专题07分式的运算(考点清单+18种题型解读)(原卷版+解析)

专题07分式的运算（18种题型解读）【分式的相关概念】分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子ABQUOTEAB叫做分式，A为分子，B为分母.对于分式AB来说：②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0.③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1.④若AB>0，则A、B同号;若AB<0，则A、约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．确定最简公分母的方法：类型方法步骤分母为单项式1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.分母为多项式1）对每个分母因式分解;2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母;3)若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.【分式的运算】【考点题型一】分式的判断1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在代数式x−yx，x2，2x+3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在代数式12、x2+12、xyπ、3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？−3x，xy，x+y3π，23x2y，−7xy2，−18x【考点题型二】根据分式方程有/无意义的条件求未知数的值或取值范围4．（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）若代数式1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

A．x>0 B．x≠2 C．x>2 D．x≥25．（23-24八年级下·全国·课后作业）若代数式x−2x−3有意义，则xA．x>2且x≠3 B．x≥2C．x≠3 D．x≥2且x≠36．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）已知x=2时，分式1□无意义，则□所表示的代数式是（

A．x−2 B．x+2 C．x D．2x7．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）对于分式x−bx+a，当x=−1时，其值为0，当x=1时，此分式没有意义，那么A．−1,−1 B．1，1 C．1,−1 D．−1,1【考点题型三】分式值为0的条件8．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）若分式x2−4x+2的值为0，则xA．x=−2 B．x=2 C．x≠−2 D．x≠±29．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）下列关于分式的判断，正确的是（

）A．当x=2时，x+1x−2B．当x≠3时，x−3xC．无论x为何值，3x+1D．无论x为何值，1x10．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如果分式5a−ba+b的值是零，则下列正确的是（

A．a≠−b B．a≠0 C．b=5a D．b=5a，且a≠0【考点题型四】分式求值11．（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知x2−x−6=0，则2xxA．13 B．12 C．212．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知x>y>0，x2+y2=A．3 B．−3 C．±3 D．913．（23-24八年级上·福建福州·期末）若2a−2b=ab，则1aA．12 B．2 C．−1214．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知xx2+1A．18 B．8 C．16【考点题型五】求分式值为正/负数时未知数的取值范围15．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式2x+1x2的值为正，则x的取值范围是(A．x>0 B．x>−12 C．x≠−12 16．（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式2x−5x2+4的值为负数，则xA．x≠52 B．x≤−52 C．17．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）当x取什么值时，分式x+13x−2（2）当x取什么值时，分式−1（3）当y取什么值时，分式−y（4）当x取什么值时，分式x2−1【考点题型六】求使分式值为整数时未知数的整数值18．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，若x为正整数，则表示分式x2A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处19．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若分式6m+1的值是整数，则满足条件的所有正整数mA．9 B．8 C．7 D．520．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，x−1x+1，x+1x−2，x2再如：3x+1类似的，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．如：x−1x+1=x+1再如：x2解决下列问题：(1)分式2x是分式(填“真”或“假”)(2)先将假分式2x−1x+1化为带分式，再当2x−1x+1的值为整数，求x的整数值．((3)将假分式−x4−6x221．（23-24八年级下·重庆万州·阶段练习）已知x为整数，且3x+4+3【考点题型七】分式的规律型问题22．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）观察下列关于x的分式，探究其规律：2x,5x323．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）按一定规律排列的一列分式依次为：−2a，5a4，−10a7，17a1024．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面一列分式：x3y,(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；(2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由．【考点题型八】约分与通分25．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将分式6a4c26．（22-23八年级下·全国·假期作业）当2x−1xy=2M327．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算．(1)约分：a2(2)通分：ba2−ab28．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分：(1)x−y，2y(2)aa2−(3)29−3a，a−1a2【考点题型九】判断最简公式或最简公分母29．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（

）A．12x与13xB．12a2bC．1x2−4与D．m3m−3n与nm−n30．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）将分式1a2−9和31．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式12b2c32．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有个．①11−x；②4y+22x；③x3π；④10+4a5+2a【分式的基本性质】分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即：AB=A•CB•C（C≠0）或AB=分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：AB【考点题型十】利用分式的基本性质进行变形33．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）下列各式一定成立的是（

）A．ab=a−1b−1 B．ba=34．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列各式：①b−aa+b；②−b−aa−b；③b−a−a−b；④A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④35．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式从左到右的变形正确的是（

）A．x−12yC．x+1x−y=x−136．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）下列等式中：①ba=b2a2；②baA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【考点题型十一】利用分式的基本性质判断分式值的变化37．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）将分式m−3nmn中的m、n同时扩大为原来的3倍，分式的值将（

