2024-2025学年河南省平顶山市九年级（上）期末数学试卷+答案解析

2024.2025学年河南省平顶山市九年级（上）期末数学试卷

一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.下列投影中，是平行投影的是（）

A.路灯下行人的影子B.太阳光下楼房的影子

C.台灯下书本的影子D.在手电筒照射下纸片的影子

2.桦卯是我国传统建筑及家具的基本构件.燕尾桦是“万柳之母”，为了防止受拉力时脱开，

梯头成梯台形，形似燕尾.如图是燕尾桦的带桦头部分，它的主视图是（）fp

正面

A・凸B•凸,匕DO

3.已知母「中，3c=90,八「=2,30=3,那么下列各式中正确的是（）

2222

A.、in.1=-B.tailA=-C.tail=-D.COKU=--

3333

4.已知一元二次方程的两根分别是3和2,则这个一元二次方程是（）

A.r2.r-liI）B..r<V-6l>C..r:.rli<•D.3-«rl»0

5.在压力不变的情况下，某物体所受到的压强川〃〃।与它的受力面积、Irrr;之间成反比例函数关系，且当

S1）.1时，〃MMH）.下列说法中，错误的是（）

A.p与S之间的函数表达式为〃=与

B.当S二0.』时，"-250

C.当受力面积小于。2M时,压强大于500尸a

D.该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而增大

6.下列各组中的两个图形，一定相似的是（）

A.有一个角对应相等的两个菱形B.对应边成比例的两个多边形

C.两条对角线对应成比例的两个平行四边形D.任意两个矩形

7.某校课外活动期间开展跳绳、踢犍了、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则他

们选择同一项活动的概率是（）

1212

A-R-C-D-

9933

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8.若将抛物线2/-1向上平移2个单位，则所得抛物线对应的函数关系式为（）

A.y=2（/-2尸-IB.y=2"+2--1

C.y=2『-3D.»=2尸+1

9.对于二次函数〃二-J•21+3,下列说法不正确的是（）

A.当,r=1时，y有最大值2B.当/？1时，y随x的增大而减小

C.开口向下D.函数图象与x轴交于点（-1,此和（3.此

10.如右图所示，拱桥的形状是抛物线，其函数关系式为"-I」，当水面离桥顶

的高度为，时，水面的宽度为（）米.为、

::

C.：0

D.II

二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。

11.关于x的一元二次方程/+2」-k=0有两个不相等的实数根，则4的取值范围是____.

12.已知二次函数y--尸$〃的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程斗,

—JT+2r+,〃=。的解为_____.彳

oHl3x

13.如图，树48垂直于地面，为测树高，小明在C处测得…K力15,他沿CE方向走了20米，到达。

处，测得/八〃8=30,则计算出树的高度是______米.

14.如图，在直角坐标系中，正方形的中心在原点O,且正方形的一组对

边与x轴平行，点，是反比例函数”:人山的图象上与正方形

的•个交点.若图中阴影部分的面积等于9,则这个反比例函数的解析式

为.

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15.如图，有一块三角形余料48C,BC120〃〃〃，高.1。90〃“〃,要把它加工

成一个矩形零件，使矩形的一边在8c上，点尸和点”分别在边力4,4C上，若满足

PMzPQ-2：I,则PQ的长为___nnn.

三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.I：本小题8分J

解方程或计算：

11/+21-2卜J+II要求用配方法I：

》(sinW-cos45J3(F+nin15)

cos245'+tan：N)sin60

17.(本小题8分)

一个几何体的三视图如图所示.

(1)这个几何体的名称是______，其侧面积为_：

”在上面的长方形区域内画出该几何体的草图.

；：h求出左视图中月片的长.

18.(本小题8分)

2021年指出，中国将力争2030年前实现碳达峰、2060年前实现碳中和.甘南省风能资源丰

富，风力发电发展迅速.某学习小组成员查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的

高度是一个重要的设计参数.于是小组成员开展了“测量风电塔筒高度”的实践活动.如图，已知一风电塔筒

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图①图②

;11请在图②中建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式.

,该主门洞内设双向行驶车道，正中间有米宽的双黄线.车辆必须在双黄线两侧行驶，不能压双黄线,

并保持车辆最高点与门洞有不少于（）.6米的空隙I安全距离），试判断一辆大型货运汽车装载某大型设备后，

宽工；米，高66米，能否安全通过该主门洞？并说明理由.

