2024北师大版八年级数学上册《认识证明》教案

北师大版（2024）八年级上册数学第七章2认识证明教案

第1课时定义与合题

新课导入设计

【归纳导入】

1•“两点之间线段的长度，叫作这两点之间的距离”是“两点之间的距离”的定义.

2•“无限不循环小数称为无理数”是“无理数”的定义.

3•“由不在同一直线上的若干线段首尾顺次连接所组成的平面图形叫作多边形”是

“多边形”的定义.

4•“有两条边相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定义.

证明时，为了方便交流，必须对某些名称和术语形成共同的认识.为此，就要对名称和

术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出他们的定义.

教学设计

课题第1课时定义与命题授课人

1.理解定义与命题的概念.

2­分清命题的条件和结论，会把命题改

成“如果……那么……”的形式，并能

判断命题的真假.

素养目标

3•在实例中体会定义、命题的含义，了

解数学与实践的联系；通过举反例判定

一个命题是假命题，学会从反面思考解

决问题的方法.

理解命题的相关概念，找出命题的条件

教学重点

和结论.

教学难点正确找出命题的条件和结论.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

第1页共16页

【课堂引入】

上节课我们了解到“为什么

要证明”，证明是为了交流方

便，必须对某些名称和术溶形

让学生从熟悉的数学知识人

活动一：创设情境、导入新课成共同的认识，为此，就要对

手，初步感受定义.

名称和术语的含义加以描述，

做出明确的规定，今天我们就

来学习定义与命题.

【探究新知】

同学们用8分钟时间，自学教

材第183〜184页内容，解决

以下问题：

1­在课本中找出定义和命题

的概念.

活动二：实践探究、交流新知2•找出命题的组成部分并在

书中标出来.

3•在课本中找出真命题和假

命题的概念.

4•知道什么是反例.

5•尝试做课本中的相关题目.

续表

教学步骤师生活动设计意图

师生活动：学生先预习，1.引导学生通过预习增加对

并标记出重点，教师再进行如定义的理解，并策炼学生有条

活动二：实践探究、交流新知

下详细提问与讲解.理的数学表达能力.

1•提问：“中华人民共和国2•加强学生对命题定义的理

第2页共16页

公民”的定义是什么？解，使其明白：表示判断的句

”两点之间的距离”的定义？子都是命题，而不管判断是否

“一元一次方程”的定义？正确.

对名称和术语的含义加以描3•让学生进一步体会命题的

述，作出明确的规定，也就是含义，并概括出命题的绐构特

给出它们的定义.你还能举出征并能判断命题的真假.

曾学过的“定义”吗？

2•下面的语句中，哪些语句

对事情作出了判断，哪些没

有？与同伴进行交流.(出示

课件)

(1)熊猫没有翅膀.

(2)对顶角相等.

(3)平行于同一条直线的两条

直线平行.

(4)作线段AB=CD.

(5)清新的空气.

(6)不许讲话！

总结：判断一件事情的句子，

叫作命题.反之，如果一个句

子没有对某一件事情作出任

何判断，那么它就不是命题.

师生活动：教师引导学生共同

回答，对学生有异议的地方进

行解答.

3•观察下列命题，你能发现

这些命题有什么不同的特点

吗？与同伴交流.(课件展示)

(D如果两个角相等，那么它

第3页共16页

们是对顶角.

(2)如果a>b，b>c»那么a

=c.

(3)两角和其中一角的对边对

应相等的两个三角形全等.

(4)全等三角形的面积相等.

总结：一般地，每个命题都是

由条件和结论两部分组成.条

件是已知的事项，结论是由已

知的事项推断出的事项.命题

通常可以写成“如果……那

么……”的形式.“如果”后

接的部分是条件，“那么”后

接的部分是结论.

4•正确的命题称为真命题，

不正确的命题称为假命题.

说明假命题的方法：

举反例使之具有命题的条件，

而不具有命题的结论.

【典型例题】

活动三：开放训练、体现应用

例1判断下列语句哪些

是命题？哪些不是？通过例题的学习，让学生进一

(1)画一个角等于已知角；(2)步明确命题与定义，命题的条

两直线平行，同位角相等；(3)件和结论以及真假命题的判

同位角相等，两条直线平行断方法.

吗？(4)鸟是动物；(5)若x-5

第4页共16页

=0，求X的值.

解：⑵(4)是命题；⑴⑶(5)

不是命题.

例2指出下列命题的条件和

结论，并改写成“如果……那

么……”的形式.

(1)两直线平行，同位角相等；

解：条件是“两直线平行”，

结论是“同位角相等”.

可以改写成“如果两直线平

行，那么同位角相等”.

(2)垂直于同一直线的两条直

线平行.

解：条件是“两条直线垂直于

同一直线”，结论是“这两条

直线平行”.

可以改写成“如果两条直线

垂直于同一直线,那么这两条

直线平行”.