A．扩大3倍 B．不变 C．缩小为原来的13 D．缩小为原来的38．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列各式与分式abA．−ab B．−−ab C．a39．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如果将分式x+yx2中x，y都扩大到原来的A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍 C．缩小到原来的12 40．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如果把分式2xx+y中的x和y都扩大5倍，那么分式的值为−2，则原分式的值为【考点题型十二】将分式的分子分母各项系数化为整数41．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把分式12a−0.7b0.3a+b42．（23-24八年级上·全国·课时练习）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数．（1）0.2x−0.5y0.7x+0.3y=；（2）12a−243．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数：(1)0.5x−1(2)54【考点题型十三】已知分式的恒等式确定分子或分母44．（2020·河北·模拟预测）已知4x2−1A．P=2,Q=−2 B．P=−2,Q=2 C．P=Q=2 D．P=Q=−245．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）已如3x2−7x+2x−1x+1【分式的运算】【考点题型十四】分式的混合运算46．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算(1)2a+3(2)a(3)25−(4)x−347．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：(1)a2(2)x2(3)a248．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）计算：(1)1x+1(2)m+2+【考点题型十五】分式化简求值49．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：(−x(1)求所捂部分化简后的结果；(2)若x250．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）先化简a2a+2−a+2÷4a51．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）先化简：x−1−3x+1÷x2+4x+4x+152．（23-24八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：16a2−4+a+2【考点题型十六】判断分式混合运算的错误步骤53．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：x−1=x−1=x−1=x−1=x=2=2任务一：填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是_____．②任务二：请写出完整的解答过程．54．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）下面是小王同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．m=m−22=m−22=m−22=m−22=m−22任务一：填空：（1）以上化简步骤中，第______步是进行分式的约分，约分的依据是______；（2）从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；任务二：请写出正确的化简过程；任务三：请你从0,1,2中选择一个合适的数作为m的值代入求值．55．（23-24八年级上·河北邢台·期中）嘉淇在计算a−1a+1原式=a−1a+1=a−1a+1=a−1a=2a2a=1．

第五步已知嘉淇的解法是错误的．(1)她开始出现错误的步骤是第_____________步．(2)请给出正确的解答过程．【考点题型十七】比较分式的大小56．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知A=m+12，(1)当m>0时，比较A−B与0的大小，并说明理由；(2)设y=2①当y=4时，求m的值；

②若m为整数，求正整数y的值．57．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知分式A=2a+3a+2，整式(1)若A=1，求a的值；(2)当a取哪些整数时，分式A的值为整数；(3)试判断A与B的大小关系，并说明理由．58．（23-24八年级上·全国·课堂例题）已知M=x+12，(1)当x>0时，判断M−N与0的大小关系，并说明理由；(2)设y=2M+N，若x【考点题型十八】分式加减的应用59．（23-24八年级下·全国·课后作业）甲、乙两人同时在同一个超市分两次购买同一种水果，甲每次都买了20千克水果，乙每次都用20元去买水果，两次水果的价格分别为a元/千克和b元/千克（a、b为正整数且a≠b），谁的购买方式更合算？请说明理由．60．（23-24八年级上·广东东莞·期末）某地产公司推出“主房+多变入户花园”的两种户型，即在图1中边长为a米的正方形主房进行改造．户型一是在主房两侧均加长b米(0<9b<a)．阴影部分作为入户花园，如图2所示，户型二是在主房一边减少b米后，另一边再增加b米，阴影部分作为入户花园．如图3所示．解答下列问题：(1)填空：户型一的面积（包括入户花园）：；户型一入户花园与户型二入户花园面积差为M，则M＝．(2)若户型一的总价为50万元，户型二的总价为40万元，试判断哪种户型（包括入户花园）单价较低，并说明理由．61．（23-24八年级上·河北石家庄·期末）甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且m≠n），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料．(1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？(2)谁的购买方式平均单价较低？专题07分式的运算（18种题型解读）【分式的相关概念】分式的概念：如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子ABQUOTEAB叫做分式，A为分子，B为分母.对于分式AB来说：②当A=0且B≠0这两个条件同时满足时，分式值为0.③当A=B时，分式的值为1.当A+B=0时，分式的值为-1.④若AB>0，则A、B同号;若AB<0，则A、约分的定义：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫分式的约分.最简公式的定义：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.通分的定义：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分.通分步骤：①定最简公分母；②化异分母为最简公分母.最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母，这样的分母叫做最简公分母．确定最简公分母的方法：类型方法步骤分母为单项式1）取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数;2）取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数.分母为多项式1）对每个分母因式分解;2）找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母;3)若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数.【分式的运算】【考点题型一】分式的判断1．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）在代数式x−yx，x2，2x+3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】仔细观察，确定分母中有字母，与系数，指数无关，本题考查了分式的定义，分母中含有字母是判断的关键．【详解】根据题意，得是分式的是x−yx故选B．2．（23-24八年级下·江苏盐城·阶段练习）在代数式12、x2+12、xyπ、3A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】本题考查了分式的定义，熟记定义是解题关键．根据分式的定义逐个判断即可．【详解】解：3x−y、b+12、x2+1则分式的个数有2个，故选：B．3．（23-24八年级上·全国·课堂例题）下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？−3x，xy，x+y3π，23x2y，−7xy2，−18x【答案】整式：−3x，x+y3π，23x2y，−7xy2，−18x，x−y【分析】本题考查分式的定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子AB【详解】解：整式有：−3x，x+y3π，23x2y，−7xy2分式有：xy，35+y，a−1a【考点题型二】根据分式方程有/无意义的条件求未知数的值或取值范围4．（23-24八年级下·山西大同·阶段练习）若代数式1x−2在实数范围内有意义，则x的取值范围是（

