2022-2023学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷

20222023学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

I.（5分）等比数列｛〃〃｝中，“1=16,4244=16,则45=()

A.1B.2C.4D.8

2.（5分）直线行尹1=0被圆/十）？=1所截得的弦K为（)

A.C.D.

3.（5分）在（1+2D$的展开式中，炉的系数为（）

A.8B.10C.80D.160

4.（5分）试验测得四组成对数据（对产）的值分别为（-1,-1),(0,1),(1,2),(2,4),由此可

得），关于X的经验回归方程为根据经验回归方程预测，当工=5时，（）

A.8.4B.8.6C.8.7D.9

5.（5分）甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制（先胜三局者获胜，比赛结束），如果每局比赛

中获胜的概率为〃（OVpVl）,乙获胜的概率为1-P，则甲选手以3：1获胜的概率为（）

A.B.

C.D.p3（1-/?）

6.（5分）如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光

镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4加，深度为0.5/〃，则该抛物线顶点

到焦点的距离为（）

7.（5分）把正方形纸片A3CQ沿对角线AC折成直二面角，OE,F分别为AC,AD,3C的中点，则折

纸后NE。”的大小为（）

A.60"B.90°C.120°D.150°

8.（5分）直线/与两条曲线y=/+l和y=e田均相切，则/的斜率为（）

A.B.1C.2D.e

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目

要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得。分。

（多选）9.（5分）函数/CO的导函数/（x）的图象如图所示，则（）

A.f（x）在区间（.⑵X3）上单调递减

B./（X）在X=A2处取得极大值

C./（x）在区间（小b）上有2个极大值点

D.f（x）在x=xi处取得最大值

（多选）10.（5分）如图，己知正方体A3C。-Ai加。。|的棱长为1,则（）

A.ACA-B\D

B.A1C1〃平面B\CD

C.三棱锥。-用CO的体积为

D.Ci到平面B\CD的距离为

（多选）11.（5分）设A、4是随机试验的两个事件，，一则（）

A.事件人与事件8互斥

B.事件A与事件8相互独立

C.

D.

（多选）12.（5分）在平面直角坐标系屹v中，F\（-I,-I）,Fi（1,1）,动点尸满足|PFi|+|Pg|=4,

则（）

A.P的轨迹方程为

B.P的轨迹关于直线y=x对称

C."2的面积的最大值为2

D.尸的横坐标的取值范围为

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）已知直线/的一个方向向量，平面a的一个法向量，若/〃a,则"汁〃=.

14.（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为），=±僦，则C的离心率为.

6（5分）甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包1项，乙承包2项,丙承包3项,则共有种

承包方式（用数字作答）.

16.（5分）毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为1的正方形的一边作为斜边，向外作等腰直角三角形，

再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了•次生长，再将这

两个小正方形各按照上述方式生长，如此重复下去，则第〃次生长得到的小正方形的周长的和

为：II次生长后所有小正方形（包括第一个正方形）的周长的总和

为

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知等差数列｛小｝的公差"W0,其前〃项和为S〃，若m,6,“5成等比数列，且§6=36.

（1）求数列｛〃〃｝的通项公式；

（2）记，求证：.

18.（12分）随着全球新能源汽车市场蓬勃发展，中国在十余年间实现「“弯道超车”，新能源汽车产量连

续7年位居世界第一.某新能源汽车企业改进并生产了某款纯电动车，该款电动车有白色和红色.为研

究购车顾客的性别是否与其购买的车辆颜色有关，公司研究团队利用随机抽样的方法收集了购买该车型

的男生和女生各60人的数据，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示；

性别车辆颜.色

白色红色

女生4020

男生5010

（I）依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联?

21.(12分)已知函数f(x)=ev-In(x+〃?)-1.

(1)当〃I=1时，讨论/(x)的单调性；

(2)若/(%)20,求机的取值范围.

22.(12分)已知点N在曲线C：上，O为坐标原点，若点M满足，记动点M的轨迹为

(1)求「的方程：

(2)已知点尸在曲线。上，点4,8在曲线1、上，若四边形OAPB为平行四边形，则其面积是否为定

值？若是，求出定值；若不是，说明理由

20222023学年福建省厦门市高二（下）期末数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的。

I.（5分）等比数列｛“〃｝中，41=16,4244=16,则45=（）

A.1B.2C.4D.8

【解答】解:因为｛劭｝是等比数列,

依题意4244=4145=16,

所以45=1.

