2026年中考数学专项复习：多边形与平行四边形（2大模块知识梳理+10个考点+2个重难点+1个易错点）解析版

专题12多边形与平行四边形

目录

01理•思维导图：呈现教材知识结构，构建学科知识体系。

02盘.基础知识：甄选核心知识逐项分解，基础不丢分。（2大模块知识梳理）

知识模块一：多边形

知识模块二：平行四边形

03究•考点考法：对考点考法进行细致剖析和讲解，全面提升。（10大基础考点）

考点一：多边形内角和问题

考点二：多边形外角和问题

考点三：多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合应用

考点四：利用平行四边形的性质求解

考点五：利用平行四边形的性质证明

考点六：证明四边形是平行四边形

考点七：利用平行四边形的性质与判定求解或证明

考点八：平行四边形性质和判定的应用

考点九：已知中点，取另一条线段的中点构造中位线

考点十：补全图形利用中位线定理求解

04破.重点难点：突破重难点，冲刺高分。（2大重难点）

重难点一：平行四边形与函数综合

重难点:二：与平与四边形有关的新定义问题

05辨•易混易错：点拨易混易错知识点，夯实基础。（1大易错点）

易错点1：未掌握求多边形边数的方法

思嵬学吩

公式(n-2)X1800

内角和n:多边形边数

知识梳理推理（n-2）个三角形

外角和等于360°与多边形边数无关

多边形

n（n・3）

n边形对角线条数

学法指导

多边形问题思路转化为三角形或四边形问题

多

边对边平行且相等

边

对角相等

形平行四边形中角

邻角互补

与

3对角线互相▼分

平

距离处处相等

行两条铅推之间

四任意两条平行线段相等

边两啰寸边分别帝亍

形边两组对边分别相等

一组对边平行且相等是平行四边形

判定四边形

角两组对角分别相等

平行四边形对角线互相平分

证明联系全等三角形知识

公式i去底x离

面枳算法

性质的应用转化法向三角形面积转化

求角和边的大小

直接用于计算

知识梳理对角线范围的确定

探索平行四边形成立的条件

角考虑两组对角分别相等（或边平行）

判定应用

对角线考虑对角线互相平分

已知两组对边分别平行

边考虑

-------或一组对边平行且相等

三角形中位线考虑构造平行四边形

盘基磁处投

知识模块一：多边形

知识点一：多边形的相关概念

多边形的概念：在平面中，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做多边形.

多边形的相关概念：

多边形的边：组成多边形的各条线段叫做多边形的边.

多边形的顶点：相邻两边的公共端点叫做多边形的顶点.

2

多边形的内角：多边形相邻两边所组成的在多边形内部的角叫做多边形的内角，简称多边形的角.

多边形的外角：多边形的一边与它的邻边的延长线组成的角，叫做多边形的外角.

多边形的对角线：连接多边形不村邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

【补充】

1)多边形的边数、顶点数及角的个数相等；

2)把多边形问题转化成三角形问题求解的常用方法是连接对角线；

3)多边形对角线条数：从n边形的一个顶点可以引(n-3)条对角线，这(n-3)条对角线把多边形分成了

(n-2)个三角形，其中每条对角线都重复算一次，所以n边形共有条对角线

n

正多边形的定义：各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形.

【补充】1)正n边形有n条对称轴.

2)对于正n边形，当n为奇数时，是轴对称图形；当n为偶数时，既是轴对称图形，又是中心对称图形，

对称中心是多边形的中心.

知识点二：多边形的内角和定理与外角和定理

多边形内角和定理：n边形的内隹和为(〃-2)x180°(723).

多边形外角和定理：多边形的外角和恒等于360。，与边数的多少没有关系.

易错易混

多边形的有关计算公式有很多,一定要牢记.代错公式容易导敕错误：

①n边形内角和=(n-2)x)80°(n>3).

②从n边形的一个顶点可以引出(n-3)条对角线，n个顶点可以引出n(n-3)条对角线，但是每条对角线

计算了两次，因此n边形共有午条对角线.

③n边形的边数=(内角和引80。：+2.

④n边形的外角和是360，

⑤n边形的外角和加内角和=nx180°.

