九年级上学期数学压轴必考题型-锐角三角函数（含答案）

人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编专题锐角三角函数一．选择题1．（2020秋•桐城市期末）如图，平面直角坐标系中的点P的坐标为（2，4），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（）A． B． C． D．2．（2021春•温县期末）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（）A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米3．（2020秋•八步区期末）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan∠DAC的值为（）A． B． C． D．4．（2020秋•高平市期末）如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（）A． B． C． D．5．（2020秋•南岸区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则sinB的值为（）A． B． C． D．6．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（）A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+27．（2021春•沙坪坝区月考）某网红地惊现震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡．小丽想了解该LED屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30米到达台阶底端D点，在D点测得屏幕下端点B的仰角为27°，然后她再沿着i＝4：3长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达F点，在F点测得屏幕上端点A的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且E、F和C、D、G分别在同一水平线上），则该LED屏AB的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）A．86.2米 B．114.2米 C．126.9米 D．142.2米8．（2020秋•北碚区校级期末）北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为i＝1：0.75，EF的坡角为45°，小王想利用所学知识测量基站顶部A到地面的距离，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为37°，在F点处测得基站顶部A的仰角为60°，则基站顶部A到地面的距离为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．21.5米 B．21.9米 C．22.0米 D．23.9米二．填空题9．（2020秋•崇川区期末）如图，若A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则∠BOD的余弦值为．10．（2021春•爱辉区期末）如图1是公园某处的几何造型，如图2是它的示意图，正方形的一部分在水平面EF下方，测得DE＝2米，∠CDF＝45°，露出水平面部分的材料长共合计140米（注：共8个大小一样的正方形造型，不计损耗），点B到水平面EF的距离为米．11．（2020秋•锡山区期末）如图的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为．12．（2020秋•覃塘区期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D都是小正方形的顶点，AB与CD相交于点P，则sin∠BPD的值是．13．（2020秋•抚州期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cos∠BOD＝．14．（2020秋•蒙城县期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tanB的值为．15．（2020秋•新吴区期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin＝．16．