2024人教版八年级数学上册压轴题训练《乘法公式问题综合》（含解析）

专题10乘法公式的五类综合题型

目录

典例详解

类型一、平方差公式中连续相乘应用

类型二、乘法公式中简便运算变换

类型三、乘法公式中项数的变换

类型四、乘法公式中整体代换应用

类型五、乘法公式中几何图形的应用

压轴专练

国类型-、平方差公式中连续相乘应用

1.连续相乘化简：多个平方差形式连续相乘时，可逐步套用公式分解。如-嬴工份（/…,

前两项得〃-从，再与下一项生平方差，以此类推，简化运算。

2.注意项的关联：连续相乘需关注前后项的联系，确保符合G-），）（％+），）形式。例如（1-"22）（1-1/3

2）...,每项拆分为两数和差，连续约分化简。

例I.计算：（2+1）（22+1）（24+1）|28+1）=（结果用暴的形式表示）.

【答案】216-1/-1+2,6

【分析】本题主要考查了平方差公式，把原式前面乘以（2-1）,然后利用平方差公式求解即可.

【详解】解：（2+1）（22+1）（24+1|（28+1）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（214+1）

=（24-1）（24+1）（28+1）

=（28-1）（28+1）

=2"-1，

故答案为：216-1.

【变式17】计算:I

20202

2021

【答案】

4040

【分析】本题主要考查了利用平方差公式简化计算，利用平方差公式对每一个括号分解因式，然后约分即

可得出结果.

【详解】解："畀-颛-卜。-康）

=+3（U）（i+^）（1-！）（i+；）x（i--^-）（1+与）

22334420202020

13243202020192021

=­x-X-X-X-x______X_______,<_______

2233420192020,2020

12021

—X-----------

22020

2021

~4040

2021

故答案为:

4040

［变式1-2］计算：（5+1乂S'llH+DW+l心6+1）+；=

532

【答案】—

4

【分析】本题考查平方差公式，将算式转化为；（5-1）（5+1乂52+1乂54+川58+1）（5|6+1）+；,利用平方差公

式进行简算即可.

XI

)+

【详解】解：（5+1）（52+1）（54+1）（58+1）（5,6+/4-

248|6

=1（5-1）（5+1）（5+1）（54-1）（5+1）（5+1）+-

=；（5j）（5申）（5、1）（51心6+1）+：

€（5“叫（54+1心+1）（5­）+；

*一1a+附+1）+；

4（5J.+1）+；

=衿一叱

4

故答案为:

4

【变式1-3】阅读下列材料.某同学在计算3（4+1乂42+1）时，发现把3写成4-1后，可以连续运用平方差公

式计算：3（4+1）（42+1）=（4-1）（4+1）（42+1）=（42-1）（42+1）=44-1=256-1=255.

请借鉴该同学的经验，计算下列各式的值.

248,024

（1）（2+1）（2+1）（24-1）（2+1）...（2+1）（结果用幕的形式表示）；

（2）（I+UI+MI+MI+^H-

【答案】⑴2*1

（2）2

【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

（I）仿照材料例题，构造平方差公式求解即可；

（2）仿照材料例题，构造平方差公式求解即可.

【详解】（1）解：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）-（2,024+1）

=（2-1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）--（2,024+1）

=（22-1）（22+1）（24+1）（28+1）-（21024+1）

-（24-1）（24+1）（28+1）•••（21024+1'|

=（28-1）（28+1）..（2,024+1）

=（2,024-1）（21024+1）

=2^-1：

=2("£|(W)(I+£|+宝

【变式2-1】简便运算：

(1)20022；

(2)2024X2026-20252.

【答案】⑴4008004

⑵T

【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用，熟练掌握公式是关键.

(1)将2002变形为(2000+2),根据完全平方公式即可解答

(2)把2024x2026变形为(2025-1)(2025+1),根据平方差公式利用平方差公式，即可求解.

【详解】(1)解：原式二(2000+2『

=20002+2X2000X2+22

=4000000+8000+4

=4008004：

(2)解:原式=(2025-1)(2025+1)-2025?