21.（本小题8分）

某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50元，为了合理定价，投放市场讲行试销.据市场调杳，销传单

价是100元时，每天的销售量是50件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出5件，但要求销售单价不

得低于成本.

门।求出每天的销售利润5元）与销售单价.“元I之间的函数关系式；

2求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？

小I如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元，且每天的总成本不超过7000元，那么销售单价应控制

在什么范围内？।每天的总成本=每件的成本•每天的销仕:量•

22.I：本小题8分I

E数学课上，为了证明“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”，老师画出了图形I如图口，并写出了“已

知”和“求证”，请你完成证明过程.

已知：在%8c。中，对角线1「，垂足为O.

求证：是菱形.

门I如图2,在G/13CD中,对角线/1C和6。相交丁点O,.|。二5，=BD=G.

①求证：加4C。是菱形；

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of.,

②延长8C至点区连接OE交CO于点凡若」,\(D,求一的值.

/cr

23.1本小题8分I

综合与实践：

11问题情景：如图1,已知等边「和它内部一点。，把线段绕点B逆时针旋转,八得到线段BE,

连接OE,CE,射线彳。，CE交干点、F,则4。与CE数量关系是______,£\IC=—

⑵类比探究:如图2,在等腰R3/18C中,Z.ACB90,」「=/”',点。是XC边上一点，过点。

作/〃.(H交于点E,将U〃.绕点4旋转得到连接(•/)',BIJ在旋转的过程中，设

直线交于点R探索和'的数量关系和,的度数；

5拓展应用：如图3,在巾中，一90,HC1,以力8为斜边作等腰直角三角形力40,

若2、2,求线段的长।直接写出答案；

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答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：/、路灯下行人的影子为中心投影，故此选项不合即意；

8、太阳光下楼房的影子为平行投影，符合题意；

。、台灯下书本的影子为中心投影，故此选项不合题意；

。、在手电筒照射下纸片的影子为中心投影，故此选项不合题意.

故选：B.

根据中心投影的光源为灯光，平行投影的光源为阳光，找到是太阳光的光源即可.

此题主要考查了中心投影、平行投影的性质，解决本题的关键是理解平行投影的形成光源为太阳光.

2.【答案】A

【解析［解：从正面看，可得选项力的图形.

故选:A.

正面看到的平面图形是主视图，根据主视图的含义可得答案.

此地考查了简单组合体的三视图，用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面,

上面看得到的图形.

3.【答案】C

【解析】解：中，ZC川，

♦2,"3,

由勾股定理求出斜边44,再根据锐角三角函数的定义分别求出、E.I、1.山.1、［,山/人即可.

本题考查锐角三角函数，勾股定理，掌握锐角三角函数的定义和勾股定理是正确解答的前提.

4.【答案】C

【脩析】解：法一、•「3-2=1,3x(-2)=-6,

根为3和2的一元二次方程为：j--j-(i=0.

故选：(\

法二、把3和2分别代入各个选择支，

同时满足方程成立的只有

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故选:c.

可利用根与系数的关系直接写出方程，也可用检验的办法确定符合条件的选择支.

本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，难度不大.掌握根与系数的关系是解决本题的关键.

5.【答案】D

【解析】解：压力一定时，压强和受力面积成反比：

•当5=0.1时，1（却0,

当—（I1时，V--250,

KF•■

故选项力，8不符合题意：

当S—（L2时，”

当受力面积小于（I2，M时，压强大干500R/,

故选项C不符合题意；

该物体所受到的压强随着它的受力面积的增大而减小，

故选项。符合题意；

故选：D.

压力一定时，压强和受力面积成反比，根据当.、II」时，，MHH）写出解析式，根据解析式即可判定各个

选项.

本题考查反比例函数的应用，根据题意写出反比例函数的解析式是解题的关键.

6.【答案】A

【解析】解：4、有一个角对应相等，其他三个角一定对应相等，对应边成比例，所以这两个菱形一定相似,

故本选项正确；

8、对应边成比例的两个多边形对应角不一定相等，故本选项错误；

C、两条对角线对应成比例的两个平行四边形，对应边不定成比例，对应角不定相等，故本选项错误；

。、任意两个矩形，对应角一定相等，但对应边不一定成比例，故本选项错误.

