2025年下学期初中数学竞赛同伴竞技试卷

2025年下学期初中数学竞赛同伴竞技试卷考试时间：120分钟满分：150分一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）若正整数(a)，(b)满足(a^2+b^2=2025)，且(a<b)，则(b-a)的最小值为（）A.9B.15C.21D.27已知二次函数(y=ax^2+bx+c)的图像过点((-1,0))，((3,0))，且与(y)轴交于点((0,-6))，则当(x=2)时，(y)的值为（）A.-4B.-6C.-8D.-10如图，在菱形(ABCD)中，(\angleBAD=60^\circ)，对角线(AC=6)，点(E)是(BC)中点，连接(AE)，则(AE)的长为（）A.(3\sqrt{3})B.(4\sqrt{2})C.5D.(2\sqrt{7})若关于(x)的方程(\frac{x}{x-2}+\frac{m}{2-x}=3)有增根，则(m)的值为（）A.-2B.0C.2D.3已知点(P(a,b))在反比例函数(y=\frac{6}{x})的图像上，且(a)，(b)为正整数，则以(a)，(b)，5为边长的三角形是直角三角形的概率为（）A.(\frac{1}{3})B.(\frac{1}{4})C.(\frac{1}{5})D.(\frac{1}{6})如图，在平面直角坐标系中，直线(y=-x+4)与(x)轴交于点(A)，与(y)轴交于点(B)，点(P)是线段(AB)上一动点，过点(P)作(PD\perpx)轴于点(D)，(PE\perpy)轴于点(E)，则矩形(PDOE)的面积最大值为（）A.2B.4C.6D.8定义新运算“(\otimes)”：(a\otimesb=a^2-b^2-ab)，则方程(x\otimes(x-1)=3)的解为（）A.(x=2)B.(x=-1)C.(x=2)或(x=-1)D.无解观察下列等式：(1^3=1^2)(1^3+2^3=3^2)(1^3+2^3+3^3=6^2)(1^3+2^3+3^3+4^3=10^2)……根据以上规律，(1^3+2^3+\dots+n^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2)，则(1^3+3^3+5^3+\dots+19^3)的值为（）A.10000B.11025C.12100D.13225二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）分解因式：(x^3-4x^2+4x=)__________。若关于(x)的不等式组(\begin{cases}x-a>0\3-2x>-1\end{cases})有且只有3个整数解，则(a)的取值范围是__________。如图，(\odotO)是(\triangleABC)的外接圆，(\angleBAC=90^\circ)，(AB=AC)，点(D)是(\overset{\frown}{BC})的中点，连接(AD)，若(BC=4)，则(AD)的长为__________。在一个不透明的袋子中装有3个红球和(m)个白球，这些球除颜色外无其他差别，从中随机摸出一个球，摸到红球的概率是(\frac{1}{3})，则(m=)__________。已知一次函数(y=kx+b)的图像经过点((1,2))和点((3,-4))，则关于(x)的方程(kx+b=0)的解为__________。如图，在矩形(ABCD)中，(AB=6)，(AD=8)，点(E)是边(AD)上一点，将(\triangleABE)沿(BE)折叠，点(A)落在点(A')处，若(A')恰好落在矩形的对称轴上，则(AE)的长为__________。三、解答题（本大题共6小题，共80分）15.（12分）计算：（1）(\sqrt{12}-|1-\sqrt{3}|+(2025-\pi)^0-\left(\frac{1}{2}\right)^{-1})；（2）先化简，再求值：(\left(\frac{x^2-4}{x^2-4x+4}-\frac{x}{x-2}\right)\div\frac{x+2}{x-2})，其中(x=\sqrt{2}+2)。16.（12分）如图，在平行四边形(ABCD)中，点(E)，(F)分别在边(AD)，(BC)上，且(AE=CF)，连接(BE)，(DF)。（1）求证：(\triangleABE\cong\triangleCDF)；（2）若(\angleABE=90^\circ)，(AB=3)，(AD=5)，求四边形(BFDE)的面积。17.（14分）某商店销售一种进价为每件30元的商品，经市场调查发现，该商品每天的销售量(y)（件）与销售单价(x)（元）满足一次函数关系：(y=-2x+160)。（1）求商店每天销售该商品的利润(w)（元）与销售单价(x)（元）之间的函数关系式；（2）若销售单价不低于40元且不高于60元，求商店每天销售该商品的最大利润。18.（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线(y=ax^2+bx+c)与(x)轴交于点(A(-1,0))，(B(3,0))，与(y)轴交于点(C(0,3))。（1）求抛物线的解析式；（2）点(P)是抛物线上一动点，且在第四象限，连接(PA)，(PB)，当(\trianglePAB)的面积最大时，求点(P)的坐标及(\trianglePAB)的最大面积。19.（14分）如图，(AB)是(\odotO)的直径，点(C)在(\odotO)上，过点(C)作(\odotO)的切线(CD)，交(AB)的延长线于点(D)，连接(AC)，(BC)。（1）求证：(\angleACD=\angleB)；（2）若(OA=2)，(\tan\angleACD=\frac{1}{2})，求(BD)的长。20.（14分）已知点(M)，(N)是平面直角坐标系中的两个动点，点(M)从点((0,0))出发，沿(x)轴正方向以每秒2个单位长度的速度运动，点(N)从点((0,3))出发，沿(y)轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设运动时间为(t)秒（(t\geq0)）。（1）直接写出点(M)，(N)的坐标（用含(t)的代数式表示）；（2）当(t)为何值时，(\triangleOMN)是等腰三角形？（3）在点(M)，(N)的运动过程中，是否存在某一时刻(t)，使得以(M)，(N)，(O)为顶点的三角形与(\triangleAOB)相似？若存在，求出(t)的值；若不存在，请说明理由。参考答案及评分标准（部分提示）选择题：1.A2.B3.D4.C5.B6.B7.C8.C填空题：9.(x(x-2)^2)10.(-1\leqa<0)11.(2+2\sqrt{2})12.613.(x=\frac{5}{3})14.3或(\frac{3}{2})解答题：15.（1）(\sqrt{3})；（2）(\sqrt{2}-2)16.（2）1217.（2）1250元18.（2）点(P(1,-1))，面积419.（2）(\frac{4}{3})20.（2）(t=3)或(t=\frac{9}{4})；（3）(t=\frac{3}{2})或(t=6)命题说明：题型分布：覆