第7讲切线公切线的常见套路

第7讲：切线，公切线常见套路整理：云南普洱薛家兵一、问题综述导数起源于切线，但是与后面单调性、极值、最值等问题又相对独立，本章把切线常见问题进行梳理（1）已知切点求切线方程；（2）未知切点求切线方程；（3）切点在曲线上的切线以及过切点的切线方程；（4）利用切线求参数取值范围；（5）存在切线求参数取值范围；（6）利用切线转化求参数范围；（7）切线几何意义的再利用；（8）函数切线条数问题；（9）公切线问题（Ⅰ）求两函数的公切线；（Ⅱ）两曲线公共点处公切线问题；（Ⅲ）不切于同一点公切线；（Ⅳ）存在公切线问题；（Ⅴ）公切线条数问题．二、典例分析1、已知切点求切线方程（在切点处的切线方程）【例1】已知函数的图象过点P（0，2），且在点M（－1，f（－1））处的切线方程为.求函数的解析式；【例2】曲线y=x2+lnx在点1,f(1)【答案】3x−y−2=0【解析】因为y'=2x+1x因为f(1)=1，所以切线方程为y−1=3(x−1),3x−y−2=0.例3：函数f(x)=lnx+2x在点(x0,f(x【答案】2【解析】分析：首先对函数求导，利用导数的几何意义，即为导函数在相应的点的函数值等于3，从而得到其所满足的等量关系式，从而求得结果.详解：根据题意可得，f'(x)=1令f'(x0)=1则f(x0)=f(1)=ln1+2=2【答案】例5：点P是曲线y=x2－lnx上任意一点，则P到直线y=x－2的距离的最小值是.【答案】【方法小结】【跟踪训练】A．6 B． C．3 D．12二、填空题三、解答题（II）求的最小值.跟踪训练参考答案1．D【解析】【分析】先求导数，得切线的斜率，再根据点斜式得切线方程.【详解】【点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本求解能力，属基础题.2．D【解析】【分析】先求导求斜率，再求切线.【详解】【点睛】本题考查曲线的切线方程和导数的几何意义.3．D【解析】【分析】求出原函数的导函数，得到f′（0）＝﹣2，再求出f（0），由直线方程的点斜式得答案．【详解】故选：D【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，过曲线上某点的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．4．A【解析】【分析】先求导数得切线斜率，再根据点斜式得切线方程，最后求切线与坐标轴交点，计算面积.【详解】故选：A．【点睛】本题考查导数几何意义以及直线点斜式方程，考查基本分析求解能力，属基础题.5．D【解析】本题选择D选项.点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.6．A【解析】【分析】【详解】故答案选A【点睛】本题主要考查函数的切线方程，根据导数的几何意义求出函数切线的斜率是解决本题的关键，属于基础题．7．C【解析】【分析】【详解】故选C．【点睛】本题主要考查了利用导数的几何意义求解曲线在某点处的切线方程，其中解答中熟记导数的几何意义是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．【解析】【分析】【详解】【点睛】本题考查导数的几何意义和直线的点斜式，关键求出某点处切线的斜率即该点处的导数值，属于基础题．【解析】【分析】先求得切点坐标，然后求得函数的导数，由此求得切线的斜率，根据点斜式求得切线方程.【详解】【点睛】本小题主要考查在某点处切线方程的求法，考查导数的运算，考查直线点斜式方程，属于基础题.【解析】点睛：导数运算及切线的理解应注意的问题一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.11．【解析】【分析】【详解】【点睛】本题考查了直线与直线的垂直关系及导函数的几何意义的应用、导数的计算，属于中档题.【解析】【分析】【详解】【点睛】本题主要考查利用导数求函数上某点切线方程，以及函数单调区间和最值，在求单调区间注意结合定义域研究，属于基础题．【解析】【分析】（1）先求导求得斜率，再利用点斜式求方程即可；（2）由导函数的正负确定单调区间即可.【详解】【点睛】本题主要考查导数在函数中的应用，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，是基础题.