（2021春•瑞安市月考）如图，在河对岸有一等腰三角形场地EFG，FG＝EG，为了估测场地的大小，在笔直的河岸上依次取点C，D，B，A，使FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，点E，G，D在同一直线上，在D观测F后，发现∠FDC＝∠EDA，测得CD＝12米，DB＝6米，AB＝12米，则FG＝米．17．（2021•新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN＝，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为．18．（2021•乐山）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为．三．解答题19．（2020秋•安丘市期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°（画图并写出过程）．20．（2021•西藏）如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B两点，使A、B、D三点在同一条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°，小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°，且AB＝10m．求建筑物CD的高度．（拉姆和小明同学的身高忽略不计．结果精确到0.1m，≈1.732）21．（2021•淮安）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）22．（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）23．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，co22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）24．（2020秋•文登区期末）生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳蓬，如图1．现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳蓬．如图2，AB表示窗户的高，CD表示遮阳蓬，且AB＝1.5m，遮阳蓬与窗户所在平面的夹角∠BCD等于75°．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳蓬的宽度CD．25．（2021•荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？26．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．27．（2021•武汉模拟）如图，已知BC是⊙O的直径，CA平分∠BCE，延长EC交⊙O于点D，连接DO并延长交AB于点F．（1）求证：AO⊥BD；（2）已知tan∠ACE＝，求tan∠AFO．28．（2021•资阳）资阳市为实现5G网络全覆盖，2020﹣2025年拟建设5G基站七千个．如图，在坡度为i＝1：2.4的斜坡CB上有一建成的基站塔AB，小芮在坡脚C测得塔顶A的仰角为45°，然后她沿坡面CB行走13米到达D处，在D处测得塔顶A的仰角为53°．（点A、B、C、D均在同一平面内）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）（1）求D处的竖直高度；（2）求基站塔AB的高．人教版数学九年级全册压轴题专题精选汇编专题锐角三角函数一．选择题1．（2020秋•桐城市期末）如图，平面直角坐标系中的点P的坐标为（2，4），OP与x轴正半轴的夹角为α，则sinα的值为（）A． B． C． D．【思路引导】如图，过点P作PH⊥x轴于H．利用勾股定理求出OP，可得结论．【完整解答】解：如图，过点P作PH⊥x轴于H．∵P（2，4），∴OH＝2，PH＝4，∴OP＝＝＝2，∴sinα＝＝＝，故选：D．2．（2021春•温县期末）如图，小明在骑行过程中发现山上有一建筑物，他测得仰角为15°；沿水平笔直的公路向建筑物的方向行驶4千米后，测得该建筑物的仰角为30°，若小明的眼睛与地面的距离忽略不计，则该建筑物离地面的高度为（）A．2千米 B．2千米 C．2千米 D．千米【思路引导】过C作CD⊥AB于D，先证∠BAC＝∠BCA，得BC＝AB＝4千米，再由含30°角的直角三角形的性质求出CD的长即可．【完整解答】解：如图，过C作CD⊥AB于D，则∠CDB＝90°，由题意得：∠BAC＝15°，∠CBD＝30°，AB＝4千米，∴∠BCA＝∠CBD﹣∠BAC＝30°﹣15°＝15°，∴∠BAC＝∠BCA，∴BC＝AB＝4千米，在Rt△BCD中，∠CBD＝30°，∴CD＝BC＝2（千米），即该建筑物离地面的高度为2千米，故选：A．3．