2024北师大版八年级数学上册 第五章二元一次方程组教案

北师大版（2024）八年级上册数学第五章二元一次方程组教案

♦：♦课程标准

1.能根据现实情境理解方程的意义,能针对具体问题列出方程。

2.掌握消元法,能解二元一次方程组。

3.能解简单的三元一次方程组。

4.能根据具体问题的实际意义,检验方程解的合理性。

5.建立模型观念。

6.体会一次函数与二元一次方程的关系。

❖教材分析

二元一次方程组是初中数学的重要内容,它是在一元一次方程的基础

上发展而来,是进一步学习函数等知识的基础。本单元主要内容包括

二元一次方程（组）的概念,二元一次方程组的解法（代入消元法和加

减消元法），以及利用二元一次方程组解决实际问题。通过本单元的学

习，学生将学会用方程组表示问题中的等量关系,体会数学建模思想，

提高分析问题和解决问题的能力。

*素养目标

1.经历从实际问题中抽象出二元一次方程（组）的过程，体会方程的模

型思想，发展灵活运用有关知识解决实际问题的能力，培养良好的数

学应用意识。

2.了解二元一次方程（组）的有关概念,会解简单的二元一次方程组

（数字系数）；能根据具体问题中的数量关系，列出二元一次方程组解

决简单的实际问题,并能检验解的合理性。

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3.体会一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系，会利用待

定系数法确定一次函数的表达式。

4.了解解二元一次方程组和三元一次方程组的“消元”思想，从而初

步理解化未知为已知和化复杂问题为简单问题的化归思想。

。教学重难点

重点:二元一次方程（组）及其解的定义,根据实际情况列二元一次方

程（组）。

难点:二元一次方程组的认识与识别，根据二元一次方程组解的情况

求参数的值。

知识结构

1认识二元一次方程组

♦教学设计

1.能根据具体问题中的数量关系列出方

程，理解方程的意义。

课标摘录

2.能根据具体问题的实际意义,检验方

程解的合理性。

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3.建立模型观念。

1.通过对实际问题的分析,进一步体会

方程是刻画数量关系的有效数学模型。

素养目标2.理解二元一次方程（组）及其解等概

念,会判断一组数是不是某个二元一次

方程组的解。

重点:理解二元一次方程（组）及其解的

含义,会判断二元一次方程（组）及一组

数是不是某个二元一次方程（组）的解。

教学重难点难点:准确理解二元一次方程（组）及其

解的含义,准确分析具体情境的等量关

系,从实际问题中抽象出二元一次方程

的过程。

从简单数量关系情境入手,让学生先用

一元一次方程解决问题,使学生体会用

已有知识解决问题的复杂性和局限性，

教学策略

自然转到探索解决问题的新途径，同时

体会一元一次方程与二元一次方程（组）

的关系。

教学过程

情境导入

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须同时满足方程x+y=8和5x+3y=34o把它们联立起来,得

