2025年大学《数理基础科学》专业题库- 统计学理论与实际应用

2025年大学《数理基础科学》专业题库——统计学理论与实际应用考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题1.设随机变量X的分布律为P(X=k)=C(k+1)/5,k=0,1,2。则常数C等于（）。A.1B.2C.3D.42.已知样本数据x1,x2,...,xn，样本均值记为x̄，样本方差记为s²。下列说法正确的是（）。A.x̄是总体均值μ的无偏估计量，s²是总体方差σ²的无偏估计量。B.x̄是总体均值μ的无偏估计量，s²是总体方差σ²的有偏估计量。C.x̄是总体均值μ的有偏估计量，s²是总体方差σ²的无偏估计量。D.x̄是总体均值μ的有偏估计量，s²是总体方差σ²的有偏估计量。3.从正态总体N(μ,σ²)中抽取容量为n的样本，要检验H0:μ=μ₀，应使用的统计量是（）。A.t=(x̄-μ₀)/(s/√n)B.Z=(x̄-μ₀)/(σ/√n)C.t=(x̄-μ₀)/(s/√(n-1))D.Z=(x̄-μ₀)/(σ/√(n-1))4.在假设检验中，犯第一类错误的概率记为α，犯第二类错误的概率记为β。下列说法正确的是（）。A.减小α的同时必然增大β。B.减小α的同时必然减小β。C.α与β没有直接关系。D.增大样本容量可以同时减小α和β。5.设变量x和y的观测值为(x₁,y₁),(x₂,y₂),...,(xₙ,yₙ)，x̄和ȳ分别是x和y的样本均值。回归直线方程ȳ=a+bx中的系数b等于（）。A.∑(xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ)/∑(xᵢ-x̄)²B.∑(xᵢ-ȳ)(yᵢ-x̄)/∑(yᵢ-ȳ)²C.∑(xᵢ-x̄)(yᵢ-ȳ)/∑(yᵢ-ȳ)²D.∑(xᵢ-ȳ)(yᵢ-x̄)/∑(xᵢ-x̄)²二、计算题6.(10分)设随机变量X的概率密度函数为f(x)={c*x²,0<x<2;0,其他}。(1)确定常数c的值。(2)求X的分布函数F(x)。(3)求P(1<X<1.5)。7.(10分)从一批零件中随机抽取10个，测得尺寸数据（单位：mm）如下：49.7,50.6,48.8,51.0,49.5,49.8,51.2,50.3,49.6,50.1。计算样本均值x̄和样本方差s²。8.(15分)从正态总体N(μ,16²)中抽取容量为25的样本，样本均值为x̄=10.5。(1)检验假设H0:μ=10，H1:μ≠10。取显著性水平α=0.05，写出检验步骤并作出结论。（使用临界值法）(2)求参数μ的95%置信区间。9.(20分)研究某商品的广告投入x（单位：万元）与销售额y（单位：万元）的关系，收集到10组数据，计算得：∑xᵢ=50,∑yᵢ=520,∑xᵢ²=280,∑yᵢ²=3024,∑xᵢyᵢ=2760,x̄=5,ȳ=52。(1)建立y关于x的线性回归方程。(2)求回归系数b的置信度为95%的置信区间。(3)当广告投入x=6万元时，预测销售额y，并给出预测值的标准误差（注：可使用公式σ̂=√[Σ(yᵢ-ŷ)²/(n-2)]进行计算）。试卷答案一、选择题1.C2.A3.B4.A5.A二、计算题6.(10分)(1)解：由概率密度函数性质∫₋ᴸₐₓf(x)dx=1，得∫₀²c*x²dx=1[c*x³/3]₀²=1c*(8/3-0)=1c=3/8(2)解：F(x)=∫₋ᴸₐₓf(t)dtx≤0时，F(x)=00<x<2时，F(x)=∫₀ˣ(3/8*t²)dt=(3/8)*(x³/3)=x³/8x≥2时，F(x)=∫₀²(3/8*t²)dt=1所以F(x)={0,x≤0;x³/8,0<x<2;1,x≥2}(3)解：P(1<X<1.5)=F(1.5)-F(1)=(1.5³/8)-(1³/8)=(27/8)-(1/8)=26/8=13/4=3.257.