第1章 勾股定理 单元测试题-2025-2026学年北师大版八年级数学上册

2025-2026学年北师大版八年级数学上册《第1章勾股定理》自主学习达标测试题（附答案）

一、单选题（满分24分）

1.下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的是（）

A.5,2,3B.7,24,25C.6,8,10D.9,12,15

2.在△4BC中，乙4乙B,4c的对边分别是a,b,c,月.Q2—b2=c2,则下列说法正确的

是（）

A.乙C是直角B.乙8是直角C.乙A是直角D.乙A是钝角

3.已知氏一12|+（7-5）2=0,如果以人），的长为直角边作一个直角三角形，那么这个直

角三角形的斜边长是（）

A.2.5B.5C.7D.13

4.如图，在Rt△ABC中，/-ACB=90°,分别以4C,8c为边作正方形.若48=6,则正方

形40EC和正方形8CTG的面积和为（）

A.64B.36C.12D.6

5.如图，在△ABC中，AD为8c边上的中线，AD=2,BC=6,记AB=%,AC=y,当x,

y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（）

A.x+yB.x-yC.xyD.x2+y2

6.将一根24cm长的筷子置于底面圆直径为15cm、高为8cm的圆柱形水杯中，如图，设筷

子露在杯子外面的长度为hem,则。的取值范围是（）

D.h<8

7.如图，一根长为5m的梯子4B斜靠在一面竖直的墙40上，这时力。的长为4m.如果梯子

的顶端A沿墙下滑1m,那么梯子底端8外移的距离RD（）

A.等于lmB.大于ImC.小于ImD.以上都不对

8.如图，NB4C=ADAF=90。,48=AC,AD=AF,点D,E为BC边上的两点，且N/X4E=45°,

连结£R8尸，则下列结论：①△AED三AAE尸；②△ABEwaACZ）；③BE+DC>DE；

@BE2+DC2=DE2,其中正确的有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

二、填空题（满分24分）

9.有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15,则第三个数是.

10.直角三角形两直角边长分别为5和12,则它斜边上的高为.

11.已知a,b,c是A/IBC的三边长，若（c-7）2+|匕一24|+（。-25）2=0,则△ABC的形状

是.

12.△48C中，AB=15,AC=13,高力。=12,则BC=

13.如图，在RtZiA8c中，Z-B=90°,AB=4,BC=2,AC的垂直平分线分别交48、,4c于

点£、D,连结CE,则△BCE的面积为.

14.《九章算术》中有一道题：“今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？“大

致意思是：一根竹子高1丈，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，那么折断处离地面的

高度为尺.（1丈=10尺）

15.如图，在门上方离地面4.5m的墙上有一个由传感器A控制的灯，任何东西只要移至该

灯'5m及5m内，灯就会自动发光.小明身高1.5m,他走到点。处时（即CD=1.5m）,灯刚

好发光，则8。=m.

16.如图是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个"半

圆柱〃而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为18m的半圆，其边缘48=CO=30m,点E在

CDk.CE=6m.一位滑板爱好者从点4出发滑到点E,则他滑行的最短距离为m.

三、解答题（满分72分）

17.已知a=2n,6=n2-1,c=n2+1.

⑴当九=5时.，则以a,b,c的值为三边长的三角形面积为；

⑵小安猜想：当〃取大于1的整数时，a,为勾股数，你认为小安的猜想正确吗？请说明

理由.

18.为了绿化环境，我市某中学有一块四边形的空地48。。，如图所示，学校计划在空地上

种植草皮，经测量=9Q°,AB=4m,DA=12m,BC=3m,CO=13m,求出空地4BCD的面

积.

19.如图，在一个长为20米、宽为18米的长方形草地上，放着一根长方体的木块，已知该

由.

23.著名的赵爽弦图(如图1,其中四个直角三角形较大的直角边长都为a,较小的直角边

长都为b,斜边长都为c),大正方形的面积可以表示为c2,也可以表示为4x^ab+(a-by,

由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长为a、b,斜边长为c,则

b2=c2.

⑴如图2为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法〃，请你利用图2推导勾股定理：

(2)如图3,在一条东西走向河流的一侧有一村庄C,河为原有两个取水点人、B,AB=AC,

由于某种原因，由。到力的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水

点在同一条直线上)，并新修一条路C”,且C4测得CW=0.8千米，，8=0.4

千米，求新路CH比原路CH短多少千米？

参考答案

1.解：A：•••22+32=52,，2,3,5不能构成直角三角形；

B：♦.•72+242=252,,7,24,25能构成直角三角形；

C：v62+82=102,/.6,8,10能构成直角三角形；

D：V92+122=152,9,12,15能构成直角三角形.

