2025年下学期高中数学校本竞赛试卷

2025年下学期高中数学校本竞赛试卷一试（80分钟满分120分）一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）已知函数$f(x)=\sin^2x+\sinx\cosx+2\cos^2x$，则$f(x)$的最小正周期为______，最大值为______。若等比数列${a_n}$满足$a_1+a_3=10$，$a_2+a_4=5$，且$a_1>a_2$，则其前6项和$S_6=$______。设复数$z$满足$|z|=1$，且$\text{Re}(z+\frac{1}{z})=1$，则$\text{Im}(z)=$______（其中$\text{Re}(z)$表示复数$z$的实部，$\text{Im}(z)$表示虚部）。在三棱锥$P-ABC$中，$PA\perp$平面$ABC$，$AB=AC=2$，$\angleBAC=90^\circ$，$PA=3$，则该三棱锥外接球的表面积为______。若关于$x$的不等式$|x-1|+|x+2|\leqa^2-2a$有解，则实数$a$的取值范围是______。从0，1，2，3，4，5这6个数字中任取3个组成无重复数字的三位数，其中能被5整除的概率为______。已知函数$f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq0,\\log_{\frac{1}{2}}x,&x>0,\end{cases}$则$f(f(4))=$，若$f(a)=-1$，则$a=$。设$x,y>0$，且$x+2y=1$，则$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的最小值为______。二、解答题（本大题共3小题，共56分）9.（16分）已知数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=2a_n+n$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）求数列${a_n}$的通项公式；（2）设$b_n=\frac{a_n}{2^n}$，求数列${b_n}$的前$n$项和$S_n$。10.（20分）已知椭圆$C:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，且过点$P(2,1)$。（1）求椭圆$C$的标准方程；（2）过点$Q(1,0)$的直线$l$与椭圆$C$交于$A,B$两点，若$\overrightarrow{OA}\cdot\overrightarrow{OB}=-\frac{5}{3}$（$O$为坐标原点），求直线$l$的方程。11.（20分）已知函数$f(x)=x^3-3ax^2+3bx$（$a,b\in\mathbb{R}$）。（1）若函数$f(x)$在$x=1$处取得极值，且$f(1)=0$，求$a,b$的值；（2）在（1）的条件下，求函数$f(x)$在区间$[-2,4]$上的最大值和最小值。加试（170分钟满分180分）一、（40分）平面几何如图，在锐角$\triangleABC$中，$AB=AC$，$D$为$BC$的中点，以$AD$为直径作圆$O$，分别交$AB,AC$于点$E,F$，连接$EF$交$AD$于点$G$，延长$CG$交$AB$于点$H$。求证：$AH=2HE$。（注：可使用梅涅劳斯定理、塞瓦定理等几何定理辅助证明）二、（40分）代数已知函数$f(x)=\frac{x}{1+x^2}$，数列${a_n}$满足$a_1=1$，$a_{n+1}=f(a_n)$（$n\in\mathbb{N}^*$）。（1）证明：数列${\frac{1}{a_n^2}}$是等差数列；（2）设$b_n=a_n^2\cdota_{n+1}^2$，求数列${b_n}$的前$n$项和$T_n$，并证明：$T_n<\frac{1}{2}$。三、（50分）数论（1）求所有正整数$n$，使得$n^2+2n-3$能被7整除；（2）已知$p$是质数，且$p\equiv1\pmod{4}$，求证：存在整数$a,b$，使得$a^2+b^2=p$。四、（50分）组合数学（1）将6个不同的小球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少放1个小球，求不同的放法种数；（2）在平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标均为整数的点称为格点。在以$O(0,0)$，$A(2,0)$，$B(1,\sqrt{3})$为顶点的三角形内（含边界），求格点的个数；（3）证明：在任意5个整数中，必有3个数的和能被3整除。试卷说明一试侧重高中数学核心知识的综合应用，覆盖函数、几何、代数、概率等模块，题型与高考衔接，强调解题技巧与计算能力；加试拓