(10分)解：x̄=(49.7+50.6+48.8+51.0+49.5+49.8+51.2+50.3+49.6+50.1)/10=500.6/10=50.06s²=[∑(xᵢ-x̄)²]=[(49.7-50.06)²+(50.6-50.06)²+...+(50.1-50.06)²]=[(-0.36)²+(0.54)²+(-1.26)²+(1.04)²+(-0.56)²+(-0.26)²+(1.14)²+(0.24)²+(-0.46)²+(0.04)²]=[0.1296+0.2916+1.5876+1.0816+0.3136+0.0676+1.2996+0.0576+0.2116+0.0016]=5.988所以x̄=50.06,s²=5.9888.(15分)(1)解：检验假设H0:μ=10，H1:μ≠10。样本容量n=25，总体方差σ²=16²=256已知，故用Z检验法。检验统计量Z=(x̄-μ₀)/(σ/√n)的拒绝域为|Z|>Z_(α/2)。α=0.05，Z_(0.025)=1.96。拒绝域为Z<-1.96或Z>1.96。计算检验统计量：Z=(10.5-10)/(16/√25)=0.5/(16/5)=0.5/3.2=5/32≈0.15625。因为|0.15625|=0.15625<1.96，所以未落入拒绝域。结论：在显著性水平α=0.05下，不能拒绝原假设H0，即没有充分证据表明均值μ不等于10。(2)解：因为总体方差σ²已知，所以μ的置信区间为(x̄-Z_(α/2)*(σ/√n),x̄+Z_(α/2)*(σ/√n))。置信水平1-α=95%，α/2=0.025，Z_(0.025)=1.96。区间下限=10.5-1.96*(16/√25)=10.5-1.96*3.2=10.5-6.272=4.228。区间上限=10.5+1.96*(16/√25)=10.5+6.272=16.772。所以μ的95%置信区间为(4.228,16.772)。9.(20分)(1)解：b=[n∑xᵢyᵢ-(∑xᵢ)(∑yᵢ)]/[n∑xᵢ²-(∑xᵢ)²]=[10*2760-50*520]/[10*280-50²]=[27600-26000]/[2800-2500]=1600/300=16/3a=ȳ-b*x̄=52-(16/3)*5=52-80/3=(156-80)/3=76/3所以回归方程为ŷ=(76/3)+(16/3)x(2)解：b的方差σ_b²=[σ²/(n-2)]*[1/∑(xᵢ-x̄)²]σ²=s²=[n∑yᵢ²-(∑yᵢ)²]/(n(n-1))=[10*3024-520²]/[10*9]=[30240-270400]/90=-240160/90=-1601.777...(计算有误，应重新计算s²)s²=[n∑yᵢ²-(∑yᵢ)²]/[n(n-1)]=[10*3024-520²]/[10*9]=[30240-270400]/90=-240160/90=-1601.777...(再次计算有误，应重新计算s²)s²=[∑yᵢ²-(∑yᵢ)²/n]/(n-1)=[3024-520²/10]/9=[3024-2704]/9=320/9σ_b²=(320/9)/(10-2)*[1/(280-250)]=(320/9)/8*[1/30]=40/9*1/30=40/270=4/27σ_b=√(4/27)=2/√27=2/(3√3)=2√3/9置信度为95%，t_(α/2,n-2)=t_(0.025,8)。查t分布表得t_(0.025,8)≈2.306。b的置信区间为(b-t_(α/2,n-2)*σ_b,b+t_(α/2,n-2)*σ_b)=(16/3-2.306*(2√3/9),16/3+2.306*(2√3/9))=(16/3-4.612√3/9,16/3+4.612√3/9)=(16/3-1.537,16/3+1.537)=(2.663,6.337)(近似值)(3)解：当x=6时，预测值ŷ₀=a+b*6=(76/3)+(16/3)*6=76/3+96/3=172/3。计算残差平方和SSE=∑(yᵢ-ŷᵢ)²=∑yᵢ²-a*∑yᵢ-b*∑xᵢyᵢ=3024-(76/3)*520-(16/3)*2