【解析】【分析】对原函数求导,将切点的横坐标代入导函数得到直线的斜率,利用点斜式得到直线方程.【详解】【点睛】本题考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程,过曲线上一点的切线的斜率,就是函数在该切点的导数值,属于导数的应用.【解析】【分析】【详解】【点睛】本题考查导数的运用,求切线的方程，掌握导数的几何意义，同时考查直线的点斜式方程，属于基础题．请看清题：到底问的是在点A处的切线方程还是过A的切线方程！求过点A处切线方程【跟踪训练】一、单选题A． B． C．或 D．或A． B．1 C．2 D．4．已知曲线f(x)=1x，则过点(−1,3)，且与曲线A．y=2x+5或y=−9x−6B．y=−x+2或y=−9x−6C．y=−x+2或y=−8x−5D．y=2x+5或y=−7x−45．过点(e,−e)作曲线y=eA．y=(−1−e)x+e2C．y=(ee+1二、填空题7．已知f（x）＝x3﹣3x，过点P（2，2）作函数y＝f（x）图象的切线，则切线方程为_____8．已知fx=x3−3x三、解答题（1）求实数的值；（1）求的值及切线的方程；13．已知曲线y=13x14．已知函数fx=x3−12x+1615．已知函数f(x)=ex，（Ⅰ）求过原点O，且与函数f(x)图象相切的切线方程；（Ⅱ）求证：当x∈(0,+∞)时，f(x)>g(x).参考答案1．A【解析】【分析】设切点坐标，求函数的导数，可得切线斜率和切线方程，代入点P，解方程可得切点和斜率，进而得到所求切线方程．【详解】可得切线斜率k＝3m23，由点斜式方程可得切线方程为y﹣m3+3m＝(3m23)（x﹣m），解得m＝0或m＝3，故选：A．【点睛】本题考查导数的几何意义，考查过某一点的切线方程的求法，步骤为：一：设切点，求导并且表示在切点处的斜率；二：根据点斜式写切点处的切线方程；三：将所过的点代入切线方程，求出切点坐标；四：将切点代入切线方程，得到具体的表达式.2．C【解析】【分析】【详解】【点睛】本题考查“过”点型切线问题，要点在于设出切点，求出切线，再代入所过的点，考查学生对基础知识的掌握水平，属基础题．3．B【解析】【分析】设出切点坐标，求出原函数的导函数，得到曲线在切点处的切线方程，把点（0，﹣e）代入，利用函数零点的判定求得切点横坐标．【详解】由f（x）＝e2x﹣1，得f′（x）＝2e2x﹣1，令g（x）＝（2x﹣1）+ln（2x﹣1）﹣1，显然函数g（x）为（，+∞）上的增函数，又g（1）＝0，∴x＝1，即＝1．故选：B．【点睛】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查函数零点的判定及应用，是中档题．4．B【解析】【分析】设切点为(x0,y0)，根据导数的几何意义求出曲线在点【详解】设切点为(x0,则切线方程是y−y0=−所以3−y又y0由①②解得，x0=1y切线方程为x+y−2=0或9x+y+6=0.故选B.【点睛】本题主要考查了导数的几何意义，切线方程，属于中档题.5．C【解析】【分析】设出切点坐标（x0，【详解】由y=ex−x设切点为（则y'∴切线方程为y−e∵切线过点(e,−e)，∴−ex0＝ex0(1−x0)，解得：x0∴切线方程为y−ee+1=故选C.．【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，是中档题．【解析】【分析】假设切点坐标，利用斜率等于导数值，并利用原点和切点表示出斜率，从而构造出方程，求出切点坐标，从而求得斜率，最终得到切线方程.【详解】【点睛】本题考查导数的几何意义，解题关键是求解过非切点的切线时，首先假设切点，利用切线斜率构造出方程，从而求解出切线斜率，得到结果.7．y＝9x16或y＝2【解析】【分析】【详解】解：y'＝3+3x2当点P为切点时，y'|x＝2＝9，得到切线的斜率为9，所求的切线方程为y＝9x﹣16，当P点不是切点时，设切点为（m，m3﹣3m）则切线的斜率为3m2﹣3，切线方程为y﹣m3+3m＝（3m2﹣3）（x﹣m）而切线过（2，2），2﹣m3+3m＝（3m2﹣3）（2﹣m）解得m＝1或2（舍去）∴切点为（1，2），斜率为0，所求的切线方程为y＝2故答案为：y＝9x16或y＝2．【点睛】本小题主要考查过某点的切线方程的求法，考查运算求解能力，属于基础题.8．y=−2或y=9x+16【解析】【分析】求得导函数，并讨论点是否在曲线上分别求切线方程．