⑥在n边形内任取一点O,连接O与各个顶点，把n边形分成n个三角形；在n边形的任意一边上任取一

点0,连接O点与其不相邻的其它各顶点的线段可以把n边形分成(n-1)个三角形；连接n边形的任一

顶点A与其不相邻的各个顶点的线段，把n边形分成(n-2)八三角形.

3

知识模块二：平行四边形

知识点一：平行四边形的性质

性质符号语言图示

•・•四边形ABCD是平行四边形

边平行四边形两组对边互行且相

・•・AB=CD,AD=BC,AB//CD,AD//B

•・・四边形ABCD是平行四边形

角平行四边形对角相等

A_________D

AZBAD=ZBCD,ZABC=ZADC

•・•四边形ABCD是平行四边形

对角线平行四边形的对角线互相平分

BC

JOA=OC=-AC,BO=DO=-BD

22

知识点二：平行四边形的判定

判定符号语言（同上图）

定义一组对边分别平行的四边形是平行四边形VAB/7CD,AD〃BC.'・四边形ABCD是平行四边形

两组对边分别相等的四边形是平行四边形VAB=CD,AD=BC.••四边形ABCD是平行四边形

边

一组对边平行且相等的四边形是平行四边形VAB=CD,AB〃CD.'.四边形ABCD是平行四边形

角两组对角分别相等的四边形是平行四边形•・•ZBAD=ZBCD,ZABC=ZADCA四边形ABCD是平行1

形

对角线对角线互相平分的四边形是平行四边形VOA=OC,BO=DO,四边形ABCD是平行四边形

【解题技巧】

一般地，要判定一个四边形是平行四边形有多种方法，主要有以下三种思路：

1）已知i组对边平行，首先要考虑证另一组对边平行，再考虑这组对边相等；

2）已知一组对边相等，首先要考虑证另一组对边相等，再考虑这组对边平行；

3）已知条件与对角线有关，常考虑对角线互相平分；

4）已知条件与角有关，常考虑两组对角分别相等.

知识点三：平行线间的距离

定义：两条平行线中，•条直线.匕的任意•点到另•条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离

性质：I）两条平行线间的距离处处相等.

2）两条平行线间的住何两条平行线段都是相等的.

4

考点者法

考点一：多边形内角和问题

1.（2024・山东青岛・中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形48CQE和正方

形COR7中，CF,OG的延长线分别交力石，f点M,N,则口尸河石的度数是（）

A.90°B.99°C.108°D.135°

【答案】B

【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键.

根据正五边形的内角的计算方法求出□COE、£根据正方形的性质分别求出CDF、口。尸。，根据四边形

内角和等于360。计算即可.

【详解】解：・・•五边形48以比是正五边形，

・•・nCDE=E=（5-2^18O°=108°,

•・•四边形CQPG为正方形，

•••□co尸=90。，nCFD-45n,

・•・□?。£=1（）8。-90。=18°,□£）底M=180。-45。=135。，

・•・UFME=360°-18°-135°-108°=99°,

故选：B.

2.（2024•四川广元・中考真题）点尸是正五边形48coE边OE的中点，连接8/并延长与C。延长线交于点G,

则匚BGC的度数为.

【分析】连接80,8E,根据正多边形的性质可证□H8E1C8D（SAS）,得至"BE=BD,进而得到8G是。E的

5

垂直平分线，即OFG=90。，根据多边形的内角和公式可求出每个内角的度数，进而得到□“Gn72。，再根

据三角形的内角和定理即可解答.

【详解】解：连接8。，BE,

：.AB=BC=CD=AE,DJ=CC

••・LJd8ELIC]C8O(SAS),

：.BE=BD,

•・•点尸是。上的中点，

・・・5G是。七的垂直平分线，

/.匚。回G=90。，

•・•在正五边形48coE中，□")£1=铝坨=108。，

・•・□FZ)G=180°-DCZ)£=72o,

・•・DG=180。-匚G一□尸OG=180°-90°-72°=18°.

故答案为：18。

【点睛】本题考查正多边形的性质，内角，全等三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，三角形的内角

和定理，正确作出辅助线，综合运用相关知识是解题的关键.

3.(2024・山东威海・中考真题)如图，在正六边形"COEr中，AH\FG,BIVAH,垂足为点/.若□石产G=20。,

【答案】50750度

【分析】本题考查了正六边形的内角和、平行线的性质及三角形内角和定理，先求出正六边形的每个内角

为120。，即口上口=口"〃=120。，贝J可求得「G处的度数，根据平夕亍线的性质可求得ZI万1〃的度数，进而可求

6

出匚/£48的度数，再根据三角形内角和定理即可求出口481的度数.

