2024人教版八年级（下）期末数学试卷（培优卷）解析版

2024・2025学年八年级（下）期末数学试卷（培优卷）

【人教版】

参考答案与试题解析

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

I.（3分）（24-25八年级•福建二明•期末）下列各式计算正确的是（）

A.专二遮B.V2+A/3=V5C.通+鱼=3D.（2⑹'=12

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键.根

据二次根式的分母有理化、二次根式的加法、乘除法法则逐项判断即可得.

【详解】解:A、强=乎，则此项错误，不符合题意：

B、企与旧不是同类二次根式，不可合并，则此项错误，不符合题意；

C、通+&=百，则此项错误，不符合题意；

D、（2遍J=12,则此项正确，符合题意；

故选：D.

2.（3分）（24-25八年级•四川成都•期末）如图，以点。为圆心，以0户的长为半径画弧，交x轴的负半

轴于点4若点力的坐标为（一5立,0）,尸点的纵坐标为一1,则P点的坐标为（）

加

~O^x

P\

A.（-7,-1）B.（7,-1）C.（-后，-1）D.（V51,-1）

【答案】A

【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

由点力的坐标为（一5口,0）,得至11。4=5a，过。作PBJ.X轴于以设P（m,—1）,根据勾股定理即可得

到结论.

【详解】解：•・•点4的坐标为（一5口,0）,

/.OA=5x/2,

过户作PB_Lx轴于4,

设P(m,-1),

:.OB=-m,PB=1,

•；OP=0A=5V2,

OB=VOP2-PB2=V50-1=7,

故选：A.

3.（3分）（24-25八年级•四川绵阳期末）如图，在四边形A3C0中，CD\\AD,AM平分心ZMD交于中

点M,点N在边AB上,且CNim。，若BN=2AN,AB=6,则A。=（）

【答案】A

【分析】如图，设4M交CN于点0,取CN的中点人连接M/,证明0/=0N=AN=2,推出CN=8,

再证明AD=CN即可.

【详解】解：如图，设4M交CN于点0,取CN的中点人连接即，

•••AN=2,BN=4,

•:M是BC的中点，/是CN的中点,

/.CM=MB,CJ=JN,

JM||BN,JN=：BN=2,

MJ=AN,

•••MJIIAN,

Z.OMJ=LOAN,

在A40NMOJ中，

(4/ION=乙MO]

IZ.OAN=“MJ,

(AN=MJ

••.△HON三△MO/(SAS),

•••OJ=ON,

vAD||CN,CDIIAB,

•••四边形4DCN是平行四边形，

:.AD=CN,

•••AM平分2048,

:.Z.DAM=乙MAB,

-AD||CN,

:.£DAM=乙AON,

•••Z.MAB=/.AON,

ON=AN=2,

CJ=]N=4,

AD=CN=8.

故答案为：A.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，角平分

线的定义，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等.三角形解决问题.

4.13分)(24-25八年级•浙江•期末)已知直线"的解析式为月=依-3)3+匕直线1的解析式为=一—+

3-/c,M(m,a)在直线I1上，N(m,b)在直线%上，下列说法正确的是()

A.若k>3,m>—1,则a〉匕B.若kV0,m<-1,则a<b

C.若k>3,m>-1,则a<bD.若kV0,m>-1,则a>b

【答案】A

【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的美系，数形结合是解题的关键.由两直

A.方差是0B.中位数是95分C.众数是5人D.平均数是90分

【答案】B

【分析】本题考查条形统计图，中位数，众数，平均数，方差.根据条形统计图的数据对各项逐项进行计算

即可.

【详解】解：根据条形统计图，将这10个数从小到大排列如下：

85,90,90,90,95,95,95,95,95,100,

则中位数为誓=95,

95出现了5次，最多，众数为95,

平均数为弥854-90x3+4-95x5+100)=93,

222

方差为焉x[(85-93尸+3x(90-93)+5X(95-93)+(100-93)]=16,

观察四个选项，B选项符合题意，

故选：B.

6.(3分)(24-25八年级•四川泸州•期末)如图,在矩形力8C0中，对角线4C,8。相交于点。，AE1BDt

垂足为E,AE=3,ED=3BE,则CZ)的长为()

A.6B.5C.3V3D.273

【答案】D

【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含30。角的直角三角形的性质.由在矩形

A8CD中，ED=3BE,易证得△是等边三角形，继而求得MAE的度数，由△是

等边三角形，求出2区4£的度数，又由｛E=3,求得/IB的长即可.