故选A.

根据相似图形的定义，对应边成匕例，对应角相等对各选项分析判断利用排除法求解.

本题考瓷了相似图形，熟记概念并从对应角与对应边两个方面考虑求解是解题的关键.

7.【答案】C

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【解析】解：设跳绳、踢健子、韵律操分别为小B、C,

画树状图如下，

开始

/1\/4\/1\

ABCABCABC

共有9种等可能的结果，甲、乙恰好选择同一项活动的有3种情况，

故他们选择同一项活动的概率是：-：，

V•>

故选：（\

首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果以及甲与乙恰好选择同一项活动的情况，

再利用概率公式求解即可求得答案.

本感考查了用列表法或画树状图法求概率，解题的关犍是掌握相关知识的灵活运用..

8.【答案】D

【解析】解：•.•抛物线y=2/1向上平移2个单位，

,平移后的抛物线的顶点坐标为1。.U，

:所得抛物线对应的函数关系式为-2J+L

故选：D.

根据向下平移纵坐标减写出平移后的抛物线的顶点坐标，然后利用顶点式解析式写出即可.

本胭考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，此类题目，利用顶点的变化求

解更简便.

9.【答案】9

【解析】解：•」=一』+打+3=—"一1）。I，

抛物线开口向下，顶点坐标为（LI）,

当了=|时，y有最大值4；

当了21时，y随x的增大而减小，

当y“时，—J—ZJ-3lh

解得C-1,

.,.抛物线与x轴的交点坐标为I11）,135）,

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故选：A.

先把一般式配成顶点式得到"--.r-I,-J,再根据二次函数的性质可对力、B、。进行判断：通过解方

程「+2/+3二。得抛物线与X轴的交点坐标，可对。进行判断.

本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数V”5'「是常数，“工山与x轴的交点坐标问

题转化为解关于x的一元二次方程.也考查了二次函数的性质.

10.【答案】C

【解析】解：将!’=一与代入〃=一卜得-等=一［,

•>•>•>•>

解得,r=3或I5,

•.水面宽度5（E-10.

故选：C.

把•/代入函数解析式求解.

本感考查二次函数的应用，解题关键是掌握二次函数中X,歹的实际意义.

11.【答案】1>-1

【解析】解：•.•关于X的一元二次方程/+2了-人・=0有两个不相等的实数根，

△一2］，U>”，

解得小>-1.

故答案为：i1

根据判别式的意义得到.2-+UUh然后解不等式即可.

此题主要考查了一元二次方程根的情况与判别式.的关系：

Hi-n--方程有两个不相等的实数根；

121.II-方程有两个相等的实数根；

|3厂一Ho方程没有实数根.

12.【答案】•।3,r;1

【解析】解：由图象可知，

该函数的对称轴是直线11，与x轴的一个交点是13.⑴，

则该函数与x轴的另一个交点是I1⑺，

即当y="时，（）二M+2,「+“I时Q二L.，.=1，

故关于x的一元二次方程-i+匕+小=。的解为n=3,心=1,

故答案为：<।3,<.=-!.

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根据函数图象可以得到该函数的对称轴，该函数与X轴的一个交点，然后根据二次函数的对称性即可得到

另一个交点，从而可以得到关于X的一元二次方程=0的解.

本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴

的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征.

13.【答案】10

【解析】解：乙1(‘〃15%

.•.".I".ADB-.U厂，

.•.z.n7>'.，I",

I”米），

乂

\fi、。・10（米1,

.树的高度为10米.

故答案为：in

根据三角形外角的性质得到.:（'.I。\DB\CBli,根据等腰三角形的性质得到

AD（D•6米，由直角三角形的性质即可得到结论.

本题考查了含3H角的直角三角形的性质，三角形的外角的性质，熟练掌握含3H角的直角三角形的性质是

解题的关键.

14.【答案】“=3

r

【解析】【分析】

本题考查的是用待定系数法求反匕例函数的解析式及正方形的性质，根据

题意得出直线AB的解析式是解答此题的关键.

由反比例函数的对称性可知阴影部分的面积和正好为正方形面积的;，设

正方形的边K为从图中阴影部分的面枳等于9可求出力的值，进而可得

出直线力6的表达式，再根据点川加.，“在直线46上可求出。的值，进而

得出反比例函数的解析式.