【详解】对函数求导得y'=3x当点P−2,−2为切点时，则k=3×根据点斜式，求得切线方程为y=9x+16当点P−2,−2不是切点时，设切点坐标为m,n则n=m3−3mn+2m+2所以切点为1,−2，所以此时切线方程为y=−2综上，切线方程为y=9x+16【点睛】本题考查了导数的简单应用，求过定点的切线方程，属于基础题．【解析】【分析】(1)首先由导函数求得切线的斜率，然后求解切线方程即可；(2)首先设出切点坐标，然后结合点的坐标求得切点横坐标，最后由切点坐标可得满足题意的切线方程.【详解】【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积.【解析】【分析】【详解】【点睛】本题考查了已知函数极值的情况，求参数问题．重点考查了过已知不在函数图象上的点的切线方程的问题．【解析】【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义求出在切点处的切线方程，再根据切线过已知点求出切点的坐标，进而得到所求直线的方程．【详解】【点睛】【解析】【分析】（1）结合导函数，计算切线斜率，建立等式，计算参数，即可．利用点斜式，计算直线方程，即可．（2）结合导函数，判定原函数的单调性，计算最值，证明不等式，即可．【详解】因为曲线y=f(x)在点（2，f(2)）处的切线l的斜率为3e2，【点睛】考查了利用导函数计算原函数切点直线方程，考查了利用导函数判定原函数的单调性，难度偏难．13．12x﹣3y﹣16=0和3x﹣3y+2=0【解析】【分析】设过点P的切线与曲线y=f（x）相切于点R，然后根据曲线y=f（x）在点R处切线的斜率列出方程，求出切点坐标，从而可求出切线方程．【详解】设过点P的切线与曲线y=f（x）相切于点R（m，13m3曲线y=f（x）在点R处切线斜率为m2，可得切线的方程为y﹣13m3=m2代入点P，可得83﹣13m3=m解得，m=2或m=﹣1，故切点R分别为（2，83）和（﹣1，﹣1过点P的切线方程为y﹣83=4（x﹣2）或y+1所以过点P的切线方程有两条：12x﹣3y﹣16=0和3x﹣3y+2=0．【点睛】高考对导数几何意义的考查主要有以下几个命题角度：（1）已知切点求切线方程；（2）已知切线方程(或斜率)求切点或曲线方程；（3）已知曲线求切线倾斜角的取值范围．14．9x+y−18=0或y=0【解析】【分析】根据题意，设切点的坐标为（m，n），则n=m312m+16，求出函数的导数，有f′（m）=3m212，即切线的斜率k=3m212，可得切线的方程为y（m312m+16）=（3m212）（xm），将P的坐标代入切线方程，可得（m312m+16）=（3m212）（2m），解可得m的值，进而将m的值代入切线方程，综合即可得答案．【详解】设切点x0,x0则切线方程为：y−因为切线过点P2,0，则整理，得x03−3x02所以切线方程为：9x+y−18=0或y=0．【点睛】本题考查利用导数分析计算函数的切线方程，关键是掌握导数的几何意义．15．(Ⅰ)y=ex；(Ⅱ)证明见解析.【解析】分析：（1）设出切点，求导，得到切线斜率，由点斜式得到切线方程；（2）先证得f(x)≥ex，再证ex>g(x)即可，其中证明过程，均采用构造函数，求导研究单调性，求得最值大于0即可.详解：（Ⅰ）设切点P(x0,y0)，则切线方程为：y−y即：y−ex00−ex0切线方程为：y=ex.（Ⅱ）设ℎ(x)=f(x)−ex=ex−ex，x∈(0,+∞)，ℎ/(x)=当x∈(0,1)时，ℎ/(x)<0，当x∈(1,+∞)时，所以ℎ(x)≥0，即：当x∈(0,+∞)时，f(x)≥ex.设v(x)=ex−g(x)=ex−lnx−2+1v/(x)=e+12−当x∈(0,1e+12)时，，当则v=1+ln所以v(x)>0，即：当x∈(0,+∞)时，ex>g(x)，所以当x∈(0,+∞)时,f(x)>g(x).点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1)构造差函数ℎ(x)=f(x)−g(x).根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.（3）切点在曲线上的切线以及过切点的切线方程1.椭圆证明：2.双曲线3.抛物线推论1：推论2：推论3：推论4：4.圆锥曲线（2）同联想一（2）可证．结论亦成立．