A．x>0 B．x≠2 C．x>2 D．x≥2【答案】C【分析】本题考查二次根式及分式有意义的条件，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．根据二次根式和分式有意义的条件即可求得答案．【详解】解：由题意可得x−2>0，解得x>2，故选：C．5．（23-24八年级下·全国·课后作业）若代数式x−2x−3有意义，则xA．x>2且x≠3 B．x≥2C．x≠3 D．x≥2且x≠3【答案】D【分析】本题主要考查了分式和二次根式有意义的条件，根据分式分母不能为零，二次根式被开方数需大于等于零列出不等式，求解即可．【详解】解：由题意得x−2≥0且x−3≠0，解得：x≥2且x≠3，故选：D．6．（23-24八年级上·河北邯郸·期末）已知x=2时，分式1□无意义，则□所表示的代数式是（

A．x−2 B．x+2 C．x D．2x【答案】A【分析】本题主要考查分式无意义的条件，根据分母为零分式无意义可得结论．【详解】解：∵x=2，∴x−2=0，∵当x=2时，分式1□∴x−2=0，故选：A．7．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·阶段练习）对于分式x−bx+a，当x=−1时，其值为0，当x=1时，此分式没有意义，那么A．−1,−1 B．1，1 C．1,−1 D．−1,1【答案】A【分析】本题考查了分式没有意义的条件以及分式值为0的条件，解题的关键是由题意正确得到−1−b=0，1+a=0，求解即可。【详解】解：由题意可得：当x=−1时，其值为0，则−1−b=0当x=1时，此分式没有意义，则1+a=0，解得a=−1，故选：A【考点题型三】分式值为0的条件8．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）若分式x2−4x+2的值为0，则xA．x=−2 B．x=2 C．x≠−2 D．x≠±2【答案】B【分析】本题考查了分式的值为0的条件，用分式的分母不等于0时分式有意义及分式值为0则分子为0即可得出答案．【详解】解：∵分式x2∴x解得：x=2，故选：B．9．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）下列关于分式的判断，正确的是（

）A．当x=2时，x+1x−2B．当x≠3时，x−3xC．无论x为何值，3x+1D．无论x为何值，1x【答案】D【分析】本题考查分式有无意义的条件，分式值为0的条件，平方的非负性．掌握分式的分母不能为0是解题关键．根据当x=2时，分式x+1x−2无意义可判断A；根据当x=0时，分式x−3x无意义可判断B；根据当x=2时，分式3x+1=1可判断C；根据平方的非负性可知x2【详解】解：A．当x=2时，分式x+1x−2B．当x=0时，分式x−3xC．当x=2时，分式3x+1D．因为无论x为何值x2+1≥1，即所以分式1x故选D．10．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如果分式5a−ba+b的值是零，则下列正确的是（