=20252-12-20252

=—1•

【变式2-2】运用乘法公式进行管便运算：

(1)2012：

(2)49x51-25(H).

【答案】(1)4043

⑵-1

【分析1本题考查了完全平方公式，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键.

(1)先整理原式=(200+1)、再运用完全平方公式进行简便运算，即可作答.

(2)先整理原式=(507)x(50+1)-2500,再运用平方差公式进行简便运算，即可作答.

【详解】(1)解：20-

二(200+1)2

=40000+400+1

=40401：

(2)解：49x51-2500

=(50-1)x(50+1)-2500

=2500-1-2500

=-l.

【变式2-3］使用简便计算：

(1)9002-894x906.

(2)10012-2002+1.

【答案】⑴36.

(2)1000000.

【分析】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式的应用，熟练掌握平方差公式(。-3(。+》)=/-6和

完全平方公式3土加2=/±2"+/的形式及适用条件是解题的关键

(1)可将894和906转化为与900有关的形式，再利用平方差公式计算：

(2)将2002转化为2x1001的形土再利用完全平方公式计算.

【详解】⑴解:9002-894x906

=9002-(900-6)(900+6),

=9002-(9002-62)

-9OO2-9OO2+36

=36

(2)解：100)_2002+1

=100』-2x1001+1

=(1001-1)2

=100()2

=11300000

尊类型三、乘法公式中项数的变换

1.增减项配公式：通过添减常数项凑完全平方，如*+64可加9减9,变为(x+3)2-

9,适配公式简化计算。

2.分组合并项；多项式分组后用公式，如解-枕+。-〃，前两项用平方差得(々b)(a+

A),再与后两项合并提公因式。I

例3.计算：(5a+%一2c)(5。-勖+6c).

【答案】25a2+20ac-12c2-9b2+24bc

【知识点】运用平方差公式进行运算、计算多项式乘多项式

【分析】本题考查了多项式乘多项式以及平方差公式的运算，先整理原式为(5a+2c)2-(36-4c)2,再运用

平方差公式展开进行计算，再合并同类项，即可作答.

[详解】(5〃+釉一勿)(5。_勖+6。)

=(5々+劭+2c—4c)(5«—3Z?+2c+4c)

=[(5a+2c)+(30-4c)][(5a+2c)-(3Z?-4c)]

=(5«+2C)2-(3Z?-4C)2

=25/+20〃c+4c2-9从+24机=16/

=25a2+20-12c2-9b2+24bc.

【变式37】计算：(为一。+5乂〃+〃一5).

【答案】4tr-Z？2+10/2-25

【知识点】运用平方差公式进行运算

【分析】构造平方差公式计算，本题考杳了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键.

【详解】伽-6+5)伽+〃-5)=(2。)2-(〃-5)2

=々/-6+10〃-25.

【变式3-2】计算：(a+2b-3c)(u-2b-3c).

【答案】a2+9c2-6ac-4b2

【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算

【分析】本题考查了平方差公式和完全平方公式.此题难度适中，注意首先把原式变形为：

[{a-3c^2b\{{a-3c)-2h\是解答此题的关键.

所求的式子可化成K。-3c)+冽勿，然后利用平方差公式和完全平方公式即可求解.

【详解】解：(〃+%-3c•)(〃一力-3c)

=[(«-3c)+2Z?][(A-3c)-2b]

=（a-3c）2-（2b）2

=a'+9c2-6ac-4b~.

【变式3-3】计算：（2a+3人一1）（1+2々-3〃）+（1+2。-36）\

【答案]8a2—12ab+4a-

【知识点】运用完全平方公式进行运算、运用平方差公式进行运算

【分析】本题考查了整式的乘法一乘法公式.利用平方差公式和完全平方公式计算即可求解.

【详解】解：原式=[>+（3〃-3[2”（3〃-川+[24-（3〃-1）了

=4tz2-（3/?-l）2+46/2-4t/（3/?-l）+（3Z?-l）2

=8«2-4«（3Z?-l）

=&z2-\2ab+4a.