续表

教学步骤师生活动设计意图

【变式训练】

判断下列命题的真假，举出反

例.

活动三：开放训练、体现应用①大于锐角的角是钝角；

②如果一个实数有算术平方

根，那么它的算术平方根是整

数.

第5页共16页

解：©©假命题.

①的反例：90°的角大于锐

角，但不是钝角.

②的反例：5有算术平方根，

但算术平方根不是整数.

师生活动：学生先思考，教师

作适当引导，最后呈现结果.

【课堂检测】

活动四：课堂检测

1.下列语句中，属于定义的是

①)

A•两点确定一条直线艮平

行线的同位角相等

C•两点之间线段最短。.在

同一平面内，不相交的两条直

线叫作平行线

2•下列命题中，是真命题的

通过设置当堂检测，进一步让

是(。)

学生巩固新知，及时检测学生

A•若a・b>0，贝ija>0，b>0

的学习效果，做到“堂堂清”.

B•若ab<0，则a<0，b<0

C-若ab=O，贝jia=0且b=

0

D•若ab=O，则a=0或b=

0

3•把下列命题改写成“如

果……那么……”的形式.

(1)对顶角相等；

第6页共16页

(2)同位角相等.

解•：(1)如果两个角是对顶珀，

那么这两个角相等.

(2)如果两个角是同位角，那

么这两个角相等.

师生活动：学生进行当堂检

测，完成后，教师进行批阅、

点评、讲解.

1.课堂小结：

(1)你在本节课中有哪些收

获？哪些进步？

小结环节的设置能够让学生

(2)学习本节课后，还存在哪

课堂小结养成自主归纳课堂重点的习

些困惑？

惯，提高学生的学习能力.

2•布置作业：

教材第184〜185页随堂练习

第1，2题.

第1课时定义与命题

1.定义和命题.

板书设计提纲挈领，重点突出.

2•条件和结论.

3,真命题和假命题.

教学借生活与数学实例

引出定义与命题概念，学生参

与积极.不过，学生下定义时

表述不严谨，对复杂命题分析

教学反思困难，且教学节奏前松后反思，更进一步提升.

紧.后续教学将着重完善定义

教学，引导挖掘命题隐含条

件，合理规划时间，强化学生

对知识的掌握与运用能力.

第7页共16页

第2课时定理与证明

一、新课导入设计

【归纳导入】

师：前面我们认识了定义和命题的含义，那么什么是命题？你能举例说明吗？

生1：判断一件事情的句子，叫作命题.例如：我是八年级五班的学生、我是帅哥.（回

答问题的是位男生，全班同学大笑）

师：那么他举的是命题吗？

生齐答：是.

师：谁还能再举一个？

生2：他不是帅哥.（全班同学哄堂大笑）

师：他说的是命题吗？（生齐答是，此时气氛很活跃）很好，我说一个你们来辨别一下好

吗？“如果这个周FI不下雨，那么我们就去郊游.”这是命题吗？分析这句话，这个周日，

我们郊游一定能实现吗？为什么？

生2：是命题.我们郊游不一定实现，因为要不下雨的条件成立，我们才能确定去.

师：很好，同学们已经准确地掌握了命题的含义，那么这节课让我们来继续研究与命题

相关的知识吧！

二、数学文化拓展阅读

《原本》

《原本》，欧几里得著，约成书于公元前300年，原书已失传.现在见到的《原本》是

经过后来的数学家们修改过的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，书中大部分内容是有

关图形的知识（即几何知识）.

《儿何原本》

1582年，意大利人利玛窦到我国传教，带来了15卷本的《原本》.1600年，明代数学家

徐光启（1562—1633）与利玛窦相识后，便经常来往.1607年，他们把该书的前6卷平面几何部

分合译成中文并定名为《几何原本》.后9卷是1857年由我国清代教学家李姜兰（1811—1882）

第8页共16页

和英国人伟烈亚力译完的.

《原本》以公理和原始概念为基础推演出更多的结论.这种做法为人们提供了一种研究

问题的方法（称为公理化方法），标志着人类思维的一场革命，是科学思想史上的一个里栏碑，

它对数学及其他科学乃至人类的思想所产生的巨大推动作用是其他著作无法取代的.1607年

牛顿在撰写《自然哲学的教学原理》时就曾受到过《原本》的启迪.有人说，进化论乃至美

国的《独立宣言》，都深殳欧几里得方法的影响.甚至亍，几百年前有的哲学家在自己的著

作中也曾设法从定义、公理推导出定理进行论证.

正因如此，《原本》成为流传最广、影响最大的一部世界数学名著.

教学设计

课题第2课时定理与证明授课人

L了解公理、定理和证明的概念.

2•会区分定理、公理和命题.

3•理解证明命题的思路、书写的格式，

素养目标

对几何的重要内容之一进行推理论证，

有初步的认识，从而培养思维的条理性

和逻辑性.