A．a≠−b B．a≠0 C．b=5a D．b=5a，且a≠0【答案】D【分析】本题考查了分式值为0的条件．要使分式的值为0，分式必须分子的值为0并且分母的值不为0．【详解】解：∵分式5a−ba+b∴5a−b=0，且a+b≠0，∴b=5a，且a≠0，故选：D．【考点题型四】分式求值11．（23-24八年级上·山东临沂·期末）已知x2−x−6=0，则2xxA．13 B．12 C．2【答案】B【分析】本题考查了分式的值，解题的关键是先把已知条件变形为x2−x=6，再将原式变形为【详解】解：∵x2∴x2∴2x====故选：B．12．（23-24八年级上·山东济宁·期末）已知x>y>0，x2+y2=A．3 B．−3 C．±3 D．9【答案】A【分析】本题考查了求分式的值、利用完全平方公式进行计算，先求出x+y=92xy，x−y=12【详解】解：∵x∴x+y2=∴x+y2x−y∵x>y>0，∴x+y>0，x−y>0，∴x+y故选：A．13．（23-24八年级上·福建福州·期末）若2a−2b=ab，则1aA．12 B．2 C．−12【答案】C【分析】本题考查的是分式的求值，分式的加减运算，掌握整体代入法求解分式的值是解本题的关键；把1a−1【详解】解：∵2a−2b=ab，∴1a故选C14．（23-24八年级上·湖南长沙·期末）已知xx2+1A．18 B．8 C．16【答案】A【分析】本题主要考查了已知式子的值，求代数式的值等知识点，灵活对代数式进行变形是解题的关键．由xx2+1=13可得【详解】解：∵xx∴xx2+12=∴x2故选A．【考点题型五】求分式值为正/负数时未知数的取值范围15．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）若分式2x+1x2的值为正，则x的取值范围是(A．x>0 B．x>−12 C．x≠−12 【答案】D【分析】本题考查不等式的解法和分式值的正负条件．解不等式时当未知数的系数是负数时，两边同除以未知数的系数需改变不等号的方向，当未知数的系数是正数时，两边同除以未知数的系数不需改变不等号的方向．根据题意，因为任何实数的平方都是非负数，分母不能为0，所以分母是正数，主要分子的值是正数则可，从而列出不等式求解即可．【详解】解：由题意得，x2>0，且∵分式2x+1x∴2x+1>0，∴x>−1∴x>−12且故选：D．16．（23-24八年级上·山东威海·期末）若分式2x−5x2+4的值为负数，则xA．x≠52 B．x≤−52 C．【答案】D【分析】本题考查了分式值的正负条件及解一元一次不等式．由于分式2x−5x2+4的值为负数，而分母x【详解】解：∵分式2x−5x2+4∴2x−5<0，解得x<5故选：D．17．（23-24八年级上·全国·课后作业）（1）当x取什么值时，分式x+13x−2（2）当x取什么值时，分式−1（3）当y取什么值时，分式−y（4）当x取什么值时，分式x2−1【答案】（1）x≠23；（2）x<5；（3）y≠0【分析】（1）根据分式有意义的条件可得3x−2≠0，即可求解．（2）根据分式的性质，可得5−x>0，解不等式即可求解；（3）根据分式的性质，可得1+y2>0（4）根据分式的值为0的条件以及分式有意义的条件即可求解．【详解】解：（1）∵分式x+13x−2∴3x−2≠0，解得：x≠2（2）∵分式−1∴5−x>0，∴x<5；（3）∵分式−y∴1+y2>0且∴y≠0；（4）∵分式x2−1x+1∴x2−1=0且解得：x=1【点睛】本题考查了分式的值为0的条件，分式有意义的条件，分式的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．【考点题型六】求使分式值为整数时未知数的整数值18．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）如图，若x为正整数，则表示分式x2A．线①处 B．线②处 C．线③处 D．线④处【答案】B【分析】逆用同分母分式的加减法法则，把分式进行化简，判断分式的值的取值范围，计算即可，本题考查了同分母分数加减法法则的应用，不等式的基本性质，熟练掌握法则是解题的关键．【详解】∵x==x+1−1∵x为正整数，∴x+1≥2，1−∴1x+1∴−1∴1−1∴12故选B．19．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）若分式6m+1的值是整数，则满足条件的所有正整数mA．9 B．8 C．7 D．5【答案】B【分析】本题考查了分式的值，根据分式6m+1的值是整数得m+1=1或2或3或6，求得m的值即可求解，根据题意得m+1=1【详解】解：∵分式6m+1∴m+1是6的约数，即m+1=1或2或3或6，解得：m=0（舍去）或1或2或5，则满足条件的所有正整数m的和为1+2+5=8．故选：B．20．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：83我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，x−1x+1，x+1x−2，x2再如：3x+1类似的，假分式也可以化为带分式(即：整式与真分式的和的形式)．如：x−1x+1=x+1再如：x2解决下列问题：(1)分式2x是分式(填“真”或“假”)(2)先将假分式2x−1x+1化为带分式，再当2x−1x+1的值为整数，求x的整数值．((3)将假分式−x4−6x2【答案】(1)真(2)2−2x+3，x的值为0或−2或2或(3)最小值为8【分析】（1）根据定义即可求出答案；（2）根据分式的性质进行化简，然后根据2x−1x+1（3）先化为带分式，然后根据题意求解即可．本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．【详解】（1）由题意可得，分式2x故答案为：真；（2）∵2x−1∵2x−1x+1的值为整数，且∴x+1的值为1或−1或3或−3，∴x的值为0或−2或2或−4；（3）∵==x∴当x=0时，这两个式子的和有最小值．最小值为8，则−x4−621．（23-24八年级下·重庆万州·阶段练习）已知x为整数，且3x+4+3【答案】28【分析】本题考查了分式的混合运算，先把3x+4【详解】解：3=====∵x为整数，6x−4∴x−4=1则所对应的x=55+6+7+10=28故所有符合条件的x值的和为28．【考点题型七】分式的规律型问题22．（23-24八年级上·黑龙江牡丹江·期末）观察下列关于x的分式，探究其规律：2x,5x3【答案】3n−1【分析】本题主要考查了分式规律探索，正确确定分子和分母的变化规律是解题关键．根据题意可得，第n个分式的分子为3n−1，分母为x2n−1【详解】解：根据分式的分子和分母的规律可得，第n个分式是3n−1x故答案为：3n−1x23．（21-22八年级上·贵州铜仁·期末）按一定规律排列的一列分式依次为：−2a，5a4，−10a7，17a10【答案】−1【分析】本题考查分式的规律性问题，根据前四个分式总结出规律是解题关键．根据题意写出前四个分式的变形分别为−11×12+1a3×1−2，−1【详解】解：第1个数为−2第2个数为5a第3个数为−10第4个数为17a……，∴第n个数为−1n故答案为：−1n24．（23-24八年级下·全国·课后作业）观察下面一列分式：x3y,(1)根据上述分式的规律写出第6个分式；(2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由．【答案】(1)x(2)x2n+1【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题．（1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案；（2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案．【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第5个分式为：x11第6个分式为x13（2）由已知可得第n(n为正整数)个分式为∶x2n+1理由如下：∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，∴第n(n为正整数)个分式为x2n+1【考点题型八】约分与通分25．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）将分式6a4c【答案】2【分析】本题考查了分式的约分，找出分子和分母的最大公因式，再根据分式的性质进行计算即可．找出分式分子和分母的最大公因式是解题的关键．【详解】解：6a故答案为：226．（22-23八年级下·全国·假期作业）当2x−1xy=2M3【答案】3【解析】略27．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）计算．(1)约分：a2(2)通分：ba2−ab【答案】(1)a+2b(2)b(a+b)a(a+b)(a−b)，【分析】本题主要考查了分式的约分和通分，熟知约分和通分的计算法则是解题的关键．（1）分别把分子和分母分解因式，然后约去公因式即可得到答案；（2）先把两个分式的分母分解因式，再找到两个分式的公分母，再进行通分即可．【详解】（1）a==a+2b（2）∵ba∴ba−ba28．（23-24八年级下·全国·课后作业）通分：(1)x−y，2y(2)aa2−(3)29−3a，a−1a2【答案】(1)x2−(2)2a2a(3)2a−3a+3−3a−3【分析】本题考查了通分，找出最简公分母是解此题的关键．（1）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可；（2）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可；（3）先找出所有分式的最简公分母，再利用分式的性质把所有分式化为同分母的分式即可．【详解】（1）解：（1）最简公分母是x+y，x−y=x−y2y（2）解：最简公分母是2a+baab2b−2a（3）解：最简公分母是−3a−329−3aa−1a9a【考点题型九】判断最简公式或最简公分母29．（21-22八年级下·陕西咸阳·阶段练习）下列各选项中，所求的最简公分母错误的是（

