专题3.3探索与表达规律（知识梳理+题型精析）2025-2026学年七年级数学上册（北师大版2024）含答案

一二三四五六日123456789一二三四五六日123456789（a-8）+（a-7）+（a-6）+（a-1）+a+（a+1）+（a+6）+（a+7）+（a+8）=9a(1)若像这样在任意一个日历中用“阶梯框”圈出6个数，请根据规律补全“阶梯框”；①设此时十字框中间的数为x，用代数式表示十字框中的@这五个数的和能否恰好等于2210？若能，直接写出这五个数，若不能，请说明理由．(2)不改变带阴影方框的大小，将方框移动几个位置试一试，你能得设这个两位数的十位数字为x，个位数字为y，则这个两位数为10x+y，交换后的两位数为(1)填空：27、68的“友好数”分别是___________；(2)对于任意一个两位数，设它的个位数字为a，十位数字为b，试说明这个数与它的“友好数”之和一定能被11整除．(1)根据上述算式的规律请计算：87×83==21-12=9；75-57=18；96-69=27；84-48=36；45-54=-9；27-72=-45；19-91=-72；(1)请用文字补全上述规律：把一个两位数的十位数字和个位数字交新的两位数的差是_________________位数的十位数字为b，个位数字为a，新两位数可表示为__________，(在下面空白处，请继之间的一列数：1，3，6，10，15，…,我们把第一个数记为a1，第二个数记为a2，第三个数记为a3，…,第n个数记为an，则a9-a6+a5的值是()A．17B．27C．39A．-1B．C．2020D．-202012．观察下面一列数，按某种规律在横线上填上适当的数：-1…,第8个数是；则第n个数是．1234n按这样的规律搭下去，搭n个这样的三角形需要多少根火柴棒.(1)2张桌子拼在一起可坐_________人，3张桌子拼在一起可坐_______14273416．如图是由大小相同的*组成的图形，第①个图形中有4个*，第②个图形中有7个*，第③个图形中有10个*，第④个图形中有13个*，…,按此规律摆下去，第89共有多少个*？()（）中第n个多项式是()A．(n-1)a+bn+2B．(n+1)a+bn+2C．na+bn+2D．(n+2)a+bn+122．观察如图所示的四个三角形内的数，确定M的值为()25．如图，一种圆环的外圆直径是8cm，环宽1cm．若把n个这样的圆环扣在一起并拉紧，其长度为lcm，则当n=100时，l的值为()员按照以上规律摆放完n层时，恰好共用100盆花卉，则第(n+1)层的花卉盆数是()-，…②3-1=--1+2+3；③1-1=-1+2+3；⑤(-2)-1=-4+2+3；…若满足上面特征的等式最左边的数为3.32，写出此时的等式31．如图，下列图案均由相同的小正方形组成，第1个图案由2个小正方形组成，第2个图案由4个小正方形组成……依此规律，第7个图案由个小正方形组成按照这种规律摆下去，请问用48枚棋子的是第图．第一行：-2，4，-8，16，-32，64，…;第二行：-1，2，-4，8，-16，32，…;第三行：-4，2，-10，14，-34，62，…;(2)用含有字母的式子表示第n个图中所贴剪纸“〇”的个数是()，当n=26时，所贴剪纸“〇”的个数是()方形ABCD分割成____________个互不重叠的小三角形．以长方形ABCD的4个顶点和它内部的2个点P、Q，共6个点为顶点，可把长方形ABCD显然，不管哪种情况，都可把长方形ABCD分【问题解决】【探究拓展】【拓展延伸】（1）以m边形的m个顶点和它内部的n个点，共(m+n)个点作为A．(-1)n+1x2n-1B．(-1)nx2n-1C．(-1)n+1x2n+1D．(-1)nx2n+1…x…-2-10123…y…-8-1018…根据表格中的数据规律，当x=-4时，y的值是()A．32B．-32C．64D．-6442．如图，按照图形变化的规律，第2025个图形中黑色正方形的个数是()），再过82025天是()44．