（2020秋•八步区期末）如图，在△ABC中，AC⊥BC，∠ABC＝30°，点D是CB延长线上的一点，且AB＝BD，则tan∠DAC的值为（）A． B． C． D．【思路引导】设AC＝a，通过解直角三角形用含a代数式分别表示出BC，CD的值，然后作比求解．【完整解答】解：设AC＝a，∵∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2a，∵tan∠ABC＝＝，∴BC＝AC＝a，∵AB＝BD＝2a，∴CD＝BC+BD＝（2+）a，∴tan∠DAC＝＝＝2+．故选：C．4．（2020秋•高平市期末）如图，点A、B、C在正方形网格的格点上，sin∠BAC＝（）A． B． C． D．【思路引导】如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则AH＝5a，利用勾股定理求出AB，可得结论．【完整解答】解：如图，取格点T，连接BT交AC于H，则BH⊥AC，设BH＝a，则AH＝5a，在Rt△AHB中，AB＝＝＝a，∴sin∠BAC＝＝，故选：C．5．（2020秋•南岸区期末）如图，△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，则sinB的值为（）A． B． C． D．【思路引导】过点A作AH⊥BC于H．利用勾股定理求出AH，可得结论．【完整解答】解：过点A作AH⊥BC于H．∵AB＝AC＝5，AH⊥BC，∴BH＝CH＝BC＝4，∴AH＝＝＝3，∴sinB＝＝，故选：C．6．（2021•宜兴市模拟）如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，tan∠BAC＝，AD＝2，BD＝4，连接CD，则CD长的最大值是（）A．2+ B．2+1 C．2+ D．2+2【思路引导】如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，证明△DAB∽△TAC，推出＝＝，推出TC＝2，再根据CD≤DT+CT，可得CD≤1+2，由此即可解决问题．【完整解答】解：如图，在AD的下方作Rt△ADT，使得∠ADT＝90°，DT＝1，连接CT，则AT＝，∵＝＝2，∴＝，∵∠ADT＝∠ABC＝90°，∴△ADT∽△ABC，∴∠DAT＝∠BAC，＝∴∠DAB＝∠TAC，∵＝，∴△DAB∽△TAC，∴＝＝，∴TC＝2，∵CD≤DT+CT，∴CD≤1+2，∴CD的最大值为1+2，故选：B．7．（2021春•沙坪坝区月考）某网红地惊现震撼的裸眼3D超清LED巨幕，成功吸引了广大游客前来打卡．小丽想了解该LED屏AB的高度，进行了实地测量，她从大楼底部C点沿水平直线步行30米到达台阶底端D点，在D点测得屏幕下端点B的仰角为27°，然后她再沿着i＝4：3长度为35米的自动扶梯到达扶梯顶端E点，又沿水平直线行走了45米到达F点，在F点测得屏幕上端点A的仰角为50°（A，B，C，D，E，F，G在同一个平面内，且E、F和C、D、G分别在同一水平线上），则该LED屏AB的高度约为（）（结果精确到0.1，参考数据sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51，sin50°≈0.77，tan50°≈1.19）A．86.2米 B．114.2米 C．126.9米 D．142.2米【思路引导】作EM⊥GC于M，设FE交AC于N，则EN＝MC＝DM+DC，EM＝NC＝NB+BC，由三角函数定义求出BC，由坡度求出EM＝28米，MD＝21米，得出CM＝51米，FN＝96米，再由三角函数定义求出AN，即可得出答案．【完整解答】解：作EM⊥GC于M，设FE交AC于N，如图所示：则EN＝MC＝DM+DC，EM＝NC＝NB+BC，由题意得：∠AFN＝50°，FE＝45米，DC＝30米，DE＝35米，∠BDC＝27°，ED的坡度i＝4：3，∵tan∠BDC＝，∴BC＝DC×tan27°≈30×0.51＝15.3（米），∵DE的坡度为4：3＝，∴EM＝NC＝ED＝28（米），DM＝DC＝21（米），∴EN＝MC＝DM+DC＝21+30＝51（米），∴FN＝FE+EN＝45+51＝96（米），∵tan∠AFN＝，∴AN＝FN×tan50°≈96×1.19≈114.24（米），∴AB＝AC﹣BC＝AN+NC﹣BC＝114.24+28﹣15.3≈126.9（米）．故选：C．8．（2020秋•北碚区校级期末）北碚区政府计划在缙云山半山腰建立一个基站AB，其设计图如图所示，BF，ED与地面平行，CD的坡度为i＝1：0.75，EF的坡角为45°，小王想利用所学知识测量基站顶部A到地面的距离，若BF＝ED，CD＝15米，EF＝3米，小王在山脚C点处测得基站底部B的仰角为37°，在F点处测得基站顶部A的仰角为60°，则基站顶部A到地面的距离为（）（精确到0.1米，参考数据：≈1.73，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）A．