青岛版九年级数学上册 期中评价卷（含解析）

答案第=page11页，共=sectionpages22页答案第=page11页，共=sectionpages22页期中评价卷青岛版九年级数学上册学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．在中，，则的长是（

）A． B． C． D．2．已知为锐角，且，则等于（

）A． B． C． D．3．在正方形网格中，小正方形的边长均为1，∠ABC如图放置，则sin∠ABC的值为（

）A． B． C． D．14．如图，河坝横断面迎水坡的坡比为．坝高为，则的长度为（

）A． B． C． D．5．如图，某大桥主塔的正面示意图是一个轴对称图形，小明测得桥面宽度米，，则点O到桥面的距离（单位：米）是（

）A． B． C． D．6．已知实数，则下列说法正确的是（

）A． B． C． D．7．如图，，，与的面积分别是与，周长分别是与，则下列说法正确的是（）A． B． C． D．8．我们可用“斜尺”测量管道的内径（如图），若玻璃管的内径正对“30”刻度线，已知长为，，则玻璃管内径的长度等于（

）A． B． C． D．9．如图，在正方形方格纸中，每个小正方形的边长都相等，A、B、C、D都在格点处，AB与CD相交于点P，则cos∠APC的值为（）A． B． C． D．10．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，A，B，C，D四个点均在格点上，与相交于点E，连接，则与的周长比为（

）A．1：4 B．4：1 C．1：2 D．2：111．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，BD是AC边上的高，cosC＝，则△BCD与△ABD的面积比是（

）A．1：3 B．2：7 C．2：9 D．2：1112．如图，点是的重心，点是边的中点，交于点，交于点，若四边形的面积为6，则的面积为（）A．12 B．14 C．18 D．24二、填空题13．如图，相交于点E，若，，则的长为．14．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D是AB的中点，ED⊥AB交AC于点E.且tan∠BEC＝，则tanA＝.15．如图，在正方形中，E为的中点，连接交于点F．若，则的面积为．16．如图，在平面直角坐标系中，与的相似比为，点A是位似中心，若点，点，，则点的坐标为．（结果用含a，b的式子表示）17．综合实践课上，航模小组用航拍无人机进行测高实践．如图，无人机从地面的中点A处竖直上升30米到达B处，测得博雅楼顶部E的俯角为，尚美楼顶部F的俯角为，已知博雅楼高度为15米，则尚美楼高度为米．（结果保留根号）

三、解答题18．（1）计算：．（2）已知是锐角，且，求的值．19．如图，在中，，D为延长线上一点，，，过D作，交的延长线于点H．(1)求证：．(2)求长度．20．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，请按如下要求画图：(1)以坐标原点O为旋转中心，将顺时针旋转，得到，请画出；(2)以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出的位似图形，使它与的相似比为，并直接写出此时点的坐标．21．如图，在中，，，点D是延长线上一点，．

(1)求点A到的距离；(2)求的值．22．如图，在正方形中，，在边上取中点E，连结，过点E作与交于点G，与的延长线交于点F．(1)求证：；(2)求的面积．23．图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头的仰角、俯角均为，摄像头高度，识别的最远水平距离．