【详解】解：•・•四边形ABC。是矩形，

：.OB=OD,OA=OC,AC=BD,AB=CD,

：.OA=OB,

•・・ED=3BE,

：,BE=-OB,

2

*：AELBD,

:・AB=OA,

OA=AB=OB,

即A04B是等边三角形，

：,z.ABD=60°,/-BAE=30°,

V/1E1BD,AE=3,BE=^AB,BE2+AE2=AB2,

+32=AB2,

：.AB=2V3,

.\CD=2V3,

故选：D.

7.(3分)(24-25八年级•江西景德镇•期中)如图，直角三角形力BC的两直角边8。、AC分别与x轴、y

轴平行，且力C=BC=1,顶点4的坐标为(1,2),若某正比例函数的图象经过点8,则此正比例函数的表

【答案】A

【分析】本题考查了求正比例函数的解析式，正确求出点B的坐标是解题关键.先求出点8的坐标，再利用

待定系数法求解即可得.

【详解】解：♦・•直角三角形A8C的两百角边AC与y轴平行，且AC=1,顶点A的坐标为(1,2),

又•••直角三角形ABC的两直角边8c与％轴平行，且8c=1,

・•・8(2,1),

设这个正比例函数的表达式为y=kx(k丰0),

将点8(2,1)代入得:2k=1,

解得k=g

则这个正比例函数的表达式为y=

故选：A.

8.（3分）（24-25八年级•辽宁鞍山・期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地ABCD,测得

12m,CD=8m,AD=17m,且NABC=90°,这块菜地的面积是

1

/

A.48m2B.114m2C.122m2D.158m2

【答案】B

【分析】在△48。中，利川勾股定理求出4c的长,再由勾股定理逆定理判断△力。。的形状，日三角形面积

公式求得菜地的面积.

【详解】解:连接AC

在△48。中，Z.ABC=90%AB=9m,BC=12rn,，

AC=4AB2+BC2=J92+122=15(m)

在A4CD中，CD=8m,AD=17m,

AC2+CD2=64+225=289,AD2=172=289

:.AC2+CD2=AD2

JAACD是直角三角形，且44CD=90°.

‘S四边形'BCD=S/U8C+S&ACD=2AB,BC+\AC•CD=1x9xl2+1x8x15=114（m2）

・••这块菜地的面积是114m2

故选：B

1.._1

t点暗】本题考查勾股定理以及勾股定理逆定理的应用，四边形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学

知识解决问题，属于中考常考题型.

9.（3分）（24・25八年级•河南周口•期末）正方形4$道1。，4282c2g,A383c3c2,…按如图所示的方式

放置，点41，小，…和点Ci，C,C3,…分别在直线y=x+l和X轴上，则点球024的纵坐标是（）

A2,2

A.22024B.22023c.22024+1D.22023+1

【答案】B

【分析】本题考查•次函数与几何综合和正方形性质，由题意可得出、的纵坐标相同，根据点

48”4,A2,

心,…在直线y=x+l上和正方形性质，推出点4,A2,A3,人的坐标，根据坐标找出点的坐标规律为4

的坐标为（2-1利用规律表示出力2。24的坐标，即可解题.

【详解】解:由题知,四边形4产1c“T为正方形，

无轴，即力“、时的纵坐标相同，

当黑=0时,y=0+1=1,即4（0,1）,

.%OAX=1,则0g=。41=1,

当x=l,时，y=1+1=2,

的坐标为（1,2）,

同理可得力3的坐标为（3,4）,4的坐标为（7,8）,

•••人的坐标为（2”一1一1,2吁1）,

•••42。24的坐标为（22°23—1,22023）,

二点§2024的纵坐标是22°23,

故选：B.

