2025-2026学年九年级数学上学期期中测试模拟卷（21-23章）-沪科版（含答案）

壹加壹教辅资料2025-2026学年九年级数学上学期期中测试卷（21-23章）一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）1．西周时期，丞相周公旦设置过一种通过测定日影长度来确定时间的仪器，称为圭表，如图是一个根据长沙的地理位置设计的圭表，其中，立柱AC的高为am，已知，冬至时长沙的正午光入射角∠ABC约为38.5°，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即BC的长）约为（

A．asin38.5° C．acos38.5° 2．如图，四边形ABCD为矩形，矩形外有定点E，连接CE,DE,CE交AB于点F，且∠CED=90°，已知BC=4,AB=10,DE=8，则△BFE面积为

（

）A．1.2 B．1.5 C．1.8 D．23．如图，在平面直角坐标系中，点A2,4在抛物线y=ax2上，过点A作y轴的垂线，交抛物线另一侧于点B，点C，D在线段AB上，且关于y轴对称，分别过点C，D作x轴的垂线交抛物线于E，F两点，则四边形CDFEA．8 B．10 C．23−2 4．如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（）A．12 B．22 C．555．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是边AB上的点，且BE=2AE，过点E作DE的垂线交正方形外角∠CBI的平分线于点F，交边BC于点M，连接DF交边BC于点N，则MN的长为（

）A．23 B．56 C．66．如图，直线y=−32x+3与x轴、y轴分别交于点A、B，点C是线段AB上一动点，过点C作CD⊥x轴，CE⊥y轴，垂足分别是点D、E，S△OEC:S△CDA=2:1，若双曲线

A．43 B．34 C．257．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，AB=2，P是AC上一动点，连接BP，以BP为直角边向PB上方作△PBQ，使∠PBQ=90°，∠BPQ=30°，作BH⊥PQ于点H，连接AH，则AH的最小值为（）A．1 B．33 C．32 8．在正方形ABCD中，M是边CD上一点，满足BC=3CM，连接BM交AC于点N，延长BN到点P使得NP=BN，则CPBC=（A．22 B．53 C．1049．如图，在平面直角坐标系中，直线y=−3x+3交x轴于A点，交y轴于B点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，其中顶点D恰好落在双曲线y=kx上，现将正方形ABCD沿y轴向下平移a个单位，可以使得顶点C落在双曲线上，则A．83 B．73 C．2 10．如图，在等边△ABC中，点D，E分别是边AB、BC上的动点，且BD=2CE．以DE为边作等边△DEF，使点A与点F在直线DE同侧，DF交AC于点G，EF交AC于点H．①∠BED=∠AHF；②AD⋅DF=BE⋅DG；③若ED⊥AB，则DF⊥AC；④若CE:BE=1:2，则四边形DBEF是菱形．上述结论中．所有正确结论的序号是（

）A．①② B．③④ C．①②③ D．①②③④二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）11．如图，已知正方形ABCD边长为1，E为AB边上一点，以点D为中心，将△DAE按逆时针方向旋转得△DCF，连接EF，分别交BD，CD于点M，N，若sin∠EDM=55，则12．如图，在△ABC中，∠B=90°，点D在线段AB上，过点A作AE⊥DE于点E，DE交AC于点F．若∠CAE=∠BAC=12∠BCD且AD=12BD，13．