2024北师大版八年级数学上册 第一章《勾股定理》回顾与思考教学设计

北师大版(2024)第一章《勾股定理》教学设计

学科数学年级八课型新授课单元一

课题探索勾股定理课时1

1、经历探究勾股定理的过程，进一步发展学生的推理意识和主动探究的学习习惯，体会数学与

现实生活的联系。

误标

2、理解直角三角形三边之间的数量关系，发展学生的说理能力和推理能力。

要求

3、运用勾股定理解决实际问题，并通过勾股定理实例了解勾股定理的历史和运用，体会它的文

化价值。

本章内容主要研究勾股定理及其逆定理，包括发现、证明、运用三个环节，首先让学生观

察发现两直角边的平方和等于斜边的平方的结论并加以证明，从而得到勾股定理。然后运用勾

股定理解决问题，在此基础上引入勾股定理的逆定理，在勾股定理和逆定理的探索过程中，要

教材引导学生善于观察、归纳和总结，并将结论运用到问题解决中，注意体会数型结合、转化等数

分析学思想。

本章节勾股定理的背景资料非常丰富，使学生对勾股定理的发展过程有所了解，感受勾股定

理丰富的文化内涵，激发学生的学习兴趣。通过介绍我国在勾股定理研究方面取得的成就，激

发学生热爱祖国，热爱祖国悠久文化的思想感情，培养学生的民族自豪感。

学情学生已经学过三角形、等腰三角形、全等三角形及简单的多边形对学习勾股定理有很大的梢助，

分析但本章内容思维最大，对思维的严谨、归纳推理能力要求较高，学生学起来有一点的难度。

1、掌握勾股定理，会用拼图法验证勾股定理.

核心

2、掌握判断一个三角形是直角三角形的条件。

素养

3、能应用勾股定理解决实际问题.体验成功的快乐。

目标

4、在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。

教学利用数型结合的思想验证勾股定理，利用勾股定理解决问题。

重点

教学在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。

难点

教学课件及章节思维导图

准备

教学过程

教学环节教师活动学生活动设计意图

一、温故1、知识框架1、小组内展利用思维导图，构

示自己总结的建知识网状结构

知识框图。相图。梳理本章知识

互交流完善如是学生的知识点形

识框图.成一个完整的体

2、梳理知识。系。设计三个图形

3、利用面枳利用求面积的方法

关系验证勾股验证勾股定理，加

定理深学生对勾股定理

的理解和掌握。也

达到数形的完美结

合。

2、知识梳理

（1）勾股定理

如果直角三角形两更角边分别为a,b,斜边为c,那么

a2+b2=c2

即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.

应用条件：直角三角形

（2）勾股定理逆定理

如果三角形的三边长a,b,c满足。2+/^=。2,

那么这个三角形是直角三角形.

（3）勾股数

满足/+〃=。2佗三个正整数，称为勾股数.

（4）勾股定理与勾股定理逆定理的区别于联系

区别：勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件,

得出三角形三边有4+〃2=。2关系式成立.。

勾股定理逆定理：一个三角形的三边a、b、C满足

a2+b2=c2为条件，得出这个三角形是直角三角形的

结论.

联系：

都与三角形三边有关，都与直角三角形有关。

3、勾股定理的验证

C

区

(-)

;s正=c2=—abx4+(b—a)2=a2+b2

2

a2+Z?2=c2

猛t>

(1)

止=-^x4+C2=(4+/?)2

2

:.a2+b2=c2

J

ab

(三)

*/s柩=；(“+b)(a+0)=；abx2+；c2

：.a2+b2=c2

五、中考题型一直角三角形中已知两边，求第三边。学生对五种不设计不同题型，都

链接1、已知一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和同题型题目尝是围绕勾股定理展

4cm,第三边长的平方为_25_o试解答。对有开的，在实际生活

2、已知一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm,第困难的学生教中,勾股定理有着

三边长的平方为7或25。师适当点拨。广泛的应用.在运

题型二勾股定理的逆应用解答过程注用的过程中，要注

1、下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角意；意是运用勾股定理

形的是(A)1、一线三直还是运用勾股定理

A.1.5,2,3B.8,15,17角的两个三角的逆定理.在解决

C.6,8,10D.3,4,5形全等的证问题的过程中，寻

2、如图，在四边形ABCD中，ZC=90°,AB=13,BC=4,明。找和构造垂直关系

CD=3,AD=12,求证；ADJLBD2、长方体中就成为解题的大键

证明：BD2=BC2+CD2=25蚂蚁爬行的线所在。。

路最短问题,

4斤+2=169

需要分三种情

AB2=169况分别计算，

AD2+BD2=AB2然后找出最短

路径。

AAD1BD.

