2.3.1全称量词命题与存在量词命题学案-高一上学期数学苏教版

2.3.1全称量词命题与存在量词命题1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义．2.能正确地利用全称量词与存在量词表达数学对象．活动一理解全称量词与存在量词的概念思考1►►►下列语句中用到了“任意”“存在”“有的”等词，它们表示什么含义？(1)对任意实数x，都有x2≥0；(2)存在有理数x，使x2－2＝0；(3)有的矩形是菱形；(4)所有的质数都是奇数；(5)有一个素数是偶数．思考2►►►以上五个语句可以分成几类？每一类有什么特征？思考3►►►常见的量词有哪些？思考4►►►用符号表示思考1中语句(1)(2)(3).全称量词所有、任意、一切、每一个、任意一个数学符号∀x全称量词命题含有全称量词的命题一般形式∀x∈M，p(x)存在量词存在、至少有一个、有一个、有些、有的数学符号∃x存在量词命题含有存在量词的命题一般形式∃x∈M，p(x)活动二掌握全称量词与存在量词的简单应用例1用全称量词与存在量词表示下列语句：(1)有理数都能写成分数形式；(2)n边形的内角和等于(n－2)×180°；(3)存在一个实数x，使eq\f(1,x－1)＝0；(4)有的正数比它的倒数小．活动三全称量词命题和存在量词命题的真假判断例2判断下列命题的真假：(1)∃x∈R，x2>x；(2)∀x∈R，x2>x；(3)∃x∈Q，x2－8＝0；(4)∀x∈R，x2＋2>0.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．(1)∀x∈N，2x＋1是奇数；(2)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0；(3)对任意实数a，|a|＞0；(4)存在一个角α，使sinα＝eq\f(1,2).思考5►►►如何判断存在量词命题和全称量词命题的真假？思考6►►►给定的集合对存在量词命题、全称量词命题的真假有没有影响？试举例说明．

活动四掌握量词的综合应用例3已知命题p：“∀x∈[1，2]，x2－a≥0”与命题q：“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”都是真命题，则实数a的取值范围是____________．例4(1)是否存在实数m，使不等式m＋(x2－2x＋5)＞0对于任意x∈R恒成立，并说明理由；(2)若存在实数x，使不等式m－(x2－2x＋5)＞0成立，求实数m的取值范围．1.(2024南阳方城一中开学考试)下列命题中，是全称量词命题的是()A.存在一个实数的平方是负数B.每个四边形的内角和都是360°C.至少有一个整数x，使得x2＋3x是质数D.存在一个实数x，使得x2＝x2.(2024项城第一高级中学月考)已知命题p：∃x∈R，x2＋4x＋a＝0，若p是真命题，则实数a的取值范围是()A.(0，4)B.(－∞，4]C.(－∞，0)D.[4，＋∞)3.(多选)(2024盐城期中)下列命题中，是真命题的有()A.∃x∈R，x2<xB.∀x∈R，x2<xC.∃x∈Q，x2－3＝0D.∀x∈R，x2＋1>04.若命题p：“∀x∈R，x2－2x＋m≠0”是真命题，则实数m的取值范围是________．5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断其真假．(1)两个偶数一定有公约数；(2)实数的平方和大于0；(3)有一个实数，它的任何正整数次幂为0；(4)两个负数的乘积为正数．

2.3.1全称量词命题与存在量词命题【活动方案】思考1：语句(1)使用了“任意”，表示对每一个实数x，必定有“x2≥0”，即没有使“x2≥0”不成立的实数x存在．语句(2)使用了“存在”，表示至少可以找到一个有理数x，使“x2－2＝0”成立．语句(3)使用了“有的”，表示可以找到一个矩形，它是菱形．语句(4)使用了“所有”，表示每一个质数都是奇数．语句(5)使用了“有一个”，表示可以找到一个素数是偶数．思考2：以上五个语句可分为两类．表示的量词不同，分别是“任意”“存在”“有的”“所有”“有一个”．“所有”“任意”“每一个”等表示全体的词在逻辑学中称为全称量词，通常用符号“∀x”表示“对任意x”．“存在”“有的”“有一个”等表示部分或个体的词在逻辑学中称为存在量词，通常用符号“∃x”表示“存在x”．思考3：“所有”“任意”“每一个”“有些”“存在”“有的”“有一个”等．思考4：(1)∀x∈R，x2≥0.(2)∃x∈Q，x2－2＝0.(3)∃x∈{x|x是矩形}，x是菱形．例1(1)∀x∈Q，x能写成分数形式．(2)∀x∈{x|x是n边形}，x的内角和为(n－2)×180°.(3)∃x∈R，eq\f(1,x－1)＝0.(4)∃x∈(0，＋∞)，x＜eq\f(1,x).例2(1)因为当x＝2时，x2>x成立，所以“∃x∈R，x2>x”是真命题．(2)因为当x＝0时，x2>x不成立，所以“∀x∈R，x2>x”是假命题．(3)因为使x2－8＝0成立的x的值只有x＝2eq\r(2)与x＝－2eq\r(2)，但它们都不是有理数，所以“∃x∈Q，x2－8＝0”是假命题．(4)因为对任意实数x，都有x2＋2>0成立，所以“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．跟踪训练(1)是全称量词命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，所以该命题是真命题．(2)是存在量词命题．因为当x2＋y2＝0时，x＝y＝0，所以不存在x，y为正实数，使x2＋y2＝0，所以该命题是假命题．(3)是全称量词命题．因为|0|＝0，所以对任意实数a，|a|＞0不都成立，所以该命题是假命题．(4)是存在量词命题．因为当α＝30°时，sinα＝eq\f(1,2)，所以该命题是真命题．思考5：要判定一个存在量词命题为真，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为真，否则命题为假．要判定一个全称量词命题为真，必须对给定的集合中的每一个元素，命题都为真；但要判定一个全称量词命题为假，只要在给定的集合中找到一个元素，使命题为假．思考6：有影响．例如“∃x∈R，x2>x”是真命题，但“∃x∈(0，1)，x2>x”是假命题．“∀x∈R，x2>x”是假命题，但“∀x∈(1，＋∞)，x2>x”是真命题．例3(－∞，－2]∪{1}因为命题p是真命题，所以f(x)＝x2－a在区间[1，2]上的最小值也大于等于0，即a≤1.因为∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0是真命题，所以Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2或a≥1.综上所述，a≤－2或a＝1，即实数a的取值范围是(－∞，－2]∪{1}．例4(1)不等式可化为m＞－x2＋2x－5＝－(x－1)2－4.要使m＞－(x－1)2－4对于任意x∈R恒成立，只需m＞－4.故存在实数m，当m>－4时，不等式m＋(x2－2x＋5)>0，对于任意x∈R恒成立．(2)原式可化为m＞x2－2x＋5，若存在实数x使不等式m＞x2－2x＋5成立，则m＞(x2－2x＋5)min.又x2－2x＋5＝(x－1)2＋4≥4，所以m＞4，所以实数m的取值范围是(4，＋∞).【检测反馈】1.B由题意，得A，C，D中的命题均为存在量词命题；B中的命题是全称量词命题．2.B由p是真命题，得Δ＝16－4a≥0，解得a≤4，故实数a的取值范围是(－∞，4].3.AD对于A，B，当0<x<1时，x2<x，故A正确，B错误；对于C，由x2－3＝0，解得x＝±eq\r(3)，所以不存在x∈Q，使得x2－3＝0，故C错误；对于D，因为x2≥