第13题椭圆中的向量问题（一题多解）-解析版

试卷第=page11页，共=sectionpages33页试卷第=page11页，共=sectionpages33页第13题椭圆中的向量问题（一题多解）（2025·江西赣州·二模）椭圆的右焦点为，上顶点为，直线与椭圆交于两点.若，则的斜率的取值范围是______.运用点差法求解中点弦的斜率，由弦的中点在椭圆内，得到，由，构造函数求解最值.令，，又，，由，作差得，则

①，又，，，由，所以，整理得②，将②代入①，可得的斜率，因为的中点在椭圆内，所以，整理可得，即，所以，令，且在上单调递增，值域为，所以.即.另解：由，得，由.即.故答案为：.1．已知椭圆的上焦点为，右顶点为B，斜率为的直线l交椭圆于，两点，若恰好为的重心，则椭圆的离心率为（

）A．或 B． C． D．【答案】D【分析】延长交于点M，可得点M为的中点，设.根据点为的重心，列方程可求得点的坐标.由点差法可得.将代入整理得，再结合即可求解.【详解】延长交于点M，所以点M为的中点，设.因为，点为的重心，所以即，所以.因为点在椭圆上，所以，两式相减得，即，整理得.因为，所以，即，所以，解得或.又因为，所以，，所以.故选：D.2．已知为椭圆的右焦点，过点F的直线l与椭圆C交于A，B两点，P为AB的中点，O为坐标原点，若△OFP是以OF为底边的等腰三角形，且外接圆的面积为，则椭圆C的长轴长为（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】由外接圆面积求半径，应用正弦定理求中的，结合已知有，根据中点弦，应用点差法有即可求椭圆的长轴长.【详解】由外接圆的面积为，则其外接圆半径为.∵是以为底边的等腰三角形，设，则，∴，得，∴或.不妨设点在轴下方，由是以为底边的等腰三角形，知：或设，则，，所以，所以，因为四点共线，为线段的中点，所以，，所以，所以或（此时焦点在轴上，舍去）∵为椭圆的右焦点，，∴，故椭圆的长轴长为.

故选：B.【点睛】方法点睛：圆锥曲线中解决弦的中点相关问题，经常利用点差法解决.利用直线的参数方程，由中点弦得到互为相反数，得到直线的斜率，构造基本不等式求解最值.设为中点，所以，又，，所以，直线的参数方程可写为：（为参数），即，所以，设对应的参数为对应的参数为，所以，即，所以，所以，即，.即.故答案为：.3．过点作倾斜角为的直线l与椭圆交于A、B两点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】法一：由椭圆的性质，结合直线的参数方程求解即可．法二：由直线与椭圆相交，利用纵坐标与倾斜角来计算长度，也可得到线段之积与纵坐标关系，然后利用韦达定理求解.【详解】法一：设直线的参数方程为，其中t为参数，代入椭圆方程可得：，则，则故选：A.法二：设直线方程为，与椭圆联立方程组，消去得：，整理得：，设交点则有则故选：A.4．已知椭圆为椭圆的右焦点，曲线交椭圆于两点，且，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直线与椭圆的两个交点且，其中与关于x轴对称，设直线为代入椭圆，应用韦达定理结合求参数a，即可求离心率.【详解】由题设，椭圆右焦点，且曲线恒过，不妨令，对于直线与椭圆的两个交点，其中与关于x轴对称，所以，即，故，令直线为代入椭圆方程整理得：，则，，而，，则，可得（负值舍），所以.故选：A利用椭圆的参数方程，由向量和三角函数的恒等变换，得，即可求解斜率的范围.设，，，，则，，.又，则，所以，即，所以，得，则，即.故答案为：.5．设椭圆上有一弦长，则的面积的取值范围是．【答案】【分析】设，，再设，，由得到的范围，再由计算可得.【详解】设，，则，设，，则，，所以，，所以，即，故，又，即．故答案为：6．若椭圆的焦点在y轴上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，直线AB恰好和椭圆只有一个交点，则椭圆内接矩形面积最大时的离心率是.【答案】【分析】由题意，AB是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，可求出直线AB方程，利用椭圆参数方程表示椭圆上点到直线AB的距离，当时，直线和椭圆相切，再椭圆内接矩形面积为，利用基本不等式可得时面积最大，从而得解.【详解】设，圆的圆心，则AB是圆与以为直径的圆的公共弦所在直线，以为直径的圆的方程为，即，两圆方程相减，得直线AB方程为：，设椭圆上的点为，到直线AB的距离为.由于直线和椭圆相切，因此得当时，d取得最小值，且最小值为0，所以.椭圆内接矩形面积为.所以面积的最大值为.由均值不等式，当且仅当时取等号，所以离心率.故答案为：7．直线与椭圆交于A、B两点（点在第一象限），过点作轴的垂线，垂足为E，AE的中点为，设直线与椭圆的另一交点为，若，则椭圆的离心率为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】设，根据向量数量积运算，三点共线，由点差法即可求解.【详解】设，则，，，，①，三点共线，，②，在椭圆上，，两式相减可得，③将①②代入③可得，，，所以椭圆的离心率.故选：A【点睛】方法点睛：点差法是解决圆锥曲线与直线的关系中常用到的一种方法.当直线与圆锥曲线相交的问题涉及到相交弦的中点或与中点坐标相关的条件时，宜应用点差法求解，即将直线被圆锥曲线截得的弦的两端点坐标代入圆锥曲线方程，得到两个等式，再将两个等式作差，转化得到弦的中点坐标与直线斜率的关系，进而解决问题.在解答圆锥曲线的某些问题时，若果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程.8．已知椭圆的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由已知求出点坐标，利用点差法求得，可求椭圆离心率.【详解】椭圆的左焦点为，，过作轴，垂足为，由，得，，有，设，则有，，由，两式相减得，则有，所以.故选：D【点睛】方法点睛：由直线倾斜角为且，得，利用中点弦问题的点差法得，通过构造齐次方程法求离心率的值.9．已知椭圆的左、右焦点分别为，，点，，在椭圆上，且，，三点共线，若，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意设出直线的方程为并于椭圆联立，利用弦长公式求得，由可知点是线段的垂直平分线和轴的交点，求出线段的垂直平分线方程可得，即可求得，代入即可求出.【详解】如下图所示：易知，设过的直线的方程为，联立直线和椭圆方程，消去可得，因为焦点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点，由韦达定理可得，所以；由可得，点在线段的垂直平分线上，又易知，关于轴对称，即点是线段的垂直平分线和轴的交点；设的中点为，易知，易知线段的垂直平分线的斜率存在且为，所以可得直线的方程为，令，可得，即；所以，因此可得.故选：D【点睛】关键点点睛：本题关键在于利用三条线段长度相等确定点是线段的垂直平分线和轴的交点，求出线段的垂直平分线方程解得点坐标，求出表达式即可求得结果.10．已知是抛物线的焦点，过点且斜率为2的直线与交于两点，若，则.【答案】4【分析】法一：设出的方程为，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，利用焦半径得到，从而列出方程，求出答案；法二：写成直线的参数方程，代入抛物线方程，利用参数的几何意义得到方程，求出答案.【详解】法一：由题意，故的方程为，与的方程联立得，显然，设，则，所以，又，所以，所以.法二：直线的斜率为2，设其倾斜角为，则，故，故直线的参数方程为（为参数），代入，整理得，，显然，设该方程的两根为，则，则，所以.