）A．12x与13xB．12a2bC．1x2−4与D．m3m−3n与nm−n【答案】B【分析】本题考查最简公分母，根据找数字的最小公倍数，字母找最高指数即可得到答案；【详解】解：12x与13x的最简公分母是12a2b与1x2−4与1m3m−3n与nm−n的最简公分母是故选：B．30．（23-24八年级上·山东东营·阶段练习）将分式1a2−9和【答案】−3【分析】本题考查了分式的通分；先对分式的分母进行因式分解，然后即可确定它们的最简公分母．【详解】解：∵a2−9=a+3∴最简公分母是−3a+3故答案为：−3a+331．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）下列分式12b2c【答案】1【分析】本题考查了最简分式的定义；最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分，据此判断即可．【详解】解：12b2c4a=3ba2故答案为：1．32．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式中，最简分式有个．①11−x；②4y+22x；③x3π；④10+4a5+2a【答案】2【分析】此题考查了最简分式的定义，根据最简分式的定义，只要判断出分子分母是否有公因式即可，掌握最简分式的概念是解题的关键．【详解】解：①11−x，③x②4y+22x的分子、分母中含有公因式2④10+4a5+2a的分子、分母中含有公因式5+2a⑤4y2+10y综上，最简分式有2个，故答案为：2．【分式的基本性质】分式的基本性质：分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变.即：AB=A•CB•C（C≠0）或AB=分式符号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即：AB【考点题型十】利用分式的基本性质进行变形33．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）下列各式一定成立的是（