【详解】解：•・•止六边形的内角和=（6-2）x180=720。，

每个内角为：720°-6=120°,

口匚EE4=fJ"B=l20。,

□CEFG=20°,

□CG/^=120o-20o=100°,

QAHZFG,

□匚刈〃+口6四=180。，

□匚E4H=1800-UGFA=\80°-l00°=80°,

ULHAB=UFAB-UFAH=\20°-80°=40°,

UBIUAH,

□匚8〃=90。，

□□J5/=90°-40°=50°.

故答案为：50°.

考点二：多边形外角和问题

1.（2024•江苏徐州•中考真题）正十二边形的每一个外角等于度.

【答案】30

【分析】主要考查了多边形的外角和定理.根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到

每一个外角的度数.

【详解】解：•・•多边形的外角和为360度，

正十二边形的每个外角度数为：360。+12=3（）。.

故答案为：30.

2.（2024.四川遂宁.中考真题）佩佩在“黄娥古镇”研学时学习扎染技术，得到了•个内角和为1080。的正多

边形图案，这个正多边形的每个外角为（）

A.36°B.40°C.45°D.60°

【答案】C

【分析】本题考查了正多边形的外角，设这个正多边形的边数为〃，先根据内角和求出正多边形的边数，再

用外角和360。除以边数即可求解，掌握正多边形的性质是解题的关键.

【详解】解：设这个正多边形的边数为〃，

7

则(“-2)x180。=1080。,

・'・刀=8,

工这个正多边形的每个外角为360%8=45。，

故选：C.

3.（2024.内蒙古赤峰.中考真题）如图，是正〃边形纸片的一部分，其中/,“是正〃边形两条边的一部分,

若/，阳所在的直线相交形成的锐角为60。，贝卜的值是（）

A.5B.6C.8D.10

【答案】B

【分析】本题考查了正多边形，求出正多边形的每个外角度数，再用外角和360。除以外角度数即可求解，掌

握正多边形的性质是解题的关键.

【详解】解：如图，直线/、小相交于点4,则□4=60。，

•••正多边形的每个内角相等，

，正多边形的每个外角也相等，

・,・口1=口2=*丝=60。，

考点三：多边形内角和、外角和与角平分线、平行线的综合应用

1.（2023•山东枣庄♦中考真题）如图，一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，若小=44。，则口2

8

A.14°B.16°C.24°D.26°

【答案】B

【分析】如图，求出正六边形的一个内角和一个外角的度数，得至IJ匚4=60。,口2+」5=120。，平行线的性质,

得到匚3=口1=44。，三角形的外角的性质，得到口5=口3+匚4=104。，进而求出二12的度数.

•••正六边形的一个内角的度数为：180°-60°=120°,

即：「4=60。,匚2+5=120°,

•.•一束太阳光线平行照射在放置于地面的正六边形上，01=44%

03=01=44°,

,□5=口3+匚4=104。,

/.□2=120o-C5=16o；

故选B.

【点睛】本题考查正多边形的内角和、外角和的综合应用，平行线的性质.熟练掌握多边形的外角和是360。,

是解题的关键.

2.（2024.江苏盐城•二模）问题情境：

在综合实践课上，吴老师和鹿鸣学堂“数理时空”社团的同学们一起研究了对角相等的六边形，发现：如图I,

在六边形力14243力445力6中，若□力产二力4,口＜2=匚45,^A3=QA6,।J4J5＞A2A3JA5A6,z13/14□J|J6,

请结合图1＞证明:A\A^\A^A^.

问题探究：

小铭和小红对图1的六边形小42七444进行了特殊化，发现了以下两个结论:

9

结论1：如图2,若4344=小/6，则有:小彳2=44彳5，42,3=，546.

结论2：如图3,若对角线小4、.4245、4346交于点。，则对用线小力4平分六边形小生43彳44546的面枳，请

证明小铭和小红发现的两个结论.