10.（3分）（24-25八年级•浙江台州•期末）如图，是一个轴对弥图形，由一个矩形和三个全等菱形拼接而

成，其中ZCED=NCF8=90。，则矩形的一组邻边之比为（

c

@1

rD.业

■2

【答案】A

【分析】连接BC,AB,在CM取点P,使BM=PM,连接8户，根据轴对称的性质得出"CN=乙FCM,CN=

CM=^MN,AG=AH=^GH,证明AH=BH,BM=PM,CP=BP,设CM=AH=BH=a,BM=PM=x,

则RP=CP=a-x,证明AMBP为等腰直角三角形，得出8。二或8用=贝，从而得出鱼x=a-x,求

出x,即可得出8M=(四一1)Q,求出GH=2a,MH=BH+BM=a+(&-l)a=&a,最后求出结果

即可.

【详解】解：连接BC,AB,在CM取点P,使8M=PM,连接BP,如图所示：

根据轴对称可知：cECN=LFCM,CN=CM=^MN,AG=AH=^GH,乙GAK=LHAQ,

•・•矩形GHMN中MN=GH,

：,CM=AH,

•・•三个全等菱形，

：.BF=CF,Z.QAB=Z.QBA,Z.AFC=Z.AFB,AQ\\BF,

•:乙CED=CCFB=9。。，

：./.AFC=Z/1FF=1(360°-90°I=135°,

\'AQ\\BF,

：.LFAQ=180°-135°=45°,

：.£BAQ=乙ABQ=x45°=22.5°,

\'z.EAK=Z.EAF=/.FAQ=45°,

：./-GAK+乙HAQ=180°-45°-45°-45°=45°,

\LGAK=LHAQ=ix45°=22.5°,

：.z.HAF=22.5°+22.5°=45°,

•・•矩形GHMN中4H=90°,

：.z.ABH=900-45o=45°,

:•乙HBQ=45°-22.5°=22.5°,乙HAB=乙HBA,

:,AH=BH,

•：CF=BF,LCFB=90°,

J.LCBF=LFCB=1x90°=45°.

■:乙FBQ=/.FAQ=45°,

=180°-45°-45°-22.5°=67.5°,

•・•矩形GHMN中4M=90°,

:.乙BCM=90°-67.5°=22.5°,

=PM,

:.乙MBP=乙MPB=1x90°=45°,

2

工乙PBC=67.5°-45°=22.5°,

「乙BCM=CPCB,

:・CP=BP,

设CM=AH=BH=a,BM=PM=x,则BP=CP=a—x,

AMBP为等腰直角三角形，

，、&=a-x,

解得：x=(y/2-l)a,

即BM=(V2-l)a,

：.CH=2a,MH=BH+BM=a+(&-l)a=缶,

'.•GH嬴=2赤a=&n'z

故选:A.

【点睛】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，勾股定理.，等腰三角形的判定和性质，轴对称的性质,

三角形内角和定理的应用，解题的关键是做出辅助线，熟练掌握相关的性质.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

II.（3分）（24-25八年级•安徽合肥期中）比较大小：早1（填“＞”或“〈”或.

【答案】＞

【分析】本题考查比较实数的大小，二次根式值的大小比较，根据作差法和平方法进行比较即可.

【详解】解：浮1一《=。口

4n1U

2

V（5>/5）=125,II2=121,

A5V5-11>0,

・V5+185>/5-11

>0,

210

、

•.•V5+1一8;

25

故答案为：＞.

12.（3分）（24-25八年级•江苏赤州•期中）如图，每个小正方形的边长为1,力、B、。是小正方形的顶点,

连接/R、BC,则N/BC的度数为

C

【答案】45。/45度

【分析】本题考查了勾股定理，分别在格点三角形中，根据勾股定理即可得到力氏BC,AC的长度，继而可

得出乙48c的度数.

【详解】解：连接AC，

根据勾股定理可以得到：AC=BC=Vl2+22=V5,AB=Vl2+32=V10,

222

V(V5)+(V5)=(V10),即AC?+BC2=AB2t

：,LABC是等腰直角三角形.

••・乙48c=45°.

故答案为：45°.

13.（3分）（24-25八年级•河北承德・期末）学校举办了以“不负青春，强国有我”为主题的演讲比赛.已知

某位选手的演讲内容、语言表达、举止形态这三项的得分分别为90分、85分、82分，若依次按照35%,40%,

25%的比例确定成绩，则该选手的成绩是分.