）A．ab=a−1b−1 B．ba=【答案】C【分析】本题考查的是分式的基本性质，做题的根据是看是否符合分式的基本性质，特别要注意同乘或同除的数或整式是否为0．根据分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或整式，分式的值不变，即可得出答案．【详解】A、D．是分子、分母同加或同减，不符合分式的基本性质，故选项A、D错误；B．是分式的分母乘以b，分子没有乘b，且b有可能为0，故选项B错误；C．分式的分子和分母同乘a2+1，且故选：C．34．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列各式：①b−aa+b；②−b−aa−b；③b−a−a−b；④A．①②③ B．②③④ C．②③ D．③④【答案】D【分析】本题考查了分式的性质等知识，根据分式的性质逐个对四个分式化简即可求解．【详解】解：①b−aa+b②−b−a③b−a−a−b④−a−b故选：D35．（22-23八年级上·山东淄博·阶段练习）下列各式从左到右的变形正确的是（

）A．x−12yC．x+1x−y=x−1【答案】A【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．根据分式的基本性质逐项判断即可．【详解】A、x−1B、0.2a+ba+0.2bC、x+1x−yD、a+ba−b故选：A．36．（23-24八年级上·河北沧州·阶段练习）下列等式中：①ba=b2a2；②baA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】本题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐一判断即可；熟知分式的基本性质是关键．【详解】解：①ba②ba③ba④ba故选：A．【考点题型十一】利用分式的基本性质判断分式值的变化37．（23-24八年级下·江苏连云港·阶段练习）将分式m−3nmn中的m、n同时扩大为原来的3倍，分式的值将（