'x+y=8,

5x4-3y=34o

归纳总结:像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组

方程,叫作二元一次方程组。

例如，｛x和怪二二都是二元一次方程组。

意图说明

先让学生通过观察归纳两个方程的共性,并用自己的语言进行描述，

然后再组织学生交流归纳出二元一次方程的概念及其关键特征。在总

结归纳出二元一次方程组的定义后，引导学生理解未知数x和y表示

的意义相同，并规范方程组的表示方法。最后让学生尝试自己举例后

老师再呈现几组特殊的二元一次方程组，加强学生对概念的深刻理

解。

探究二二元一次方程（组）的解

活动4:尝试•思考

问题1:x=6,y=2满足方程x+y=8吗？x=5,y=3呢？x=4,y=4呢？你还能找

到其他x,y的值满足方程x+y-8吗？

问题2:x=5,y=3满足方程5x+3y=34吗？x=2,y=8呢？

问题3:你能找到一组x,y的值，同时满足方程x+y=8和5x+3y=34吗？

归纳总结:使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的

值,叫作这个二元一次方程的一个解。

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x6(__1

例如，x=6,y=2是方程x+y=8的一个解，记作|「同样，|：一；也

(y=2o(y=3

是方程x+y=8的一个解。

归纳总结:二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次

方程组的解。

例如,］就是二元一次方程组八：：以二8晨的解。

(y—5十sy—54

意图说明

在学生已经知道了方程“解”的含义基础上,先给出具体数据,通过计

算验证是否是方程的解,然后探索符合方程的其他的解,在探索过程

中深刻体会方程(组)“解”的含义,并体会二元一次方程有无数个解，

二元一次方程组有一组解。

当堂达标具体内容见同步课件

课堂小结具体内容见同步课件

认识二元一次方程组

1.二元一次方程

板书设计2.二元一次方程组

3.一元一次方程的解

4.二元一次方程组的解

教学反思

2二元一次方程组的解法

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第1课时代入消元法

教学设计

1.掌握消元法,能解二元一次方程组，

课标摘录2.能根据具体问题的实际意义,检验方程

解的合理性。

1.了解解方程组的基本思想是“消元”，

掌握代入消元法解二元一次方程组。

素养目标

2.让学生在解决问题的过程中学会交流与

合作,感受二元一次方程组的应用价值。

重点：用代入法解二元一次方程组的基本

步骤。

教学重难点

难点:探究用代入消元法将“二元”转化为

“一元”的过程。

从实际问题引入,列出二元一次方程组，引

发学生解出未知数的兴趣。教师指导学生

先复习一元一次方程的解法,再展示二元

一次方程组，引导学生思考如何将其转化

教学策略为一元一次方程。通过具体例子，详细讲解

代入消元的步骤:变形一个方程,用含一个

未知数的式子表示另一个未知数,再代入

另一个方程求解。安排不同难度层次的练

习题，让学生逐步掌握代入消元法。先从简

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单直接的方程组开始,再过渡到需要适当

变形的题目,及时给予反馈和指导。

❖教学过程

温故知新

1.下列方程是二元一次方程吗？

(l)x+3y=7;(2)2y+2=0;(3)2x-3=5;(4)；苫=1。

2.你能把上面的二元一次方程改写成用x表示y(或用y表示x)的形

式吗？

3.解一元一次方程的步骤是什么？

新知初探

探究一代入消元法解二元一次方程组

活动1:在上一节的种植问题中，要想知道小明和小颖各栽种了几株绿

植,就需要解方程组［'-丫='①

(x+l=2(y-l)o②

问题1：两个方程中的未知数x有什么关系?未知数y呢？

问题2:未知数x与未知数y之间满足什么关系?你能用其中一个未知

数表示另一个未知数吗？

问题3:你能设法把这个二元一次方程组转化为一元一次方程吗？与同

伴进行交流。

教师活动：引导学生尝试解方程组

由①，得y=x-2。③

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由于方程组中相同的未知数表示同一对象,所以方程②中的y也等于

x-2,

可以用x-2代替方程②中的y。于是有

x+l=2(x-2-l)o④

解一元一次方程④，得x=7。

再把x=7代入③,得尸5。

x+kMl)的解，X=7,

这样,我们就得到二元一次方程组

y=5o

因此，小明栽种了7株绿植，小颖栽种了5株绿植。

活动2:探索与归纳:

(1)给前面解方程组的方法取个什么名字好?

