四川省古蔺中学校2025-2026学年高三上学期第一次月考考试数学试卷【附解析】

/四川省古蔺中学校2025-2026学年高三上学期第一次月考考试数学试题第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合，，则（）A. B. C. D.2.若命题：，，则命题的否定是（）A.， B.，C.， D.，3.记等差数列的前n项和为.若，，则（）A.49 B.63 C.70 D.1264.已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.5.已知函数在处取得极大值，则的值是（）A.1 B.2 C.3 D.46.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.7.已知平面向量，若，则（）A. B. C. D.8.已知函数，设等差数列的前n项和为，若，，则（）A. B.-2025 C.2025 D.4050二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.若复数满足，则（）A. B.的虚部为C.为纯虚数 D.10.下列函数中，是增函数的是（

）A. B.C. D.11.已知函数在上有且仅有4个零点，则（）A.B.令，存在，使得为偶函数C.函数在上可能有3个或4个极值点D.函数在上单调递增三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分12.已知，，则________.13.已知向量，则在上的投影向量的坐标为______.14.若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为________．四、解答题：本大题共5小题，共T7分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，（1）求不等式的解集；（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，得到的图象，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积．16.已知等比数列的各项均为正数，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前n项和．17.设的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若的最大值为，求的值．18.已知函数．（1）当时，则过点的曲线的切线有几条?并写出其中一条切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有唯一零点，求实数a的取值范围．19.已知函数，在上的最大值为．（1）求实数a的值；（2）若数列满足，且．（ⅰ）当时，比较与1的大小，并说明理由；（ⅱ）求证：．四川省古蔺中学校2025-2026学年高三上学期第一次月考考试数学试题第Ⅰ卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．1.若集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【详解】由，则，所以，又，所以.故选：C2.若命题：，，则命题的否定是（）A.， B.，C.， D.，【答案】C【详解】由题,则的否定为,故选：C3.记等差数列的前n项和为.若，，则（）A.49 B.63 C.70 D.126【答案】B【详解】因是等差数列，故，于是故选：B4.已知函数，则满足的的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【详解】∵，∴，∴在上为增函数，由得，，解得，故的取值范围是.故选：B.5.已知函数在处取得极大值，则的值是（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根据极值点求参数，再由所得参数验证在处是否取得极大值，即可得答案.【详解】由题设，则，可得或，当时，当或时，则在和上递增，当时，则在上递减，此时在处取得极小值，不符；当时，当或时，则在和上递增，当时，则在上递减，此时在处取得极大值，符合；综上，.故选：C6.若函数在上单调递增，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根据正弦型函数单调性求参数范围即可.【详解】由题设，则在上递增，所以，又，故.故选：B7.已知平面向量，若，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】首先根据向量平行求得，再根据二倍角公式，将齐次式转化为正切值，即可求解.【详解】由，可知，，得，，.8.已知函数，设等差数列的前n项和为，若，，则（）A. B. C.2025 D.4050【答案】A【解析】【分析】令，然后可判断出的单调性、奇偶性，然后由，，可得，然后由等差数列的求和公式和性质可得答案.【详解】令，因为，所以为上的增函数，因为，所以是奇函数，因为，，所以，，所以，即，所以，故选：A二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.若复数满足，则（）A. B.的虚部为C.为纯虚数 D.【答案】BCD【解析】【分析】设，由条件可得.由复数模长公式可得选项A错误；由复数的概念可得选项B正确；通过复数的除法运算可得选项C正确；通过复数乘方运算可得选项D正确.【详解】设，则，∴，∴，解得，故.A.，选项A错误.B.的虚部为，选项B正确.C.，为纯虚数，选项C正确.D.由得，故，选项D正确.故选：BCD.10.下列函数中，是增函数的是（