故选：A.

2.（5分）直线x+y+l=0被圆/+）,2=1所截得的弦长为（）

A.B.1C.D.

【解答】解：圆/+）2=1的圆心。（0,0）,半径等于1,圆心到直线x+y+l=0的距离",

故直线x+y+l=0被圆/+）2=1所截得的弦长为2,

故选：D.

3.（5分）在（l+2x）5的展开式中，/的系数为（）

A.8B.10C.80D.160

【解答】解：展开式的通项公式，+i（2x）"・2快，

当2=3时，74*2\3=80?,因小的系数为80.

故选：C.

4.（5分）试验测得四组成对数据（对9）的值分别为（-1,-1）,（0,1）,（1,2）,（2,4）,由此可

得了关于K的经验回归方程为根据经验回归方程预测，当％=5时，（）

A.8.4B.8.6C.8.7D.9

【解答】解：由条件可知，，，

回归直线过点，代入直线，得，得，

所以回归直线方程为1.6.V+0.7

当x=5时,.

故选：C.

5.（5分）甲、乙两选手进行乒乓球比赛，采取五局三胜制（先胜三局者获胜，比赛结束），如果每局比赛

甲获胜的概率为p（OVpVl），乙获胜的概率为1・P，则甲选手以3：1获胜的概率为（）

A.B.

C.D.//（1-〃）

【解答】解：甲选手以3：1获胜，说明前3场中甲赢了两场，输了一场，且第四场甲扇，

故所求概率为.

故选：4.

6.（5分）如图，太阳灶是一种将太阳光反射至一点用来加热水或食物的设备，上面装有抛物面形的反光

镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，已知太阳灶的口径（直径）为4加，深度为0.5〃人则该抛物线顶点

到焦点的距离为（）

A.0.25〃?B.0.5小C.\mD.2m

【解答】解：以该抛物线顶点为原点建立平面直角坐标系，如图所示:

设此抛物线方程为（p>0）,依题意点（2,0.5）在此抛物线上，

所以，解得〃=4,则该抛物线顶点到焦点的距离力.

故选：D.

7.（5分）把正方形纸片A8C。沿对角线AC折成直二面角，。E,尸分别为4C,AD,的中点，则折

纸后NEOf的大小为（）

A.60°B.90°C.120°D.150°

【解答】解：折起后的图形如下图所示,

连接80,DO,则8O_LAC,D01AC,

又平面A8C_L平面AOC,平面A8CC平面AOC=AC,80u平面ABC,

••・80_L平面AQC,

・・・O。，OC,08三直线两两垂直，分别以这三直线为x,)，，z轴，建立空间直角坐标系,

设正方形的对角线长为2,则可确定以下点坐标：

0(0,0,0),A(0,-1,0),D(1,0,0),

,B(0,0,1),C(0,1,0),,

又0°180°,

A120°,

••・NEO产=120°.

故选：C.

8.(5分)直线/与两条曲线)，="+1和)，=£口均相切，则/的斜率为()

A.B.1C.2D.e

【解答】解：由y=/+l,可得y="；由可得y'=产1

设两个切点分别为和，直线/的斜率，

故"二4+1,由X1W,V2,所以，即直线/的斜率为1.

故选；B.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目

要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分。

(多选)9.(5分)函数/(x)的导函数/(x)的图象如图所示，则()

A.f（X）在区间（X2，X3）上单调递减

B./（x）在处取得极大值

C./（x）在区间（4,b）上有2个极大值点

D./（x）在x=xi处取得最大值

【解答】解：由导函数的图象可知：

xE\a,X2）时/（x）>0,f（x）单调递增；

XE（X2，A3）时/（X）<0,f（X）单调递减:

xe（X3»力时/（X）20,f（X）单调递增.

故A,8正确，C,。错误.

故选：AB.