如图，将反比例函数y=kxk>0图象在第一象限的分支向左平移4个单位长度后与y轴相交于点A，D为x轴上一点，作点A关于点D的对称点B，再以线段AB为斜边向下作等腰直角三角形ABC.若点B和点C恰好都落在反比例函数y=k14．如图，抛物线L：y=14x2+bx−3（b为常数），当抛物线L（1）抛物线L的顶点坐标为．（2）若0≤x≤n时，函数y=14x2+bx−3的最大值与最小值的差总为1三、解答题（本大题共9小题，满分90分）15．（8分）如图，在等腰△ABC中，AB=AC=10,cos∠BAC=35，过点B作(1)求AD的长；(2)若点E是BC中点，连结AE，求tan∠EAC16．（8分）某商场为了方便顾客购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶梯．如图，已知原阶梯式自动扶梯AB长为10 m，坡角∠ABD=40°，设计改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB=22°，点C,B,D(1)求扶梯的高度AD．（参考数据：tan40°≈0.84,(2)为保证顾客安全，扶梯的正前方至少应该留有2.5m空旷且没有阻挡的区域，已知原扶梯的前方有空地，空地的长BE为10 m，这样改造是否可行？请说明理由．（参考数据：17．（8分）如图，反比例函数y=kxk≠0的图象与正比例函数y=(1)点D的坐标为________；(2)不等式kx(3)已知AB∥x轴，以AB,AD为边作菱形ABCD，求菱形ABCD的面积．18．（8分）圆弧形拱桥和抛物线形拱桥是常见的拱桥结构．坐落在河北省赵县洨河上的赵州桥的主桥拱便是圆弧形，北京八景之一“卢沟晓月”中卢沟桥的主桥拱可以近似看作抛物线．(1)如图1左图，甲桥主桥拱ACB是圆弧形，已知跨度AB=40m，拱顶C到水面AB的距离为10(2)如图1右图，乙桥的主桥拱MPN是抛物线形，若水面宽MN=8m，拱顶P到水面MN的距离为4(3)在图1的基础上，某时刻桥拱ACB和桥拱MPN的桥下水位均上升了2m(4)如图3，将桥拱MPN所在抛物线设为L，L在x轴下方部分与桥拱MPN在平静水面中的倒影组成一个新函数图象．将新函数图象向右平移mm>0个单位长度，平移后的函数图象在8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，直接写出满足条件的整数m19．（10分）在平面直角坐标系中，过原点的抛物线y1=ax2+3x经过点A(1)求抛物线的解析式及点B的坐标；(2)将抛物线y1向右平移3个单位长度，得到一个新的抛物线y2，已知抛物线y2与x轴交于两点，其中右边的交点为点C．点P从点O出发沿x轴向终点C运动，过点P作x轴的垂线，交直线AO于点D，以PD为边在PD①当点E在抛物线y1上时，求点P②若点Qt,0在线段OC上，过点Q作x轴的垂线，与抛物线y1相交于点G，以QG为边作正方形QGMN，设经过Q，M两点的直线为y3=kx+bk>0，在点Q运动的过程中，当正方形QGMN与抛物线y20．（10分）图①、图②均是3×3的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点称为格点，点A、B均为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图．(1)图①中，画出△ABC的中线AD；(2)图②中，在△ABC的边BC上找一点F，连接AF，使S△ACF(3)图③中，在△ABC的边BC上找一点G，连接AG，使△ACG的面积为2．21．（12分）已知线段EF和矩形ABCD如图①所示（点E与点B重合），点F在边BC上，EF=1cm，AB=4cm，BC=8cm．如图②，EF从图①的位置出发，沿BC方向运动，速度为1cm/s；动点P同时从点D出发，沿DA方向运动，速度为1cm/s．M(1)当PM⊥ME时，求t的值．(2)设四边形PMFD的面积为Scm2，求S与t的函数表达式，并说明是否存在某一时刻t，使四边形PMFD的面积最大．