21.5米 B．21.9米 C．22.0米 D．23.9米【思路引导】延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，根据锐角三角函数即可求出结果．【完整解答】解：如图，延长AB交过点C的水平线于M，交DE延长线于点N，作DG⊥MC于G，FH⊥DN于H，∵CD的坡度为i＝1：0.75＝，∴＝，设DG＝4k，CG＝3k，则CD＝5k，∴5k＝15，∴k＝3，∴DG＝12，CG＝9，∵EF的坡角为45°，EF＝3，∴EH＝FH＝3，∵四边形BNHF和四边形DGMN是矩形，∴BF＝NH＝DE，BN＝FH＝3，DN＝MG，NM＝DG＝12，∴BM＝BN+NM＝15，在Rt△BCM中，∠BCM＝37°，MC＝MG+CG＝DN+CG＝NH+HE+DE+CG＝2BF+3+9＝2BF+12，∴BM＝CM•tan∠BCM，∴15＝（2BF+12）×0.75，∴BF＝4，在Rt△ABF中，∠AFB＝60°，∴AB＝BF•tan60°＝4≈6.92（米），∴AM＝AB+BM＝6.92+15≈21.9（米）．故选：B．二．填空题9．（2020秋•崇川区期末）如图，若A，B，C，D都在格点处，AB与CD相交于O，则∠BOD的余弦值为．【思路引导】如图，取格点T，连接CT．DT．利用平行线的性质证明∠BOD＝∠TCD，求出CT，CD，可得结论．【完整解答】解：如图，取格点T，连接CT．DT．观察图象可知，CT∥AB，CT⊥DT，∴∠BOD＝∠TCD，∠CTD＝90°，∵CT＝＝，CD＝＝5，∴cos∠BDO＝cos∠TCD＝＝＝，故答案为：．10．（2021春•爱辉区期末）如图1是公园某处的几何造型，如图2是它的示意图，正方形的一部分在水平面EF下方，测得DE＝2米，∠CDF＝45°，露出水平面部分的材料长共合计140米（注：共8个大小一样的正方形造型，不计损耗），点B到水平面EF的距离为米．【思路引导】延长AE交CD的延长线于T，连接BT交DE于J．设AB＝m米．解直角三角形求出JT，ET，TD，构建方程求出m，再求出BT，可得结论．【完整解答】解：延长AE交CD的延长线于T，连接BT交DE于J．设AB＝m米．∵四边形ABCT是正方形，∴AB＝BC＝CT＝TA＝m米，∠BTC＝45°，∵∠CDF＝∠EDT＝45°，∴∠TJD＝90°，∵∠ETD＝90°，∴∠TED＝∠TDE＝45°，∴TE＝DT，∵DE＝2米，TJ⊥DE，∴EJ＝JD＝1（米），∴JT＝DE＝1（米），∴ET＝DT＝（米），由题意，AB+BC+AE+CD＝140÷8＝17.5，∴2m+2（m﹣）＝17.5，∴m＝+，∴BT＝m＝（+1）（米），∴BJ＝BT﹣TJ＝（米）．故答案为：11．（2020秋•锡山区期末）如图的正方形网格中，△ABC的顶点都在格点上，则tan∠ACB的值为．【思路引导】如图，过点A作AH⊥BC于H．利用面积法求出AH，再利用勾股定理求出BH，CH，可得结论．【完整解答】解：如图，过点A作AH⊥BC于H．∵AB＝2，BC＝5，∴S△ABC＝×2×4＝•BC•AH，∴AH＝，∴BH＝＝＝，∴CH＝BC﹣BH＝5﹣＝，∴tan∠ACB＝＝＝，故答案为：．12．（2020秋•覃塘区期末）如图，在正方形网格中，点A，B，C，D都是小正方形的顶点，AB与CD相交于点P，则sin∠BPD的值是．【思路引导】连接AE、BE．通过平行四边形的判定说明AE∥CD，从而得到∠EAB＝∠DPB．再利用勾股定理的逆定理判断△AEB的形状，最后求出sin∠BPD的值．【完整解答】解：如图所示：连接AE、BE．∵AC＝ED＝1，AC∥ED，∴四边形AEDC是平行四边形．∴AE∥CD．∴∠EAB＝∠DPB．∵BE＝AE＝＝，AB＝＝＝2．∴AB2＝AE2+BE2．∴△AEB是等腰直角三角形．∴∠EAB＝∠DPB＝45°．∴sin∠BPD＝sin45°＝．故答案为：．13．（2020秋•抚州期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点O，则cos∠BOD＝．【思路引导】连接CE、DE，利用正方形对角线的性质先说明CE∥AB、∠CED＝90°，这样把求∠BOD的余弦值转化为求∠ECD的余弦值，在在Rt△CED中，可利用勾股定理和直角三角形的边角关系求解．【完整解答】解：如图，连接CE、DE．∵AB、CE、ED都是正方形的对角线，∴∠CEF＝∠ABF＝∠OED＝∠CEO＝45°．∵∠CEF＝∠ABF，∴CE∥AB．∴∠ECD＝∠BOD．∵∠OED＝∠CEO＝45°，∴∠CED＝90°．在Rt△CED中，cos∠ECD＝＝＝＝，∴cos∠BOD＝．故答案为：14．（2020秋•蒙城县期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C均在格点上，则tanB的值为．