九年级数学-第1课时　由两点确定二次函数表达式

第二章二次函数3确定二次函数的表达式第1课时由两点确定二次函数表达式

1.

在二次函数的一般形式y＝ax2＋bx＋c（a≠0）中，

若已知a，b，c中的一个系数，则可根据图象上

两

个

点的坐标求出函数表达式.2.

在二次函数的顶点式y＝a（x－h）2＋k中，根

据

顶点坐标

和图象上

另一

个点的坐标可求出

函数表达式.两顶点坐标另一

已知两点求二次函数表达式【例1】在平面直角坐标系xOy中，关于x的二次函数y＝

x2＋px＋q的图象过点（－1，0），（2，0）.（1）求这个二次函数的表达式；

（2）求当－2≤x≤1时，y的最大值与最小值的差；

（3）若一次函数y＝（2－m）x＋2－m的图象与二次函

数y＝x2＋px＋q的图象交点的横坐标分别是a和b，且a

＜3＜b，求m的取值范围.解：（3）由题意知y＝（2－m）x＋2－m与二次函数y

＝x2－x－2图象交点的横坐标为a和b，∴x2－x－2＝（2－m）x＋2－m，解得x1＝－1，x2＝4－m.∵a＜3＜b，∴a＝－1，b＝4－m＞3，解得m＜1，即m的取值范围是m＜1.

本例根据已知两点列出二元一次方程组，求出二次

函数的表达式，再利用函数图象上的点求出最大值和最

小值的差，然后利用交点坐标求出m的取值范围，主要

考查利用函数图象的基本性质解决问题.

已知顶点和其中一点求二次函数表达式

（1）求二次函数y2的表达式和点B的坐标；

在求二次函数y2图象的表达式时，因为有两个待定

系数，所以需要两个条件，这两个条件是点A的坐标和

点A是二次函数y2的图象的最高点.在求CD的最大值

时，首先用函数关系式表示，再进行配方，最后根据二

次函数的性质求出最大值.本例中的解题方法值得借鉴.

1.

设函数y＝a（x－h）2＋k（a，h，k是实数，

a≠0），当x＝1时，y＝1；当x＝8时，y＝8.下列说法

正确的是（C）A.

若h＝4，则a＜0B.

若h＝5，则a＞0C.

若h＝6，则a＜0D.

若h＝7，则a＞0C2.

若抛物线的顶点为（1，－4），与y轴交于点（0，－

3），则该抛物线的表达式为（A）A.

y＝x2－2x－3B.

y＝x2＋2x－3C.

y＝x2－2x＋3D.

y＝x2－3x－3A3.

某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，

该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系

如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A.

已知OC＝OB＝8

m，OA＝2

m，则该水流距水平面的最

大高度AD的长度为（A）A.9

mB.10

mC.11

mD.12

m第3题图A4.

若二次函数y＝ax2＋4ax＋c的最大值为4，且图象过点

（－3，0），则二次函数表达式为

y＝－4（x＋2）2＋.y＝－4（x＋2）2＋4

第5题图6.

已知点（0，3）在二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象上，

且当x＝1时，函数y有最小值2.（1）求这个二次函数的表达式；y＝x2－2x＋3.（2）如果两个不同的点C（m，6），D（n，6）也在这

个函数的图象上，求m＋n的值.2.7.

已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴交于A（－

1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C，顶点为D.

第7题图（1）求该二次函数的表达式；y＝－x2＋2x＋3.（2）连接BC，CD，BD，P为BD的中点，连接CP，则线段CP的长是

.

8.

已知二次函数y＝x2－bx＋c（b，c为常数）图象的顶

点坐标为（2，－1）.（1）求该二次函数的表达式；解：（1）根据题意，二次函数的顶点坐标为（2，－1），∴二次函数的表达式为y＝（x－2）2－1，即y＝x2－4x＋3.（2）点M（t－1，y1），N（t，y2）在该二次函数的图

象上，当t＜1时，比较y1与y2的大小；解：（2）由题意知图象的对称轴为直线x＝2，而t＜1，∴点M（t－1，y1），N（t，y2）在对称轴左侧的图象上.∵t－1＜t，∴y1＞y2.（3）若点P（m，n）在该二次函数的图象上，求m－n

的最大值.

9.

如图，平行四边形ABCD中，AB＝4，点D的坐标是

（0，8），以点C为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c经过x

轴上的点A，B，则此抛物线的表达式为

y＝－2x2＋16x－24

.y＝－2x2＋16x－24

第9题图10.

（河南模拟）如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象

与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且关于直线x＝1

对称，点A的坐标为（－1，0）.第10题图（1）求二次函数的表达式；

（2）连接BC，若点P在y轴上时，BP和BC的夹角为

15°，求线段CP的长度.解：（2）如图所示.由抛物线表达式知C（0，－3），则OB＝OC＝3，∴∠OBC＝45°.若点P在点C上方，则∠OBP＝30°，

若点P在点C下方，则∠OBP'＝60°，

y＝x2－

12.

如图，二次函数y＝x2＋bx＋c的图象与x轴相交于

A，B两点，与y轴相交于点C，对称轴为直线x＝2，顶

点为D，点B的坐标为（3，0）.第12题图（1）填空：点A的坐标为

（1，0）

，点D的坐标为

（2，－1）

，该二次函数的表达式为

y＝x2－4x＋3

.（1，0）（2，－1）y＝x2－4x＋3

第12题图

第12题图（3）P是抛物线对称轴上一动点，是否存在点P，使

△PAC是以AC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点

P的坐标；若不存在，请说明理由.第12题图

（黑龙江中考）如图，抛物线y＝x2＋bx