【答案】86

【分析】本题考查了加权平均数的运用，熟练掌握加权平均数的计算方法.是解题的关键.若〃个数与，如右

，…，小的权分别为wi,卬2,卬3，…，wn,则心::；叫:;I；：""叫做这〃个数的加权平均数•

根据加权平均数的计算公式列出算式，进行计算即可得出答案.

【详解】解:90x35%+85x40%+82x25%31.5+34+20.5=86（分），

35%HO%I2S%100%

故答案为：86.

14.（3分）（24-25八年级•山东威海・期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形04BC的顶点4在x

轴上，定点8的坐标为（8,4）,若直线经过点。（2,0）,且将平行四边形。48。分割成面积相等的两部分，则

直线DE的表达式是

【答案】y=x-2

【分析】本题考行平行四边形的中心对称性，待定系数法求一次函数解析式等知识，根据平行四边形的对称

性可得P为。8的中点，根据中点坐标公式求出P(4,2),然后根据待定系数法求解即可.

【详解】解：连接。8交DE于P,

•・•直线经过点0(2,0),且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，

•••宜线DE经过平行四边形0ABC的中心，

・・・P为。8的中点，

•・,8(8,4),0(0,0),

・,•尸(等,等)，即P(4,2),

设直线DE解析式为y=kx+b,

把D(2,0),P(4,2)代入，得处::二,

解得｛工'

：.y=X-2,

故答案为：y=x-2.

15.(3分)(24-25八年级•河南南阳•期末)如图，点P是矩形力BCD的边8C上的动点，沿直线4P将△R48

折叠，点B落在点B'位置.己知：AB=6,BC=4,则当点8,恰好落在矩形的对称轴上时，BP的长为.

【答案】273^18-1272

【分析】本题考查矩形与折叠，勾股定理，轴对称的性质，矩形的对称轴为对边中点形成线段所在的直线,

据此分情况讨论，分别画出图形，根据折叠和勾股定理求解即可.

【详解】解：如图1,取48、CD的中点M、N,则直线MN是矩形的对称轴，当点歹恰好落在MN上时，

连接S'B,

,:MN垂直平分力平

*»AB=BB,

由折叠可得48,=/18,AP1B'B,

,\AB=AB=BB,

SLAB'S为等边三角形，

：,z.PAB=^BAB'=30°,

：.PA=2BP,

'：PA2=BP2+AB2,AB=6,

：.(2BP)2=B4+62,

解得BP=2V3；

如图2,取40、BC的中点E、F,则直线EF是矩形的对称轴，当点8,恰好落在E尸上时，连啜B,B,

•・•矩/B=6,BC=4,

：.AD=BC=4,/.DAB=/.ABC=90°,

*：AD.BC的中点的F,

：,AE=BF=2,四边形力89E是矩形，

:.AB=FE=6,

由折段可得48'=48=6,PB'=PB,

AFP=-AE2=4V2.

:.FB'=EF-EB'=6-4五,

•••RtaPFB'中，FB'=6-4x/2,PB'=PB,PF=BF-PB=2-PB,BP2=BF2+PF2,

2

：.BP2=（2-BP）2+（6-4V2）,

解得BP=18-12V2,

综上所述，8户的长为28或18—12鱼，

故答案为：2国或18-12鱼.

16.（3分）（24-25八年级•贵州毕节期末）如图，正方形力8c。的边长为6,E为边8c上一点，尸为边CO

上的一个动点，连接“凡以EF为一条直角边向左侧作等腰直角三角形EFG,且使乙£7访=9。。，则点G运

【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，过G

作GHJ.CO于H,在CO取点P,使CP=CE,△GFH^△FEC,得出GH=尸C,HF=EC=PC,进而得

出HP=CF=GH,根据等边对等角和三角形的内角和定理可求出/GPH=45。，则点G在以P为顶点，在

PD的左侧,与PD成45。的直线上运动，故当尸和C重合时，G和P重合，当尸和。重合时，G和。重

合，如图，过。作QO1CD于。同理可证QO=CD=6,OD=CE=CP,OP=CD=6,根据勾股定理

求出PQ=6企，即可求解.