若存在，求出(3)当t为何值时，点F在∠BAD的平分线上？22．（12分）已知抛物线C1:y=−14(x−2n)2+n2(1)求物线C1(2)若原点O(0,0)在抛物线C2上，点M是第四象限内一点，抛物线C1经过点M，连结OM并延长，交抛物线C2于点N．规定：点M的坐标为xM,①求xM②设抛物线C2的顶点为E，交x轴于点K，连结EO并延长交抛物线C1于点Q，过点Q作x轴的平行线交抛物线C1于点R(3)设抛物线C2与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C，点E是抛物线C2的顶点，点F是抛物线C2对称轴上一点，FC=FA．设F的坐标为(ℎ,a)(a<0)，求a23．（14分）综合与实践综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究．(1)操作判断①如图（1），在正方形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且②如图（2），在矩形ABCD中，BC=2AB，点E，F，G，H分别在边AB，CD，AD，BC上，且(2)迁移探究如图（3），在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E分别在边AC，BC上，且AE⊥BD(3)拓展应用如图（4），在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，BE平分∠ABC交AD于点E，点F为AE上一点，AG⊥BF交BE于点H，交矩形ABCD的边于点G，当F为AE的三等分点时，请直接写出参考答案一、选择题1．B【详解】解：根据题意得，tan∠ABC=∴BC=AC故选：B．2．A【详解】解：过点E作CB延长线的垂线，垂足为M，则∠M=90°∵矩形ABCD，∴AB=CD=10，∠BCD=∠2+∠3=90°=∠CBF，∵∠CED=90°，DE=8，∴CE=CD2∴∠1=∠3，∵∠CED=∠CBF=90°，∴△CBF∽△DEC，∴BCDE∴48∴BF=3，同理可证明：△DEC∽△CME∴CMDE∴CM∴CM=4.8，∴BM=4.8−4=0.8，∴S故选：A．3．B【详解】解：点A(2,4)在抛物线y=ax把A(2,4)代入y=ax2，得解得a=1，∴抛物线表达式为y=x设C(t,4)（0<t≤2），∵点C，D关于y轴对称，∴D(−t,4)．过点C作x轴垂线交抛物线于E，则E(t,t2)；过点D作x轴垂线交抛物线于F∴CD=2t，CE=4−t∴DF=CE=4−t2，四边形CDFE周长L=2(CD+CE)=2(2t+4−t=−2t∵上述函数中二次项系数−2<0，开口向下，对称轴为直线t=−4∴当t=1时，Lmax故选：B．4．C【详解】解：取格点E，连接AE、BE，如图：设网格中的小正方形的边长为1，则BE＝12AE＝22AB=32∵BE2+AE2＝2+8＝10，AB2＝10，∴BE2+AE2＝AB2．∴∠AEB＝90°．由题意：∠EBD＝∠CDB＝45°．∵∠APD＝∠CDB+∠PBD＝45°+∠PBD，∠ABE＝∠DBE+∠PBD＝45°+∠PBD，∴∠APD＝∠ABE．在Rt△ABE中，cos∠ABE＝BEAB∴cos∠APD＝55故选：C．5．B【详解】解：如图所示：在AD上截取AG=AE,连接GE，延长BA至H，使AH=CN,连接EN，∵AD=AB,AG=AE,∴DG=BE,∵DE⊥EF,∴∠DEF=90°,∴∠AED+∠BEF=90°,∵∠ADE+∠AED=90°,∴∠ADE=∠BEF,∴AG=AE,∠GAE=90°,∴∠AGE=∠AEG=45°,∴∠EGD=135°,∵BF为正方形外角∠CBI的平分线，∴∠CBF=45°,∴∠EBF=90°+45°=135°,∴∠EGD=∠FBE,在△GDE和△BEF中，∵∴△EGD≌△FBE∴ED=FE,∴∠EDF=45°,∴∠CDN+∠ADE=45°,在Rt△NDC和Rt△HDA∵∴△DCN≌△DAH∴DN=DH,∠CDN=∠ADH,∴∠HDE=45°,在△NDE和△HDE中，∵∴△NDE≌△HDE∴EN=EH,∵BC=AB=3,BE=2AE,∴AE=1,BE=2,设CN=x,则BN=3−x,在Rt△BEN∴EN=∴1+x=∴x=∵∠ADE=∠BEM,∴tan∠BEM=∴BM=∴MN=BC−CN−BM=3−3故选：B．