⑵解方程组的基本思路是什么？

(3)解方程组的主要步骤有哪些？

代入消元法:将其中一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的

代数式表示出来,并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元

一次方程组为一元一次方程。这种解方程组的方法称为代入消元法。

基本思路：“消元”一一把“二元”变为“一元”。

解二元一次方程组的第一种解法一一代入消元法,其主要步骤：

第一步:在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，将它的某

个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来。

第二步:把此代数式代入没有变形的另一个方程中，可得一个一元一

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次方程。

第三步:解这个一元一次方程,得到一个未知数的值。

第四步：回代求出另一个未知数的值。

第五步:把方程组的解表示出来。

第六步:检验，即把求得的解代入每一个方程看其是否成立。

意图说明

通过利用一元一次方程解决实际问题引导学生将求解二元一次方程

组的问题转化为消“二元”为“一元”，调动学生思考问题的积极性,

同时提高学生分析问题、解决问题的能力。通过问题罗列及小组讨论,

让学生发挥学习的主动性，同时让学生养成学会观察、分析'归纳的

好习惯。

探究二例题讲解

'3x+2y=14,①

例1解方程组:

、x=y+3。②

解:将②代入①,得3(y+3)+2y=14,

3y+9+2y=14,

5y=5,

y=1。

将y=l代入②，得x=4。

(x-4

所以原方程组的解是

(7=1。

例2解方程组:产+3丫=16，］

、x+4y=13。②

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解：由②，得x=13-4y。③

将③代入①，得2(13-4y)+3y=16,

26-8y+3y=16,

-5y二TO,

y=2o

将y=2代入③，得x=5o

(x=5

所以原方程的解是:

(y=2。

意图说明

通过教师对两个例题的讲解,再加上合理归纳，学生可以加深对“消

元”的印象，并牢记正确的解题顺序，理解“消元”的步骤。

当堂达标具体内容见同步课件

课堂小结具体内容见同步课件

代入消元法

1.解二元一次方程组的基本思路

板书设计

2.解方程组的主要步骤

3.例题讲解

教学反思

第2课时加减消元法

❖教学设计

课标摘录1.掌握消元法，能解二元一次方程组。

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2.能根据具体问题的实际意义,检验方程

解的合理性。

1.掌握用加减消元法解二元一次方程组。

2.使学生理解加减消元法所体现的“化未

素养目标知为已知”的化归思想方法。

3.选择恰当的方法解二元一次方程组，培

养学生的观察、分析能力。

重点:用加减消元法解二元一次方程组。

教学重难点难点:使学生理解加减消元法所体现的

“化未知为已知”的化归思想方法c

本节课是让学生学习二元一次方程组的

加减消元解法并能利用加减消元法解二

元一次方程组,是提升学生求解二元一次

方程组的基本技能课,在例题的设置上充

分体现化归思想。在学习二元一次方程组

的解法中，关键是领会其本质思想一一消

教学策略

元，体会“化未知为已知”的化归思想。

因而在教学过程中教师通过对问题的创

设,鼓励学生去观察方程的特点,在巩固

训练中提高学生解答的正确率和规范性，

提升学生学习数学的信心,激发学习数学

的兴趣。

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教学过程

情境导入

同学们，你能用前面学过的代入消元法解下面的二元一次方程组吗？

[3x+5y=21,①

l2x-5y=-llo②

(1)用x表示y怎样解？

(2)用y表示x怎样解？

思考：

除了上面的两种方法，你能用其他比较简单的方法来做吗？

观察：(1)上面的方程组,未知数y的系数有什么特点？

(2)除了代入消元,你还有什么办法消去y呢？

引导：把方程组中①+②得到5x=10,x=2,将x=2代入①,得

6+5y=21,y=3«

所以方程组5y=的解是[x

(2x-5y=-111y=3。

新知初探

探究加减消元法解二元一次方程组

活动1：解方程组

'2x-5y=7,①

2x+3y=-l。②

分析:观察到方程①，②中未知数x的系数相等,可以利用两个方程相

减消去未知数X。

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解:②-①，得8y=-8,

y=-io

把y=-l代入①,得2x+5=7,

X=lo

X=1,

所以原方程组的解为

y=—I。

师生活动:解答完本题后，口算检验,让学生养成进行检验的习惯，同

时教师需强调以下两点：

⑴注意解此题的易错点是②-①时是(2x+3y)-(2x-5y)=7-7,方程左

边去括号时注意符号。另外解题时,①-②或②-①都可以消去未知数

x,不过在①-②得到的方程中，y的系数是负数,所以在上面的解法中

选择②-①；

把尸-1代入①或②,最后结果是一样的，但我们通常的做法是将所求

出的一个未知数的值代入系数较简单的方程中求出另一个未知数的

值.