将若干个小四边形按如图的规律排列，则第⑧个图形中小四边形的个数是()为()图案中正方形的个数是()按照这样的方法摆下去，第5个图形中，共有个圆形；当一个图形中有6个第二组：-2，-4，-6，-8，-10，…（2）小颖同学给出一种新的拼摆方式，按照小颖的方式拼摆第n个图形所需小棒的根数为形地砖的边长均为0.5米．(1)按图示规律，第3个图案的长度L3=_______；第3个._______），每次都把右下角的等边三角形按此方法分成四部分列数满足：从第三个数开始，每一个数都等于它的前两个数之个数中，奇数的个数为()数是()子，……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是()得到新的一列数：2,6,4，第2次构造后，得到一列数：2,8,6,10,4，…,第n次构造后得结论，错误的是()．为偶数C．an+1=3an-6D．k=2n-1个分数拆分成几个单位分数之和，如：将拆分成两个单位分数相加的形式为；一般地，对于任意奇数k（k>2将2拆分成两个不同单位分数相加的形式k如图@，第1个图案用了3个矩形，第2个图案用了5个矩形，第3个图案用了7个矩）．（3）根据（1）中阶梯框中的数字规律可得，a=7时a-7a-6a-1a（2）a-7+a-6+a-1+a+a+5+a+6=6a-3=3(2a-1)当a=26时，a+6=32，日期数字中不可能出现32．(2)①5x；@不能，见解析【分析】本题主要考查有理数的计算以及整式，熟练掌握运算法@2210÷5=442，由数表可知数字442在第一列，故这五个数的和不能等于2210．【详解】（1）解：Q十字框中的五个数字之和为6+14+16+18+26:十字框中的五个数字之和是中间数字16的5倍；Q中间的数字为x，:左边的数字为x-2，右边的数字为x+2，上面的数字为x-10．下面的数字为x+10，:十字框中的五个数字之和为x-2+x+2+x+x-10+x+10=5x；2210÷5=442，而由数表可知数字442在第一列，故这五个数的和不能等于2210．3．(1)方框中9个数之和为方框正中心的9倍(2)移动位置，方框中9个数之和为方框正中心的9倍，见解析（2）设中间的数为x，则方框中所有的数字表示出来，相加得到9x．答：方框中9个数之和为方框正中心的9倍；(x-8)+(x-7)+(x-6)+(x-1)+x+(x+1)+(x+6)+(x+7)+(x+8)=9x，:9x÷x=9恒成立，答：移动位置，方框中9个数之和为方框正中心的9倍．【点睛】此题考查了整式规律题，解题的关键是故答案为：72，86；（2）对于任意一个两位数，设它的个位数所以，对于任意一个两位数，这个数与它的“友好数”之和一定能被11整除．(2)92×98(3)10m+n；10m+10-n；100m(m+1)+n(10-n):当两个十位数字相同，且个位数字和为10的两位数相乘时，积的前一位（两位）由:87×83=7221．这个因数可表示为10m+n，则另一个因数可表示为10m+10-n，故答案为：10m+n；10m+10-n；100m(m+1)+n(10-n)．6．(1)原来两位数十位上的数字与个位上的数字之差的9倍(2)9a-9b，理由见解析【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的等式总45-54=-9=9×(4-5)，27-72=-45=9×(2-7)，19-91=-72=9×(1-9)，:把一个两位数的十位数字与个位数字交换位置，新的两位数与原来两位数的差等于原来两:由（1）中规律得新两位数可表示为：9a-9b；=10a+b-10b-a=9a-9b7．-24:a4+a11-2a10+10=-24．故答案为：-24．变化寻找规律．根据题意得出第n个数记为an=1+2+3+……+n=，再代入求值，…,第n个数记为a9-a6+a5=45-21+15=39．9．-20本题考查了图形的规律计算，求代数式的值，正确故2a11-3a10+13=132-165+13=-20，故答案为：-20．