(1)身高的小杜，头部高度为，他站在离摄像头水平距离的点C处，请问小杜最少需要下蹲多少厘米才能被识别．(2)身高的小若，头部高度为，踮起脚尖可以增高，但仍无法被识别．社区及时将摄像头的仰角、俯角都调整为（如图3），此时小若能被识别吗？请计算说明．（精确到，参考数据）《期中评价卷2025-2026学年青岛版九年级数学上册》参考答案题号12345678910答案BABBDAABBD题号1112答案BC1．B【分析】根据正弦的概念设AB=13x，AC=12x，根据勾股定理求出BC，结合已知即可得到答案．【详解】解：∵在中，，∴∴设AC=12x，AB=13x，由勾股定理得：∵，∴x=1∴AC=12故选：B【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键．2．A【分析】根据即可得出的值．【详解】解:∵，，为锐角，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查特殊角的三角函数值，特殊角的三角函数值的计算在中考中经常出现，题型以选择题、填空题为主．熟记特殊角的三角函数值是解题的关键．3．B【分析】作AD⊥BC于D，由勾股定理得出BC＝=，AB＝＝，由△ABC的面积求出AD＝，由三角函数定义即可得出答案．【详解】解：作AD⊥BC于D，如图所示：由勾股定理得：BC＝=，AB＝＝，∵△ABC的面积＝BC×AD＝×3×1−×1×1，∴××AD＝×3×1−×1×1，解得：AD＝，∴sin∠ABC＝==；故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、勾股定理以及三角函数定义；熟练掌握勾股定理和三角函数定义是解题的关键．4．B【分析】在Rt△ABC中，已知坡面AB的坡比以及铅直高度BC的值，通过解直角三角形即可求出斜面AB的长．【详解】解：在Rt△ABC中，BC=4米，tanA=1：；∴AC=BC÷tanA=米，∴米．故选：B．【点睛】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力，根据坡比求出AC的长度是解答本题的关键．5．D【分析】作于C，求出长，再用解直角三角形求出即可．【详解】解：作于C，∵大桥主塔是一个轴对称图形（如图所示），∴，∴（米），∵，∴（米）故选：D．【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，解题关键是构建直角三角形，熟练运用解直角三角形的知识进行计算．6．A【分析】分别求出各三角函数的值，然后比较他们的大小即可.【详解】解：，∵，∴，故选：A.【点睛】本题主要是考查特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练掌握特殊角的所有三角函数值，所以要牢记特殊角的三角函数值，另外还考查了实数比较大小.7．A【分析】本题考查了相似三角形的性质，根据相似三角形的性质判断即可，熟练掌握相似三角形的性质定理是解题的关键．【详解】解：，，，故A正确；，故B错误；，故C错误；，故D错误；故选：A．8．B【分析】根据，即可求解．【详解】解：根据题意得：，∵，∴，∴，即，解得：．故选：B【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．9．B【分析】把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，则DE∥AB，由勾股定理逆定理可以证明△DCE为直角三角形，所以cos∠APC＝cos∠EDC即可得答案．【详解】解：把AB向上平移一个单位到DE，连接CE，如图．则DE∥AB，∴∠APC＝∠EDC．在△DCE中，有，，，∴，∴是直角三角形，且，∴cos∠APC＝cos∠EDC＝．故选：B．【点睛】本题考查了解直角三角形、平行线的性质，勾股定理，作出合适辅助线是解题关键．10．D【分析】运用网格图中隐藏的条件证明四边形DCBM为平行四边形，接着证明，最后利相似三角形周长的比等于相似比即可求出．【详解】如图：由题意可知，，，∴，而，∴四边形DCBM为平行四边形，∴，∴，，∴，∴．故选：D．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及勾股定理，熟练掌握相关知识并正确计算是解题关键．11．B【分析】设，利用∠C的余弦值表示出的其他边，再设，在中，根据勾股定理列式求出k与x的比值，而和的面积比就是k与x的比．【详解】解：∵BD是AC边上的高，∴，，∵，∴设，，根据勾股定理，设，，在中，根据勾股定理，，则，整理得，∵和同高，∴．故选：B．【点睛】本题考查锐角三角函数，勾股定理方程思想，解题的关键是设边长利用条件去列出式子，求得比例关系．12．C【分析】本题主要考查了三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，根据三角形的中线求面积，熟练掌握三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，添加适当的辅助线，是解题的关键．连接，由点是的重心，点是边的中点，可得点在一条直线上，且，，通过可得，从而得到，通过，可得，再根据四边形的面积为6，可得出，进而可得出的面积．【详解】解：如图所示，连接，