活动2:解方程组。一

(3x+4y=17o②

师生活动:先留一定的时间让学生观察此方程组，让学生说明自己观

察到的方程有什么特点,能不能自己解决此方程组,用什么方法解决?

若学生提出用代入消元法,可以让学生先按此法完成,然后再问能不

能用刚学过的加减消元法解决?让学生讨论尝试。

教师引导:二元一次方程组中未知数的系数不一定刚好是1或T,或

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同一个未知数的系数刚好相同或相反。我们遇到的往往就是这样的方

程组,我们要想比较简捷地把它解出来,就需要转化为同一个未知数

系数相同或相反的情形,从而用加减消元法,达到消元的目的。请大家

把解答过程写出来。

解：①X3,得6x+9尸36。③

②X2,得6x+8y=34。④

③-④,得尸2。

将y=2代入①,得x=3o

x=3

所以原方程组的解是°,

(7=2。

活动3:思考•交流

根据上面几个方程组的解法，请同学们思考下面两个问题：

(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？

(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？

(由学生分组讨论、总结并请学生代表发言)

师生共析：

(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”。

(2)用加减法解二元一次方程组的主要步骤是

①变形一一找出两个方程中同一个未知数系数的绝对值的最小公倍

数,然后分别在两个方程的两边同乘适当的数，使该未知数的系数相

等或互为相反数。

②加减消元,得到一个一元一次方程。

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③解一元一次方程。

④把求出的未知数的解代入原方程组中的任一方程，求出另一个未知

数的值,从而得方程组的解。

意图说明

让学生经历合作探究的过程通过观察、发现,得到新的解二元一次方

程组的方法一一加减消元法,培养学生发现问题、解决问题的能力。

通过例题和练习，体会加减消元法的基本特点,熟悉加减消元法的基

本步骤,提升用加减消元法解二元一次方程组的基本技能,积累解二

元一次方程组的经验。

当堂达标具体内容见同步课件

课堂小结具体内容见同步课件

加减消元法

1.加减消元法消元的概念

板书设计2.加减消元法解方程组的步骤

3.会用适当的方法解一元一次方

程组

教学反思

3二元一次方程组的应用

第1课时和差倍分问题

♦：♦教学设计

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1.能根据现实情境理解方程的意义,能针

对具体问题列出方程。

2.掌握消元法,能解二元一次方程组，

课标摘录

3.能根据具体问题的实际意义,检验方程

解的合理性。

4.建立模型观念。

1.能分析现实问题中的数量关系,建立方

程组解决实际问题。

2.经历和体验列二元一次方程组解决实际

问题的过程,体会方程（组）是刻画数量关

素养目标系的有效数学模型，发展模型思想和应用

意识。

3.通过解决中国古代数学书籍中的趣题，

感受中华民族独特的数学智慧,增强文化

自信和民族自豪感。

重点：根据等量关系列出二元一次方程组

解决实际问题。

教学重难点

难点：1,读懂古算题。

2.根据题意找出等量关系，列出方程组。

本着以学生自主学习为主体、教师引导点

教学策略拨为主导的教学原则,采用“问题情境一一

建立模型一一解释一一应用与拓展”的模

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式展开教学。充分利用实际问题、古代的

趣题,尽可能增加教学过程的趣味性、实践

性;利用多媒体课件和实物等丰富学生的

学习资源,生动活泼地展示所学内容；强调

学生的动脑思考和主动参与，通过丰富多

彩的集体讨论、小组活动，以合作学习促进

自主探究。

♦教学过程

情境导入

《孙子算经》中有一个“雉兔同笼”问题:

今有雉(鸡)兔同笼,上有三十五头，下有兀十四足，问雉兔各儿何?