【详解】解：过G作GH1CD于〃，在CD取点P,使CP=",

•・NEFG=90。，在正方形ABCD中，乙C=90°,

:,乙GFH=乙CEF=90°-乙CFE,

又乙GHF=LC=90°,GF=FE,

/.AGFH^△FEC,

:.CH=FC,HF=EC=PC,

：.HF-PF=CP-PF,

.\HP=CF=GH,

:.乙GPH=Z.HGP=g（180°—4GHP）=45°,

••・点G在以P为顶点，在PD的左侧，与PD成45。的直线上运动，

当卜和。查重时，G和产重合，当“和。重合时，。和。重合，如图，过，作QO_LC〃于

同理可证QO=CD=6,OD=CE=CP,

：.OP=CD=6,

:.PQ=yjOQ2+OP2=6vL

即点G运动的路径长是6a,

故答案为：6V2.

第n卷

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（6分）（24-25八年级•河南深河・期末）计算：

（1）718+>/2+（V3—1）；

⑵+/一（&-6）（&十⑸.

【答案】（1）7-2百

（2*

【分析】本题考查实数的混合运算，能准确理解运算顺序，并能进行正确地化简各数是解题的关键.

（1）先计算二次根式和完全平方公式，再计算加减；

（2）先计算二次根式、立方根和平方差公式再去括号，最后计算加减.

【详解】3）解：皿+&+（遮一1）2

=3+3-2V3+l

=7-2V3；

⑵^1+J-（&-百）（皿+8）

3V2、

=]+彳-（z2-3）

3V2

=_+__2+3

=耳乌

24

18.（6分）（24-25八年级•四川成都•期末）如图,菱形46CD的对角线AC与8。相交于点末C。的中

点、为E,连接。£并延长至点凡使得£F=OE,连接CF,DF.

（I）求证：四边形OCFO是矩形；

（2）若EF=5,BD=16,求菱形A8C0的面积.

【答案】（1）见解析

⑵96

【分析】（1）由=EF=OE,证明四边形。CFO是平行四边形，根据菱形的性质证明乙COD=90。,

则四边形OCFD是矩形；

（2）由菱形的性质得0D=OB==8,由矩形的性质得CD=OF=10,则CM=0C=VfD2-OD2=

•102-82=6,,所以4C=12,则S菱形4c•BD=gxl2xl6=96.

【详解】（1）证明：YCO的中点为E,

：.DE=CE,

•:EF=OE,

・•・四边形OCFD是平行四边形，

•・•四边形力BCD是菱形，对角线KC与BD相交于点O,

.\ACLBD,

：.LCOD=90°,

・•・四边形OCFD是矩形.

⑵解：*：EF=OE=5,BD=16,

A0F=2EF=10.0D=0B=^D=8,

：.CD=0F=10,

：,0A=OC=yJCD2-OD2=V102-82=6,

：.AC=ZUA=12

•••S菱形.CD=号458°=：x12x16=96,

・•・菱形48CD的面枳为96.

【点睛】此题重点考查菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，求得8=0"=10及04=OC=6

是解题的关键.

19.（8分）（24-25八年级•山东烟台•期末）在某购物电商平台上，客户购买商家的商品后，可对“商家服

务”给予分值评价（分值为1分、2分、3分、4分和5分）.该平台上甲、乙两个商家以相同价格分别销售

同款7恤衫，平台为了了解他们的客户对其“商家服务”的评价情况，从甲、乙两个商家各随机抽取了一部

分“商家服务”的评价分值进行统计分析.根据样本数据制作了不完整的统计图和统计表.

“商家服务”评价分值的条形统计图“商家服务”评价分值的扇形统计图

□甲商家□乙商家

统计量

商家

中位众平均

方差

数数数

甲商

a33.51.05

家

乙商

4bX1.24

家

(1)甲商家的嘀家服务”评价分值的扇形统计图中圆心角。的度数为,

(2)表格中a=,b=,x=：

(3)小亮打算从甲、乙两个商家中选择“商家服务”好的一家购买此款丁恤衫.你认为小亮应该选择哪一家？

说明你的观点.

【答案】(1)120。；

(2)3.5,4,3.6；

(3)小亮应该选择乙商家，理由见解析.

【分析】(1)用甲商家3分的评价分值个数除以其百分比即可求出从甲商家抽取的评价分值个数,进而用360°

乘以甲商家4分的占比即可求解：

(2)用乙商家3分的评价分值个数除以其百分比即可求出从乙商家抽取的评价分值个数，求出甲、乙商家4

分的评价分值个数，再根据中位数、众数和加权平均数的定义计算即可求解：

(3；根据中位数、众数、平均数和方差即可判断求解；

本题考查了条形统计图和扇形统计图，中位数、众数、平均数和方差，看懂统计图是解题的关键.

