函数的概念及其表示（学生版）-初升高数学暑假专项提升（人教版）

第三章《函数概念与性质》

3.1函数的概念及其表示

【知识梳理】

知识点一函数的有关概念

设A，8是非空的实数集，如果对于集合A中任意一个数工，按照某种确

函数的定义定的对应关系/,在集合B中都有唯一确定的数)，和它对应，那么就称

A-B为从集合A到集合B的一个函数

函数的记法y=/U),

定义域x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域

值域函数值的集合叫做函数的值域

知识点二同一个函数

一般地，函数有三个要素：定义域，对应关系与值域.如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一

致，我们就称这两个函数是同一个函数.

特别提醒：两个函数的定义域和对应关系相同就决定了这两个函数的值域也相同.

知识点三区间

I.区间概念3，b为实数,且a<b)

定义名称符号数轴表示

{x|aWxWZ?}闭区间[小b]abx

开区间3，b)abx

{x\a^x<b}半开半闭区间M，b)ahx

3。<¥&外半开半闭区间S，勿abx

2.其他区间的表示

定义RW2}{x\x^a]{x|x<«}

(—8,4-00)

区间[a,+0°)(a,+8)(—8,a](-8,a)

知识点四函数的表示方法

解析法H就是用数学表达式表示两个变成之间的对蔽素

知识点五分段函数

1.一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量X的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.

2.分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集：

各段函数的定义域的交集是空集.

3.作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象.

【基础自测】

1.若函数yu）=aF—1,。为一个正数，且用（一1））=-1,那么〃的值是（）

A.1B.0C.-1D.2

2.已知函数#2x+l）=6x+5,则JU）的解析式是（）

A.y（x）=3x+2B.凡r）=3x+l

C.fix）=3x~1D.於）=3X+4

4.函数的定义域用区间表示为

〃一3,10,

5.已知人〃)=则幽=________

人〃+5),〃<10,

【例题详解】

一、函数关系的判断

例I(1)下列各式中，表示了是x的函数的有()

g/I--------I------[x-l,x<0为有理数

①)，”(x-3)：②〉，=Q+E；③HL；④片/为无理数

A.4个B.3个C.2个D.1个

⑵设例={x|0W*W4},N={)，|TWyW0},函数/(x)的定义域为M,值域为N,则/(x)的图象可以是

跟踪训练1下列对应中：

(1)其中y=2x+l,xe{l,2,3,4},ye{x|x<10,xe/V}；

(2)x-丁，其中V=x,xe[0,+oc),yeR；

(3)xf)，，其中)，为不大于x的最大整数，xwR,yeZ；

(4)其中y=x-l,xeN*，y^N*.

其中，是函数的是()

A.(1)(2)B.(1)(3)C.(2)(3)D.(3)(4)

二、求函数的定义域、函数值

命题角度I求函数的定义域

A.-4B.-2C.2D.0

三、同一个函数的判定

例4(I)下列四组函数，表示同一函数的是()

“\I、x+l,x>—I

A.7(x)=|x+l|,g("=1I”]

-A-<一1

B./(x)=Vx7,g(x)=x

C/(x)=x,g(x)=一

X

D./(%)=&-4,g(x)=\lx+27x-2

跟踪训练4和函数/(幻=/是同一函数的是()

A./(x)=(x+l)2B.f(x)=x-EC.f(x)=—D./(%)={-必，(XV。)

X

四、求函数解析式

命题角度1换元法

例5(1)已知=则f(x)=_______________

⑵若函数/(言£|=-则〃力=

跟踪训练5⑴已知/g卜金，求/("=

(2)已知/(X+1)=2W+3X+2,求/⑶的解析式.

命题角度2配凑法

例6(1)若/(&+1)=工+26，则/(x)的解析式为()

A.f(x)=x2-xB./(^)=x2-l(x>0)

C.f(x)=x2-l(.r>1)D.f(x)=x2+x

⑵已知/(x+gxd+g,则/("=.

(3)已知/(x--)=x2+-V,则f(x+-)=.

Xx~X

跟踪训练6(1)已知/(x+：)=x?+*,求/(x).

(2)已知f(Hl)=0+！，求/⑶的解析式.