通过以上联想可得出以下几个推论：在以上的研究中，我们成功的运用了联想，由过已知圆上和圆外的点的切线方程联想到过圆锥曲线上和圆锥曲线外的切线方程，触类旁通，实现了知识的内迁，使知识更趋于系统化，取得了事半功倍的效果．4.利用切线求参数范围（1）：单参例1、已知函数f(x)=xlnx+a在x=e处的切线经过原点，则实数A．e B．1e C．1 【答案】A【解析】fx把（0，0）代入方程中，a=e，f(1)=e，故本题选A．【答案】1【领悟技法】应用导数的几何意义求切点处切线的斜率，主要体现在以下几个方面：、（2）多参【答案】例3、（2013全国新课标Ⅰ卷节选）已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)，若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点P(0，2)，且在点P处有相同的切线y＝4x+2．（Ⅰ）求a，b，c，d的值．【答案】=4，=2，=2，=25.存在切线求参问题例1、若对于函数f(x)=ln(x+1)+x2图象上任意一点处的切线l1A．(−∞,−2C．(−∞,1−2【答案】a≥2或【解析】函数fx=lnx+1+

函数gx=2asin要使过曲线fx上任意一点的切线为l1，在函数gx=2则1x1+1∵11+x∵∀x1，∴1−22,0即a的取值范围为a≥2或a≤−6、利用切线转化求参数范围【答案】D【答案】B【答案】D【答案】A如图，【答案】D故选D.【答案】D【答案】A【答案】AA.3B.4C.5D.6【答案】B所以整数的最大值为，故选B.例11、（2019江门一模理）：若直线y=k(x−1)与曲线则正整数kA．1B．2C．3D．4【答案】C7.切线几何意义再利用【答案】【解析】解法1：即的最小值为：解法2：解法3：【解析】解法一：解法二：A.B.C.D.【答案】D故选D.【跟踪训练】A．1 B．－1 C．2 D．－25．已知函数f(x)=x2+bx的图象在点A(1,f(1))处的切线l与直线3x−y+2=0平行，若数列{1f(n)}的前A．20172018 B．20182019 C．201920206．直线y=kx+1与曲线y=x3+ax+b相切于点AA．2 B．−1 C．1 D．−27．函数f(x)=ax2+sinx的图象在x=A．1+π4 B．1−π4 C．8．直线y=kx+b与曲线y=ax2+2−lnxA．3 B．−3 C．−1 D．111．直线y=x+b是曲线y=lnxx>012．在平面直角坐标系xOy中，若直线y=x+m与曲线y=asinx+bcosx(a,b，m∈R)相切于点13．已知函数fx=bx−1ex+aa,b∈R.若曲线y=f（1）求的值；（1）求的值；18．设fx=ax+bxlnx,fx在x=e（1）求a,b的值（2）证明：f19．已知函数fx（1）若y=fx在1,f1处的切线方程为y=x+n2n∈（2）若m为区间1,4上的任意实数，且对任意x1，x2∈0,1，总有20．已知函数f(x)=axln（1）曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+y+12=0（2）若a≤0，b=12时，∀x1,跟踪训练参考答案1.A2.C2.C3.C4.C5.C6.A7.B8.D9.10.11.112.213.3+00+↗极大值↘极小值↗【点睛】本题主要考查已知曲线切线斜率求参数的问题，以及导数的应用，熟记导数的几何意义，灵活运用分类讨论的思想的应用，属于常考题型.所以不是f(x)的极大值点．综上可知，a的取值范围是（，+∞）．【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．（1）求的值；【点睛】【分析】（1）利用导数的几何意义，结合切线方程可求;【解析】【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值以及导数的几何意义，考查逻辑推理能力和数学运算能力.18.【答案】(1)a=1,b=−1(2)见证明【分析】（1）先对函数求导，根据题意列出方程组，求解即可得出结果；（2）先由（1）得fx=x−xlnx，令【详解】（1）f由题意，可得f'(e)=a+b+b=−1（2）由（1）知f令ℎx=x−xℎ″x=−1g'x≤g'0=1，又g所以ℎx在0,x0所以ℎx==x令mx0又m0<0,m1>0所以∃x1ℎ'x1=0∴x0=x【点睛】本题主要考查根据切线方程求参数的问题、以及导数方法证明不等式，熟记导数的几何意义、以及导数的方法研究函数单调性、最值等即可，属于常考题型.19.