【详解】(1)解：由题意可得，平台从甲商家抽取了12・40%=30个评价分值，

a=360。x翌=120°,

故答案为：120°,；

(2)解：从乙商家抽取了3-15%=20个评价分值，

甲商家4分的评价分值个数为30-2-1-12-5=10^,

乙商家4分的评价分值个数为20-1-3-3-4=9个，

•・•甲商家共有30个数据,

・•・数据按照由小到大的顺序排列，中位数为第15位和第16位数的平均数，

•八3+4_

•・a=--=o3.5,

2

乙商家4分的个数是9个，最多，

，众数b=4,

Ixl+2x3+3x3+4x9+5x4

乙商家平均数了=

20=3.6,

故答案为：3.5,4,3.6；

(3)解：小亮应该选择乙商家，理由：由统计表可知，乙商家的中位数、众数和平均数都高于甲商家的,

方差较接近，

・•・小亮应该选择乙商家.

20.(8分)(24-25八年级•安徽合肥・期末)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=k%+b的图象与“

轴的交点为4(-3,0),与y轴的交点为8,且与正比例函数y=[》的图象交于点C(m,4).

«5

⑴求m的值及一次函数y=kx+b的表达式；

(2)若P是y轴上一点，且ABPC的面积为6,求点P的坐标；

(3)观察图象，不等式组0<2%<1X+匕的解集是.

【答案】(l)m=3,y=+2

(2)(0,6)或(0,-2)；

(3)0<x<3

【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与图形面积，不等式组等知识，熟练掌握

一次函数的性质是解题的关键.

(1)首先利用待定系数法把C(m,4)代入正比例函数y=[%中，计算出m的值，进而得到点C的坐标，再

用待定系数法把A、C两点坐标代入一次函数丫=/^+6中，计算出八b的值，进而得到一次函数解析式；

(2)先求解B(0,2),设P(0,y),再结合的面积为6,建立方程求解即可；

(3)根据正比例函数的图象在x轴的上方，在函数y=kx+b的图象的下方即可得到答案.

【详解】(1)解：二•点C(m,4)在正比例函数的y=图象上，

，4.

:-3m=4,

m=3,

即点C坐标为(3,4),

•・•一次函数y=kx+b经过A(-3,0)、点C(3,4),

-3k+b=0

3攵+b=4

解得:卜号,

.b=2

，一次函数的表达式为：y=|x+2：

(2)解：当％=0,则y=9+2=2,

，B(0,2),

设P(0,y),且ABPC的面积为6,

:,BP=|y-2|,

VC(3,4),

.\!x3x|y-2|=6,

.*.>■=6或y=—2,

・・・P(0,6)或尸(0,一2)；

(3)解：由图象可得不等式组0<9%</^+匕的解集为：0<iV3.

21.(10分)(24-25八年级•贵州贵阳•期末)某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一

块绿化用地(如图中的阴影部分所示)已知A8=12m,BC=9mCO=8m/O=17m,技术人员通过测量确

(I)为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点力到点。的小路，请问这条公路的最短长

度是多少m?

(2)这块绿化用地的面积是多少m2?

【答案】(l)15m

(2)114m2

【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定

理以及勾股定理逆定理是解题的关键.

(1)连接力C,利用勾股定理求解却可；

(2)利用勾股定理的逆定理证明乙4CD=90°,然后根据S四边形诋。=S0BC+SMCD=\AB•BC+豺C•CD

计算即可求解.

【详解】⑴解:连接47,

v/.ABC=90°,AB=12m,BC=9m,

AC=>JAB2+BC2=V127+97=15(m),

答：这条小路的最短长度是15m；

(2)解：\'CD=8m,AD=17m,AC=15m

•••AC2+CD2=152+82=172=AD2,

Z.ACD=90°,

•*-S四边形/me。=S^ABC+^hACD=，BC+^AC-CD=12x9+1x15x8=544-60=114(m2),

答：这块绿化用地的面积是114m2.

22.(10分)(24.25八年级•陕西渭南•期中)【问题探究】

(1)如图1,在ABCD连接AC,乙BAD=cABC.