【答案】见解析

【分析】问题情境：如图1,连接441,小力5,根据四边形的内角和，六边形的内角和证明口444=口4544小，

进而可以解决问题;

问题探究：结论1：如图2＞连接小得/3446小为平仃四边形，然后证明出生小力44546（AAS）,

得小生二人儿，^2^3=^5^6'

结论2:连接小4,色色,为黄交于点。证明］OA2A4OA5,得当=当，同理可得力2。二4。，小O4»。，

A6O=A3O,然后证明匚。11彳2口匚°41色，同理匚。小4OA4A.,匚。1342口口。力/5，进而可以解决问题.

【洋解】证明：问题情境：如图1,连接小44,小力5,

图1□匚小二口久，口力2=匚45，口43=匚46，□/4|+D^4+CJ2+DJ5+nJ34-EJ6=720°,

42小力6十/6+A(^A^A4=360°9

A^A\A(^力6+464544+14544小=360°,

力2小，4=A^A^A\，

4为44/5；

问题探究：结论1：如图2,连接.443,44,

图243力4小46，AyA^=AlA^t

月344小为平行四边形，

=

A\AyA^A(y^43小/6=4344彳6,

424M_6=/儿久，

424，3=454446,

42=口45，

A\A^A^^4/!(AAS)，

小力2=44彳5，42/3=4546；

结论2:连接小/4,彳2黄，44交于点。，

图3小刈44为，

JA}OA2[JCA4OA5,

□生=组

A50AA0

^2^3力344小46，

.A\O_A（,O_AiO

f

A4O~A3O-A2O

D.42O=.45O,

同理小0=40,A6O=AyO,

□二O/[42□匚0/445，

同理匚。/]46口口。44力3，口。力342口匚。4645，，

二。小金的面积=口04445的面积，口。小4的面积=口。44/3的面积，口0小42的面积=口。4孔的面积，

□对角线小44平分六边形小生为为生人的面积.

【点睛】本题是四边形的综合题，考查了四边形的内角和，六边形的内角和，全等二角形的判定与性质，

相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识.

3.（2023・河北•中考真题）将三个相同的六角形螺母并排摆放在桌面上，其俯视图如图1,正六边形边长为

2且各有一个顶点在直线/上，两侧螺母不动，把中间螺母抽出并重新摆放后，其俯视图如图2,其中，中

间正六边形的一边与直线/平行，有两边分别经过两侧正六边形的一个顶点.则图2中

（1）□«=度.

（2）中间正六边形的中心到直线/的距离为（结果保留根号）.

CXWr0P0

ffil用2

【答案】302V3

【分析】（1）作图后，结合正多边形的外角的求法即可求解：

11

（2）表问题转化为图形问题，首先作图，标出相应的字母，把正六边形的中心到直线/的距离转化为求

ON=OM+BE,再根据止六边形的特征及利用勾股定理及三角困数，分别求出即可求解.

【详解】解：（1）作图如下：

根据中间正六边形的一边与直线/平行及多边形外角和，得匚/8。=60。,

a=90o-60°=30°,

故答案为：30；

（2）取中间正六边形的中心为O,作如下图形，

由题意得：AGDBF,ABUGF,BF^AB,

口四边形片8R7为矩形，

匚AB=GF,

匚84C=口FGH^ABC=□GFH=90。,

CRtD^^caRtCGFH(SAS),

匚BC=FH,

在Rt匚POE中，DE=1,PE=6,

由图I知力G=8E=2PE=2V5,

由正六功形的结构特征知：OM=；x2v5=历.

匚BC=1(BF-CH)=G1,

ADBCV3-1-仄

UAB=tanL5-/fC=—在<=—=3-V3>

3

CBD=2-AB=V3-\,

又匚。E=；X2=1,

12

LBE=BD+DE=V3,

ION=OM+BE=26

故答案为：2V3.

【点睛】本题考查了正六边形的特征，勾股定理，含30度直角三角形的特征，全等三角形的判定性质，解

直角三角形，解题的关键是掌握正六边形的结构特征.

考点四：利用平行四边形的性质求解

1.(2024•山东FI照•中考真题)幻图，以口48。。的顶点8为圆心，长为半径画弧，交8c于点E,再分别

以点4£为圆心，大于;力£的长为半径画弧，两弧交于点E画射线4兄交力。于点G,交C0的延长线于点〃.

(1)由以上作图可知，口1与口2的数量关系是

⑵求证：CB=CH

(3)若48=4,AG=2GD,nABC=60\求：8c〃的面积.

