高考物理一轮复习 知识点8：弹力与摩擦力的临界极值问题（提高解析版） - 副本

知识点8：弹力与摩擦力的临界极值问题考点一：弹力的临界与极值问题【知识思维方法技巧】（1）临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等。常见弹力临界状态有绳子恰好绷紧，拉力F＝0。刚好离开接触面，支持力FN＝0。（2）极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。（3）平衡中涉及弹力的临界与极值问题解题方法：①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)。题型一：应用物理分析法解决弹力的临界与极值问题【典例1提高题】如图所示，足够长的光滑平板AP与BP用铰链连接，平板AP与水平面成53°角固定不动，平板BP可绕水平轴在竖直面内自由转动，质量为m的均匀圆柱体O放在两板间，sin53°＝0.8，cos53°＝0.6，重力加速度为g，在使BP板由水平位置缓慢转动到竖直位置的过程中，下列说法正确的是()A．平板AP受到的压力先减小后增大B．平板AP受到的压力先增大后减小C．平板BP受到的最小压力为0.6mgD．平板BP受到的最大压力为eq\f(4,3)mg【典例1提高题】【答案】D【解析】小球受重力、平板AP的弹力F1和平板BP的弹力F2，根据平衡条件，三力构成一封闭矢量三角形，如图．从图中可以看出，在平板PB逆时针缓慢地转向竖直位置的过程中，F1越来越大，F2先变小后变大，结合牛顿第三定律可知，选项A、B错误．由几何关系可知，当F2的方向与AP的方向平行(即与F1的方向垂直)时，F2有最小值为：F2min＝mgsin53°＝0.8mg；当平板BP竖直时，F2最大为：F2max＝mg·tan53°＝eq\f(4,3)mg，选项C错误，D正确．【典例1提高题对应练习】轻质弹簧A的两端分别连在质量均为m的小球上，两球均可视为质点．另有两根与A完全相同的轻质弹簧B、C，且B、C的一端分别与两个小球相连，B的另一端固定在天花板上，C的另一端用手牵住，如图所示．适当调节手的高度与用力的方向，保持B弹簧轴线跟竖直方向夹角为37°不变(已知sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)，当弹簧C的拉力最小时，B、C两弹簧的形变量之比为()A．1∶1B．3∶5C．4∶3D．5∶4【典例1提高题对应练习】【答案】C【解析】以两球和弹簧A组成的整体为研究对象，受力分析如图所示，由合成法知当C弹簧与B弹簧垂直时，弹簧C施加的拉力最小，由几何关系知FTB∶FTC＝4∶3.题型二：应用数学分析法解决涉及弹力的临界与极值问题【典例2提高题】（多选）如图所示，竖直墙壁与光滑水平地面交于B点，质量为m1的光滑半圆柱体紧靠竖直墙壁置于水平地面上，O1为半圆柱体截面所在圆的圆心，质量为m2且可视为质点的均匀小球O2用长度等于A、B两点间距离的细线悬挂于竖直墙壁上的A点，小球静置于半圆柱体上，当换用质量不变，而半径不同的光滑半圆柱体时，细线与竖直墙壁的夹角θ就会跟着发生改变。已知重力加速度为g，不计各接触面间的摩擦，则下列说法正确的是()A．当θ＝60°时，半圆柱体对地面的压力大小为m1g＋eq\f(3,4)m2gB．当θ＝60°时，小球对半圆柱体的压力大小为eq\r(3)m2gC．换用不同的半圆柱体时，半圆柱体对竖直墙壁的最大压力大小为eq\f(1,2)m2gD．换用半径更大的半圆柱体时，半圆柱体对地面的压力保持不变【典例2提高题】【答案】AC【解析】对小球进行受力分析如图甲所示，连接O2B和O1O2，由几何关系可知θ＝α，小球受力平衡，有FN1＝m2gsinθ，FT＝m2gcosθ，对小球和半圆柱体整体进行受力分析，整体受地面的支持力FN、墙壁的弹力F、细线的拉力FT、重力(m1＋m2)g，如图乙所示，整体受力平衡，则在竖直方向上有FN＋FTcosθ＝(m1＋m2)g，水平方向上有F＝FTsinθ。