XX*X

命题角度3待定系数法

例7⑴已知/(x)是一次函数，且满足3f(工+1)-2f(x—l)=2x+17,求/(工).

(2)已知/⑴是二次函数，且满足/(0)=1,/(A+1)-/(A)=2A-,求/Ct)解析式.

跟踪训练7⑴已知“力是一次函数，且3)=3x—2,求眉(x).

⑵已知一次函数“X)满足3/(工+1)-2/(2力=-34+7,求函数〃力的解析式.

(3)已知，。)是二次函数,且满足f(0)=lJ(x+D=f(x)+2x,求函数/(幻的解析式.

⑵已知/(力满足2/(x)+/(r)=3x,求/("的解析式.

跟踪训练8⑴已知2/(1)+/卜：)=2x+l,求函数/(%)的解析式.

⑵已知/U)+2/(-x)=x2-x,求函数f(x)的解析式.

五、函数的图象

例9作出下列函数的图象.

(1)y=1-x(xe{-2,-1,0,1,2))；

c2x+l

(2)y=--；

x-1

(3)y=|x2-2x|+l.

-,x>2

(4)已知函数/(%)=«x

x2-3,x<2

(i)在所给坐标系中作出y=/(.r)的简图;

(ii)解不等式/(“＜；.

跟踪训练9作出函数/(x)=U+2|—|x-5|的图像.

六、分段函数求值

.、fx2-l,x<0.、

例10⑴已知函数/("=r,若/(。)=3,a的值为()

[yJX,X>0

A.6B.2C.9D.-2或9

x+2,x<1

⑵已知函数/(x)的解析式/Cv)=-X2,1<X<2,

2x,x>2

⑴求山加

(小若/(。)=2，求4的值;

y-1〃

跟踪训练10⑴已知函数/(1)=，若/[/(T)]=4,且〃>一1,则〃=()

49人hU.

A.--B.0C.1D.2

2

2x+3,x<-\

⑵已知函数/(力=，/+1.-1*"1.

1H-,X>1

.X

(i)求/(/(一2))的值；

(ii)若/(厮)=5，求/的值.

七、解分段函数不等式

例II⑴已知/(x)=[-f+2%，转0,满足/⑷</(_〃)，则。的取值范围是()

[x-+2x,x<0

A.(-oo,-2)J(0,2)B.(y,-2)D(2,M)

C.(-2,0)50,2)D.(-2,0)U(2,+oc)

⑵设函数〃x)=若则。的取值范围为______

x^.x>a.

—r+2,xK1,

跟踪训练11(1)己知函数/")=I，则使得了")之1的x的取值范围为()

r+——I,r>I,

x

A.[-1,1]B.C.(-1,-Kc)D.

⑵已知函数/(©=则满足不等式/(〃)</S+l)的〃的取值范围是___________.

2.t—3,x21

八、分段函数的实际应用

例12某企业投资生产一批新型机器，其中年固定成本为2000万元，每生产MxwN)百台，需另投入生

产成本我(“万元.当年产量不足46百台时，7?(1)=3/+260占当年产量不小于46百台时，

490()

双耳=5()我+一菊-483().若每台设备售价5万元,通过市场分析，该企业生产的这批机器能全部销售完.

⑴求该企业投资生产这批新型机器的年利润所W(x)(万元)关于年产量x(百台)的函数关系式(利润=

销售额一成本)；

(2)这批新型机器年产量为多少百台时，该企业所获利润最大？并求出最大利润.

跟踪训练12电子1生产某电(兀件的固定成本是4万兀，每生产x万件该电子兀件，需另投入成本/(.r)

-X2+3X-Z0<X<4,

万元，且/(幻=厂已知该电子元件每件的售价为8元，且该电子加工厂每月生产的这

(yd.

9.r+---38,4〈工420.

x

种电子元件能全部售完.

⑴求该电子厂这种电子元件的利润)'(万元)与生产量X(万件)的函数关系式；

(2)求该电子厂这种电子元件利润的最大值.

【课堂巩固】

2.(多选)下列对应关系/,能构成从集合M到集合/V的函数的是()

13](\\(3、

A."=《』,；，7V={-6-3,1},f-=-6,/(1)=-3,/-=1

B.M=^={x|x>-l},/(%)=2x4-1

C.M=N={1,2,3},f(x)=2x+l

-l,x为奇数,

D.M=Z,N={fl},/(x)=<

1/为偶数.