【答案】(1)D1=C2

(2)证明见解析

(3)973

【分析】本题考查了角平分线定义，平行四边形的性质，等腰三角形的判定，相似三角形的判定与性质，

解直角三角形，熟练掌握以上知识点并作出合适的辅助线是解题的关键.

(1)根据作图可知，4尸为二川北的角平分线，即可得到答案；

(2)根据平行四边形的性质可知□1=口〃，结合口1=口2,从而推出口2=口”，即可证明；

(3)过点〃作3C的垂线交8c的延长线于点根据平行四边形的性质相=C£>=4,匚"CM749c=6()。,照=%

DHGO

结合力G=2GO,推出。〃=:力从从而得到。〃，BC,UM=CHsinn//GW,最后由S8cH=：BC"0计算即司;

【详解】(1)解：由作图可知，8尸为口48。的角平分线

□匚1=口2

故答案为：口1=口2

(2)证明：□四边形48C。为平行四边形

13

AB匚CD

□匚1=口”

□□1=D2

□匚2=口〃

口CB=CH

(3)解：如图，过点，作的垂线交8c的延长线于点M

J

B£CM四边形4为平行四边形，AB=4

LABQCD,AB=CD=4

□匚，CM=匚48c=60。，LABGDlDHG

AB_A（J

DH=GD

又n4G=2GQ

□丝二2

GD

ABAG

,=,=2

DHGD

11

DDH=-AB=-^4=2

22

QCH=DH+CD=6

[BC=CH=6

V3厂

[7/^=C//UsinL7/GW=C//Jsin60°=6xy=3V3

□SssfCWM=1X6X3VI=9V1

2.（2024・海南・中考真题）如图，在口/lBCD中，4B=8,以点。为圆心作弧,交AB于点、M、N,分别以点M、

N为圆心，大于;A/N为半径作弧，两弧交于点R作直线。尸交力B于点£,若口BCEEDCE,DE=4,则四边

形BCOE的周长是（）

二

14

A.22B.21C.20D.18

【答案】A

【分析】本题考查了平行四边形的性质，解直角三角形，尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理.利

用勾股定理求得CE的长，再证明8G8C,作8GDCE于点G,求得CG=EG=26利用tan：ZIQC£=tan：：］3C£

求得8G=y5,再利用勾股定理求得8E=8C=5,据此求解即可.

【详解】解：VQABCD,48=8,

:.CD=AB=8,

由作图知QE□力8,

*：LABCD,

：.DECCD,

VD£=4,

/.C£=X/42+82=4V5,

，DDC£=EBEC,

*：CBCE=CDCE,

：.CBCE=CBEC,

:・BE=BC,

作伏.于点S

则CG=EG="=2V5,

VCDCE=CBCE,

/.tan□Z)CE=tan□BCE,

•DE_BGgi|4_BG

'•石=而'艮＜=京'

・・・8G=V5,

:.BE=BC=J(v5六/y5/=5，

/.四边形28E的周长是4+g+5+5=22.

15

故选：A.

3.(2024•江苏徐州•中考真题)如图，在。力8c。中，48=6,40=10,匚840=60°,P为边AB上的动点.连

接PC,将PC绕点尸逆时针旋转60。得到PE,过点E作E尸口48,£7咬直线力。于点立连接PRDE,分别取PR

OE的中点M、N,连接MM交工。于点Q.

(1)若点P与点8重合，则线段MN的长度为.

(2)随着点P的运动，与力。的长度是否发生变化？若不变，求出A/N与40的长度；若改变，请说明理由.

【答案】⑴5

(2)不变，/。=8,MN=5

【分析】(I)当点P与点8重合时，E、N、。、F、C共线，PE=PC=BC,MN为】PDE的中位线,即可求出MN的

长度.

(2)构造口尸打；，使MN为口尸打?的中位线，再构造□匚KCP,进而证得DPG〃是等边三角形，得出MN=

；GH=；AD=5.然后由匚/IP/和匚G。/为等边三角形，推导出依=。F，然后再由/。=4/+/。=8,最后得出.“/V

和N0的长度不变.