(1)这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系？

(2)你能根据(1)中的等量关系列出方程组吗？

(3)你能解决这个有趣的问题吗？

新知初探

探究一鸡兔同笼问题

活动1：解法一:假设推理

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解:如果都是鸡,35头应该有70只脚,实际有94只脚,多出24只脚,

应该是兔子的,每只兔子多两只脚,所以兔子应该有12只，所以鸡有

35-12=23(只)。

解法二:用一元一次方程求解

解：设笼中有鸡x只，则有兔(35-x)只,得2x+4(35-x)=94,解得x=23.

所以35-x=12o

所以笼中有鸡23只，兔12只。

解法三:用二元一次方程组求解

解:设笼中有鸡x只，兔y只，则依题意，列方程组,得

(x+y=35,①

(2x+4y=94o②

产x=23

解这个方程组，得所以笼中有鸡23只，兔12只。

(y=12。

归纳小结：

用二元一次方程组解答的优点:相比小学的算术方法求解和一元一次

方程求解,更快速简单;用二元一次方程解答的不足:计算较复杂，费

时间。

意图说明

体验解决“鸡兔同笼”问题的不同思维过程,通过比较算术方法、列

一元一次方程方法、列二元一次方程组三种方法的优缺点,从而感受

方程模型思想的必要性和优越性,并从列一元一次方程和列二元一次

方程组的方法中，领会列二元一次方程组，思维方式的简洁明了性和

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在解一些等量关系较为复杂的应用题时体现的优越性。

探究二和差倍分问题

活动2:尝试•思考

列方程组求解下面的问题：

若甲从乙处得到7个钱币，则甲拥有的钱币数是乙的5倍;若乙从甲处

得到5个钱币，则乙拥有的钱币数是甲的7倍。甲、乙两人原来各拥

有多少个钱币？［选自意大利数学家斐波那契的《计算之书》)

问题1:这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系？

问题2:你能列方程解决这个问题吗?你是怎样做的?与同伴进行交流。

活动3:今有甲、乙怀钱，各不知其数。甲得乙十钱，多乙余钱五倍。

乙得甲十钱,适等。问甲、乙怀钱各几何？(选自《张丘建算经》)

题目大意：甲、乙两人各带了若干钱。如果甲得到乙的10钱,那么甲

的钱数比乙剩余的钱数多5倍;如果乙得到甲的10钱,那么两人钱数

相等。甲、乙两人各带了多少钱？

分析:题目涉及哪些数量关系？你能用含未知量的式子表示这些数量

关系吗？

解:设甲带的钱数为x,乙带的钱数为y,根据题意,得

x+10=6(y-10),

x-10=y+10o

fx=38,

解这个方程组，得

(y=1i8Qo

所以，甲带了38钱，乙带了18钱。

活动4:思考•交流

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1.列二元一次方程组解决问题与列一元一次方程解决问题有什么区