正确认识公理、定理、命题和定义的区

教学重点

别；证明的含义和表述格式.

理解证明的步骤和格式，体会证明的严

教学难点

密性.

授课类型新授课课时

教学活动

教学步骤师生活动设计意图

【课堂引入】

上节课我们学习了定义与命回顾上节课知识，为本节课的

活动一：创设情境、导入新课

题，还记得什么叫命题吗？命展开打好基础.

题可以写成什么形式？命题

第9页共16页

都是正确的吗？怎么证明一

个命题的真假呢？今天我们

就来学习定理与证明.

【探究新知】

1•举出一个反例就可以说明

一个命题是假命题，那么如何

证实一个命题是真命题呢？

同学们用8分钟时间，自学教

材第185〜187页内容，解决

1.采取教师讲解与学生习读

以下各个问题：

相结合的方式，让学生了解命

(1)在教材中找出定公理、证

题有真假之分，并且知道怎样

明和定理的概念.

去判断真假命题.通过了解

(2)在教材中找出八条基本事

《原本》中的公理、定理、证

实并尝试识记.

明，体会公理化思想和方法，

师生活动：学生针对自学过程

养成科学、严谨的思维习惯，

活动二：实践探究、交流新知中出现的问题进行讨论与交

感受几何的演绎体系对数学

流，并提出自己的疑问之处，

发展和人类文明的价值.

教师在后面讲解过程中逐一

2•通过问题的解决，让学生

解答.

巩固课堂上所学的知识.通过

2•内容精讲

本节课的学习，让学生基本都

(1)公理：公认的真命题称为

能运用所学的知识解决实际

公理.

问题.

(2)证明：除了公理外，其他

命题的真假都需要通过演绎

推理的方法进行判断.演绎推

理的过程称为证明.

(3)定理：经过证明的真命题

称为定理.

第10页共16页

本套教科书选用九条基本事

实作为证明的出发点和依据，

我们已经认识了其中的八条：

①两点确定一条直线.

②两点之间线段最短.

③同一平面内，过一点有且只

有一条直线与已知直线垂直.

④两条直线被第三条直线所

截，如果同位角相等，那么这

两条直线平行（简述为：同位

角相等，两直线平行）.

⑤过直线外一点有且只有一

条直线与这条直线平行.

⑥两边及其夹角分别相等的

两个三角形全等.

⑦两角及其夹边分别相等的

两个三角形全等.

⑧三边分别相等的两个三角

形全等.

此外，数与式的运算律和运算

法则、等式的有关性质以及反

映大小关系的有关性质都作

为证明的依据.

例如：在等式中，一个审可以

用它的等量来代替.这一性质

也可以作为证明的依据称为

“等量代换”.

师生活动：教师引导学生理解

公理与定理的区别与联系以

第11页共16页

及证明的必要性，着重强调学

生认知已经学过的八条基本

事实作为证明的出发点和依

据.

续表

教学步骤师生活司设计意图

【典型例题】

活动三：开放训练、体现应用

例（教村第187页例）已知：

如图，直线AB与直线CD相交于

点O，ZAOC与NBOD是对顶

角.求证：ZAOC=ZBOD.

：X

证明：•・•直线AB与直线CD相交

于点0，

通过练习，进一步巩固学生所学知

・•・ZAOB和NCOD都是平角（平

识，强调证明过程的严谨性，提高

角的定义）.

学生的逻辑思维能力.

AZAOC和NBOD都是/AOD

的补角（补角的定义）.

••・NAOC=NBOD（同角的补角

相等）.

【变式训练】

第12页共16页

请你完成定理"等角的余角相

等”的证明.

解：已知：Z1=Z2，Z3是N1

的余角，N4是N2的余角.

求证：Z3=Z4.

证明：:/3是N1的余角，Z4

是N2的余角，

・・・N3=90°-ZI»Z4=90°-

Z2.

又=，

/.Z3=Z4.

师生活动：师用多媒体展示证明过

程，学生完善自己的证明过程、总

结证明时存在的问题.学生遇到困

难时，教师要适时指导.例如：证

明文字定理的步骤和使用的公理

等.

【课堂检测】

活动四：课堂检测

1,下列说法正确的是(8)

A•真命题都可以作为定理

第13页共16页

B♦公理不需要证明

C•定理必须要证明

。・证明只能根据定义、公理进行

2•把定理“有两个角互余的三角

形是直角三角形"，写成''如

果……那么……”的形式:如果一

个三角形有两个角互余，那么这个

三角形是直角三角形.

续表

教学步骤师生活动设计意图

3.如图，已知NA=NC，AE，

CF分别与BD交于点E，F.

请你从下面三项中再选出两

个作为条件，另一个作为结

论，写出一个真命题，并加以

证明.

©AB/7DC;②AE〃CF；

③DE=BF.

通过设置当堂检测，进一步让

工

学生巩固新知，及时检测学生

活动四：课堂检测

的学习效果，做到“堂堂

DC