【详解】(I)解：当点尸与点月重合时，如图①,

图①

•••四边形48CD是平行四边形，

：.[JPCD=UA=60°,ADBC,CDUAB,BC=AD=K

,：将PC绕点P逆时针旋转60。得到尸E,

・••匚EPC=60。，PE=PC,

・••匚EPC是等边三角形，

:,PC=BC=PE=10.□PCE=60。，

.C£)、E三点共线,

16

ICO□48,EFlAB,

:・E、D、F、C共线，

•・•点M、N分别是尸REO的中点，

；・2MN=PE=W

:・MN=5.

故答案为：5.

（2）解：结论：不变.

如解图②，连接FW并延长到点G,使得FN=GN,连接GE,DG,延长EG,BA交于H点、,连接PG.延长48至

点、K,使得8K=BC,连接CK,CE,设PG与40交于1点，

・

K

图②

•••四边形48co是平行四边形，

/.□PCZ)=［：J=60°,ADJBC,CD匚AB,BC=AD=IO.

二点N为。上中点，

:,EN=DN.

，：FN=GN,

・•・四边形GMQ为平行四边形，

：.GE^AF,GDCEF.

■:EFMB,CDUAB,

：.GDUEFUHB,HGUAF.

・•・四边形"4OG为平行四边形，

：.HG=AD,

'/HGUAF

/.CBAD=L\AHG=60°.

在平行四边形"CO中,

•・•匚840=60。，CDLAB,

JL]C8K=60。，

•:BC=BK,

・•・[8KC是等边三角形，

工匚K=60°.KC=BC=AD=\0,

由旋转得nEPC=60。，PE=PC,

VD//=60°,UH+UHEP+UHPE=180°,

:.CHEP+aHPE=\20°,□HPE+UCPK=180°-60°=120°,

—P="PK,

又匚K=匚〃=60。，PE=PC,

・•・□£〃尸LIU尸KC(AAS).

:・HP=KC=AD=HG=\3

・・・[/GH为等边三角形.

•・•点M、N为PF、G下的中点，

・・・MV为口尸G尸的中位线，MN=|PG.

,：PG=HG=AD=\0.

:,MN=5.即MN的长度不变；

•・•匚CPE和□GP”都为等边三角形.

:.PH=PG,U〃〃G=L£PC'=6(r,U/7yG=」/'G〃=6(r,

：・UGPC=LHPE,

；・[HPErDGPC(SAS).

：.GC=HE=AF,

•・•UPHG=LPGH=60°,HGUAF

JUPAI=l：PHG=：JPGH=DPL4=UAPI=6。。,

・・・匚力户/为等边三角形.

同理：口6。/为等边三角形.

：,GD=ID.AP=AL

：.AF-DI=CG-DG,

工"+DF=DC=6=AP+PB,

HI,

18

:,PB=DF,

设则Ai=AP=a,ID=\Q-a,

：JF=ID+DF=10-a+6-a=16-2。.

••,A/V为UGO的中位线，

:・MNnGP,

・丝="=1

**IQGN'

：.FQ=IQ,

•・・M是PF的中点，

，。为/尸中点,

：.IQ=gIF=8-a,

.*.AQ=A/+/。=。+8-a=8.

故MN和力。的长度都不变.

【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形和等边三角形的性质，三角形中位线的性质以及平行线分线

段戊比例.本题的难点是构造匚"PECKKC尸得出M/V=；GH=1AD=5.

考点五：利用平行四边形的性质证明

1.（2024•宁夏•中考真题）如图，在48CQ中，点MA在力。边上，AM=DN,连接CM并延长交助的延长线

于点E,连接8N并延长交CO的延长线于点F.求证：4E=OF.小丽的思考过程如下：

平行四边形

T三角:相似

!对应赢比例1/

\AE=DF\BC

参考小丽的思考过程，完成推理.

【答案】见解析

【分析】本题考查的是平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质,先证明□/EA/MQCM,可得当=笑

DCDM

同理可得：冷器再进一步证明合知可.

【详解】证明：匚四边形力8。。是平行四边形

19

匚AB=CD,ABJCD,

匚

_AEAM

­=一，

DCDM

同理可得，"DNClABN,

□4M+MN=DN+MN

即/N=OM,

AEDP

--=..

DCAB

又MB=CD,

口AE=DF.