A．扩大3倍 B．不变 C．缩小为原来的13 D．缩小为原来的【答案】C【分析】本题考查分式的基本性质，分式的分子、分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变；熟练掌握分式的基本性质是解题关键．把m、n都扩大3倍，代入原式，根据分式的性质化简后与原式比较即可得答案．【详解】解：∵将分式m−3nmn中的m、n∴3m−9nm×3×n×3∴分式的值将为原来的13故选：C．38．（23-24八年级下·全国·课后作业）下列各式与分式abA．−ab B．−−ab C．a【答案】B【分析】本题主要考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质进行变形然后一一判断即可得到答案．【详解】解：A．∵−ab∴−abB．∵−∴abC．a∴a−bD．−−a∴−a故选：B．39．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如果将分式x+yx2中x，y都扩大到原来的A．扩大到原来的2倍 B．扩大到原来的4倍 C．缩小到原来的12 【答案】C【分析】本题考查了分式的基本性质，把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论，解题的关键是掌握分式的基本性质．【详解】解：当x，y都扩大到原来的原式===1则分式缩小到原来的12故选：C．40．（23-24八年级下·江苏泰州·阶段练习）如果把分式2xx+y中的x和y都扩大5倍，那么分式的值为−2，则原分式的值为【答案】−2【分析】本题考查了分式的性质，用5x、5y代替分式中的x、y即可运算求解，掌握分式的性质是解题的关键．【详解】解：由题意可得，2×5x5x+5y∴2×5x5∴2x5x+y即原分式的值为−2，故答案为：−2．【考点题型十二】将分式的分子分母各项系数化为整数41．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把分式12a−0.7b0.3a+b【答案】5a−7b【分析】12【详解】解：1将分子、分母同时扩大10倍，不改变分式的值10×故答案为：5a−7b【点睛】本题考查将分式的分子与分母的各项系数化为整数．合理利用分式的性质是解题关键．42．（23-24八年级上·全国·课时练习）不改变分式的值，使得分式的分子和分母的各项系数都是整数．（1）0.2x−0.5y0.7x+0.3y=；（2）12a−2【答案】2x−5y7x+3y3a−4b6a【分析】（1）利用分式的基本性质解答，即可求解；（2）利用分式的基本性质解答，即可求解；（3）利用分式的基本性质解答，即可求解．【详解】解：（1）0.2x−0.5y0.7x+0.3y故答案为：2x−5y（2）12故答案为：3a−4b（3）x+故答案为：30x+10y【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．43．（23-24八年级上·全国·课堂例题）不改变分式的值，把下列各分式的分子与分母中各项系数都化为整数：(1)0.5x−1(2)54【答案】(1)30x−20y(2)15x+12y【分析】此题主要考查了分式的基本性质，关键是掌握分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变；（1）分子分母都乘以60即可；（2）分子分母同时乘以12即可；【详解】（1）根据分式的基本性质，将0.5x−1得0.5x−1（2）解：根据分式的基本性质，将54得54【考点题型十三】已知分式的恒等式确定分子或分母44．（2020·河北·模拟预测）已知4x2−1A．P=2,Q=−2 B．P=−2,Q=2 C．P=Q=2 D．P=Q=−2【答案】B【分析】首先利用分式的加减运算法则，求得Px+1+Q【详解】解：∵4x∴P+Qx+∴P+Q=0Q−P=4，解之得：P=−2故选：B．【点睛】此题考查了分式的加减运算、二元一次方程的解法以及整式相等的性质，解题的关键是掌握分式的加减运算法则．45．（22-23七年级上·上海黄浦·期中）已如3x2−7x+2x−1x+1【答案】a=−1【分析】先把分式恒等式去分母可得3x【详解】解：3x∴去分母可得：3x∴3x由恒等式可得：a+b=−7a−b−3=2解得：a=−1b=−6【点睛】本题考查的是分式的恒等，掌握“分式的恒等的含义”是解本题的关键．【分式的运算】【考点题型十四】分式的混合运算46．（23-24八年级下·江苏镇江·阶段练习）计算(1)2a+3(2)a(3)25−(4)x−3【答案】(1)1(2)−(3)−(4)1【分析】本题主要考查分式的混合运算，掌握乘法公式，分式混合运算法则是解题的关键．（1）根据同分母分式减法则计算，即可求出答案；（2）根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案；（3）先用完全平方公式和平方差公式分解分子分母，将除法转化为乘法，根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案；（4）先计算括号内异分母分式减法，再将除法转化为乘法，根据分式乘法法则，该约分的要约分，即可求出答案．【详解】（1）解：原式====1；（2）解：原式=−=−ac（3）解：原式===−a+1（4）解：原式======147．（23-24八年级下·全国·课后作业）计算：(1)a2(2)x2(3)a2【答案】(1)1(2)x−1(3)2a−4【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键．（1）把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简；（2）把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简；（3）把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简．【详解】（1）原式=a+2（2）原式=x+1（3）原式=a+448．（23-24八年级上·山东菏泽·期末）计算：(1)1x+1(2)m+2+【答案】(1)−(2)1【分析】本题考查分式混合运算，涉及因式分解、分式加减乘除、通分和约分等知识，熟练掌握分式混合运算法则是解决问题的关键．（1）先将分子分母因式分解，再通分，利用分式减法运算求解后，约分即可得到答案；（2）先将分子分母因式分解，再通分，将除法转化为乘法，利用分式乘法运算约分后，利用整式乘法求解即可得到答案．【详解】（1）解：1====−=−1（2）解：m+2+=========1【考点题型十五】分式化简求值49．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）老师在黑板上书写了一个代数式的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下：(−x(1)求所捂部分化简后的结果；(2)若x2【答案】(1)x(2)1【分析】（1）根据被除数=除数乘以商，列式计算即可；（2）根据x2−x−1=0，变形得本题考查了分式化简混合计算，求分式的值，熟练掌握化简的基本方法，整体代入求值是解题的关键．【详解】（1）根据题意，得所捂部分为：x===x（2）根据x2变形得x2故x250．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）先化简a2a+2−a+2÷4a【答案】a−2a，当x=1时，原式=−1；当x=−1时，原式【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，然后计算分式除法化简，再根据分式有意义的条件选择符合题意的x的值代值计算即可．【详解】解：a===a−2∵分式要有意义，∴a+2a−2∴a≠±2且a≠0，∵−6<x<6∴当x=1时，原式=1−21=−1；当x=−151．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）先化简：x−1−3x+1÷x2+4x+4x+1【答案】x−2x+2，当x=0时，原式=−1（或当x=1时，原式=−【分析】本题考查分式的化简求值，先利用分式的运算法则化简，再根据分式有意义的条件从−2，−1，0，1中选择一个适合的数化入求值．【详解】解：原式====x−2由题意知，x+1≠0，x+22∴x≠−1，x≠−2，∴x可以取0或1，当x=0时，原式=0−2或当x=1时，原式=1−252．（23-24八年级下·全国·课后作业）先化简，再求值：16a2−4+a+2【答案】8a−2【分析】本题考查分式的化简求值，求不等式组的整数解，先进行分式的运算，求出不等式组的整数解，再将a的值代入分式的化简结果中，进行计算即可．【详解】解：原式=======8∵x−1≥3−x①由①，得：x≥2；由②，得：x<4，∴2≤x<4，∴a=3，∴原式=8【考点题型十六】判断分式混合运算的错误步骤53．（23-24八年级下·河南南阳·阶段练习）下面是小颖同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务：x−1=x−1=x−1=x−1=x=2=2任务一：填空：①以上化简步骤中，第______步是进行分式的通分，其依据是______；第______步开始出现错误，出现错误的具体原因是_____．②任务二：请写出完整的解答过程．【答案】①三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是“−”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；②−4【分析】本题主要考查了分式的混合计算：①根据分式通分的步骤和去括号法则解答即可；②按照分式的化简步骤重新计算即可．【详解】解：①观察解题过程可知，第三步是进行分式的通分，依据是分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变），第四步开始出现错误，出现错误的原因是括号前面是“−”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；故答案为：三；分式的分子分母都乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变）；四；括号前面是“−”去掉括号后，括号里面的第二项和第三项没有变号；②x−1======−454．（23-24八年级下·山西临汾·阶段练习）下面是小王同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应的任务．m=m−22=m−22=m−22=m−22=m−22任务一：填空：（1）以上化简步骤中，第______步是进行分式的约分，约分的依据是______；（2）从第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______；任务二：请写出正确的化简过程；任务三：请你从0,1,2中选择一个合适的数作为m的值代入求值．【答案】任务一：（1）五，分式的基本性质；（2）一，加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号任务二：见解析；任务三：当m=0时，值为1．【分析】本题考查分式的混合运算：任务一：（1）根据分式的基本性质，进行作答即可；（2）第一步加括号时，括号里第二项没有变号；任务二：根据分式的混合运算法则，进行计算即可；任务三：选一个使分式有意义的值，代入计算即可．【详解】解：任务一：（1）以上化简步骤中，第五步是进行分式的约分，约分的依据是分式的基本性质；故答案为：五，分式的基本性质；（2）从第一步开始出现错误，这一步错误的原因是加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号；故答案为：一，加括号时，括号前面是负号，括号里第二项没有变号任务二：m====−任务三：∵m−1≠0，m−2≠0，∴m≠1，2，当m=0时，−55．（23-24八年级上·河北邢台·期中）嘉淇在计算a−1a+1原式=a−1a+1=a−1a+1=a−1a=2a2a=1．