3.若函数/（同=氏7+后"则函数/（/-i）的定义域为（）

A.（0,2）B.[-2,0）U（0,2]C.[-2,2]D.[0,2]

4.（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（）

A./（x）=x与g（x）=V?

B./（x）=x+l与&（4）==

C.〃x)=凶与g(x)=l,x>0

X-l,x<0

D./(£)="i|与g(x)=kT

r"—4x+6x>()

5.已知函数/("=,二一，则不等式/(x)>3的解集是()

x+6,x<0

A.(-3,l)U(3,+co)B.(^o,-l)U(2,3|

C.(-1,1)^(3,+a))D.(^»,-3)(J(l,3|

6.(多选)下列选项中正确的有()

A./(x)=V-2x+l与g(t)=r-2t+\是同一函数

B./*)=⑷与=表示同一函数

C.函数y=/(x)的图象与直线x=2的交点最多有1个

D.若/(x)=|x|—|x—l|,则

I\J)

x+5.x<-l

7.(多选)已知函数।关于函数/。)的结论正确的是()

x<2

A./(x)的定义域为RB./(x)的值域为(Y>,4)

C./(-D=lD.若/。)=3,则工的值是G

3x+5,x<0,

8.(多选)已知函数/("={1若〃〃a))=2,则实数。的值为()

XH—,X>0,

X

4

A.-2B.——C.-1D.1

3

9.求函数f(x)二笔L的定义域为_______________________

4+2

10.己知函数/(x)是一次函数且/(/(x))+2/(x)=r-2,则函数/(X)的解析式为

11.若-/+则〃0)-八)----------

12.已知/(?卜/+I,则/(X)的值域为

\)2x-\-x2,x>—

/，则/(-3)=

13.设函数/a)=

/(x+2),x<-

14.己知函数/")=N(X-4),XWR.

(1)把函数/*)写成分段函数的形式;

(2)在给定的坐标系内作函数"v)的图象.

x+2xW0

⑸已知函数不卜…>0,解不等式/⑺”

x+2(x<-I)

16.已知函数Hx)=<丁(-l<.r<2)

2x(x>2)

⑴求外小网》的值：

(2)求/(〃)=3,求。的值；

⑶画出函数的图像.

【课时作业】

1.下列函数中，相同的一组是()

A.),=衣，y=(4yB.y=Jx-l•Vx+1,y=-1

D.y=x--\,.y=-^—

x+1

2.已知函数f(4+2)=x+2j7+2,则/(x)的最小值是(

A.-1B.2C.1D.0

3.设函数/1+-=2x+l,则的表达式为()

\X)

1+Xz\+x

A.BD.—XHI)

x-\

2x

C.---(xwT)D.------(i1)

1+P7x+\

4.己知一次函数f(x)满足/(X+2)-2/(2X+D=—9x—4,则/(x)解折式为()

A.f(x)=-2x-4B./(x)=-2x+3

C./(x)=3x+4D./(x)=-3x+2

5.一次函数满足：/[/(x)-2x]=3,则/⑴=()

A.1B.2C.3D.5

x+2(x<-l)

6.设/(劝=<f(_1<“<2).若〃工)=3,则x的值为().

2x(x22)

3

A.1B.x/3C.-x/3D.

2

7.已知函数小)满足小)+2小一T)=—则於)的解析式为(

A.(打=好一lZt+18

B./(x)=-x2—4x+6

3

C.4r)=6x+9

D.J[x)=2x+3

x+2,x<I),

8.已知函数八加L+2,q。，则不等式小)方的解集是()

A.[-UIB.[-2,2]C.[-2,1]D.[-1,2]

9.(多选)若函数/(l-2x)=上二(工。0),则下列结论正确的是()

A.吗卜5

B."2)=一：

c./(X)=TA7(X")

(x-l)

/I)4x2.

Di-=--77-(4工°且3*1)

.\x)(x-1)

X+2K<1

10.（多选）已知函数/（x）=_/+3/>]，则（）

A./[/（^）]=3

B.若则x=2或X二一3

C./（耳<2的解集为（YO,0）D（1，田）

D.VreR,a>f（x）