故答案为：411．设点P为圆上的一动点，点Q为椭圆上的一动点，则的最大值为.【答案】【详解】利用三角换元结合距离公式可求，结合函数的性质可求最大值.【分析】设，圆的圆心，则，因为，故时取最大值为，进而的最大值为．故答案为：12．已知点M是椭圆上的一动点，点T的坐标为，点N满足，且，则的最小值是．【答案】【分析】由题意确定点N在以为圆心，1为半径的圆上运动，由此可得当最小时，取得最小值；利用椭圆的参数方程进行三角代换，求得的最小值，即可求得答案.【详解】由题意可知点T的坐标为，点N满足，故点N在以为圆心，1为半径的圆上运动，由于，故,则当最小时，取得最小值；由于点M是椭圆上的一动点，设，则，由于，故当时，取到最小值为，即的最小值为，故答案为：【点睛】本题考查了椭圆中最值问题的求解，涉及到椭圆的参数方程以及三角函数和二次函数的相关知识，综合性较强，解答时要注意数形结合，利用椭圆的参数方程进行三角代换，综合利用相关知识解决问题.13．已知为坐标原点为椭圆上三点，且，，直线与轴交于点，若，则的离心率为.【答案】##【分析】借助点差法计算可得，结合题意计算可得，即可得离心率.【详解】取的中点，设，，，，则．∵，在椭圆上，∴，两式相减得，即，∴．∵，∴，连接，则，∴，∴，∴．∵，∴，又，，∴，得．∴，∴，即，∴的离心率.故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是利用点差法得到，采用设而不求的思想处理这类问题是比较好的方法.14．已知直线与椭圆在第一象限交于P，Q两点，与轴，轴分别交于M，N两点，且满足，则的斜率为.【答案】##【分析】不妨设P在Q的左侧，取的中点，根据点差法可得，再根据对勾函数可知，分析可得，即可得结果.【详解】如图所示，不妨设P在Q的左侧，取的中点，设，则，可得直线的斜率，直线的斜率，因为在椭圆上，则，两式相减得，整理得，即，可知，因为在内单调递增，由可得，即，整理得，可知为的中点，则，可知，结合可得，且，则，检验符合题意，所以直线的斜率为.故答案为：.【点睛】方法点睛：弦中点问题的解决方法对于弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条件，在用“点差法”时，要检验直线与圆锥曲线是否相交．15．已知曲线:，过的直线与曲线相交于，两点.(1)求曲线的极坐标方程和直线的1种参数方程；(2)求值.【答案】(1)曲线的极坐标方程，直线的参数方程为（为参数）(2)4【分析】（1）把代入椭圆方程可求得极坐标方程；设直线的倾斜角为，可求得直线的参数方程；（2）把直线的参数方程代入椭圆的方程，利用的几何意义可求解.【详解】（1）因为，所以，解得，设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为（为参数）；（2）由（1）知直线的参数方程为（为参数）；代入双曲线方程可得，整理得，所以，所以.16．在直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数）．在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线的极坐标方程为．(1)求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；(2)设点，若直线与曲线交于A，B两点，求三角形POA和三角形POB面积乘积的值．【答案】(1)普通方程为，直角坐标方程为(2)【分析】（1）平方消去参