当θ＝60°时，FN1＝eq\f(\r(3),2)m2g，由牛顿第三定律得小球对半圆柱体的压力大小为eq\f(\r(3),2)m2g，B错误；F＝FTsinθ＝eq\f(1,2)m2gsin2θ，当θ＝45°时，Fmax＝eq\f(1,2)m2g，C正确；FN＝(m1＋m2)g－m2gcos2θ，当θ＝60°时，FN＝m1g＋eq\f(3,4)m2g，当换用半径更大的半圆柱体时，θ改变，FN改变，由牛顿第三定律可知A正确，D错误。考点二：摩擦力的临界与极值问题【知识思维方法技巧】（1）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题常见的有：静摩擦力达到最大值。（2）平衡中涉及摩擦力的临界与极值问题的解题方法：①物理分析方法（极限法、三角形图解法及动态圆图解法）：正确进行受力分析和变化过程分析，找到平衡的临界点和极值点或者根据平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，利用三角形图解法及动态圆图解法进行动态分析，确定最大值和最小值．②数学分析法（正交分解解析法）：通过对问题分析，根据平衡条件列出物理量之间的函数关系(画出函数图像)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值)．题型一：应用物理极限分析法解决摩擦力的临界极值问题【知识思维方法技巧】物体相对滑动的临界条件：静摩擦力达到最大值类型一：单个物体模型【典例1a提高题】如图所示，物块A放在倾斜的木板上，木板的倾角α分别为30°和45°时物块所受摩擦力的大小恰好相同，则物块与木板间的动摩擦因数为()A. B. C. D.【典例1a提高题】【答案】C【解析】由题意可以判断，木板的倾角α为30°时物块静止，所受摩擦力为静摩擦力，由沿斜面方向二力平衡可知其大小为mgsin30°；木板的倾角α为45°时物块滑动，所受摩擦力为滑动摩擦力，大小为μmgcos45°，由二者相等可得物块与木板间的动摩擦因数为μ＝，故选C.【典例1a提高题对应练习】如图所示，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力作用下紧靠滑块A(A、B接触面竖直)，此时A恰好不滑动，B刚好不下滑．已知A与B间的动摩擦因数为μ1，A与地面间的动摩擦因数为μ2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力．A与B的质量之比为()A．eq\f(1,μ1μ2)B．eq\f(1－μ1μ2,μ1μ2)C．eq\f(1＋μ1μ2,μ1μ2) D．eq\f(2＋μ1μ2,μ1μ2)【典例1a提高题对应练习】【答案】B【解析】对滑块A、B整体在水平方向上有F＝μ2(mA＋mB)g；对滑块B在竖直方向上有μ1F＝mBg，联立解得：eq\f(mA,mB)＝eq\f(1－μ1μ2,μ1μ2)，选项B正确．类型二：连接体模型【典例1b提高题】如图所示，有10块完全相同的长方体木板叠放在一起，每块木板的质量为100g，用手掌在这叠木板的两侧同时施加大小为F的水平压力，使木板悬空水平静止．若手与木板之间的动摩擦因数为0.5，木板与木板之间的动摩擦因数为0.2，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，g取10m/s2，则F至少为()A．25NB．20NC．15ND．10N【典例1b提高题】【答案】B【解析】先将所有的木板看成一个整体，竖直方向受重力、静摩擦力，二力平衡，有：2μ1F≥10mg再以除最外侧两块板(中间8块板)为研究对象，竖直方向受重力、静摩擦力，二力平衡，有：2μ2FN≥8mg，且FN＝F联立解得F≥20N，选项B正确，A、C、D错误．【典例1b提高题对应练习】如图，一粗糙斜面固定于水平面上，一质量为m的滑块通过一跨过斜面顶端光滑定滑轮的轻绳与一钩码相连．能使滑块在斜面上保持静止的钩码质量的最大值和最小值分别为m1和m2.设轻绳与斜面保持平行，滑块所受到的最大静摩擦力等于滑动摩擦力．斜面倾角为θ，则滑块与斜面之间的动摩擦因数为()A.eq\f(m1,2mg)B.eq\f(2m2,mg)C.eq\f(m1－m2,2mcosθ)D.eq\f(m1＋m2,2mcosθ)【典例1b提高题对应练习】【答案】C【解析】当钩码的质量为最大值m1时，滑块所受的静摩擦力沿斜面向下，则：μmgcosθ＋mgsinθ＝m1g；当钩码的质量为最小值m2时，滑块所受的静摩擦力沿斜面向上，则：mgsinθ＝m2g＋μmgcosθ；联立解得μ＝eq\f(m1－m2,2mcosθ)，故C正确，A、B、D错误．