【思路引导】如图，取格点E，连接AE，EC，则B，A，E共线，∠E＝90°．利用勾股定理求出EC，EB，可得结论．【完整解答】解：如图，取格点E，连接AE，EC，则B，A，E共线，∠E＝90°．∵EC＝＝，BE＝＝2，∴tanB＝＝．故答案为：．15．（2020秋•新吴区期末）如图，△ABC的顶点都在正方形网格纸的格点上，则sin＝．【思路引导】如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．证明CB＝CT，利用等腰三角形的性质求解即可．【完整解答】解：如图，取格点T，连接AT，BT，设BT的中点为H，连接CH．∵BC＝＝5，CT＝＝5，∴CB＝CT，∵BH＝HT，∴∠HCA＝∠HCB，CH⊥BT，∵HT＝，∴sin＝＝＝，故答案为：．16．（2021春•瑞安市月考）如图，在河对岸有一等腰三角形场地EFG，FG＝EG，为了估测场地的大小，在笔直的河岸上依次取点C，D，B，A，使FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，点E，G，D在同一直线上，在D观测F后，发现∠FDC＝∠EDA，测得CD＝12米，DB＝6米，AB＝12米，则FG＝8米．【思路引导】过点G作GM⊥AE于G．GN⊥EF于N，过点D作DJ⊥l，过点F作FT⊥AE于T．利用相似三角形的性质证明DF＝FG，再证明∠DEA＝∠DEF，推出EN＝EM＝FN，证明△EGM≌△EGN（AAS），推出EM＝EN，设AM＝m，在Rt△ETF中，利用勾股定理求出方程求出m，即可解决问题．【完整解答】解：过点G作GM⊥AE于G．GN⊥EF于N，过点D作DJ⊥l，过点F作FT⊥AE于T．∵FC⊥l，BG⊥l，EA⊥l，∴∠FCD＝∠EAD＝90°，BG∥AE，∵∠FDC＝∠EDA，∴△FCD∽△EAD，△GBD∽EAD，∴＝＝2，＝＝，∴DF＝2DG，DE＝3DG，∴EG＝FG＝2DG，∴FD＝FG，∴∠FDG＝∠FGD＝∠GFE+∠GEF，∵GE＝GF，∴∠GEF＝∠GFE，∵∠FDJ+∠FDC＝90°，∠EDJ+∠EDA＝90°，∠FDC＝∠EDA，∴∠FDJ＝∠EDJ，∴2∠EDJ＝2∠GEF，∴∠EDJ＝∠DEF，∵DJ∥AE，∴∠EDJ＝∠AED，∴∠DEA＝∠DEF，∵GM⊥AE，GN⊥EF，∴∠EMG＝∠ENG＝90°，∵EG＝EG，∴△EGM≌△EGN（AAS），∴EM＝EN，∵GE＝GF，GN⊥EF，∴FN＝EN＝EM，∵四边形ABGM，四边形CFTA都是矩形，∴AB＝GM＝CD＝6（米），∵DF＝EG，∠FCD＝∠GME＝90°，∴Rt△FCD≌Rt△EMG（HL），∴CF＝EM，设AM＝m米则AE＝3m米，EM＝CF＝AT＝FN＝EN＝2m米，∴ET＝AE﹣AT＝m（米），在Rt△EFT中，FT2+ET2＝EF2，∴302+m2＝（4m）2，∴m＝2或﹣2（舍弃），∴FN＝4（米），∵GN＝GM＝12米，∴FG＝＝＝8（米），故答案为：8．17．（2021•新洲区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝10，BC＝5，M是射线AB上的一动点，以AM为斜边在△ABC外作Rt△AMN，且使tan∠MAN＝，O是BM的中点，连接ON．则ON长的最小值为2．【思路引导】作NP⊥AB于点P，设AM长为x，用含x代数式表示出ON，然后通过配方求解．【完整解答】解：作NP⊥AB于点P，在Rt△ACB中，由勾股定理得：AB＝＝＝5，设AM长为x，则BM＝5﹣x，∵tan∠MAN＝＝，∴AN＝2MN，∴AM＝＝MN，∴MN＝AM＝x，AN＝2MN＝x，同理，在Rt△ANP中可得NP＝＝x，AP＝2NP＝x，∵O为BM中点，∴BO＝BM＝，∴AO＝AB﹣BO＝，∴OP＝AO﹣AP＝﹣x＝，在Rt△ONP中，由勾股定理得ON2＝OP2+NP2，即ON2＝（）2+（x）2＝（25x2﹣150x+3125）＝（x2﹣6x+125）＝（x﹣3）2+20，∴当x＝3时，ON2取最小值为20，∴ON最小值为2．故答案为：2．18．（2021•乐山）如图，已知点A（4，3），点B为直线y＝﹣2上的一动点，点C（0，n），﹣2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB．若直线AB与x正半轴所夹的锐角为α，那么当sinα的值最大时，n的值为．【思路引导】当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，由tan∠CAM＝tan∠BCG，得到y＝﹣（n﹣3）（n+2），进而求解．