别和联系?与同伴进行交流。

2.类比一元一次方程解决实际问题的一般过程,请你总结归纳出运用

二元一次方程组解决实际问题的步骤。

二元一次方程组解决实际问题的基本步骤：

①审:通过审题找出等量关系；

②设:用字母表示题目中的两个未知数；

③列:依据找到的等量关系，列出方程组；

④解:解方程组,求出未知数的值；

⑤验:检验所得的解是否是方程组的解,并且要检验其是否符合实际

问题的意义；

⑥答：回答题目中要解决的问题,注意单位名称。

意图说明

通过习题的讲解与练习进一步巩固列一元一次方程组解应用题的思

想，以及掌握列二元一次方程组解应用题的方法和步骤。

当堂达标具体内容见同步课件

课堂小结具体内容见同步课件

和差倍分问题

板书设计1.鸡兔同笼问题

2.和差倍分问题

教学反思

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第2课时借助表格解决实际问题

*教学设计

1.能根据现实情境理解方程的意义,能

针对具体问题列出方程。

2.掌握消元法,能解一元一次方程组。

课标摘录

3.能根据具体问题的实际意义,检验方

程解的合理性。

4.建立模型观念。

1.能运用列表法分析数量关系。

2.能熟练地列二元一次方程组解决简单

素养目标的实际问题。

3.掌握运用列一元一次方程组解决实际

问题的技能。

重点:学会用表格分析较复杂的数量关

系问题。

教学重难点难点:将实际问题转化成二元一次方程

组的数学模型;学会用表格分析数量关

系。

本节课通过情境创设引出课题,对本节

教学策略课要用到的数量关系加以铺垫;再通过

对一道例题的精讲精练使学生学会借助

第22页共49页

表格分析较为复杂问题中的数量关系，

并能建立方程组解决问题;然后,通过让

学生自己编题培养学生的逆向思维,发

展学生运用数学解决问题的自主意识；

紧接着，带领学生对本节课所学的知识

进行梳理;最后,通过练习进行针对性巩

固，让学生感悟到数学来源于生活且服

务于生活,增收节支对理财观念的形成

至关重要。

教学过程

情境导入

新年来临，爸爸想送小明一个书包和学习机作为礼物。爸爸对小明说:

“我在甲、乙两个商场发现同款的学习机的单价相同，书包单价乜相

同，学习机和书包单价之和是1072元,且学习机的单价比书包单价的

8倍少8元,你能说出学习机和书包单价各是多少元,那么我就买给你

做新年礼物"。你能帮助他吗？

新知初探

探究一借助表格解决实际问题

活动1：问题探究

某工厂前年的总利润（总收入一总支出）为200万元。去年的总收入比

前年增加了20%,总支出比前年减少了10%?去年的利润为780万元。

第23页共49页

前年的总收入、总支出各是多少万元？

提炼问题

(1)若该厂前年的息收入是X万元,去年的总收入比去年增加了20%,

则去年的总收入是一(1+20%)x万元;

(2)若该厂前年的总支出为y万元,去年的总支出比前年减少了10%,

则去年的总支出是(lT0%)y万元;

