解得，故正确；对于，令，则，由可知，所以，所以，故为奇函数，故错误；对于，令，则（1）（1），即的图象关于点中心对称，故正确；对于，由于且，则有，即，所以（2）（1），（3）（2），，，故错误．故选：．（多选）11．（6分）记圆是△的外接圆，且，，，则A． B． C．△的面积为 D．圆的周长为解：对于，因为圆是△的外接圆，所以是△的外心，即点在的中垂线上，若符合，则也应在的中垂线上，故，由题设知，故错误；对于，因为是△的外心，所以在的中垂线上，所以，故正确；对于，对等式两边同时乘以，可得，所以，解得，故，，所以△的面积为，故正确；对于，由余弦定理可得，解得，由正弦定理，，所以圆的半径为，其周长为，故正确．故选：．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12．复数的实部与虚部之和为4．解：因为，所以的实部为1，虚部为3，和为4．故答案为：4．13．已知锐角满足，则．解：因为，所以或（舍去），可得．故答案为：．14．记为数列的前项和，且，2，，若每个数字出现的概率相同，则是奇数的概率为．解：记事件为“为奇数”，设事件为“为奇数”，由题可知，当为奇数时，若，则仍然为奇数，若为偶数，或3时，仍然为奇数，所以（B）（A），（其中表示的概率，，2，，由题意可知，，设（A），（B），则，所以，又因为，所以数列是首项为，公比为的等比数列，所以，即，即（A），所以是奇数的概率为．故答案为：．四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15．（13分）为了解正在研发的新产品在岁和岁两个年龄段青年群体中的受众面，某科技公司发布问卷调查，回收整理了400份问卷并整理数据，得到如下列联表：感兴趣不感兴趣合计岁16040200岁70合计290110400（1）求表中，的值；（2）分别计算岁和岁青年群体对新产品感兴趣的频率；（3）根据小概率值的独立性检验，能否认为对新产品感兴趣与青年的年龄段有关？附：0.050.010.0013.8416.63510.828解：（1）根据题意，由列联表可得，；（2）由列联表中数据可知，岁青年群体对新产品感兴趣的频率为，岁青年群体对新产品感兴趣的频率为；（3）列联表如下：感兴趣不感兴趣合计岁16040200岁13070200合计290110400零假设：对新产品感兴趣与青年的年龄段无关联，则，根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为对新产品感兴趣与青年的年龄段有关．16．（15分）已知函数．（1）求的单调区间；（2）若，求的取值范围．解：（1）根据题意可知：函数的定义域为，且导函数，当时，由得；由得；当时，，可知在上单调递减，可知在上单调递增，在上单调递减．综上所述：当时，的单调减区间为，无单调增区间；当时，的单调减区间为，单调增区间为．（2）由已知得在上恒成立，等价于在上恒成立，设，，则，设，，可知在上单调递减，且（1），当时，，即；当时，，即；可知在上单调递增，在上单调递减，则（1），可得，即的取值范围为，．17．（15分）如图，矩形纸片中，，，将点沿对角线折叠至点，使得平面平面，形成三棱锥．（1）证明：平面平面；（2）求与平面所成角的正弦值．【解答】（1）证明：翻折前，，翻折后，，因为平面平面，平面，平面平面，所以平面，又平面，所以平面平面．（2）解：由（1）可得，在△内，过点作，垂足为，因为，，，所以△△，所以，即，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以，又，，平面，所以平面，在△中，，因为，所以，所以，，以点为原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，则，0，，，6，，，0，，，所以，，，设平面的法向量为，则，即，取，则，设与平面所成角为，则，故直线与平面所成角的正弦值为．18．（17分）已知为抛物线的焦点，点满足，其中为坐标原点，过的直线交于，两点，点在第一象限，过点作直线的垂线，交轴正半轴于点，直线交直线于点．记△，△，△的面积分别为，，．（1）求的准线方程；（2）证明：；（3）求的最小值及此时点的坐标．解：（1）因为点满足，所以，解得，则抛物线的方程为，准线方程为；（2）证明：设直线的方程为，，，，，联立，消去并整理得，由韦达定理得，所以，由抛物线定义得，，所以，得证；（3）令，此时，代入抛物线方程得，，即，，，因为，且直线的斜率，所以直线，即，令，解得，由，，可得直线，联立，解得，所以，设，，可得，当时，，，所以当时，，单调递减；当时，，单调递增．所以当时，取到最小值，此时．19．（17分）已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且，，，是公差为1的等差数列，，，是公差为的等差数列，，，，是公差为的等差数列，以此类推．（1）当，时，求；（2）求的最小值（用含的代数式表示）；（3）记除以的整数部分为，余数为，求的通项公式（用含，，，，的代数式表示）．解：（1）已知为正整数且，为非零实数，数列满足，且，，，是公差为1的