【答案】（1）m=2，n=−1（2）3【分析】（1）由题意得f'(1)=m−1=1，即m=2，又即可解得n.（2）根据m∈[1,4]，x1,x2∈(0,1]，可得mx≥1∴f'(x)≥0，故f(x)在(0,1]上单调递增,假设1≥x1≥x2>0，可得f(x1)≥f(x2)且1【详解】解：（1）∵f'(x)=mxf(1)=−12+1=1+（2）依题意mx≥1∴f'(x)≥0，故f(x)在则f(x1)≥f(x2令g(x)=f(x)+tx，依题意，应满足g(x)在即g'(x)=m即t≥mx−x3在(0,1]（i）若m≥3，ℎ'(x)≥0，此时ℎ(x)在(（ii）若1≤m<3，x∈(0,m3)时，ℎx∈(m3,1)时，ℎ故此时ℎ(x)max=ℎ(故对于任意m∈[1,4]，满足题设条件的【点睛】本题考查导数应用：已知切线方程求参数，恒成立求最值，考查分类讨论和构造函数法，考查计算，推理，方程转化的能力，属难题.20.【答案】（1）1,12；（2）【分析】（1）对f(x)求导后利用f'1=（2）先判断若a≤0，b=12时，f（x）在区间(1,e)上是减函数，利用单调性及x1,x2的大小去绝对值，得到fx1+3x1<f(x2)+3x2，构造函数ℎ(x)=f(x)+3x【详解】（1）∵f'x=alnx+a−2bx−a=∴b=12（2）若a≤0，b=12时，f'x=a∴f（x）在区间(1,e)上是减函数．不妨设1<x1<x2<e，则fx则f(x1)−f(即fx即函数ℎ(x)=f(x)+3x在x∈(1,e)时是增函数．∴ℎ'x=alnx−x+3≥0，即a≥x−3lnx在x∈(1,e)时恒成立．令g(x)=x−3lnx,则g'x=lnx−1+∴y=lnx−1+3x在x∈(1,e)时是减函数，且x=e时，y=∴y>0在x∈(1,e)时恒成立,即g'x>0在x∴g(x)在x∈(1,e)时是增函数，∴g(x)<g(e)=e3∴a≥e所以，实数a的取值范围是e−3，0【点睛】本题综合考查了导数的几何意义的应用，考查了利用导数研究函数的单调性及最值范围问题，考查了等价转化、适当变形、构造函数等基础知识与基本技能，考查了理能力和计算能力，属于难题．8.切线条数问题（1）三次函数切线条数（1）当恰有三条切线时，求m的取值范围；（2）当恰有两条切线时，求m的取值范围；（3）当恰有一条切线时，求m的取值范围.02++增极大值减极小值增[来源:学_科_网Z_X_X_K]例4．已知函数fx的图象与函数y=x3−3x2+2A．−3，−2B．C．−∞，−3−2【答案】C过点1，t等价于方程仅有一根．易知t的范围是−∞，−3（2）其他函数切线条数A.−∞,eB.e,+∞C.0,1e【答案】B【解析】设切点为(x0,y0),f'(x)=lnx+1,所以切线方程为:y−x0lnx0=(lnx0+1)(x−x0),代入A(m,m),得m−x0ln【跟踪训练】【答案】A9.公切线问题公切线的几何探秘图1无公切线图2有一条公切线图3两条公切线函数的切线问题小结如下：题型一：求两函数的公切线【答案】【解析】方法一、常规解法：方法二、参数法：方法三、数形结合法（平移）：【答案】A【答案】A题型二：两曲线公共点处公切线问题【答案】B【解析】方法一：公共点+切线斜率相等（构造关于的函数）所以的最小值是．方法二：公共点+切线斜率相等（构造关于的函数）所以的最小值是感悟反思：思路一和二先设出公共点建立方程，再利用共切线得出公切线斜率相等的方程，联立方程组消元得到的解，从而使双变量转化为单变量，其中思路一是构造关于的函数，进而求函数的最小值；思路二是构造关于的函数，进而求函数的极值，再结合极值和最值的等价性求出所求的值．本题体现了高中数学里的解方程思想和转化化归思想，是一道关于导数综合运用的经典好题！A．B．C．D．[来源:ZXXK]【答案】CA． B． C． D．【答案】A【答案】AA.B.C.D.【答案】D例6：已知定义在0,+∞上的函数fx=x2−m,hx=6lnx−4xA.