《高职应用数学》教案 第4课 函数

第4课函数

课题函数

课时2课时(90min)

知识技能目标：

1.理解函数、初等函数的概念，使学生能够计算函数的定义域、判断两个函数

是否为同一函数

2.掌握函数四种性质（单调性、奇偶性、有界性和周期性）的分析与判断

3.熟练掌握基本初等函数的解析式、性质及一些重要的函数图形

教学目标4.掌握复合函数的复合过程和分解过程

5.使学生能够画一些简单分段函数的图形

思政育人目标：

使学生了解函数在实际中的应用，引导学生养成独立思考和深度思考的良

好习惯；培养学生的逻辑思维、辩证思维和创新思维能力；树立学生实事

求是、一丝不苟的科学精神

教学重点：函数概念的理解

教学重难点

教学难点：基本初等函数的作图

教学方法讲授法、问答法、讨论法、演示法、实践法

教学用具电脑、投影仪、多媒体课件、教材

第一节课：课前任务一考勤（2min）-＞知识讲解（20min）-＞课堂测验（10min）

f课堂指导（13min）

教学设计

第二节课：知识讲解（20min）一课堂测验（12min）f互助指导（10min）

—课堂小结（3min）—课后拓展

教学过程主要教学内容及步骤设计意图

第一节课

【教师】和学生负责人取得联系，布置课前任务，提醒同

学做完作业，在指定时间内交齐

通过课前的预热，

【学生】做完作业，在指定时间内交齐

让学生了解所学

【教师】通过APP或其他学习软件，布置课前问答题：

课前任务科目的大概方向，

什么是映射？什么是函数？函数具有哪些性质？如何区分

激发学生的学习

初等函数和分段函数？

欲望

【学生】提前上网搜索了解，查阅资料，了解问题，熟悉

教材

培养学生的组织

考勤【教师】清点上课人数，记录好考勤

纪律性，掌握学生

【学生】班干部报请假人员及原因

(2min)的出勤情况

【教师】引入课题一一函数的概念

16世纪以来，科学家们致力于运动的研究.例如，计

算天体的位置，测量远距离航海中的经度和纬度，研究炮弹

的速度对高度和射程的影响等.诸如此类的问题都需要探讨

变量之间的相互依赖关系，并根据这种关系对事物的变化规

律做出判断，从而产生了函数的概念.这个概念的产生，是人

类描述自然、研究自然规律的一次重大变革！

【教师】通过引例讲解函数的定义

函数反映了事物运动变化过程中变量之间的依赖关

系.考察如下几个案例.

1引例口在自由落体运动中，物体下落的距离s随下落

时间t的变化而变化，下落距离S与时间t之间的依赖关

系为

12

学习、巩固函数的

[引例0某儿童玩具的销售价格是每套20元，假设销概念与性质的相

售量是q套，那么销售收入R与销售量之间的依赖关系为关知识，理解函数

R-20q.概念的产生是人

知识讲解

当销售量q取一定的数值时，销售收入R就有一个确定的类研究自然规律的

数值与之对应.

(20min)重大变革。边做边

定义1设有两个变量X和》力是一个非空数集，若当变

讲，及时巩固练

量x在集合D内任取一个值，变量y依照一定法则力总有

习，实现教学做一

确定的值与之对应，则称变量y是x的函数，记为

y=/(x),xeD,体化

其中，。称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量.

对于确定的与€。，与之对应的先称为函数y=/(x)

在乙处的函数值，记作

%=(4=f(x0).

当x取遍。中的一切数值时，对应的函数值y的集合称为

函数y=/O)的值域，记作M,即

M={y\y=f(x),xeD].

例11设函数/(》)=3犬-2苫-1,求/(O),/⑴及

/(-X).

解/(0)=3x02-2x0-l=-l；

/(l)=3xl2-2xl-l=0：

f(—x)=3(—x)--2(—x)—1—3x?+2x1.

【教师】讲解函数的两要素，并通过例题介绍其应用方法

由函数的定义可知，定义域与对应法则一旦确定，函

数也就随之唯一确定.因此我们把函数的定义域和对应法

则称为函数的两要素.

例2I判断下列函数是否为同一函数：

(1)f(x)=sin2A:+cos2x,g(x)=—；

X

(2)/(x)=31nx,g(x)=Inx3.

解(1)函数/(x)=sin?x+cos2x的定义域为(-8,+8),

而函数g(x)=£的定义域为(-00,。)1(0,+8),故这两个函

X

数不是同一函数.

(2)函数/(x)=31nx和函数g(x)=Inx3的定义域和对应法

则都相同，故这两个函数是同一函数.

[Q|例3]求下列函数的定义域：

⑴/(x)=1,：

2x-x

(2)/(x)=\Jx+3+ln(2-x).

解(1)因为Ir—Wwo,解得X#0且XW2,所以函数

的定义域为

(-00,0)(0,2)(2,+00).

(2)因为解得—3,,x<2,所以函数的定义域

12—x>0,

为［-3,2).