【详解】解：数字的序号为n，其值为y，由已知得仔细观察发现，序号每增加1，y值就增加5，与第1个数相比，第n个数应增加5(n-1)，:第n个数应为5(n-1)+3，即y=5n-2，当n=2006时，y=5×2006-2=10028．故答案为：5n-2，10028．出这列数的前几个数据，从而可以发现数字的变化特点，然后即【详解】解：a1=-1，:这列数是-12，-12…，:2023÷3=674…1，且:aaaaa(-1)674×(-1)=-1，【详解】解：观察数据的规律可知：分子的规律是连续的奇数即2n-1，分母是12、22、2，且奇数项是负数，偶数项是正数即(-1)n，则第n个数是第8个数(2)共可坐112人．纳出通用规律z张桌子可坐(2n+4)人，再利用该规律解决实际问题（计算多张桌子拼接后归纳得出，z张桌子拼在一起可坐人数为(2答：共可坐112人．【分析】本题考查的是探索规律题，根据各图形中花盆的数量，找出变化规律并归纳公式，:第n个图形一共有(n+1)(n+2)个花盆；【详解】解：第①个图形中有3×2-2=4个*，第②个图形中有3×3-2=7个*，第③个图形中有3×4-2=10个*，第④个图形中有3×5-2=13个*，:第n个图形有4+3(n-1)=3n+1（枚）棋子，（3）将n=230代入3+3n求值即可．所以第n个图中黑色棋子的颗数是3+3n；:图230中黑色棋子的颗数是693颗．：，【分析】本题考查了数字类规律变化问题，由题意可得每个周期包含8个气球，进而由:每个周期包含8个气球:第100个气球是黄色的，故选：B．依此类推，第n项b的系数为1，次数为n+2，即对应项为bn+2；:第n个式子是(n+1)a+bn+2．间的规律进行解题．首先观察前三个图形可得规律：三角形顶点的即M=(5+6)×5．…,搭n个这样的正方形需要4+3(n-1)=(3n+1)根火柴棒，搭2024个这样的正方形需要3×2024+1=6化规律是此类题目中的难点．根据前几个图形五角星个【详解】解：:第1个图案有3×1+1=4个:依规律可知第n个图案有(3n+1)个五角星．:第6个图案有3×6+1=19个五角星．【详解】解：由题意可得，l=8+(8-2)×(n-1)=6n+2，【详解】解：:第一层需要1盆；第二层需要3盆；第三层需要5盆；第四层需要7盆…，:前n层共有1+3+5+7+···+(2n-1)=n2(盆),:工作人员按照以上规律摆放完n层时，恰好共用100盆花卉,:n2=100，:n=10，:n+1=11，:(n+1)层的花卉盆数是2×11-1=21，【详解】解：第一个数因为2025÷5=405，29．3.32-1=--3-1=(1+2)-1=--1+2+3；1-1=(-1+2)-1=-1+2+3；(-2)-1=(-4+2)-1=-4+2+3；3.32-1=(1.32+2)-1=--1.32+2+3；故答案为：3.32-1=--1.32+2+3．【分析】本题考查图形的规律，代数式，理解图:第n个图形:黑色瓷砖是(3n+1)块；的关键．根据前面几个图形可得到第n个图形中小正方形的数量为2n，即可求解．第n个图形由2n个小正方形组成，:第7个图案由2×7=14个小正方形组成，故答案为：14．解得n=15，规律：多一个黑色六边形，多4个白色六边形．则第n个图形中有白色地砖(4n+2)块．第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数解得：n=30．故答案为：30．【详解】（1）解：观察第一行：(-2)1，(-2)2，(-2)3，(-2)4，(-2)5，(-2)6，…,则第8个数为(-2)8=256；观察第三行，每个数是第一行相应的数减2，则第8个数为(-2)8-2=254， (2)方框中9个数的和是中间数的9倍．(3)表格每一列的数字从上到下依次增加7；每行中相邻（2）解：10+11+12+17+18+19+24+25+26答：方框中9个数的和是中间数的9倍；【分析】该题考查了图形规律，找到图形规格，“〇”的个数增加3个，据此得出规律，并用含字母的式子表示规律，然后把n=26代入当n=26时，所贴剪纸“〇”的个数是80，38．