故选：A.

2.C

【分析】本题考查了勾股定理逆定理，熟练掌握勾股定理逆定理是解题的关键；

将小一〃二’2化为炉+,2=标,根据勾股定理逆定理即可判定.

【详解】由。2一/二。2可得，b2+c2=a2,

・•・△4BC是直角三角形，且〃是直角.

故选：C.

3.D

【分析】两个非负的数相加为零，它们均为零，求出居y,再根据勾股定理即可求出答案.

【详解】由题意知,|x-12|=0,(y-5)2=0,

解得，x=12,y=5,

在直角三角形中，由勾股定理知，x2+y2=c2,

•••x2+y2=122+5?=169=c2,

团斜边长为13,

故选：D.

4.B

【分析】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是。力，斜边长为C,

那么+炉=C2.

根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可.

【详解】解：在Rt/MBC中,LACB=90°MB=6,

由勾股定理得：AC2+BC2=AB2=36,

团正方形力OEC和正方形3CFG的面积和为36,

故选：B.

5.D

【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，运用完全平方公式进行运算，勾股定理，熟

练掌握全等三角形的判定和性质，勾股定理是解题的关健.

先证明△。1^和4全等，可得CE=AB=%,再由勾股定理得小+炉=%/=+匕2一

22

4b+4,y2=Q2+82+4力+4,进而得M+y2=2(a+b)4-8=26,据此即可得出

答案.

【详解】解：延长力0到E,使E。=710=2,连接CE,过点。作CF10E于点F,如图所示：

西。为BC边上的中线，BC=6,

0CD=BD=-BC=3,

2

在△CDE和△BD4中，

(ED=AD

l^CDE=Z-BDA,

(CD=BD

0ACDE=△BDA(SAS),

0CF=AB=x,

设CF=a,DF-b,

0EF=DE-DF=2-b,AF=AD+DF=2+b,

在RtACD尸中，由勾股定理得：CF2+DF2=CD2,

0a2+〃=32=9,

在RtaCEF中，由勾股定理得：CE2=CF2+EF2,

瞅2=。2+金一匕)2=。2+匕2一助+4,

在Rt△力CF中，由勾股定理得：AC2=AF2+CF2,

2

团y2=(2+b)+a2=a2+b2+4b+4,

团%2+丫2=2(a24-b2)+8,

跳产+力2=%

0x24-y2=2x9+8=26»

团代数式/+/的值不变，始终等于26.

故选：D.

6.B

【分析】本题考查了勾股定理的应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键.

当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短：当筷子的底端在。点时，筷子露

在杯子外面的长度最长；分别求出〃的最大值和最小值即可.

【详解】解：如图1,当筷子的底端在。点时，筷子露在杯子外面的长度最长，

h

Cl

图1

团九最大=24-8=16；

如图2,当筷子的底端在A点时，筷子露在杯子外面的长度最短,

力w二二二二三%

图2

在Rt△力3。|卜，AD=15cm,BD=8cm,

财B=17(cm),

此时叫小=24-17=7,

M的取值范围是7工八W16,

故选：B.

7.A

【分析】本题考查正确运用勾股定理..梯子的长是不变的，只要利用勾股定理解出梯子滑动

前和滑动后的所构成的两直角三角形即可.

［详解］解：04。=4m,AC=lm,

团。。二4。-AC=4—1=3m,

在RtA48。中，根据勾股定理知，B0=3,

在RtaC。。中，根据勾股定理知，DO=4,

所以8。=00-8。=1m.

故选:A.

8.C

【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理.熟练掌握全等三角形的判定与性

质、勾股定理是解题的关8L

利用已知条件证明三角形全等从而得出边和角的关系是解题的关键，再利用三角形的性质判

断各个结论的正确性即可.