题型二：应用物理极限分析法解决摩擦力突变的临界与极值问题【知识思维方法技巧】分析摩擦力突变问题的方法：①分析临界状态，物体由相对静止变为相对运动，或者由相对运动变为相对静止，或者受力情况发生突变，往往是摩擦力突变问题的临界状态．②确定各阶段摩擦力的性质和受力情况，做好各阶段摩擦力的分析．类型一：静—静突变模型【知识思维方法技巧】静—静突变模型的特点：物体在静摩擦力和其他力的共同作用下处于静止状态，当作用在物体上的其他力的合力发生变化时，物体虽然仍保持相对静止，但物体所受的静摩擦力将发生突变。【典例2a提高题】如图所示，倾角θ＝37°的斜面固定在水平面上，一质量M＝1kg的物块C受平行于斜面向上的轻质橡皮筋拉力F＝9N的作用，有一平行于斜面的轻绳一端固定在物块C上，另一端跨过光滑定滑轮连接A、B两个小物块，物块C处于静止状态．已知物块C与斜面间的动摩擦因数μ＝0.5，mA＝0.2kg，mB＝0.3kg，g取10m/s2.剪断A、B间轻绳后，关于物块C受到的摩擦力的说法中正确的是(sin37°＝0.6)()A.滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为4NB.滑动摩擦力，方向沿斜面向下，大小为5NC.静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为1N D.静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为3N【典例2a提高题】【答案】C【解析】开始时物块C受静摩擦力作用，大小为Ff＝(mA＋mB)g＋Mgsin37°－F＝2N，方向沿斜面向上；剪断A、B间轻绳后，假设C仍静止，则此时C所受的静摩擦力Ff′＝mAg＋Mgsin37°－F＝－1N，即Ff′沿斜面向下，因为1N＜2N，故可知物块C仍然处于静止状态，即C受到静摩擦力，方向沿斜面向下，大小为1N．故选C.类型二：静—动突变模型【知识思维方法技巧】静—动突变模型的特点：物体在静摩擦力和其他力作用下处于静止状态，当其他力变化时，如果物体不能保持静止状态，则物体受到的静摩擦力将“突变”成滑动摩擦力，“突变”点为静摩擦力达到最大值时。【典例2b提高题】(多选）如图甲所示，A、B两个物体叠放在水平面上，B的上下表面均水平，A物体与一拉力传感器相连接，连拉力传感器和物体A的细绳保持水平。从t＝0时刻起，用一水平向右的力F＝kt(k为常数)作用在B物体上，力传感器的示数随时间变化的图线如图乙所示，已知k、t1、t2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力。据此可求()A．A、B之间的最大静摩擦力B．水平面与B之间的滑动摩擦力C．A、B之间的动摩擦因数μABD．B与水平面间的动摩擦因数μ【典例2b提高题】【答案】AB【解析】当B被拉动后，力传感器才有示数，地面对B的最大静摩擦力为Ffm＝kt1，A、B相对滑动后，力传感器的示数保持不变，则FfAB＝kt2－Ffm＝k(t2－t1)，A、B正确；由于A、B的质量未知，则μAB和μ不能求出，C、D错误。【典例2b提高题对应练习】如图所示，一木箱放在水平地面上，现对箱子施加一斜向上的拉力F，保持拉力的方向不变，在拉力F的大小由零逐渐增大的过程中．关于摩擦力Ff的大小随拉力F的变化关系，下列四幅图可能正确的是()A. B. C. D.【典例2b提高题对应练习】【答案】B【解析】设F与水平方向的夹角为θ，木箱处于静止状态时，根据平衡条件得：木箱所受的静摩擦力为Ff＝Fcosθ，F增大，Ff增大；当拉力达到一定值，箱子运动瞬间，静摩擦力变为滑动摩擦力，由于最大静摩擦力略大于滑动摩擦力，故摩擦力有个突然减小的过程；木箱运动时，所受的支持力FN＝G－Fsinθ，F增大，FN减小，此时木箱受到的是滑动摩擦力，大小为Ff＝μFN，FN减小，则Ff减小，故B正确，A、C、D错误．类型三：动—静突变模型【知识思维方法技巧】动—静突变模型的特点：物体在摩擦力和其他力作用下，两物体相对做减速滑动的过程中，若相对速度变为0，则物体将不再受滑动摩擦力作用，滑动摩擦力可能“突变”为静摩擦力，“突变”点为两物体相对速度为0时。