−3B.1C.3D.5【答案】D【解析】分析：根据题意设出切点坐标为(x0,y0)，根据导数的几何意义及两曲线y=fx详解：依题意设曲线y=fx与y=ℎx在公共点(∵fx=∴f'(x)=2x∴f(x0∵x0>0∴x0=1【点拨】本题考查导数的几何意义，解答本题的关键是列出方程组，方程组主要是从“两曲线y=fx与y=ℎx在公共点处的切线相同”题型三：不切于同一点公切线；【答案】D【答案】A【解析】解法一：【答案】A【点拨】从切线重合（即同一条切线）得到两切点的关系，转化所求变量与其中一个切点变量的函数关系，考查化归转化与函数的思想，构造函数，并注意函数自变量的范围，通过求导确定函数单调性得到函数值域也即所求参数范围．题型四：存在公切线问题【答案】A【解析】【答案】C【解析】设切点的横坐标为，故选C．【点睛】本题考查导数的几何意义，利用直线垂直的条件求出实数关于切点横坐标的函数，求值域即可，考查了转化与划归的思想．例3．若函数f(x)=lnx+ax与函数g(x)=xA．(−∞,−1] B．(−∞,0] C．(−∞,1] D．(−∞,2]【答案】C【解析】设公切线与函数f(x)，g(x)分别切于点A(x1,y1)，B(x2,y2)，则过A，B的切线分别为：y=(设公切线与函数f(x)，g(x)分别切于点A(x1,则过A，B的切线分别为：y=(1x1两切线重合，则有：lnx1−1=−x22⇒x1=e1−x22代入1x1+a=2x2得：ex22−1−2欲合题意，只须−a≥ℎ(1)=−1⇒a≤1.【点睛】本题考查导数中的公切线存在性问题，涉及导数的几何意义，通过双变量的处理，从而转化为零点问题：重在考查考生的消元、转化、构造函数、数形结合能力以及求解运算能力例4．设曲线f(x)=ex+2x(e为自然对数的底数)上任意一点处的切线为l1，总存在曲线g(x)=−ax+sinx上某点处的切线l2，使得A．[−1,2]B．(−1,2)【答案】D【解析】【分析】求得f(x)的导数，设(x1,y1)为f(x)上的任一点，可得切线的斜率k1，求得g(x)的导数，设g(x)图象上一点(x2,y2)可得切线l2的斜率为k2，运用两直线垂直的条件：斜率之积为−1【详解】f(x)=ex+2x的导数为f'(x)=ex+2，设(x1,y1)为f(x)上的任一点，则过(x1,y1由l1⊥l2，可得任意的x1∈R，总存在x2∈R使等式成立,则有y1=−a+由B⊆A，即(−12,0)⊆[−a−1，−a+1]解得：[−12,1]【点睛】本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线垂直的条件：斜率之积为−1，考查任意存在性问题的解法，注意运用转化思想和值域的包含关系，考查运算能力，属于中档题．【答案】D例6．若函数f(x)=x2+1的图象与曲线C:g(x)=aA．0,4e2B．0,8e2【答案】A【解析】【分析】设公切线与f（x）、g（x）的切点坐标，由导数的几何意义、斜率公式列出方程化简，分离出a后构造函数，求出函数的最值，即可求出实数a的取值范围．【详解】设公切线与f（x）＝x2+1的图象切于点（x1，x1与曲线C：g（x）＝aex+1切于点（x2，ae∴2x1＝aex2化简可得，2x1＝2x1−x12x∵2x1＝aex2，且a＞0，∴x1＞0，则2x2＝x1由2x1＝aex1设h（x）＝4x−1ex∴h（x）在（1，2）上递增，在（2，+∞）上递减，∴h（x）max＝h（2）＝4e2，∴实数a的取值范围为（0，【点睛】本题考查了导数的几何意义、斜率公式，导数与函数的单调性、最值问题的应用，及方程思想和构造函数法，属于中档题．例7．若曲线C1：y=x2与曲线C2A．8e2，+∞B．0，8e2【答案】D【解析】【分析】分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此得到m=2n−2，则4n−4=aen有解．再由导数即可进一步求得【详解】设y=x2在点（m，my=aex在点（n，aen如果两个曲线存在公共切线，那么：2m=ae又由斜率公式得到，2m=m由此得到m=2n−2，则4n−4=aen有解．由设切点为（s，t），则aes=4即有切点（2，4），a=4故a的取值范围是：a≤4e2且a≠0．又a>0选D.【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题．【答案】D根据公切线导数值相等的原理，公切线只会出现在单调性一致的区间，题型五：公切线条数问题【答案】D曲线与有两条公切线等价于方程（1）有两个异根A.有条B.有条C.有条D.有条【答案】B【解析】解法一：解法二：特值法例3．已知曲线y=ex+a与y=(x−1)