【16：9】第2章 第3讲 隐函数及由参数方程+4+3

高等数学（上册）（慕课版）第3讲隐函数及由参数方程确定的函数求导第2章导数与微分01隐函数的导数02对数求导法03由参数方程确定的函数的导数本讲内容3对由方程确定的函数求导数，可以将方程的两边分别对x求导数，然后把

解出来.01隐函数的导数4

1例

把看成是x的函数，方程两边同时对x求导，得，

整理得

解得

解01隐函数的导数1，求由方程

所确定的隐函数的导数5

2例

把看成是x的函数，方程两边同时对x求导，得，

解得

解01隐函数的导数2求由方程

所确定的隐函数的二阶导数.上式两边同时对

x求导，得6

3例

求由方程所确定的隐函数的导数．

把看成是x的函数，方程两边同时对x求导，

，

整理得

，

解得

．

得

解01隐函数的导数7

4例

01隐函数的导数求由方程所确定的隐函数在x=0处的导数3

把看成是x的函数，方程两边同时对x求导，

解得得

解，，将

x=0代入原方程，得y=0，代入上式得

8

5例

01隐函数的导数4

把看成是x的函数，方程两边同时对x求导，

解得得

解，求椭圆在点

处的切线方程.，故所求切线

将点代入，得切线斜率为

故所求切线方程为

6例9

解求由方程所确定的隐函数的二阶导数.方程两边对x求导，得解得上式两边再对x求导，再将代入得01隐函数的导数10

解

7例求由方程所确定的隐函数的方程两边对x求导解得上式两边再对x求导，再将代入得二阶导数.01隐函数的导数11

解

8例已知函数f(u)具有二阶导数，且，函数由方程所确定.设，求由方程两边对x求导，得上式两边再对x求导，现由可得，01隐函数的导数得1201隐函数的导数01隐函数的导数02对数求导法03由参数方程确定的函数的导数本讲内容1.多个函数积、商、幂构成的函数；14应用于：2.幂指函数.

(1)对两边取对数：应用步骤(3).02对数求导法15

求函数的导数．

方程两边同取对数，得

，

两边同时求的导数，得

，

即

解

9例02对数求导法516

求函数的导数．

方程两边同取对数，得

，

两边同时求的导数，得

，

即

解

10例02对数求导法17

此题通过运用“对数求导法”，先通过方程两边同取对数把原来复杂函数进行了简化，再借助隐函数的求导方法实现求导，但由于原方程并不是真正的隐函数，含

x的函数形式．所以结果中的

y要代换回此类题目运用对数求导法比直接利用复合函数求导要简单的多．02对数求导法18

方程两边同取对数，得

，

即，方程两边同时对求导，

，得

解02对数求导法

已知函数，求．

11例19

已知函数，求．

12例所以，故．02对数求导法对数求导法20幂指函数的求导方法.

02对数求导法复合函数求导法21幂指函数的求导方法.解得02对数求导法22

求()的导数．

对方程两边取对数，

两边对求导，即

，得，

解

13例得02对数求导法23

13例幂指函数还可以利用公式变形成复合函数后再求导．

例如，

．用复合函数求导法则得02对数求导法

求()的导数．

避免商的求导公式24

解

14例方程，确定函数，求方程两边取自然对数得即等式两边对x求导，得即01隐函数的导数2501隐函数的导数

26

解

15例求函数的导数.两边取对数得

02对数求导法01隐函数的导数02对数求导法03由参数方程确定的函数的导数本讲内容28设参数方程唯一确定函数可导，则函数可导，且03由参数方程确定的函数的导数29

证由于可导，由复合函数与反函数求导法则设反函数为，把代入，得复合函数，得03由参数方程确定的函数的导数30

证注

若有二阶导数，则可利用求一阶导数的方法求出.且03由参数方程确定的函数的导数31

，

解

16例03由参数方程确定的函数的导数6求由摆线的参数方程函数y=y(x)的二阶导数.所确定的32

设求，．

，

联立成新参数方程函数的求导公式得

．

再应用参数方程所确定

解

17例03由参数方程确定的函数的导数33

解对应点.03由参数方程确定的函数的导数求曲线在处的切线方程和法线方程.

18例34所以曲线在处的切线方程为即法线方程为即03由参数方程确定的函数的导数35

解

19例03由参数方程确定的函数的导数7已知抛射体的运动轨迹的参数方程为求抛射体在时刻t

的运动速度的大小和方向

.抛射体在