（多选）10.（5分）如图，已知正方体ABC。-4Mle1。1的棱长为1,则（）

B.Ai。〃平面81co

C.三棱锥。・BC。的体积为

D.。到平面81co的距离为

【解答】解：建立如图所示坐标系,则A(0,0,0),C(L1,0),B\(1,0,1),D(0,1,0),

・•・AC_L8i。，A选项正确;

设平面BiCO法向量为，

令x=0,则y=1,z=l,可得平面BiCO法向量为,

・•・，故4。不平行平面81CD,8选项错误;

三棱锥Ci-BiCO的体积为：

,。选项正确；

V,平面BiCD法向量,

则点。到平面8CO的距离为，。选项正确.

故选：ACD.

(多选)11.(5分)设A、8是随机试验的两个事件，一，则()

A.事件A与事件8互斥

B.事件A与事件8相互独立

C.

D.

【解答】解：因为P(AUB)=P(4)+P(8)-P(48),

所以，故4错误；

因为，所以事件4与事件8相互独立，故8正确；

因为，故C正确；

因为，故。正确.

故选：BCD.

(多选)12.(5分)在平面直角坐标系屹y中,Fi(-1,-1),Ft(1,1),动点P满足|PPI|+|PF2|=4,

则()

A.P的轨迹方程为

B.。的轨迹关于直线y=x对称

C.尺的面积的最大值为2

D.。的横坐标的取值范围为

【解答】解：对于A,设PG,y）,则，得到3/+3）2・2O-8=0,故A错误.

对于从由椭圆定义知夕的轨迹是以Q,五2为焦点的椭圆，故八,仍所在直线是椭圆的对称轴，故4

正确.

对于C,因为长半轴。=2,半焦距，所以短半轴，

当点尸在短轴顶点上，ZFIPF2=90°,此时△RPF2的面积最大，最大值为2,故C正确.

对于。，联立方程，得3y2-筋）*3〃?2-8=0,

由△=-8序+2420,得，故D正确.

故选：BCD.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.（5分）已知直线/的一个方向向量，平面a的一个法向量，若/〃a,则〃?+〃=-3.

【解答】解：因为直线/的一个方向向量，

平面a的一个法向量且l//a,

所以，所以,即m+n+3=0,

所以m+n=-3.

故答案为：-3.

14.（5分）已知双曲线C：的渐近线方程为〉=±2一则C的离心率为—.

【解答】解：因为双曲线C的渐近线方程为〉=±2.匕

所以，

所以离心率，

故答案为；

15.（5分）甲、乙、丙3个公司承包6项不同的工程，甲承包I项，乙承包2项，丙承包3项，则共有60

种承包方式（用数字作答）.

【解答】解：由题意得，不同的承包方案分步完成，先让甲承包1项，有种，再让乙承包2项，有，剩

下的3项丙承包，

所以由分步乘法原理可得共有6X10=60种方案，

故答案为：60.

16.（5分）毕达哥拉斯树的生长方式如下：以边长为1的正方形的一边作为斜边，向外作等腰直角三角形，

再以等腰直角三角形的两直角边为边向外作正方形，得到2个新的小正方形，实现了一次生长，再将这

两个小正方形各按照上述方式生长，如此重兔下去，则第〃次生长得到的小正方形的周长的和为—；

11次生长后所有小正方形（包括第一个正方形）的周长的总和为—.

【解答】解：根据题意，每次生长的小正方形的个数，构成以2为首项，2为公比的等比数列，

每次生长的小正方形的边长构成以为首项，为公比的等比数列，

每次生长的小正方形周长和依次构成等比数列，首项，公比，

故第〃次生长得到的小正方形的周长的和为，

11次生长后所有小正方形（包括第一个正方形）共12组，

则其周长的总和为.

故答案为：；.

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（10分）已知等差数列但〃｝的公差dWO,其前〃项和为若.，及，“5成等比数列，且S6=36.

（1）求数列｛加｝的通项公式;

（2）记，求证：.

【解答】解：（1）因为小，42,。5成等比数列，56=36,

所以，由dWO,解得，

所以q〃=m+（w-1）d=l+（H-1）X2=2n-1；

（2）证明：由，i=l,2,…，”，

得，

由〃WN*,有，所以，得.