2.（2023•青海西宁•中考真题）如图，在ABCD中，点、E,/分另！在48,C。的延长线上，且尸，连接E尸

（1）求证：口4£忖：］口0；0：

（2）SACUEF,胪=3/，求四边形4EC户的周长.

【答案】（1）见解析

⑵12Vl

【分析】（I）根据平行四边形的性质得出力8DC,AB=DC,进而得出［力而必=口。尸忆证明力£=。/，根据

人人5证明口力£必口口。月0,即可得证；

（2）证明□力EC尸是菱形，根据菱形的性质，即可求解.

【详解】C）证明：•.•四边形/2右。是平行四边形

20

；・/.B匚DC,AB=DC（平行四边形的对边平行且相等）

・・・LMEA/=Z）CFM（两直线平行，内错角相等）

♦：BE=DF

:.AB+BE=CD^DF\^AE=CF

在njEM和DCKW中

（\：AME=UCMF

\\JAEM^UCFM

（AE=CF

.,.CJfA/DDCF^CAAS）；

（2）解：・：AE=CF,AEKF

・•・四边形/EC尸是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）

又,：AC匚EF

:•□力ECF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）

：/E=EC=CF=AF（菱形的四条边都相等）

:,菱形4c的周长=4力片4*3役=12V2.

【点睛】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，菱形的性质与判定，熟练掌握以上知

识是解题的关键.

3.（2023•黑龙江哈尔滨•中考真题）已知四边形48CZ）是平行四边形，点E在对角线80上，点尸在边8c上,

连接力K,EF,DE=BF,BE=BC.

------------4A：77。

图①图②

（1）如图①，求证口4£。匚口后必；

（2）如图②，若4B=AD,AEWED,过点、C作CH1AE交BE于短”,在不添加任何辅助线的情况F，请直接写出

图②中四个角（匚A4E除外），使写出的每个角都与LJH4E相等.

【答案】（1）见解析；

（2）DBE4YEFC=[DCH^DHC^BAE,理由见解析.

【分析】（I）由平行四边形的性质得力。BCLAD,进而有O4OE=UE",从而利用S4S即可证明

结论成立；

21

(2)先证四边形力8c。是菱形，得AB=BC=BE=CD=AD,又证□,4BED[Z]CQ”(AAS),得

CBAE=ZDCH=BEA=UDHC,由(1)得□2EQ」D£7?8(SAS)得AED=CEFB,根据等角的补角相等即可让

明.

【详解】(1)证明：•・•四边形/BC。是平行四边形，BE=BC

:.AD=BC=BE,BCJAD,

：,匚ADE7EBF,

•:DE=BF,MDE=fJEBF,AD=BE

:.□4£。口口£7超(SAS)；

(2)解：UBEA=[.EFC=UDCH=UDHC=UBAE,理由如下:

\tAB=AD,四边形彳8CD是平行匹边形，

・•・四边形力88是菱形，BCUAD.AB1CD

：.AB=BC=BE=CD=AD,UADE=UEBF,ABEECDH,

：.IBEA7BAE,

*：CH^AE,

，IBEAEJDHC,

：.□力即□□CO〃(AAS),

/.LBAE=JDCH=ZBEA=QDHC,

由(i)MatronD£ra(SAS),

J[]AED=JEFBt

,:口力七。+口3以=匚七尸8+口后产。=180°,

，CBE4=DEFC=QDCH=[DHC=[BAE.

图②

【点睛】本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定及性质、等边对等角、全等三角形的判定及性质以及

等角的补角相等.熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.

22

考点六：证明四边形是平行四边形

I.(2024•山东青岛・中考真题)如图，在四边形力8c。中，对角线力。与4。相交于点O,[}ABD=UCDB,BEUAC

于点石，。川力C于点尸，且BE=DF.

;

(1)求证：四边形48CQ是平行四边形；

(2)若/B=BO,当口力4石等于多少度时，四边形力4。。是矩形？请说明理由，并直接写出此时躇的值.

AD

【答案】(1)证明见解析

(2)当□力8£=30。时，四边形MCQ是矩形，理由见解析，此时胎25

【分析】(I)先证明"ICO得到口瓦14="CQ,再由垂线的定义得到口/£9=匚。-。=9()。，据此证明

□J£50CCFD(AAS),得到/4=CD,由此即可证明四边形力8CO是平行四边形；

(2)当□川?£=30。时，四边形48CQ是矩形，利用三角形内角和定理得到□比10=60。，则可证明口/O。是等

边三角形，得至1」。/=0氏进而可证明/C=8O,则四边形力SCO是矩形，在RE/8C中，tan匚比1C=警=75.