【解答】

解：•.反比例函数的图象关于原点对称，

阴影部分的面积和正好为正方形面积的;，设正方形的边长为儿则卜--！），解得力-6,

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.•正方形的中心在原点o，

直线力8的解析式为：.r3，

•.•点P（3u.“i在直线）8上,

凯3，解得〃=1»

•.•点P在反比例函数u'屋小的图象上，

：.k-3，

此反比例函数的解析式为：。-I

JT

故答案为〃3

X

15.【答案】36

【解析】解：三角形力5。中，。「二120〃〃〃，高.in=on〃”〃，PM：PQ-2：1,加图，i殳力。交夕历

于点K,

A

设—n，〃，，，，贝iJ/'Q人,，

.四边形PQMW是矩形，

/.PA/",

・・・〃）"*',

,ADLPM,

PM_AK

,,记=而‘

2k_90-左

’120=90'

解得人二：心，

PQ=Mimm.

故答案为：：所

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利用相似三角形的对应边的比等于对应高的比构建方程即可解决问题.

本题考查相似三角形的应用，矩形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质.

16.【答案】.门一3+v11.x»-3-\11:

1

【解析】解：；11原方程整理得J山2，

,1J*lij*♦92•,»,

/.X3=±V11»

j|-3+v11，.r.--3-v11：

31

-512

-ir

22

I

■r

；1।先利用配方法得到Z-3；-11,然后利用直接开平方法解方程；

2将特殊锐角的三角函数值代入，然后运用平方差公式进行计算即可.

本通主要考查了解一元二次方程，特殊角三角函数值的混合计算.熟练掌握以上知识点是关键.

17.【答案】正三棱柱；72：

见解析；

2、々.

【解析】解：：h该几何体由主视图和左视图可判断为棱柱，由的视图可判断为正三棱柱，

•.其侧面积为3-I-G72,

故答案为：正三棱柱，72；

⑵如图，

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(3)在△EFG中,作/〃/,.于点”,

£7/v”/\，中3-2、心，

/.AB=2Vzi

小由三视图可知，该几何体为正三棱柱，再根据正三棱柱侧面积计算公式计算可.得；

2根据题意画出该几何体即可：

13）在乙E/笫中,作£〃,广。于点，,根据勾股定理求出EH,即可得到.”工

本题考查了三视图，勾股定理，等边三角形的判定与性质，掌握知识点的应用是解题的关键.

18.【答案】解：连接。尸交47于点G,

由题意得：(1//CH•u,DF-，DFLAlh

设/X；.«m»

，咛1)(；-Hh2-

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在山△」/"；中，…VX；江,

AG1X»>tail45J,(inj,

在由l/C中，乙1/G—53，

.,..4(；b,(i*tan53-I1K2—Jirn,

.-.j=^(182-Ji,

J

解得：(IIII»

.•4GM山〃，

AllAG+GH101­1.61016(ni),

•.风电塔简的高度约为m加

【解析】连接。尸交力”于点G,根据题意可得：CD=EF=GH=1.6m>DF=CE182m,DF1AH,

然后设/X；=«r,〃，则FG=(182-分别在R&A4DG和RlANFG中，利用锐角三角函数的定义求

出,4G的长，从而列出关于4的方程，进行计算即可解答.

本题考查了解直角三角形的应用，卬角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题

的关键.

19.【答案】y=

J。-:或/>0；

5

2<r<。或.r>3.

【解析】解：I将I4-21代入“\A-IH,

x

解得：/.•»,

6

y=一，

X

当/6时，“一】；当/3时，〃2；当了2时，。=-3；当/1时，！/6；

画出该函数图象的另支如图所示，

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12I解：当1/-：时，J=,

根据函数图象可得当"5且"八)时，自变量x的取值范围是二三〕或，II，

□

故答案为：/或，I)

<r)

131解：方程，♦1"的解，即一次函数V-J-•1与”''的两个交点的横坐标,

xx

解得：n=2,.r2=3,

结合函数图象可得，当-I+时，

X

自变量X的取值范围是2<•.<•/()或，•：，，

故答案为：2,r・。或」T

小待定系数法求得，G,进而根据描点法画出另一支函数图象：

⑵当时，/1,观察函数图象，即可求解：

<)

13先计算一/+1=--，得出一次函数。，，1与的两个交点，进而根据函数图象，即可求解.