【教师】讲解函数的表示法

函数通常有三种不同的表示法：解析法、表格法和图

示法.

>解析法：用数学式子来表示函数的方法，也称公

式法.由于表达简单，便于理论推导和运算，因

此它在高等数学中是最常见的函数表示法.

>表格法：用表格来表示函数的方法.例如，表1-1

以列表的形式给出了国内生产总值与年份之间的

函数关系.

表1-1单位：亿元

年伽201P201―20小20卬20小2016-

生产总值.48930065403674595244.4.643974.0.685505.8.7441276

>图示法：用图形来表示函数的方法.其优点是形

象直观，可以看到函数的变化趋势，如某地一天

的气温变化曲线图、上证指数K线图等.

【教师】通过例题讲解函数的性质

1)单调性

设函数y=f(x)在区间/内有定义，若对区间/内的任

意两点X1,W：当玉<々时，有/(%)<f(x2),则称y=/(x)

在区间/内品调增加，区间/称为单调增区间；当“<当时，

有/(%,)>/(%2)，则称y=/(x)在区间/内单调减少，区间

/称为单调减区间.单调增区间和单调减区间统称为单调区

间.

例如，函数y=V在区间(-8,0)内单调减少，在区间

(0,+8)内单调增加；函数y=2x,y=/在区间(ro,+8)

内都是单调增加的.

2)奇偶性

设函数y=/(x)的定义域关于原点对称(即若xe。，

则一xe£>).若对于任意的xe£>,都有f(-x)=f(x),则

称y=/(X)为偶函数；若对于任意的XG。，都有

f(-x)=,则称y=/(x)为奇函数.不满足以上两种

情况的函数，称为非奇非偶函数.

例如，/(x)=/在定义区间上是偶函数；/(幻=%5和

G(X)=X3COSX在定义区间上都是奇函数；

f(x)=sinx+cosx在定义区间上是非奇非偶函数.

3)有界性

设函数/(x)在区间/上有定义，若存在一个正数M,

使得与任意x(xe/)所对应的函数值f(x)都满足不等式

I/(x)|„M,则称函数/(x)在/内有界.若这样的M不存

在，则称函数〃幻在/内无界.

例如，函数/(x)=sinx在(-8,+8)内是有界的，这是因为

无论x取何值，|sinx|”1都成立；函数/(x)=」在开区间

X

(0,1)内是无界的，而在开区间(1,3)内是有界的.由此可

见，笼统地说某个函数是有界函数或无界函数是不确切的，

必须指明其所讨论的区间.

4)周期性

设函数y=f(x)在区间D上有定义，若存在常数

7V0,对于任意的XG。，恒有f(x+T)=f{x),则称f(x)

是以7为周期的周期函数.

通常所说周期函数的周期是指它们的最小正周期.例如，

y=sinx的周期是2兀，y=tanx的周期是n.另外，函数

y=C(C为常数)是周期函数，但不存在最小正周期.

【学生】掌握函数的概念与四种性质

，教师在APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学通过测试，了解学

生加入测试。生对知识点的掌

课堂测验

【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家握情况，加深学生

(10min)的学习情况对本节课知识的

【学生】做测试题目印象

〜选出优秀学生带动、指导其他同学掌握知识点

以学生为主体，针

【教师】公布题目的正确答案，让答题快且正确的同学上

对学生接受能力

课堂指导台解答，为同学们做示范。如果题目比较难，无人答对则

的差异性，让优秀

老师示范

(13min)学生带动其他学

【学生】核对自己的答题情况，对比答题思路，巩固答题

生掌握知识点

技巧

第二节课

【教师】讲解基本初等函数的解析式、性质，列举一些重

要的函数图形

吊奴肉奴、邪:图姒、y

指数函数、对数函数、三

角函数、反三角函数这6cy=c

类函数统称为基本初等函

数.-

OX

1.常数函数圉1

Is]112

常数函数

y=C(C为常数)的定义域为(-oo,+oo),对应法则是对于

学习、巩固基本初

任何xe(-oo,+oo),x所对应的函数值y恒甯下于常数C.其

函数图像为平行于x轴的直线，如图1-12所示.等函数、复合函数

和分段函数的相

知识讲解2.赛函数

关知识。边做边

(20min)幕函数y=x"(a为任意常数)的定义域不口值域由a而讲，及时巩固练

习，实现教学做一

定，在(0,+8)内都有定义，且其图像都经委土点(1,1).如

体化

图1-13所示给出了几个常见幕函数的图像.

;一L

O\X

ZT[\

(a)(b)

图1-13

3.指数函数

x

指数函数y=a(a>0,a1)的定义域为(YO,+°O),

值域为(O,+8),图像都经过点(0,1).当。>1时，y=a*单

调增加；当0<“<1时，y="单调减少.指数函数的图像

均在x轴上方，如图1-14所示.