[问题探究]探究一：4；探究二：6；探究三：8；[问题解决]；(2n+2)[拓展延伸]（1）(m+2n-2)2）2024．[拓展延伸]（1）根据边数与顶点数，三角形个数的数量关系判定即可2）根据规律列式【详解】解：[问题探究]个点为顶点，此时可把长方形ABCD分割成4个互不重叠的小三角形，故答案为：4；顶点，可把长方形ABCD分割成6个互不重叠故答案为：6；以长方形ABCD的4个顶点和它内部的3个点P、Q、R，共7个点为顶点，可把长方形ABCD:以长方形ABCD的4个顶点和它内部的n个点，共(4+n)个点为顶点，得到互不重叠的三:以五边形的5个顶点和它内部的n个点，共(n+5)个顶点可把五边形分割成互不重叠的三（1）根据上述的计算方法得到，以m边形的m个顶点和它内部的n个点，作为顶点，可把原m边形分割成互不重叠的三角形个数为：m+2(n-1)=m+2n-2，故答案为：(m+2n-2)；解得，m=2024，:这个m边形的边数为2024．【分析】本题考查了整式的规律．观察给定单项式找出规律即可．:第n项符号为(-1)n+1，:第n项指数为3+2(n-1)=2n+1，综上所述，符号部分为(-1)n+1，指数部分为x2n+1，故第n个单项式为(-1)n+1x2n+1，左上第一个数为：2(n-1)，右上第二个数为：2n+1，:第⑨个正方形的右上第二个数b=19；恰好是x的立方，即y=x3，将x=-4代入即可求得对应的y值，掌握知识点的应用是解题【详解】解：根据表格数据，当x=-2时，y=(-2)3=-8；x=-1时，y=(-1)3=-1；x=2时，y=23=8；由此可得y与x的关系式为y=x3，当x=-4时，y=(-4)3=-64，故选：D．当n为偶数时第n个图形中黑色正方形的数量为个；当n=2025时【详解】解：Q82025其中m、n、p、q为常数，:82025除以7的余数为1，:再过82025天是星期四，【分析】本题考查了图形的变化规律，找到图形的变化化可得出变化规律an=3n+1，再代入n=8即可求出第2个图形有9个圆，即4×2+1=9；第3个图形有13个圆，即4×3+1=13；故选：B．【点睛】本题考查了图形规律探究，掌握图形规律探究方法善于总结规:第2025个图案中正方形的个数是2×2025+3=447．7【详解】解：:31=3，:99÷4=24...3，:399的个位数字为7，故答案为：7．项为负，其分母为3n-1，据此即可作答．…,:第n个数为:第2022个数为故答案为：-．639123581347112358134711…，观察发现从第四个数字开始，以1,2,3,5,8,1,3,4,7,1为周期，观察可知，从第四个数字开始，以1,2,3,5,8,1,3,4,7,1为周期，10个为一则在第n个白色的球的前面，黑色的球共有1+2+3+…+n-1=．…,:第2024次输出的结果是1，【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，正确观察图形得到an=n对所求式子进行裂项求解即可得到答案．【详解】解：a1=3=1×3，a2=8=2×4，a3=15=3×5，…,=1+--531,760个点，即可得n幅图中共有5+4(n-1)=(4n+1)个点，再求出n=5时代数式的值即可求解，【详解】解：由图可知，后面一个图形比前面一个图形多4:第n幅图中共有5+4(n-1)=(4n+1)个点，:第5幅中共有21个点，分析第n个图中有圆形的个数为n2个，有灰色圆形n个，有白色圆形(n2-n)个，据此即可第n个图中有圆形的个数为n2个，有灰色圆形n个，有白色圆形(n2-n)个，当一个图形中有6个灰色圆形时，即n=6时，则白色55．(1)36，-12，24(2)n2,-2n,n2-2n(3)160（1）第一组是连续的正整数的平方，第二组是连续的正整数乘以-2，第三组数据是第一组故答案为：36，-12，24．（2）解：各组的第n个数分别为n2,-2n,n2-2n，故答案为：n2,-2n,n2-2n．561）(5n+2)2）见解析（1）根据图形可