【完整解答】解：过点A作AM⊥y轴于点M，作AN⊥BN交于点N，∵直线y＝﹣2∥x轴，故∠ABN＝α，当sinα的值最大时，则tanα＝值最大，故BN最小，即BG最大时，tanα最大，即当BG最大时，sinα的值最大，设BG＝y，则AM＝4，GC＝n+2，CM＝3﹣n，∵∠ACM+∠MAC＝90°，∠ACM+∠BCG＝90°，∴∠CAM＝∠BCG，∴tan∠CAM＝tan∠BCG，∴，即，∴y＝﹣（n﹣3）（n+2），∵﹣＜0，故当n＝（3﹣2）＝时，y取得最大值，故n＝，故答案为：．三．解答题19．（2020秋•安丘市期末）构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要策略．在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°（画图并写出过程）．【思路引导】如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．设AC＝1，求出CD，可得结论．【完整解答】解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．∵∠ABC＝45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，∴∠D＝22.5°，设AC＝1，则，∴CD＝CB+BD＝，∴tan22.5°＝tanD＝＝＝．20．（2021•西藏）如图，为了测量某建筑物CD的高度，在地面上取A，B两点，使A、B、D三点在同一条直线上，拉姆同学在点A处测得该建筑物顶部C的仰角为30°，小明同学在点B处测得该建筑物顶部C的仰角为45°，且AB＝10m．求建筑物CD的高度．（拉姆和小明同学的身高忽略不计．结果精确到0.1m，≈1.732）【思路引导】连接AC、BC，由锐角三角函数定义求出BD＝CD，AD＝CD，再由AB＝AD﹣BD，即可求解．【完整解答】解：连接AC、BC，如图所示：由题意得：∠A＝30°，∠DBC＝45°，AB＝10m，在Rt△BDC中，tan∠DBC＝＝tan45°＝1，∴BD＝CD，在Rt△ACD中，tan∠DAC＝＝tan30°＝，∴AD＝CD，∴AB＝AD﹣BD＝CD﹣CD＝10（m），解得：CD＝5+5≈13.7（m），答：建筑物CD的高度约为13.7m．21．（2021•淮安）如图，平地上一幢建筑物AB与铁塔CD相距50m，在建筑物的顶部A处测得铁塔顶部C的仰角为28°、铁塔底部D的俯角为40°，求铁塔CD的高度．（参考数据：sin28°≈0.47，cos28°≈0.8，tan28°≈0.53，sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）【思路引导】过A作AE⊥CD，垂足为E．分别在Rt△AEC和Rt△AED中，由锐角三角函数定义求出CE和DE的长，然后相加即可．【完整解答】解：如图，过A作AE⊥CD，垂足为E．则AE＝50m，在Rt△AEC中，CE＝AE•tan28°≈50×0.53＝26.5（m），在Rt△AED中，DE＝AE•tan40°≈50×0.84＝42（m），∴CD＝CE+DE≈26.5+42＝68.5（m）．答：铁塔CD的高度约为68.5m．22．（2021•抚顺）某景区A、B两个景点位于湖泊两侧，游客从景点A到景点B必须经过C处才能到达．观测得景点B在景点A的北偏东30°，从景点A出发向正北方向步行600米到达C处，测得景点B在C的北偏东75°方向．（1）求景点B和C处之间的距离；（结果保留根号）（2）当地政府为了便捷游客游览，打算修建一条从景点A到景点B的笔直的跨湖大桥．大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走多少米？（结果保留整数．参考数据：≈1.414，≈1.732）【思路引导】（1）通过作辅助线，构造直角三角形，在Rt△ACD中，可求出CD、AD，根据外角的性质可求出∠B的度数，在Rt△BCD中求出BC即可；（2）计算AC+BC和AB的长，计算可得答案．【完整解答】解：（1）过点C作CD⊥AB于点D，由题意得，∠A＝30°，∠BCE＝75°，AC＝600m，在Rt△ACD中，∠A＝30°，AC＝600，∴CD＝AC＝300（m），AD＝AC＝300（m），∵∠BCE＝75°＝∠A+∠B，∴∠B＝75°﹣∠A＝45°，∴CD＝BD＝300（m），BC＝CD＝300（m），答：景点B和C处之间的距离为300m；（2）由题意得．AC+BC＝（600+300）m，AB＝AD+BD＝（300+300）m，AC+BC﹣AB＝（600+300）﹣（300+300）≈204.6≈205（m），答：大桥修建后，从景点A到景点B比原来少走约205m．23．（2021•鞍山）小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明汇合（如图所示），两人所走的路程相同．求公园北门A与南门B之间的距离．（结果取整数．