覆类型四、乘法公式中整体代换应用

1.视多项式为整体：如计算Q+A+C）2,将（〃+》）看作整体，用完全平方公式得（"A）?；2（4+0）C+/,再

展开化简。

2.代换简化求值：已知工上），二5,孙:3,求f+济用-羽，整体代入，避免求单值上

例4.己知：a-b=3,ab-\,试求：

⑴（72+3"+〃的值；

⑵（。+〃）2的值.

【答案】⑴14

⑵13

【知以点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式达行运算

【分析】本题主要考查完全平方公式，熟记公式的几个变形公式对是解题的关键.

根据完全平分公式的变形即可求解

【详解】（1）解：,ab=\

a2^-3ab+b2

=(a-b)~+Sab

=9+5

=14；

（2）（4+5）2

二（。一/?）~+4ab

=9+4

=13.

【变式4-1】同学们在学习八年级上册第十四章《整式的乘法与因式分解》时，学习了重要的公式一一完全

平方公式，解答下列各题：

【基础公式】请写出完全平方公式（〃+〃>=；

【公式变形】公式可以变形为；

【应用】

（1）已知：〃+。=8,而=15,求片+〃的值；

（2）已知：。+'=3,求、+与的值.

acr

【答案】［基础公式］储+2〃〃+〃

［公式变形］（。+4-2"

［应用］（1）34

（2）7

【知识点】通过对完全平方公式变形求值

【分析】本题主要考查完全平方公式的运用，掌握完全平方公式及其变形计算是解题的关键.

［基础公式］由完全平方和公式即可求解；

［公式变形］根据完全平方公式的变形即可求解；

［应用］（1）根据完全平方公式的变形得到/+6=（。+〃）2-2",代入计算即可；

（2）运用完全平方公式变形得到］•丫一2,代入计算即可.

a~Ia）

【详解】解：［基础公式］（〃+〃『=/+2"+〃,

故答案为：a2+2ab+b2；

［公式变形］a1+/=(〃+〃『-lab,

故答案为：(〃+力)2-2时：

［应用］(1)06?+b2=(a+bf-2al),a+b=S,ab=\5,

国原式=8?-2x15=64-30=34；

(2)0«2+4r=fa+—1-2»«+—=3»

a~\aJci

国原式=3?-2=7.

【变式4-2】阅读材料：把形如o?+法+。的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法

•配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即。2±2。》+/=(4±。尸.

例如：(工-1)2+3,@-2尸+2］,(£-2)2+。2是/一2工+4的三种不同形式的配方.

24

请根据阅读材料解决下列问题：

⑴将d—6X+4按三种不同的形式配方；

⑵将/+9+从配方(至少两种形式)；

⑶已知"+尸十/-出?-劝-2r+4=0,求4+/)-C的值.

【答案】⑴(X-3)2-5；(X-2)2-2X；(|“一2)—#；

(2)(tf+M2-ab；a+-b+-b~；

I2J4

(3)2

【知识点】通过对完全平方公式变形求值、运用完全平方公式在行运算

【分析】本题考查了完全平方公式的逆写，熟练掌握完全平方式的结构是解题关键.

(1)仿照例题，利用完全平方公式即可求解；

(2)仿照例题，利用完全平方公式即可求解；

+1(〃-2)一+(cT)-=0，进而求；l；〃=2,a=\,c'=l,再

(3)利用完全平方公式，将等式化为

I2)

代人求值即可.

【详解】(1)解：X2-6X+4=X2-6X+9-5=(X-3)-5；

X2-6X+4=X2-4X+4-2X=(X-2)2-2X；

x2-6x+4=-x2-6X+4--X1

44

(2)解：a~+ab-\-h~=a~+2ab-\-h~-ab=(a+b)'-ab；

a24-ab+b2=a~+ab+—b-+—b2=a+-b

442)

a2-^-ab+b2=—a2+ab+b2+—a2=—fl+Z?|+—a2

44UJ4

(3)解：,a2+b2+c2-ab-3b-2c+4=0

:.^i2-ab+^b2+(\//-38+3)-卜2-2。+1)=0,

W+孤—2)2+(C—1)2=0.