Ix

本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的性质，正确

记忆相关知识点是解题关键.

20.【答案】解：：11建立的平面直角坐标系如右图所示，

由题意可得，点E的坐标为川.2,点。的坐标为I'6,

设抛物线的解析式为V.、.

・.・点。在该函数图象上，

「.6-a-(-H)2+S»

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解得“

32

.二该抛物线的解析式为！/-.:厂+、；

2这辆大型货运汽车能安全通过该主门洞，

理由：将/3,7>0,3I代入u，

得：〃:।7：，

「7.5>6.6-1-11.6,

•.这辆大型货运汽车能安全通过该主门洞.

【解析】h根据题意可以画出相应的平面直角坐标系，然后设出抛物线解析式，即可求得该抛物线的解析

式；

,根据题目中的数据，将，=37+。3=I代入；口中的抛物线解析式，然后计算出相应的y的值，再与

(M..0li7.2比较大小，即可解答本题.

本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，画出合适的平面直角坐标系，利用数形结合的思

想解答.

21.【答案】解：I1R.r50川+5(1川

=(1-50)(一扛+550)

=-L?+-275(10

J

/.1/--u-MHIJ27,V*i50J-HHh；

(2)y=一小+SOQx-27MM)

=-5(J-HO)*4-1500

(i-5"”,

，抛物线开II向下.

,VI----1”)，对称轴是直线(7),

，当jz)时，，；IFM)；

3)当〃ITU时，r»iJW产.I5IM)IIMHb

解得70,「二ML

•.当7(1r!K)时，每天的销售利润不低于4000元.

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由每天的总成本不超过7000元，得"，，••山7MK),

解得,r、2

/.>2</<!”

俏售单价应该控制在82元至90元之间.

【解析】]根据“利润售价-成本।•销售量”列出方程；

,把；“中的二次函数解析式转化为顶点式方程，利用二次函数图象的性质进行解答；

小把"-HNM)代入函数解析式，求得相应的x值；然后由“每天的总成本不超过7000元”列出关于x的

不等式II3♦丁，山通过解不等式来求x的取值范围.

本题考查二次函数的实际应用.此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题.

22.【答案】见解析；

①见解析；

【解析】h证明：•,四边形44CQ是平行四边形，

/.AOCO，AB—DC，

•/BDLAC

.\Z.IOB=ZCOB=90，

在△.【os和aco。中,

[AO■CO

<\OH/COB,

IBO=BO

COH(S.t,s),

,.AUCb,

同理可得'DOAgAODC,则DADC，

又J.wCD,

XHHCCD"I，

，四边形48。是菱形；

口①证明：四边形力4CQ是平行四边形，.1。7,N,HI)(i.

DO=HO==3.AO=CO=；4c=4,

在IO。中，I。」25».1(/-()D:-3J4I227,

AD2+

第18页，共22页

是直角三角形，且..1。。_9U,

.\C

•.四边形18CQ是菱形：

②解：•.四边形力4C。是菱形，

..LACU乙1「〃，

I\\(D,

.-.ZA

-,Z£」'(〃，

.OC=CE=^AC=I,

13GHO

,GCUOD

.・."；―严―//J—?

5

OFGCJ5

AEF=CE=4=8

111根据平行四边形的性质证明AOB^CO。得出48“B，同理可得则

DA=DC,AH=(I),进而根据四边相等的四边形是菱形，即可得证；

2①勾股定理的逆定理证明.1。。是直角三角形，且.,得出ICHD，即可得证；

②根据菱形的性质结合已知条件得出I<〃•，则OC()1',1('I,过点。作〃.〃交8c

于点G,根据平行线分线段成比例求得(丫；/77;然后根据平行线分线段成比例即可求解.

本题属于四边形综合题，主要考食了平行四边形的性质，菱形的性质与判定，勾股定理以及勾股定理的逆

定理，等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例，熟练掌握菱形的性质

与判定是解题的关键.

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23.【答案】.|0_CE，60；

cryV2/npr1V

HE72

线段的AB长为、15.1或、■1

【解析】解：ll；」〃C/,60,

理由如下：

•等边.」〃「，

ABB