(3)该厂去年的利润为780万元那么由⑴，⑵可得方程—

11+20%)x-(1-10%)y=782。

把分析的信息用表格表示如下表

设前年的总收入为x万元，总支出为y万元，则有

总收入/万元总支出/万元利润/万元

前年Xy200

去年(1+20%)x(1-10%)y780

根据上表,可以列出方程组一｛(1+20%*’(1-10%')丫=780—0

解这个方程组，得_｛；：；黑

因此前年的总收入为2000万元,总支出为18收万元。

活动2:我来出题

编一道应用题，使得其中的未知数满足方程组：

'x+y=200,

5%・x+45%・y=35%x200。

意图说明

第24页共49页

使学生初步学会设计适当的图表，帮助理清题目中的数量关系,从而

提高学生分析问题和解决问题的能力。在实际问题的解决过程中，进

一步提高学生解方程组的技能。

探究二例题讲解

例题医院用甲、乙两种原料为手术后的患者配制营养品。每克日原

料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和

0.4单位铁质。如果患者每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质,那

么每餐用甲、乙两种原料各多少克恰好满足患者的需要？

分析:设每餐需用甲、乙原料各xg,yg.则有

所配制的营

成分甲原料Xg乙原料yg

养品

其中所含蛋

0.5x0.7y35

白质

其中所含铁

X0.4y40

质

解：设每餐用甲原料xg、乙原料yg,

0.5x+0.7v=fx=28,

根据题意，得，1c解这个方程组，得

(x+0.4ziy=40o(y=30。

所以,每餐用甲原料28g、乙原料30g可以恰好满足患者的需要。

活动3:思考•交流

在列方程组解决问题时，如何梳理其中的关键信息?对此你有哪些心

第25页共49页

得体会?与同伴进行交流。

意图说明

通过例题让学生由感知表格到认知表格的过程中，再次体验用表格分

析问题的方法及一般步骤,先让学生尝试利用表格分析问题,再由教

师根据课堂效果及时点拨、引导、师生共同借助表格分析问题，在此

基础上教师明晰用表格分析问题的方法。本环节建立表格是本节课的

难点,教师组织学生小组合作完成任务,教师在巡视过程中要指导学

生通过找关键词，建立表格,梳理信息。

当堂

具体内容见同步课件

达标

课堂

具体内容见同步课件

小结

借助表格解决实际问题

板书实际问题----------------数学问题

设未知数、找等量关系、

设计生成表格、列方程组

实际问题的答案^---------数学问题的解

教学

反思

第3课时借助图形、图示解决实际问题

❖教学设计

课标摘录1.能根据现实情境理解方程的意义,能

第26页共49页

针对具体问题列出方程。

2.掌握消元法,能解二元一次方程组。

3.能根据具体问题的实际意义,检验方

程解的合理性。

4.建立模型观念。

1.能借用图形、图示解决实际问题。

2.归纳列方程组解决实际问题的一般步

骤。

素养目标

3.进一步经历和体验列方程组解决实际

问题的过程,体会模型观念,发展应用意

识。

重点：能借用图形、图示解决实际问题。

难点:准确分析确定具体情境的等量关

教学重难点

系，能正确将实际问题转化为二元一次

方程组的数学模型。

本节课借助多媒体课件,动态演示8块小

长方形墙砖拼成大长方形的过程，以及

火车进入隧道、在隧道中行驶、驶出隧

教学策略道的过程,帮助学生更直观地理解问题，

突破教学难点。利用线段图直观呈现火

车行驶路程与隧道长度、火车长度之间

的关系，使抽象的数量关系变得清晰易

第27页共49页

懂。在解决完两个实际问题后，引导学生

总结列二元一次方程组解决实际问题的

一般步骤,培养学生的归纳总结能力和

数学建模思想。让学生分享在解决问题

过程中的收获和体会,加深对知识的理

解和掌握。

❖教学过程

情境导入

1r

----------40cm

如图所示,8块相同的小长方形墙砖拼成一个大长方形，每块小长方形

墙碣的长和宽分别是多少？

问题1：这个问题涉及哪些量?这些量之间有怎样的等量关系？

问题2:你能列方程组解决这个问题吗？

师生分析:设每块墙砖的长为xcm,宽为ycm,根据题意可得

[X=解这个方程组可求得x,y的值，即可解题。

(x—ay,

解:设每块墙砖的长为xcm,宽为ycm,

则根据题意，得(x+\y=40,

Ix=3y。

fx=30,

解这个方程组，得1八

(y=10。

第28页共49页

答:每块墙砖的长为30cm,宽为10cm。

新知初探

探究借助图形、图示解决问题

活动1：火车以40m/s的速度经过一个隧道，从车头进入隧道到车尾

驶出隧道,共用时30s,其中火车全身都在隧道里的时间是20s,求隧

道和火车的长度。

分析:本题涉及哪些量?你能画图说明“从车头进入隧道到车尾驶出隧