）A. B.C. D.【答案】ACD【解析】【分析】利用指数函数性质可得A正确，由反比例函数性质可得B错误，根据幂函数性质可得C正确，求导得出恒成立，可得D正确.【详解】对于A，易知的定义域为，是由函数和组成，易知为单调递增函数，为单调递增函数，因此A正确；对于B，函数定义域为，根据反比例函数性质可得在和上分别单调递增，但不是增函数，即B错误；对于C，易知的定义域为，由幂函数性质可得其在定义域内单调递增，即C正确；对于D，函数的定义域为，则恒成立，所以函数在定义域内单调递增，即D正确.故选：ACD11.已知函数在上有且仅有4个零点，则（）A.B.令，存在，使得为偶函数C.函数在上可能有3个或4个极值点D.函数在上单调递增【答案】ABD【解析】【分析】利用二倍角和辅助角公式化简得到，根据在上有且仅有4个零点，可确定，进而解得，再根据其范围结合函数图象和平移知识等逐一判断即可.【详解】对于A，，，因为在上有且仅有4个零点，所以，解得，∴，故A正确；对于B，，为偶函数，则，即，∵∴取，为偶函数,满足题意，故B正确；对于C，x∈0,π∵，，∴函数在上可能有4个或5个极值点，故C不正确；对于D，若，则，∵，∴，∴函数上单调递增.故D正确；故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分12.已知，，则________.【答案】【解析】【分析】由，可知，再结合，及，可求出答案.【详解】因为，所以，所以，所以．故答案为：.13.已知向量，则在上的投影向量的坐标为______.【答案】【解析】【分析】利用空间向量的坐标运算计算，利用投影向量的公式即可计算结果.【详解】由题意得，，，，所以在上的投影向量为.故答案为：.14.若是函数的极大值点，则实数a的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】根据函数的导数，对分类讨论，再结合的根，分类讨论，分析函数的极大值点即可得出答案.【详解】，当时，，当时，f′x<0，当时，f′x所以在上单调递减，在上单调递增，所以是函数的极小值点，不符合题意；当时，令，可得，若，即时，则时，f′x>0，函数单调递增，时，f′x<0，函数所以是函数的极大值点，符合题意；若即时，则时，f′x>0，函数单调递增，时，f′x<0，函数所以是函数的极小值点，不符合题意；若即时，则时，f′x≥0，函数单调递增，函数无极值点，不符合题意.综上，当时，是函数的极大值点.故答案为：四、解答题：本大题共5小题，共T7分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知函数，（1）求不等式的解集；（2）将图象上所有点的横坐标伸长为原来的两倍，纵坐标不变，得到的图象，求曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形面积．【答案】（1）且；（2）.【解析】【分析】（1）根据三角函数的单调性解不等式求解集即可；（2）由题意得，利用导数求切线方程并确定与坐标轴交点，即可求三角形面积.【小问1详解】由题设，则，所以且，可得且，所以解集为且.【小问2详解】由题意，则，所以，，所以曲线y=gx在点处的切线为显然切线过，故其与坐标轴围成的三角形面积为.16.已知等比数列的各项均为正数，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列前n项和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）设出公比，根据题目条件得到方程，求出公比和首项，得到通项公式；（2）求出，利用裂项相消法求和得到答案.【小问1详解】等比数列各项均为正数，设数列的公比为，由得,因为，所以，解得，由得，解得，故数列的通项公式为；【小问2详解】∵，∴，∴，∴17.设的内角的对边分别为，且．（1）求；（2）若的最大值为，求的值．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦边角关系及差角正弦公式得，结合三角形内角性质求角A的大小；（2）根据正弦边角关系及倍角余弦公式可得，结合（1）及三角恒等变换有，最后根据正弦型函数性质及已知求边长.【小问1详解】由题设及正弦边角关系，有，所以，整理得，即，显然不合题设，则，所以，而，可得.【小问2详解】由，可得，，所以，由（1）知：，则，由，则，又的最大值为，所以，可得（负值舍），综上，.18.已知函数．（1）当时，则过点的曲线的切线有几条?并写出其中一条切线方程；（2）讨论的单调性；（3）若有唯一零点，求实数a的取值范围．【答案】（1）有3条切线，（2）答案见解析（3）【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义，设出切点得出切线斜率，列方程组分析解得个数即可；（2）求出导函数，对分类讨论即可得出函数单调区间；（3）根据函数的单调性，结合当时，，利用极大值建立不等式求解.【小问1详解】当时，，，设切点为，因为切线过点0,2，所以切线斜率存在，故可设切线方程为，则，化简可得，即，由的判别式知方程有2个不等实根且不为1，故有3个不等的实根，所以切线有3条，其中一条切点横坐标为1，故，所以切线方程为.【小问2详解】，当时，，所以函数在上单调递增；当时，，所以或时，f′x>0，单调递增，当时，f′x<0，当时，，所以或时，f′x>0，单调递增，当时，f′x<0，综上，时，在上单调递增，无递减区间；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在和上单调递增，在上单调递减.【小问3详解】当时，，函数仅有1个零点1；当时，由（2）知，的极大值为，且当时，，若有唯一零点，则，解得，故，当时，由（2）知，的极大值为，同理，若有唯一零点，则，解得，故，综上，实数a取值范围19.已知函数，在上的最大值为．（1）求实数a的值；（2）若数列满足，且．（ⅰ）当时，比较与1的大小，并说明理由；（ⅱ）求证：．【答案】（1）a=2（2）(1)，理由见详解；（2）证明见详解【解析】【分析】（1）利用导数判断的单调性求出最大值得解；（2）（i）