4.对数函数

对数函数y=log,,x(a>0,a*1)是指数函数y=〃*的

反函数.对数函数的定义域为(0,+8),值域为(YO,+8),

图像都经过点(1,0).当。>1时，y=log〃x单调增加;当

0<a<l时，y=Iog“x单调减少.对数函数的图像在y轴

的右方，如图1-15所示.

图1-14图1-15

当a=e时，y=log“x简记为y=lnx,它是常见的对

数函数，称为自然对数.

5.三角函数

三角函数包括如下几类：

正弦函数丫=4门，余弦函数尸侬》；

正切函数丫=1011犬，余切函数丫=81了；

正割函数'=5攵》，余割函数丫=。80》.

(1)sinx和cosx的定义域为(-co,+8),值域为

[-111],都以2兀为周期.sinx是奇函数，cosx是偶函数,

如图1-16所示.

y

-1

图1-16

JT

(2)tanx的定义域是xHE+/(ZeZ),cotx的定义

域是xxfac(AeZ),它们都以兀为周期，且都是奇函数，

分别如图1-17(a)和(b)所示.

6.反三角函数

反三角函数是各三角函数在其特定单调区间上的反函数.

(1)反正弦函数y=arcsinx是正弦函数y=sinx在区

间-It上的反函数，其定义域为［-1,1］,值域为

----1,如图1-18(a)所示.

_22_

(2)反余弦函数y=arccosx是余弦函数y=8sx在区

间［0,汨上的反函数,其定义域为［-1,1］,值域为［0,兀］,

如图1-18(b)所示.

(3)反正切函数y=arctanx是正切函数y=tanx在区

间内的反函数，其定义域为(TO,+8),值域为

(一^，3),如图1-19(a)所示.

(4)反余切函数y=arccotx是余切函数y=cotx在区

间(0,兀)内的反函数，其定义域为(一》,+8),值域为

(0,兀)，如图1-19(b)所示.

(a)(b)

图1-19

【教师】讲解复合函数的定义，并通过例题介绍其复合过

程和分解过程

定义2设y是"的函数y=./'(〃)，〃是x的函数

u=(p(x).若"=9(犬)的值域与y=/(")的定义域的交集

不是空集，则)'通过〃构成X的函数y=/W(x)],称为X

的复合函数，其中〃称为中间变量.

例如，y=u~,w=sinx.它们复合而成的复合函数为

y=(sin》)。=sin2x.

利用复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解

成若干个简单的函数.

分解函数的原则是：由外向里，逐层分解.

分解函数的结果是：分解成的每个简单函数都是基本

初等函数，或由常数与基本初等函数经过有限次四则运算

后形成的函数.

回|例4]写出下列函数的复合过程：

(1)y=(l+2x):(2)y=sin2-.

X

解(1)y=(1+2x)3是由y=,〃=l+2x复合而成的.

(2)ynsi/L是由y=,«=sinv,^=工复合而成的.

XX

【教师】讲解初等行数和分段函数的定义，列举一些简单

分段函数的图形的画法，为学习极限做好准备

1.初等函数

定义3由基本初等函数经过有限次的四则运算和有

限次的函数复合构成的，并且用一个解析式表示的函数称

为初等函数.

例如，函数y=ln(x+，r2+1),yMe"1**+5x%osx等

均是初等函数.

2.分段函数

(引例居1自2018年8月1日起，北京巡游出租车(不

含电动车)白天的基本收费标准是：行驶里程若不超过3

公里，则收费13元；若超过3公里，则超出的部分按每

公里2.3元收费.另外，每运次加收1元燃油附加费.那

么，每运沙二的行驶里程数x公里与费用y元之间的关系为

1,x剿3,_]14,x3,

[13+(尤-3)x2.3+1,x>317.1+2.3x,x>3.

以上的1函数关系不是用一个式子表示的，而是在自变

量不同范隹1内用不同的表达式来表示的.这样的函数称为

分段函数.

例5]已知分段函数

2厉

0)，/⑴，〃3);尸*+/2=2一、

(1)求/(

(2)求其定义域，并画出其Z-l0|12\3x

图像.T

解(1)/(0)=0+1=1,

，⑴=1+1=2,图1-20

/(3)=2-3=-1.

(2)分段函数的定义域为

(^X),1](1,+oo)=(^)o,+oo),

其图像如图1-20所示.

常用的分段函数有绝对值函数和符号函数两种.

1)绝对值函数

绝对值函数y=|x|=F'的图像如

图1-21所

[-X,x<0

示.

2)符号函数

-1,x<0,

符号函数),=sgnx=0,工=0,的图像如图1-22所示.

1,x>0

y1

斗

y=-x3y=x1

XOL/_____1____一

0r

-3-2-10123K-1

图1-21图-22

【学生】掌握基本初等函数、复合函数和分段函数的相关

知识

，教师在APP或其他学习平台中发布测试的题目，并让学通过测试，了解学

生加入测试。生对知识点的掌

课堂测验

【教师】从教材配套题库中选择几道题目，测试一下大家握情况，加深学生

(12min)的学习情况