道”的过程吗?这种情况下，火车行驶的路程与隧道的长度、火车的长

度之间有什么关系?类似地，对于“火车全身都在隧道里”的情形，相

信你也可以得到相应的关系！

解：“从车头进入隧道到车尾驶出隧道”“火车全身都在隧道里”的

过程可以分别用图5_2、图5_3表示。

火车火车

/III八II八

图5-2

火车火车

”丫、八YfC

隧道

图5-3

设隧道的长度为xm,火车的长度为ym,根据题意,得

fx4-y=40X30,

(x-y=40x20o

第29页共49页

fx=1000,

解这个方程组,得9nn

y=200o

所以，隧道和火车的长度分别是1000m和200mo

活动2:思考•交流

列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？与同伴进行交

流。

意图说明

生动的情境引入,将学生带入生活中的数学,激发学生学习的兴趣。把

这个复杂的图形问题、行程问题进行分解，使解题思路清晰,列出方

程,从而顺利地解决这个较复杂问题。

当堂达标具体内容见同步课件

课堂小结具体内容见同步课件

借助图形、图示解决实际问题

板书设计列一元一次方程组解决实际问题的步

骤:审.、设、歹U、解、验、答

教学反思

4二元一次方程与一次函数

第1课时二元一次方程与一次函数的关系

♦教学设计

课标摘录体会一次函数与二元一次方程的关系。

素养目标1.体会一次函数和二元一次方程的关系。

第30页共49页

2.能从“形”的角度理解二元一次方程和二

元一次方程组,发展几何直观。

3.发展学生数形结合的意识和能力，使学生

在自主探索中学会不同数学知识间可以互相

转化的数学思想和方法。

重点:二元一次方程和一次函数的关系，能从

“形”的角度理解二元一次方程和二元一次

教学重难点

方程组。

难点:数形结合和数学转化的思想意识。

利用动画展小一元一次方程的解在坐标系中

动态形成直线的过程，以及一次函数图象随

参数变化的情况,直观呈现两者关系，帮助学

教学策略生理解。把知识拓展延伸到二元一次方程组

与一次函数图象交点坐标的关系，引导学生

思考如何通过函数图象求解方程组,提升学

生知识综合运用能力。

*教学过程

情境导入

数学王国举行了家庭聚会，各个成员按照自己所在的家庭就座,这时

来了“x+y=5”它应该坐在哪里呢?

投票小活动

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二元一次方程II一次函数

引出本节课的主题一一二元一次方程与一次函数的关系。

新知初探

探究二元一次方程与一次函数的关系

活动1:二元一次方程与一次函数的关系

以方程x+y=5为例,将其变形为一次函数厂-x+5的形式,让学生观察

变形过程，总结出一般的转化方法。

(1)方程x+y=5的解有多少个?其中的几个(x=0y=5,x=2

y=3...)0

(2)x+y=5看成一个一次函数,变成y=kx+b的形式是y-x+5

(3)画出y=-x+5的图象

X05

y=一x+550

追问(1)：以方程x+y=5的解为坐标的点都在一次函数y=-x+5的图象

上吗？(都在)

追问(2):在一次函数y=-x+5的图象上任取一点，它的坐标适合方程

第32页共49页

x+y=5吗？(适合)

追问(3):以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数

y=-x+5的图象相同吗？(相同)

归纳总结：

利用多媒体课件展示多个二元一次方程及其对应的一次函数图象引

导学生观察图象上的点与方程的解之间的对应关系，得出结论:二元

一次方程的每一组解都对应着一次函数图象上的一个点，反之亦然。

二元一次|广、|二次函数图象

方程的解7^一河理］/上点的坐标

活动2:图象法求解二元一次方程组

利用图象法求解二元一次方程组的原理:方程组的解就是两个一次函

数图象的交点坐标。

以方程组'+y=为例,利用消元法,解方程组得出交点坐标⑵3)

(zx-y=1

，x=2,

就是方程组的解

y=3。

活动3:思考•交流

在同一平面直角坐标系也一次函数尸x+1和y-x-2的图象有怎样的

位置关系?方程组解的情况如何?你发现了什么？与同伴进

行交流。

第33页共49页

-3-^/0|i/2345%

I

学生分组讨论:二元一次方程的解和相应的两条直线的关系

(1)观察发现直线平行无交点；

(2)小组研究计算发现方程组无解；

(3)从侧面验证了两直线有交点，对应的方程组有解，反之也成立。

意图说明

由情境引入方程和函数的相关知识,后面才引入课题,设置一个悬念，

抓住学生的好奇心。方程和函数、解和有序数对分别呈现在黑板上，

左右对照,给学生明确的引导方向去思考方程与函数的关系。独立思

考•、小组讨论、教师帮助规范语言。再由PPT直观呈现解和图象上的

点坐标的对应关系。使学生可以体会到二元一次方程的解和一次函数

图像上的点的坐标是一一对应的关系。使