6．A【详解】解：对于y=−32x+3，当x=0时，y=3；当y=0∴B(0,3)，A(2∴OB=3，OA=2设Cx∵CE⊥y轴，CD⊥x轴，OD⊥OE∴四边形ODCE是矩形，∴CE=OD=x，OE=CD=−∴AD=2−x∵S∴解得：x=经检验，x=4∴CD=−∴C∵点C在反比例函数y=k∴1=k43故选：A．7．C【详解】解：作BD⊥AC于点D，连接DH，∵BH⊥PQ，BD⊥AC，∴∠BHP=∠BDC=90°，又∵∠C=∠BPH=30°∴△BCD∽△BPH，∴BD∴BDBC∵∠C=∠BPQ=30°，∴∠CBD=∠PBH=90°−30°=60°，∴∠CBP=∠DBH，∴△CBP∽△DBH，∴∠C=∠BDH=30°，∴∠ADH=60°，∴当点P运动时，∠ADH的度数不变，∴当AH⊥DH时，AH的长度最短，∵∠DBC=60°，∴∠ABD=30°，∴AD=1∵∠DAH=90°−60°=30°，∴DH=1∴AH=A∴AH长度的最小值为32故选：C．8．A【详解】解：连接BD交AC于点E，∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=DC，AE=CE=12AC，BE=DE=12∴BE=CE=DE，AC=2CE，∠CED=90°，∵AB=BC=3CM，∴CMAB∵CM∥∴△CMN∽∴CNAN∵CN=1∴AC=4CN，∴2CE=4CN，∴CE=2CN，∴CN=EN，在△CPN和△EBN中，CN=EN∠PNC=∠BNE∴△CPN≌∴PC=BE=DE，∠PCN=∠BEN，∴PC∥∴四边形PCED是正方形，∴CP=CE=2∴CPBC故选：A．9．A【详解】解：作CE⊥y轴于点E，作DF⊥x轴于点F，作CH⊥x轴于点H，交双曲线于点G在y=−3x+3中，令x=0，解得：y=3，即B的坐标是0，令y=0，解得：x=1，即A的坐标是1，则OB=3，OA=1．∵∠BAD=90°∴∠BAO+又∵直角△ABO中，∠BAO+∴∠DAF=在△OAB和△FDA中，∠DAF=∠OBA∠BOA=∠AFD∴△OAB≌△FDA（AAS），同理，△OAB≌△FDA≌△EBC，∴AF=OB=EC=3，DF=OA=BE=1，故D的坐标是4，1，C的坐标是代入y=kx得：k=4则函数的解析式是：y=4x∴OE=4，则C的纵坐标是4，把x=3代入y=4x得：y=43．即G的坐标是∴CG=4−43=8∴a=83故选：A．10．D【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理等知识，综合运用相关知识是解题的关键①正确．利用等边三角形的性质以及三角形外角的性质证明即可；②正确．证明△EDB∽△DGA，可得结论；③正确．证明∠AGD=90【详解】解：∵△ABC，△DEF都是等边三角形，∴∠ACB=∠DEF=60∵∠BEF=∠BED+∠DEF=∠ACB+∠CHE，∴∠BED=∠CHE，∵∠AHF=∠CHE，∴∠BED=∠AHF，故①正确；∵∠B=∠BAC=∠EDF=60∴∠BDE+∠BED=120∘，∴∠BED=∠ADG，∴△EDB∽△DGA，∴DEDG=∵DE=DF，∴AD⋅DF=BE⋅DG；故②正确；∵△ABC是等边三角形，∴∠B=∠BAC=60∵ED⊥AB，∴∠ADE=90∵△DEF是等边三角形，∴∠EDF=60∴∠ADG=30∴∠AGD=90∘，即∵CE:BE=1:2∴BE=2CE，∵BD=2CE，∴BD=BE，∵∠B=60∴△BDE是等边三角形，∴BE=BD=DE=EF=DF，∴四边形DBEF是菱形，故④正确．