《21.2 二次根式的乘除》重难点精讲精练

21.2二次根式的乘除【知识梳理】知识点一、二次根式的乘法及积的算术平方根

1.乘法法则：（≥0，≥0）,即两个二次根式相乘，根指数不变，只把被开方数相乘.

要点诠释：

(1).在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中a、b都必须是非负数；(在本章中，如果没有特别说明，所有字母都表示非负数).

(2).该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：≥0，≥0，…..≥0）.

(3).若二次根式相乘的结果能写成的形式，则应化简，如.2.积的算术平方根:

（≥0，≥0）,即积的算术平方根等于积中各因式的算术平方根的积.

要点诠释：

(1)在这个性质中，a、b可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足≥0，≥0,才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等式右边就没有意义，等式也就不能成立了；(2)二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有形式的a移到根号外面.

知识点二、二次根式的除法及商的算术平方根

1.除法法则：（≥0，>0）,即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除.。

要点诠释：

(1)在进行二次根式的除法运算时，对于公式中被开方数a、b的取值范围应特别注意，≥0，>0，因为b在分母上，故b不能为0.

(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.

2.商的算术平方根的性质:

（≥0，>0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

要点诠释：

运用此性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题.

知识点三、最简二次根式

（1）被开方数不含有分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.满足这两个条件的二次根式叫最简二次根式.要点诠释：二次根式化成最简二次根式主要有以下两种情况：（1)被开方数是分数或分式；（2）含有能开方的因数或因式.【精讲精练】考点1:二次根式的乘除法【典例分析01】（2022春•牟平区期中）若成立，则m的值可以是（）A．﹣4 B．2 C．4 D．5【思路引导】根据二次根式有意义的条件进行分析即可．【规范解答】解：∵成立，∴m+3≥0，4﹣m＞0，解得m≥﹣3，m＜4，即﹣3≤m＜4，故符合的只有2．故选：B．【考察注意点】本题主要考查二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．【典例分析02】（2022秋•宁强县期末）计算×的结果是2．【思路引导】利用二次根式的乘法公式，直接计算即可．【规范解答】解：原式＝＝＝2．故答案为：2．【考察注意点】本题考查了二次根式的乘法，题目比较简单，掌握×＝是解决本题的关键．【随堂演练01】（2022春•牟平区期中）（1）把根式化成最简二次根式．（2）计算：．【随堂演练02】（2022春•宁武县期末）计算：（1）；（2）．考点2：分母有理化【典例分析03】（2022春•广西月考）的倒数是（）A． B． C． D．【思路引导】根据倒数的定义解答即可．【规范解答】解：+1的倒数是＝﹣1．故选：C．【考察注意点】本题考查的是实数，熟知倒数的定义是解题的关键．【典例分析04】（2022秋•徐汇区期末）计算：＝．【思路引导】分子分母同乘以﹣，再化简即可．【规范解答】解：＝＝．故答案为：．【考察注意点】主要考查二次根式的有理化．根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化．二次根式有理化主要利用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子．即一项符号和绝对值相同，另一项符号相反绝对值相同．【随堂演练03】（2022春•乳山市期末）【材料阅读】把分母中的根号化去，将分母转化为有理数的过程，叫做分母有理化．例如：化简．解：．上述化简的过程，就是进行分母有理化．【问题解决】（1）化简的结果为：2+；（2）猜想：若n是正整数，则进行分母有理化的结果为：﹣；（3）若有理数a，b满足，求a，b的值．【随堂演练04】（2022春•香河县期中）若M，N分别代表两个多项式，且M+N＝2a2，M﹣N＝2ab．（1）求多项式M和N．（2）当a＝+1，b＝﹣1时，求分式的值．考点3：同类二次根式【典例分析05】（2022秋•南关区校级期末）下列二次根式中与是同类二次根式的是（）A． B． C． D．【思路引导】判断一个二次根式是否为最简二次根式主要方法是根据最简二次根式的定义进行，或直观地观察被开方数的每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2，且被开方数中不含有分母，被开方数是多项式时要先因式分解后再观察．【规范解答】解：A、＝2，与不是同类二次根式；B、与不是同类二次根式；C、与是同类二次根式，正确；D、与不是同类二次根式；故选：C．【考察注意点】本题考查了最简二次根式的定义．在判断最简二次根式的过程中要注意：（1）在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数，就不是最简二次根式；（2）在二次根式的被开方数中的每一个因式（或因数），如果幂的指数大于或等于2，也不是最简二次根式．【典例分析06】（2022春•涧西区期中）下列二次根式中，与可以合并的是（）A． B． C． D．【思路引导】根据二次根式的性质把各个二次根式化简，根据同类二次根式的概念判断即可．【规范解答】解：A、＝＝2，与不能合并，本选项不符合题意；B、＝，与可以合并，本选项符合题意；C、＝＝3，与不能合并，本选项不符合题意；D、＝＝，与不能合并，本选项不符合题意；故选：B．【考察注意点】本题考查的是同类二次根式的概念、二次根式的性质，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．【随堂演练05】（2022秋•宁