【典例2c提高题】把一重为G的物体用一个水平的推力F＝kt(k为恒量，t为时间)压在竖立的足够高的平整的墙上，如图所示。从t＝0开始物体所受的摩擦力Ff随t的变化关系是()【典例2c提高题】【答案】B【解析】根据滑动摩擦力Ff＝μFN＝μF，随着压力F均匀增大，摩擦力Ff均匀增大，当摩擦力增大到大于重力以后，物体做减速运动直到静止，摩擦力变为静摩擦力，始终等于受到的重力，故选项B正确。【典例2c提高题对应练习】如图所示，斜面固定在地面上，倾角为θ＝37°(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)。质量为1kg的滑块以初速度v0从斜面底端沿斜面向上滑行(斜面足够长，该滑块与斜面间的动摩擦因数为0.8)，则该滑块所受摩擦力Ff随时间变化的图象是选项图中的(取初速度v0的方向为正方向，g＝10m/s2)()【典例2c提高题对应练习】【答案】B【解析】滑块上升过程中受滑动摩擦力，由Ff＝μFN和FN＝mgcosθ联立，得Ff＝6.4N，方向沿斜面向下。当滑块的速度减为零后，由于重力的分力mgsinθ＜μmgcosθ，滑块将静止，滑块受到的摩擦力为静摩擦力，由平衡条件得Ff＝mgsinθ，代入可得Ff＝6N，方向沿斜面向上，故选项B正确。类型四：动—动突变模型【知识思维方法技巧】动—动突变模型的特点：在滑动摩擦力作用下运动直到达到共同速度后，如果在静摩擦力作用下不能保持相对静止，则物体将继续受滑动摩擦力作用，且其方向发生反向．【典例2d提高题】(多选）如图所示，足够长的传送带与水平面间的夹角为θ，以速度v0逆时针匀速转动．在传送带的上端轻轻放置一个质量为m的小木块，小木块与传送带间的动摩擦因数μ<tanθ，选沿传送带向下为正方向，则下列选项中能客观地反映小木块的受力和运动情况的是()【典例2d】【答案】BD【解析】当小木块速度小于传送带速度时，小木块相对于传送带向上滑动，小木块受到的滑动摩擦力沿传送带向下，加速度a＝gsinθ＋μgcosθ；当小木块速度达到传送带速度时，由于μ<tanθ，即μmgcosθ<mgsinθ，所以速度能够继续增大，此时滑动摩擦力的大小不变，而方向突变为向上，a＝gsinθ－μgcosθ，加速度变小，则v－t图像的斜率变小，所以B、D正确．题型三：应用数学分析法解决涉及摩擦力的临界与极值问题类型一：匀速运动外力的极值问题（用巧力拖箱子模型）【典例3a提高题】因为办公室调整，原办公地点的个人物品需要搬到新地方。如图是黄老师通过绳子用力F拉一个置物箱在粗糙的水平地面上匀速前进，已知置物箱质量为M，置物箱与地面间的动摩擦因数为μ，力F与水平方向所夹锐角为θ。下列方法正确的是()A．置物箱对地面的压力大小为μMgB．角度θ适当的话，拉置物箱的拉力大小有最小值C．置物箱所受弹力的方向是垂直地面竖直向上D．撤去拉力F之后，置物箱会继续做匀速直线运动【典例3a提高题】【答案】B【解析】对置物箱受力分析如图，因为置物箱匀速直线运动，所以FN＝Mg－Fsinθ，Ff＝Fcosθ，Ff＝μFN，联立可知F＝eq\f(μMg,μsinθ＋cosθ)，根据数学知识可知，当角度θ合适时，拉力的确有最小值，B正确；根据上面分析可知，地面对置物箱支持力FN＝Mg－Fsinθ＝eq\f(Mgcosθ,μsinθ＋cosθ)，由牛顿第三定律可知，置物箱对地面的压力大小与地面对置物箱支持力大小相等，A错误；置物箱受到的弹力为绳子拉力、地面支持力，所以根据受力分析可知，其合力应斜向上，C错误；撤去外力后，置物箱会在摩擦力作用下匀减速直线运动，D错误。【典例3a提高题对应练习】（多选）如图所示，质量为M的木楔倾角为θ，在水平面上保持静止。当将一质量为m的木块放在斜面上时正好匀速下滑，如果用与斜面成α角的力F拉着木块沿斜面匀速上滑。重力加速度为g，下列说法中正确的是()A．当α＝2θ时，F有最小值B．F的最小值为mgsin2θC．在木块匀速上滑过程中，地面对M的静摩擦力方向水平向右D．在木块匀速上滑过程中，地面对M的静摩擦力方向水平向左【典例3a提高题对应练习】【答案】BD【解析】选木块为研究对象，当没加外力F时正好匀速下滑，设木块与斜面间的动摩擦因数为μ，此时平行于斜面方向必有mgsinθ＝μmg