①求证：ABCD是矩形；

②若41cB=30°,探究线段BC与线段AB之间的数量关系.

【问题解决】

(2)如图2所示，矩形ABCO是一块待开发的旅游景点规划地,C4C民CF是从入口C通往三个观光点4瓦尸

的路线，其中CE=C凡且4EC尸=44。8=30。，因自然地理界境的限制，观光点4无法直接到达观光点

E,F,为方便旅客顺利、便捷地从观光点71到达观光点与户(观光点E.F分别在AB,AD±),现要在AE.AF

上架一座桥梁，已知力。=4km,桥梁4E的造价为200万元/km,桥梁4户的造价为10()万元友m,求建好

AE和AF两座桥梁所需要的总造价.

ADAFD

图1图2

【答案】(1)①见解析，②(2)400万元

【分析】(1)①根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明即可；②由44cB=30。得到AC=2AB,在Rt△

48c中，运用勾股定理即可求解；

(2)延长C8至点G,使得CG=C4=4,连接GE/G,先证明△CEG三△CE4(SAS),则GE=AF/4=43,

则48=^AC=2,由上知BC=WAB=273,那么BG=CG-CB=4-273,同上可得BG=WBE,GE=

2BE,则BE=g国一2,此时GE=g百一4=4/，那么/IE=48—BE=2——2)=4—g国，即

可求解总造价.

【详解】⑴①证明：•・•四边形4BCO是平行四边形，

：,AD||BC,

：./.BAD+Z.ABC=180°,

*：LBAD=乙ABC,

：.LBAD=90°,

・•・四边形4BCD是矩形；

②解：BC=V3AB,理由如下，

•・•四边形力BCD是矩形，

：,LB=90°,

*：/.ACB=30°,

:.AC=2718,

在RtaABC中，由勾股定理得8C=IAC2-AB2=,J(_2AB)2-AB2=>/3AB；

(2)解：延长C8至点G,使得CG=C4=4,连接GE,AG,

AD

VzECF=Z/1CF=30°,

Azi=42,

*：CE=CFt

・,xCfGwz\CFA(SAS),

：.CE=AF^4=Z3,

•・•四边形NBC。是矩形，

：.ADIIBC,LABC=Z-ABG=90°,

/.z3=/-ACB=30°,

Az4=30°,力8=：AC=2,

由上知BC=ypiAB=2V3,

：,BG=CG-CB=4-2y/3,

在RtZkBGE中，44二30。，

・••同上可得BG=V5BE,GE=2BE

:,BE=+依-2,

：.CE=^>/3-4=AF,

：.AE=AB-BE=2-eV5—2）=4—JV5,

・••总造价为：（4-gV5）x200+6K-4）xl00=400（万元）.

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质,

勾股定理，正确构造全等三角形是解题的关键.

23.（12分）（24-25八年级•云南大理•期末）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴交于点儿

与y轴交于点8,过点8的另一直线交工轴正半轴于C,且△ABC面积为28.

(1)分别求点“、B、C的坐标.

(2)若点M是线段BC上的一个动点，当M刚好运动到BC的中点时。，求直线4M的解析式.

⑶在(2)的条件下，点E为直线4M上一动点，在x轴上是否存在点。，使以点。、E、B、。为顶点的四

边形为平行四边形？若存在，请写出点。的坐标；若不存在，请说明理由.

【答案】⑴4(-4,0),1(0,4),C(10,0)

⑵？二宁+§

(3)存在,(-4,0)或(24,0)或(一32,0)

【分析】(1)%=0，y=0分别代入y=x+4即可求得点B、A的坐标，再根据=28,即可求得AC=14,

从而可求点C坐标；

(2)先根据中点坐标公式求出中点M(5,2),然后用待定系数法求解即可；

(3)①当为平行四边形BDCE的对角线时，②当BC为平行四边形8CDE的左边时，③当BC为平行四

边形BCED的右边时，分别求出点D的坐标即可.

【详解】(1)解：•・•直线y=%+4与4轴交于点力与y轴交于点8

，把％=0代入解析式得：y=4,

・•・8(0,4),

把y=0代入解析式得：x+4=0,

:.X=—4,

4,0)

,:S.ABC=28

^AC-By=28,而%=4,

:.AC=14,

：,OC=AC-OA=10,

・・・C(10,0).