故选：D．二、填空题11．2【详解】解：∵四边形ABCD是边长为1的正方形，∴AB=BC=CD=1，∠A=∠BCD=∠ADC=90∴∠CBD=∠CDB=45∵将△DAE按逆时针方向旋转得△DCF，∴CF=AE，DF=DE，∠EDF=∠ADC=90∘，∴∠DEF=∠DFE=45∘，∴∠CBD=∠DEF，B、C、F三点在同一条直线上，∴∠BFE=∠BME−∠CBD=∠BME−∠DEF=∠EDM，BF=BC+CF=1+AE，∴BEEF∴EF=5∴BF=E∴1+AE=2(1−AE)，∴CF=AE=1∵tan∠BFE=∴CN=1∴DN=CD−CN=1−1∴AEDN故答案为：2512．5【详解】解：过点C作CG⊥AE延长线于点G，延长GC，AB交于点H，∵∠CAE=∠BAC=12∠BCD，∠ABC=∠AGC=90°∴△ABC≌△AGC，∴BC=CG=54，∴设∠CAE=∠BAC=x，∴∠BCD=2x，∵∠CBH=∠G=90°，∠H=∠H，∴△BCH∽△GAH，∴∠BCH=∠GAH=∠CAE+∠BAC=2x，∴∠BCH=∠BCD，又∵∠CBH=∠CBD=90°，BC=BC，∴△BCH≌△BCDASA∴BD=BH，设AD=a，则BD=BH=2a，∴AG=3a，AH=5a，∵△BCH∽△GAH，∴BCGA∴54∴CH=2512，∴AB=3a=5∴AC=A∵DE⊥AE，HG⊥AE，∴DE∥HG，∴CFAC∴CF5∴CF=5故答案为：5．13．8【详解】解：如图，连接CD，过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F．∵点B与点A关于点D对称，∴AD=BD．∵△ABC是以线段AB为斜边的等腰直角三角形，∴CD⊥AB，CD=1∴∠BDF+∠CDE=90°=∠DCE+∠CDE，∴∠ADO=∠DCE=∠BDF．∵∠AOD=∠DEC=∠BFD=90°，∴△AOD≌△DEC≌△BFDAAS∴OA=DE=BF，FD=CE=OD；设OA=DE=BF=n，则点A的坐标为0,n，点B的纵坐标为−n．∵将反比例函数y=kxk>0图象在第一象限的分支向左平移4个单位长度后与y∴点A在函数y=k把A的坐标代入得n=k令y=k解得x=−4，∴点B的横坐标为−4，∴D−2,0，FD=CE=2，点C的纵坐标为−2∴B−4,−n，C∵点B和点C都在反比例函数y=k∴−4⋅−n解得n=2∴k=4n=8故答案为：8314．1,−134【详解】解：（1）∵抛物线L经过点M(−4,m),N(6,m)，∴抛物线L的对称轴为直线x=−4+6∴b=−1∴L1的函数表达式为当x=1时，y=1∴抛物线L的顶点坐标为1,−13故答案为：1,−13（2）∵y=14x2−则点D关于直线x=1的对称点为(2,−3)，∵抛物线L的开口向上，∴当0≤x≤2时，抛物线L上的最高点的纵坐标总是−3，最低点总是1,−134，两个点的竖直距离总为∴当1≤n≤2时，函数y=14x故答案为：1≤n≤2．三、解答题15．（1）解：∵BD⊥AC，∴在Rt△ABD中，AD=AB⋅（2）解：∵BD⊥AC,AB=AC=10,AD=6，∴CD=AC−AD=10−6=4,BD=A∵AB=AC,E为BC的中点，∴AE∴∠EAC+∠C=90°，∵∠CBD+∠C=90°，∴∠EAC=∠CBD，∴tan16．（1）在Rt△ABD中，∴AD≈0.64AB=0.64×10=6.4（m），答：扶梯的高度AD约为6.4m（2）这样改造不可行，理由如下：在Rt△ABD中，∴BD≈0.77AB=0.77×10=7.7（m），在Rt△ACD中，∴CD≈∴BC=CD−BD≈16−7.7=8.3(m),∵BE=10m∴CE=BE−BC=10−8.3=1.7(m)<2.5m,∴这样改造不可行．17．