AD

(详解】(1)证明：VUABD=3CDB,

：,ABUCD,

:•匚EABjFCD,

V5ECJC,DFUAC,

.,.□JE5=nCFD=90°,

又TBE=DF,

/.Dj^nncro(AAS),

：.AB=CD,

又,:ABDCD,

・•・四边形48C。是平行四边形；

(2)解：当d48E=30。时，四边形48。是矩形，理由如下：

VBECAC,

：.CAEB=90°,

VnJ5£=3()°,

23

・•・匚历10=60。,

义•：AB=BO,

・••口力08是等边三角形，

：・OA=OB,

,:四边形/BCD是平行四边形，

：.OB=OD,OA=OC,

：,OB=OD=OA=OC,

：.AC=BD,

・•・四边形"CD是矩形，

即当匚Z8E=30。时，四边形48CQ是矩形，

・••匚48C=90°,

・••在RQ8C中,tanBAC卷=瓜

AB

【点睛】木题主要考查了矩形的性质与判定，平行四边形的判定，解直角三角形，全等三角形的性质与判

定，等边三角形的性质与判定等等，熟知平行四边形和矩形的判定定理是解题的关键.

2.（2024•山东潍坊・中考真题）如图，在矩形"C。中，AB>2AD,点、E,尸分别在边力8,C。上.将门力。尸沿

/斤折叠，点。的对应点G恰好落在对角线4c上；将匚C8E沿CE折叠，点8的对应点〃恰好也落在对角线4C

上.连接GE,FH.

DFC

求证：

{\}UAEH3UCFGx

（2）四边形EGF”为平行四边形.

【答案】（1）证明见解析；

（2）证明见解析.

【分析】（1）由矩形的性质可得,4Z>8CLB=。=90。，AB：CD,即得匚尸CG,由折叠的性质可得

AG=AD,CH=CB,口。，石=口夕=900,□JGF=D£>=90o,即得CH=/G,UAHE=QCGF=90o,进而得力，=CG,

即可由ASA证明□力EHZIDbG；

（2）由（1）得：UHE=UCGF=90。,14EH门匚CFG,即可得至归〃/G,EH=FG,进而即可求证；

本题考杳了矩形的性垢，折卷的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，掌握矩形和折叠

24

的性质是解题的关键.

【详解】(1)证明：•・•四边形4BCQ是矩形，

:,AD=BC,口5=0=90。，ABJCD,

"EAH—FCG,

由折叠可得，AG=AD,CH=CB,JCHE=[15=90°,CJGF=EZ>90°,

：.CH=AG,'4HE=[JCGF=90°,

：,AH=CG,

在□力E”和□C/G中，

(QEAH=UFCG

]AH=CG,

(□J//£=DCGF=90°

，匚4£7/」LlbG(ASA)；

(2)证明：由(1)知□力HE=ZICGF=90°,□XEHLfJCFG,

:・EHDFG,EH=FG,

・•・四边形EGFH为平行四边形.

3.(2024・四川达州•中考真题)如图，线段力C、8。相交于点O.且4B1CD,/lEDBD于点E.

(1)尺规作图：过点C作"”的垂线，垂足为点尸、连接力尸、C£；(不写作法，保留作图痕迹，并标明相应的

字母)

(2)若/B=CD,请判断四边形月Eb的形状，并说明理由.(若前问未完成，可画草图完成此问)

【答案】(1)见解析

(2)四边形力石。尸是平行四边形，理由见解析

【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，垂线的尺规作图，全等三角形的性质与判定：

(1)先根据垂线的尺规作图方法作出点R再连接CE即可；

(2)先证明□44OEIE]CQO(ASA),得到。1=OC,再证明力£口。凡nAEO=2CFO=90<>,进而证明

QAOEJDCOF(AAS),得到力E=C凡即可证明四边形4EC尸是平行四边形.

【详解】(1)解：如图所示，即为所求；

25

(2)解：四边形/EC尸是平行四边形，理由如下:

FBDCD,

：.LB=JD,DOAB=2OCD,

又♦:AB=CD,

ALJ