点是的重心，点是边的中点，点在一条直线上，且，，，，，，，，，，，，，

，，，，故选：C．13．5【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的判定与性质即可求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．【详解】解：∵，∴，∴，∵，，∴，故答案为：．14．【分析】在Rt△EBC中，先用含k的代数式表示出BC、CE、BE，再利用线段垂直平分线的性质说明BE与AE的关系，最后在Rt△ABC中求出∠A的正切.【详解】解：在Rt△EBC中，∵tan∠BEC＝＝，设BC＝3k，CE＝4k.∴BE＝＝5k.∵D是AB的中点，ED⊥AB，∴BE＝AE＝5k.∴AC＝AE+CE＝5k+4k＝9k.在Rt△ABC中，tanA＝，故答案为：；【点睛】本题考查了解直角三角形和线段垂直平分线的性质，掌握直角三角形的边角间关系及“线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等”是解决本题的关键．15．3【分析】由正方形的性质可知，，则有，然后可得，进而问题可求解．【详解】解：∵四边形是正方形，，∴，，∴，∴，∵E为的中点，∴，∴，，∴，∴；故答案为3．【点睛】本题主要考查正方形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握正方形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键．16．【分析】本题考查了求位似图形的坐标.过点分别作轴的垂线，垂足分别为，根据题意得出，则，得出，即可求解．【详解】解：如图所示，过点分别作轴的垂线，垂足分别为，∵与的相似比为，点是位似中心，，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故答案为：．17．/【分析】过点E作于点M，过点F作于点N，首先证明出四边形是矩形，得到，然后根据等腰直角三角形的性质得到，进而得到，然后利用角直角三角形的性质和勾股定理求出，即可求解．【详解】如图所示，过点E作于点M，过点F作于点N，

由题意可得，四边形是矩形，∴，∵，∴，∵博雅楼顶部E的俯角为，∴，∴，∴，∵点A是的中点，∴，由题意可得四边形是矩形，∴，∵尚美楼顶部F的俯角为，∴，∴，∴，∴在中，，∴，∴解得，∴．故答案为：．【点睛】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会用构建方程的思想思考问题．18．（1）2（2）【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题关键．（1）先计算特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减法即可；（2）先计算出，再代入原式，接着计算特殊角的三角函数值，最后根据实数的混合运算计算即可．【详解】解：（1）原式（2）且是锐角，，．19．(1)见解析(2)【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质．()根据两个角对应相等即可证明；()根据得到，由，对应线段成比例可得，再结合()，对应边成比例即可求出的长度；【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，又∵，∴；（2）解：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，由（）知，∴，∴，∴（负值舍去），答：的长度为．20．(1)见解析(2)画图见解析，点的坐标为【分析】本题考查了位似变换与旋转变换，正确得出对应点的位置是解题的关键．（1）直接利用旋转的性质得出对应点的位置，画出图形即可；（2）直接利用位似图形的性质得出对应点的位置，画出图形即可，再进一步确定点的坐标即可．【详解】（1）解：如图，即为所求．（2）解：如图，即为所求，∴点的坐标为．21．(1)3(2)【分析】（1）作于点E，设，由可得，由可得．由得到，解得，得到，即可得到点A到的距离；（2）作于点F，由（1）可得，，由勾股定理得到，，由得到CF＝，即可得到的值．【详解】（1）解：作于点E，

设，在中，，∵，∴，在中，，∵，∴．∵，∴，∴，∴；即点A到的距离为3；（2）作于点F，

由（1）可得，，在中，，在中，，∵，∴，∴，在中，，则．【点睛】此题考查了解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．22．(1)见解析(2)36【分析】本题考查了正方形的性质和相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理．（1）根据正方形的性质得出，再通过同角的余角相等得出，最后根据相似三角形的判定得出即可；（2）根据正方形的性质得出，，由点是的中点，求出，根据求出，根据相似得出比例式，面积比等于相似比的平方求出即可．【详解】（1）证明：在正方形中，，，，，，，∴；（2）解：在正方形中，，，点是的中点，，∵，，，，，且，∵，∴，，∴．23．(1)(2)能，见解析【分析】（1）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求出的长度，从而求出蹲下的高度．（2）根据正切值求出长度，再利用三角形全等可求出，最后利用矩形的性质求