（1）解：将Aa,2代入y=∴a=3∴A3∵点A与D关于原点对称，∴D−故答案为：−3（2）解：将A32,2代入即反比例函数解析式为：y=3由图象知，当x<−32或0<x<3故答案为：x<−32或（3）解：作AH⊥CD于H，∵A3∴AH=4,DH=3，由勾股定理得，AD=A∵四边形ABCD是菱形，∴DC=AD=5，∴菱形ABCD的面积为5×4=20．18．（1）解：如图，O为圆弧的圆心，连接OC与AB交于点D，连接OA．在Rt△ADO中，OA=r，OD=r−10，AD=∴r解得r=25，即这座桥的主拱桥的半径为25m（2）解：依题意可知：抛物线的顶点为4，4，N8,0设抛物线的解析式为y=ax−4将N8,0代入解析式，得0=a解得a=−1∴抛物线的解析式为y=−1（3）解：如图，水位上升2m到GH，连接OG，连接OC与GH交于点E．在Rt△OGE中，OG=25，OE=25−10+2=17∴25解得GE=421∴GH=821，即甲桥此时的水面宽度为8由2=−14x−42+4∵4+22∴乙桥此时的水面宽度为42（4）解：抛物线y=−14x−42+4平移后函数图象的对称轴是直线x=4+m，∴当m≤x≤4+m或x≥8+m时，y的值随x值的增大而减小，∴当8≤x≤9时，y的值随x值的增大而减小，结合函数图象，①当m≤8且4+m≥9时满足题意，解得5≤m≤8；②当8+m≤8时满足题意，解得m≤0（舍）．综上所述，m的取值范围是5≤m≤8，所以,整数m的值为5，6，7，819．（1）解：将点A1,2代入y得a+3=2，解得a=−1．∴抛物线的解析式为y1令y1=0，得解得x1∴点B的坐标为3,0．（2）解：①∵y∴y令y2=0，得解得x∴C6,0设直线AO的解析式为y=k将点A1,2代入，得k∴直线AO的解析式为y=2x．设点P的坐标为（m，0）．∴OP=m∴DP=2m．∵四边形PDEF是正方形，∴DE=EF=PF=DP=2m．∴OF=OP+PF=m+2m=3m∴E3m,2m当点E3m,2m在抛物线y−9m解得m1=0（不合题意，舍去），∴点P的坐标为79②∵y∴抛物线y1的对称轴为直线x=3∵四边形QGMN是正方形，∴M−当0<t<3时，点G在x轴上方．当点M−t2如图1，此时点G，M关于直线∴3解得t1当点N与点B重合时，如图2．此时−t解得t1∴t的取值范围是5−13当点G与抛物线y1的顶点重合时，如图3，此时t=当点Q与点B重合时，t=3．∴t的取值范围是32当t>3时，点G在x轴下方．当点N与点O重合时，如图4．此时−t解得t1∴t的取值范围是3<t<4．综上所述，t的取值范围是5−132<t≤1或320．（1）如图①中，线段AD即为所求；（2）如图②中，线段AF即为所求；（3）如图③中，线段AG即为所求．21．（1）解：∵PM⊥ME，∴∠PME=90°．∵∠AMP+∠PME+∠BME=180°，∴∠AMP+∠BME=90°．∵四边形ABCD是矩形，∴∠PAM=∠B=90°．∵∠BME+∠BEM=90°，∴∠AMP=∠BEM，∴△APM∽△BME，依题意，DP=BE=t，AP=AD−DP=8−t，AM=BM=1∴AP即8−t2解得t1=4+23即t的值为4−23（2）依题意，AP=AD−PD=8−t，AM=BM=12AB=2，S==AB⋅BC−=4×8−=2t+9．∵0<t≤7，∴当t=7时，S有最大值，此时S=2×7+9=23cm（3）如图，连接AF．∵AF平分∠BAD，∴∠BAF=∠DAF=45°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC∴∠AFB=∠DAF=45°，∴∠BAF=∠AFB，∴BF=AB，∴t+1=4，∴t=3．即当t为3时，点F在∠BAD的平分线上．22．（1）解：∵抛物线C1:y=−14(x−2n)∴一元二次方程−1即n2解得n=0，∴y=−1（2）①由（1）得，抛物线C1则点M的坐标为xM,−1设直线OM的解析式为y=kx，将M点坐标代入可得，k=−1即直线OM的解析式为y=−1∵抛物线C2经过原点O(0,0)∴−1解