【详解】解：•••^DAF=90°,^DAE=45°,

:./-FAE=Z.DAF=乙DAE=90°-45°=45°,

在△力EO与△4EF中，

AE=AE

Z.DAE=Z.FAE,

AD=AF

••・△4EDwaAE尸(SAS),故①正确；

:.DE=EF,

•••/.BAC=LDAF=90°,

:.Z.BAC—/.BAD=Z.DAF-Z.BAD7

:.Z.CAD=Z.BAF,

在△4CD与△48尸中，

(AC=AB

l^CAD=Z.BAF,

(AD=AF

^ACD三△718F(SAS),

•••DC—BF,乙ABF—乙C,

在ABEF中，BE+DOEF,

:.BE+DC>DE,故③正确；

:.Z.BAC=90。，

/-ABC4-ZC=90°,

Z.ABC+LABF=90°,

•••乙EBF=90",

在RtaBE/中，AEBF=90°,

:.BE24-BF2=EF2,

BE2+DC2=DE2,故④正确：

由题干条件无法证明出仆ABE-△ACD,

综上所述，其中正确的有，①③④，共3个.

故选C.

9.25

【分析】本题主要考查勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第

三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键.

【详解】解：设第三个数为X,

分两种情况：当x为直角边时，

有％2+152=202,

得》不是正整数，需舍去；

当x为斜边时，

有152+202=%2,

解得x=25.

综上所述，第三个数为25.

故答案为：25.

1ac0.60—

13

【分析】本题考查了勾股定理，利用三角形的面积求高，解题关键是求出斜边长.

先利用勾股定理求出斜边长，再利用利用三角形的面积求出斜边上的高.

【详解】解：设它斜边上的高为九，

团直角三角形两直角边长分别为5和12,

团它斜边长为13,

这个直角三角形的面积为:x5x12=3x13九，

解得：%=詈

故答案为:阿

11.解:0(c-7)2>0,|b-24|>0,(a-25)2>0,且(c-7)2+\b-24|+(a-25)2=0,

(C-7=0

0b-24=0

G-25=0

（c=7

解得匕=24

（a=25

072+242=49+576=625,252=625,

222

0c4-b=at

团△ABC是直角三角形.

故答案为：直角三角形.

12.解：财。是△ABC的高，

团△ABO和△ACO均为直用三角形，Z-ADB=^ADC=90°.

在Rtzx/18。中，由勾股定理得：BD2+AD2=AB2

即+”2=152,BD2-225-144=81,

解得8。=9（负值舍去）.

在RtA/lCD中，由勾股定理得：DC2+AD2=AC2,

即2+"2=132,DC2=169-144=25,

解得DC=5（负值舍去）.

分两种情况讨论：

①当/。在449c内部时，BC=BD+DC=9+5=14;

②当月。在△4BC外部时,BC=\BD-DC\=|9-5|=4.

故答案为：14或4.

【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，先根据线段垂直平分线的性质得出CE=4E,

故［B=BE+4E=BE+CE,设=贝iJCE=4E=4—x,在Rt△CBE中根据勾股定

理求出x的值，利用面积公式计算即可.

【详解】解：•••〃£•垂直平分4C,

•••CE=AE,

:，AB=BE+AE=BE+CE,

设BE=x,则CE=4E=4-x,

在RtACBE中，BC2+BE2=CE2,

22+X2=(4-X)2,

解得：%=*

・•.BE=I，

则^BCE的面积=.BE=：x2x|=今

故答案为:|-

14.4.55

【分析】本题考查勾股定理的应用，设折断处离地面的高度为%尺，在宜角三角形中，利用

勾股定理列方程求解即可.

【详解】解：设折断处离地面的高度为工尺，

%2+32=(10-%)2,

解得％=4.55,

故答案为：4.55.

15.4

【分析】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练池掌握勾股定理.过点。作CE1AB

于点E则人离墙的距离为CE,在中，根据勾股定理列式计算即可得到答案.

【详解】解：如图，传感器A距地面的高度为力8=4.5m,人高CD=1.5m,

过点C作CE1于点E,则人离墙的距离为CE,

由题意可知/E=AB-BE=4.5-1.5=3(m),BD=CE,

当人离传感器4的距离4c=5m时，灯发光.

此时，在RtZiACE中，根据勾股定理可得，

CE2=AC2-AE2=52-32=42,

团CE=4,

080=CE=4m»

即人走到离墙4m远时，灯刚好发光.

故答案为:4.

16.30

【分析】本题主要考查了勾股定理的应用一最短路径问题.通过将U型池的侧面展开成矩

形，“化曲面为平面〃，用勾股定理求最短路径是解题的关键.将半圆面展开，连接AE.则AE

是最短距离，然后利用勾股定理求解即可.

【详解】将半圆面展开如答图所示，连接力£

C--------

-------

根据题意，得力。==CD=30m,DE=CD-CE=30-6=24(m).

在心△ADE中，由勾股定理，得4E=30(m),

所以他滑行的最短距离为30m.