参考数据：sin22.6°≈，co22.6°≈，tan22.6°≈，≈1.732）【思路引导】作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，易得四边形BCFE是矩形，则BE＝CF，EF＝BC＝150m，设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中利用含30度的直角三角形三边的关系得到AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，CD＝≈xm，根据题意得到2（x+150）＝+150，求得x的值，然后根据勾股定理求得AE和BE，进而求得AB．【完整解答】解：作DE⊥AB于E，CF⊥DE于F，∵BC⊥AB，∴四边形BCFE是矩形，∴BE＝CF，EF＝BC＝150m，设DF＝xm，则DE＝（x+150）m，在Rt△ADE中，∠BAD＝30°，∴AD＝2DE＝2（x+150）m，在Rt△DCF中，∠FCD＝22.6°，∴CD＝≈＝xm，∵AD＝CD+BC，∴2（x+150）＝+150，解得x＝250（m），∴DF＝250m，∴DE＝250+150＝400m，∴AD＝2DE＝800m，∴CD＝800﹣150＝650m，由勾股定理得AE＝＝＝400m，BE＝CF＝＝＝600m，∴AB＝AE+BE＝400+600≈1293（m），答：公园北门A与南门B之间的距离约为1293m．24．（2020秋•文登区期末）生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳蓬，如图1．现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳蓬．如图2，AB表示窗户的高，CD表示遮阳蓬，且AB＝1.5m，遮阳蓬与窗户所在平面的夹角∠BCD等于75°．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为30°；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为60°，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳蓬的宽度CD．【思路引导】过点D作DE⊥AC于点E，解直角三角形求出EC，DE，利用勾股定理求解即可．【完整解答】解：过点D作DE⊥AC于点E，由题意，∠DBC＝60°，∠BAD＝30°，AB＝1.5m，∵∠DBC＝∠BAD+∠ADB＝60°，∴∠BDA＝∠ADB＝30°，∴AB＝BD＝1.5m，∴BE＝BD•cos60°＝0.75（m），DE＝BE＝0.75（m），∵∠BCD＝75°，∠CAD＝30°，∴∠ADC＝180°﹣75°﹣30°＝75°，∴AD＝AC＝2DE＝1.5，∴EC＝AC﹣AE＝1.5﹣1.5﹣0.75＝1.5﹣2.25，∴CD＝＝＝．25．（2021•荆门）某海域有一小岛P，在以P为圆心，半径r为10（3+）海里的圆形海域内有暗礁．一海监船自西向东航行，它在A处测得小岛P位于北偏东60°的方向上，当海监船行驶20海里后到达B处，此时观测小岛P位于B处北偏东45°方向上．（1）求A，P之间的距离AP；（2）若海监船由B处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由．如果有触礁危险，那么海监船由B处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？【思路引导】（1）通过作垂线构造直角三角形，求出小岛P到航线AB的最低距离PC，与暗礁的半径比较即可得出答案；（2）规划新航线BD，使小岛P到新航线的距离PE等于暗礁的半径，进而求出∠PBD，进而求出∠CBD，确定方向角．【完整解答】解：（1）过点P作PC⊥AB，交AB的延长线于点C，由题意得，∠PAC＝30°，∠PBC＝45°，AB＝20，设PC＝x，则BC＝x，在Rt△PAC中，∵tan30°＝＝＝，∴x＝10+10，∴PA＝2x＝20+20，答：A，P之间的距离AP为（20+20）海里；（2）因为PC﹣10（3+）＝10+10﹣30﹣10＝10（+1）（﹣）＜0，所以有触礁的危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线BD，作PE⊥BD，垂足为E，当P到BD的距离PE＝10（3+）海里时，有sin∠PBE＝＝＝，∴∠PBD＝60°，∴∠CBD＝60°﹣45°＝15°，90°﹣15°＝75°即海监船由B处开始沿南偏东至多75°的方向航行能安全通过这一海域．26．（2021•天津）如图，一艘货船在灯塔C的正南方向，距离灯塔257海里的A处遇险，发出求救信号．一艘救生船位于灯塔C的南偏东40°方向上，同时位于A处的北偏东60°方向上的B处，救生船接到求救信号后，立即前往救援．求AB的长（结果取整数）参考数据：tan40°≈0.84，取1.73．【