题型三最短路线问题

如图，有一个长方体的长、宽、高分别是6、4、4.在

底面A处有一只蚂蚁，它想吃到长方体上面与A相对

的B点处的食物，需要爬行的最短路程是_2扬

题型四主要数学思想……方程思想

如图，已知长方形ABC中AB=8cm,BC=l()cm,在边CD

上取一点E,将4ADE折叠使点D恰好落在BC边上

的点F,求CE的长.

解：由折叠可知AD=AF=10cm

在RtAABF中JBF=6,FC=4|

设CE为Xcm,DE=EF=8-x

在RtZkEFC中

(8-X)‘=X'+4'

求出X=3

答：CE长3cm.

题型五勾股定理与面积

直线1上有三个正方形a、b、c,若a和c的面积分别

为5和11,则b的面积为？

A.20kmB.I4krnC.1IkrnD.10km

5.如图，有两棵树：一棵高8m,另一棵高2m,两树

相距8m,一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树

梢，至少要飞10m.

第5题第6题

6.如图所示的正方形网格内，点A,B,C,。，E是

网格线交点，那么N'ECD+NEDC=90。.

7.一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了

16km,然后向正北方向航行了12km,这时它离出发点

有20km.

能力提升：

8.如图，在一棵大树的10m高的。处有两只猴子，

它们同时发现地面上的点C处有一根香蕉，一只猴子

从点。处上爬到树顶点4处，利用拉在点A处的滑绳

AC,滑到点C处，另一只猴子从点。处滑到地面点8

处，再由点8跑到点C,已知两只猴子所经过的路程都

是15m,那么这棵树有多高？

由题意知BC=15-10=5(m),AD=(x-10)m,

AC=15-AD=15-x+10=(25㈤m.

在中,AZ^+BC2=AC2.

即x2+52=(25-x)2，解得x=12.

答；这棵树有12m高.

拓展迁移：

9.如图所示，AABC口，已知

AB=AC,D是AC上的

点,CD=9,BC=15,BD=(2.

(1)求证ABCD是直角三角形;

⑵求△ABC的面积.

证明：(1)・・・CD=9,BD=12,

ACD2+BD2=81+144=225.

VBC=15,

ABC2=225.

.•・CD'+BD'=BC'.

・•・ABCD是直角三角形，且NBDC=90°（勾股定理的逆定

理）.

解：（2）设AD=x,则AC=x+9,VAB=AC,

/.AB=x+9,

VZBDC-900,・・・NADB=90°,

.-.AB2=AD2+BD2,

即（X+9）2=X2+122,

解得x=3.5

AABC的面积=（3.5+9）X124-2=75

板书设利用简洁的文字、

计符号、图表等呈现

本节课的新知，可

以帮助学生理解掌

握知识，形成完整

的知识体系。

判定垂直

作业设基础达标:

计1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是（A）

1课外练A.8,15,17B.4,5,6C.5,8,7D.8,39,40

习）2、如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3碗折断，树尖少恰好碰到地面,

经测量/I后4加，这棵大树在折断前的高度为（C）

A.7mB.10勿C.8mD.12m

3.如图，在〃[△力a＞卜，N6=90°,48=8,8c=6,延长及7至夕使得方=欧，将△月蛇

沿力。翻折，使点〃落点〃处,连接M则虎'的长为（D）

A,史n36

B.—必D.—

55C55

第2题第6题

4.直角三角形三边的长分别为3、4、x,则x可能取的值为（C）

A.5B.6或gC.5或"D.不

5.如图，我国古代数学家得出的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密

铺构成的大正方形，若小正方形弓大正方形的面积分别是为1、13,则直角三角形两直角边

的和a+b=5.

6.如图所示，有一块直角三角形纸片，ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,将斜边A8翻折,

使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为4。，则CE的长为2cm.

7.如图，正方形网格中的△力比；若小方格边长为1,请你根据所学的知识

（1）求△月及由勺面积.（2）判断△力比是什么形状？并说明理由.

解：⑴

△/历3勺面积=8X4-1(2X3+1X8+6X4)

=32-19=13

2

（2）是直角三角形.

AB2=22+32=13BC2=62+42=52

AC2=12+82=65.

AB'BC?=AC?•••△ABC是直角三角形

能力提升：

8.如图，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,。是AB边上一点(点。不与点A,8重合)，

连接CD,将线段CD绕点C逆时针旋转90。得到线段CE,连接DE交3C于点F,连接BE.

(1)求证：△ACDgaBCE；

(：

(2)当AD二BF时，求NBEF的度数；)飞\

(3)求证：DE2=BD2+AD2./

解：(1)证明：•・♦ECO绕点C逆时针旋转90。/

得到线段CE,'『)B

：,CD=CE