故答案为：30.

17.(1)120

⑵小安的猜想正确，理由见解析

【分析】本题考查的是勾股数，满足。2+/=。2的三个正整数，称为勾股数.

(1)把〃的值代入〃、氏C,求出值，根据勾股定理的逆定理得到以Q,4C的值为三边长的

三角形是直角三角形，根据直角三角形面积公式计算；

(2)根据勾股数的概念正明.

【详解】(1)解：当九=5时，。=2n=10,b=n2-1=24,c=n2+1=26,

1024-242=262,

团M+b2=C2,

•••以a,b,c的值为三边长的三角形是直角三角形，

••・以a,b,c的值为三边长的三角形面积为Tx10x24=120,

故答案为：120；

(2)解：小安的猜想正确，

理由：Q?+炉=(2n)2+(n2—l)2=4n24-n4-2n24-1=n44-2n2+1=(nz+I)2,

c2=(n2+I)?,

•••a2+b2=c2>

是大于1的整数，所以a=2n,b=n2-l,c=n2+1都是正整数，

.•.当〃取大于1的整数时，a,b,c为勾股数，

•••小安的猜想正确.

18.空地力BCD的面积36小

【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用，解题的关键是通过连接对角线AC,将四

边形分割成两个直角三角形，分别计算面积后求和.连接AC,先在Rt△ABC中用勾股定理

求出AC的长度，再在△力CO中用勾股定理逆定理判断其为直角三角形，最后分别计算两个

直角三角形的面积并求和得到四边形面积.

【详解】解：如图,连接4C,

在Rt△48c中，AC2=AB2+BC2=42+32=52,

在44c。中，CD2=132,AD2=122,而52|122=132,^AC2\AD2=CD2,

.•・△4。。为直角三角形，

•••Z.DAC=90°,

S四边形/sc。=S^ABC+SAA,D=^-BC-AB+^AC-AD=^x3x4+1x5xl2=36(m2),

答：空地48CD的面积36G2.

19.30米

【分析】本题考查勾股定理的实际应用，将图形展开，利川勾股定理进行求解即可.

【详解】解：如答图，将木块展开.

由题意可知，长相当于是(48+2个正方形的边长),

团长为20+2x2=24(米)，宽为18米，

由勾股定理，得：最短路程为30米.

答：最短路程是30米.

20.3米

【分析】先在RtaBC。中，根据勾股定理求出3。=2.5米，由题意得B。=£0,则E。=2.5

米.再在RME。尸中，根据勾股定理求出EF=2米，进而可得OF的长为3米，即墙的高度.

本题主要考兖了勾股定理,熟练掌握勾股定理，利用勾股定理解直角三角形是解题的关键.

【详解】解：在Rt^BC。中，。。=0.7米，8c=2.4米，

(3B。=2.5米，

由题意得80=E。，

团E。=2.5米，

在RtaE。尸中，£。=2.5米，OF=1.5米，

0EF=2米，

又(3DE=1米，

WF=DE+EF=3米，

回墙的高度为3米.

21.(1)海港C受台风影响，理由见解析

(2)5h

【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的实际应用，正确作出辅助线是解题的关健.

(1)过点。作CO_L48于。，可证明。摩+。82=482得到乙4。8=90。，利用等面积法求

出CD的长，即可得到结论；

(2)在线段48上取两点E、F,使得CE=CF=130km,连接CE,CF,利用勾股定理求出

DE,OF的长，进而求出EF的长，据此可得答案.

【详解】(1)解：海港C受台风影响，理由如下：

如图所示，过点。作CD_LAB于O,

团&4=150km,CB=200km,AB=250km,

222

团C炉+CB2=1502+200=62500,AB=250=62500,

0C/42+CB2=AB2,

回乙AC8=90°,

^S^BC=^AC-BC=^AB-CD,

0120<130,

回海港C受台风影响；

（2）解：如图所示，在线段48上取两点七、F,使得CE=CF=130km,连接CE,CF,

在Rt^CEO中，由勾股定理得OE=50km,

在CDF中，由勾股定理得CF=50km,

团EF=DE+DF=100km,

回台风中心移动的速度为20km/h,且100+20=5,

回台风影响海港。持续的时间有5h,

答：台风影响海港C持续的时间有5h.

22.=70°；

⑵见解析；

⑶结论：EM2+EH2=HN2,理由见解析.

【分析】（1）利用平角定义解题即可；

（2）根据角平分线定义和平行线的性质得到4