(2)解；・・•当点M刚好运动到BC的中点时,

•0+1一0-4+0c

••如二工二5，yM=—=2,

・・.A1(5,2)

设直线解析式为、=0),

把做一4,0),M(5,2)分别代入解析式得:

k=-

°2=匚心解得：9

b>=-8

9

28

-X+-

・•・直线4M解析式为y99

(3)解：存在.

：.BE\\CDf即BE||%,

:.By=Ey=4,

把y=4代入直线AM解析式y=4-得x=14,

/.F(14,4),

又・,・85=。。=14,且。(10,0),

AD(-4,0).

②如图，当8C为平行四边形BCDE的左边时，

把y=4代入直线AM解析式y=jx+/得％=14,

.,.£(14,4)

又・.・8E=CD=14,且C(10,0),

・・・D(24,0),

③如图，当BC为平行四边形BC£7)的右边时，作EFl.%轴于点F,

•••平行四边形80CE,

:・DE=BC,DEWBC,

J.LEDF=乙BCO,

.:乙EFD=^BOC=9。°,

(Z.EFD=LBOC

・••在和△CB。中，1/.EDF=LBCO,

(DE=BC

：.LDEF=^CBO(AAS)

：.B0=EF=4,即E的纵坐标为一4

把y=-4代入直线AM解析式y=]+g，得％=-22,

/.F(-22,-4),F(-22,0)

又,：DF=CO=10,

Z.D(-32,0)

综上，在x轴上存在点D,使以点D、E、B、。为顶点的四边形为平行四边形.

此时，点D的坐标为(一4,0)或(24,0)或(一32,0).

【点睛】本题考查直线与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标，待定系数法求一次函数解析式，直线与

坐标轴围成的三角形面积，平行囚边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练待定系数法求一次

函数解析式、一次函数图象与性质，平行四边形的性质是解题的关键.

24.(12分)(24-25八年级•辽宁丹东•期末)已知：如图1,正方形A8C0中，AB=12,点P是对角线AC

所在直线上--动点，连接BP,DP,将沿4。折叠，得到AADE,点P的对应点为点E,射线8P交直

线DE于点儿交力D边所在直线于点G.

②求证：BH1DE；

（2）洛△4DP沿DP折卷，得到△FPD,点力的对应点为点£

①如图2,当点P在对角线AC上，且OFIIBP时，求乙4P8的度数：

②如图3,当点P在CA延长线上，且PF18P时，连接£•凡判断△£*7"）的形状，并说明理由；

③当点F,8,P在同•直线上时，请直接写出以点AP,H,E为顶点的四边形面积.

【答案】（1）①证明过程见详解：②证明过程见详解：

（2）①N4P8=105。；②△O£T是等腰直角三角形；③72+36加

【分析】（1）①根据正方形的性质可得△4BP三△4DP（SAS）,根据折叠的性质，可得△力DPWA4DE,由此

即可求证；

②根据正方形的性质可得4B4O=90。，则有N48G+4力GB=9D。，由全等三角形的性质可得

Z.ABG=Z.ADE,由乙4DE+乙DGH=90°,即可求证；

（2）①根据全等三角形的性质，折叠的性质，正方形的性质可得"1P8=乙APD=乙FPD,乙F=乙DAP=45°,

由平行线的性质可得48PF=4尸=45。，再由44PB+4APD+zFPD+/BPF=360。，即可求解；

②根据题意可证△力P"是等边三角形，是等腰三角形，得到〃"="FE=15。，根据折叠的性质，

三角形内角和定理可得上FPD=N4PD=，/PB=NAED=30。，由此可得匕/ED=N尸DE=45。，由此即可

求解；

③如图所示，点8,RF三点共线，连接80与AC交于点M,△ZJ9P沿4。折叠得到△力DE,沿P。折叠得

到AFDP,可得HD=HF=当DF=6VLBH=y/BD2-HD2=-（6/=6痣，PH=PM=

2瓜,由此可得Su。。=S"E0=g4P-DM,S&DPH=±PH.DH,由此即可求解.

【详解】（1）证明：①:四边形HBCD是正方形，AC是对角线.

/.ZF=AD,Z.BAP=Z.DAP,

在小BP和A/1DP