18.（12分）随着全球新能源汽车市场蓬勃发展，中国在卜余年间实现了“弯道超车”，新能源汽车产量连

续7年位居世界第一.某新能源汽车企业改进并生产了某款纯电动车，该款电动车有白色和红色.为研

究购车顾客的性别是否与其购买的车辆颜色有关，公司研究团队利用随机抽样的方法收集了购买该车型

的男生和女生各60人的数据，得到成对样本数据的分类统计结果，如下表所示：

性别车辆颜色

白色红色

女生4020

男生5010

(1)依据小概率值a=0.05的独立性检验，能否认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联？

(2)现从上述购买白色车辆的90名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取9人，从购买红色车辆

的30名顾客中按性别比例分配的分层随机抽样抽取3人，并从这12人中依次抽取2人作为幸运嘉宾,

求第二次抽到的嘉宾是男生且购买白色车辆的概率.

附：，其中〃=a+b+c+d

临界值表：

a0.10.050.010.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

【解答】解：(1)零假设为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色无关联.

根据列表中的数据，经计算得到，

根据小概率值a=0.05的独立性检验，我们推断Ho不成立，

即认为购车顾客的性别与其购买的车辆颜色有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05.

(2)由题得抽取的12人中，是男生且购买白色车辆的有5人.

设从="第一次抽到的是男生且购买白色车辆"，B=“第二次抽到的是男生且购买白色车辆”.

，，，，

由全概率公式，

得.

所以第二次抽到的嘉宾是男生且购买臼色车辆概率为.

19.(12分)如图所示，在三楂柱人4C-481cl中，△人BC是正三角形，。为楂4c的中点，8O_LA4i,

平面B&D交A1C1于点E.

(1)证明：四边形BBiED是矩形；

(2)若A4=AC,ZAiAC=60°,求平面AB81A1与平面881EQ的夹角的余弦值.

G

:

B

【解答】解：(l)证明：取4。的中点E,则点E为平面6用。与棱ACi的交点，连接和ED,

因为点。，£分别是4c和AC1的中点，

所以石。〃A4,ED=AA\,

因为8Bi〃/VU,BB\=AA\,

所以BB1〃ED,BB\=ED,

所以四边形BB\ED是平行四逅形，

所以点七为平面881。与棱AiCi的交点，

因为8Q_LA4i,ED//AA\,

所以BDLDE

所以四边形/汨归。是矩形；

(2)连接4。，4C,

在正△ABC中，。为AC的中点，

所以BDA.AC,

因为ACQAA\=A,AC,AAiu平面AAiCiC,

所以8Z)_L平面AAICIC,

因为AC=4Ai,ZA\AC=60°,

所以△4AC为正三角形，

因为。为棱AC的中点，

所以AiQ_LAC,

以。为坐标原点，分别以QB.DC,。4所在的直线为工，.z轴建立空间直角坐标系，

设三棱柱的校长为2,

则，

所以，，

设平面ABB\A\的法向量为，

则，即，则可取，

所以平面A8B4的一个法向量为，

设平面881EQ的法向量为，

则，即，则可取，

所以平面3出£。的•个法向量为，

设平面ABB\A\与平面BB1ED的夹角的大小为仇

则，

所以平面ABB\A\与平面BB\ED的夹角的余弦值为.

20.（12分）某商场为促进消费，规定消费满一定金额可以参与抽奖活动.抽奖箱中有4个蓝球和4个红

球，这些球除颜色外完全相同.有以下两种抽奖方案可供选择：

初始奖池摸球方式奖励规则

方案A30元不放回摸3次，每次每摸出一个红球，奖

摸出1个球池金额增加50元，在

抽奖结束后获得奖池

所有金额

方案B有放回摸3次，每次每摸出一个红球，奖

摸出1个球池金额翻倍，在抽奖

结束后获得奖池所有

金额

（1）若顾客选择方案4,求其所获得奖池金额X的分布列及数学期望.

（2）以获得奖池金额的期望值为决策依据，顾客应该选择方案4还是方案8?

【解答】解:（1）由题意可知X可能取值为30,80,130,180,

则，，

所以X的分布列为：

X3080130180

P

所以.

（2）设顾客选方案3,所获得的金额为匕则y的可能取值为30,60,120,240,

则，，

，，

所以，

所以石（X）>E