第五步已知嘉淇的解法是错误的．(1)她开始出现错误的步骤是第_____________步．(2)请给出正确的解答过程．【答案】(1)四(2)见解析【分析】（1）找出错误的步骤即可；（2）根据分式的运算法则，写出正确的解法即可．【详解】（1）从解答中可以看出，她开始出现错误的步骤是第四步，应当是=2a故答案为：四；（2）原式=a−1=a−1==2a=2．【点睛】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．【考点题型十七】比较分式的大小56．（23-24八年级上·江苏南通·阶段练习）已知A=m+12，(1)当m>0时，比较A−B与0的大小，并说明理由；(2)设y=2①当y=4时，求m的值；

②若m为整数，求正整数y的值．【答案】(1)A−B≥0，理由见解析(2)①m=1；②m=1或m=0或m=−3．【分析】本题考查了分式的运算，不等式的基本性质，分式方程的解法等知识，熟练运用分式的运算法则是解题的关键．（1）首先得到A−B=m+1（2）①根据题意列出分式方程即可求出m的值．②首先得到y=2+2m+1，然后根据m为整数，y是正整数得到m+1=2或m+1=1或【详解】（1）解：当m>0时，AB−≥0．理由：由题意，得：A−B====∵m>0，∴m+1>0，∴2m+1又m−12∴m−12∴A−B≥0．（2）∵y=2∴y=∵y=4，∴2m+4m+12m+4=3m+3，解得m=1，检验：当m=1时，m+1=2≠0，∴m=1是方程的解．∴m的值为1；②y=∵m为整数，y是正整数，∴m+1=2或m+1=1或m+1=−2，解得m=1或m=0或m=−3．57．（23-24八年级上·福建福州·期末）已知分式A=2a+3a+2，整式(1)若A=1，求a的值；(2)当a取哪些整数时，分式A的值为整数；(3)试判断A与B的大小关系，并说明理由．【答案】(1)a=−