Z?=0,〃-2=(),c-l=O,

2

.\h=2,a=l,c=1,

:.a+b—c=l+2—\=2

【变式4-3】观察以下等式回

(.1+D[2-工+])={+|,(%-2)卜2+2丹4)=^-8,。+3冰2-3工+9)=丁+27,

(X-5)(X2+5X+25)=X3-125……

按以上等式的规律，发现13

@(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b3；(2)(a-b)(a2+ab+b2)=a3-//

⑴利用多项式乘以多项式的法则，证明团S++〃2)=G+川成立；

(2)已知h+6—4|+(,活一2『=0,求/+/『值：

(3)已知x>)，,x+y=3,⑼，=。，求x5-J#的值.

4

【答案】(1)见解析

⑵40

(3)15.5

【知识点】多项式乘法中的规律性问题、通过对完全平方公式变形求值

【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值：

（1）利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开即可得证；

（2）根据非负性求出。+加帅的值,进而求出非+加的值,进而求出标+从的值即可;

（3）先求出/+>,2的值，整体思想求出/-旷的值即可.

【详解】(1)证明：("份⑷一而+〃)

=a,-a2b+ab2+crh-air+b-

=，+b~；

(2)团卜+人一4|+(〃〃-2)2=0,

回a+Z?—4=0,-2=0,

团G।人-4,ab-2,

+b2=(a+b)2-2ab=\6-4=[2,

2

0a+^=(«+/?)(«-^+/r)=4x(12-2)=40;

(3)Slx>y,x+y=3,^=-

-4f

]3)

国X'+y2=(x+y)~-2xy=,(x-y)=(x+y)2-4x)>=4,

团x>)',

0x-y=2,

f135

=(x—y)(x2+冷，+)1)=2x一+—=15.5

【24

覆类型五、乘法公式中几何图形的应用

1.面积验证公式：用图形面积直观体现公式，如边长为。+〃的正方形面积，可分为标、〃和两个时，验

证（a+b）2=a2+2ab+b2。

2.图形分割计算：复杂图形分割后用公式，如大正方形挖去小正方形，面积差〃对应长方形面积

（a~b）（a+W,印证平方差公式。

例5.如图1是一张边长为。的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为〃的小正方形，然后将图1剩余部

分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）.

⑴将图1阴影部分的面积记为凡，图2的面枳记为工，若用含久b的代数式表示S1和52,则S,=_,S2=_；

⑵请你判断5与邑之间的大小关系：_S2(填“>〃、"v"或“=〃)；

(3)利用(2)中的结论，求20242-20222的值.

【答案】⑴a?一从,(a+b)(a-b)

⑵;

(3)8092

【知识点】平方差公式与几何图形、运用平方差公式进行运算、列代数式

【分析】本题主要考查平方差公式与几何面积、列代数式，熟练掌握平方差公式是解题的关键.

(1)根据正方形和长方形的面积可直接进行求解；

(2)根据图形可得结论；

(3)根据(2)中的结论可得合-从=(〃+〃)(〃-〃)，进而利用结论进行求解即可.

22

【详解】(1)解：根据题意，S,=a-b,S2=(a+b)(a-b),

故答案为：/一从，(。+。)(。一匕)；

(2)解：根据图形，图2的大长方形是边长为〃的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为。的小正方形,

然后将阴影部分剪拼成的，

0S,=S2,

故答案为：—;

(3)解：由(2)na2-b2=(a+b)(a-b),

02O24Z-2O222

=(2024+2022)x(2024-2022)

=4046x2

=8092.

【变式57】定义：对于任意四个有理数。、b、c、d,定义一种新运算:=a2+d2+be.

-1-2

(1)

34

m-n-tn-n

⑵加2，广」若加2〃是完全平方式,则&=_;

m+4n-4

⑶若有理数机、〃满足〃?+3〃=5,且=13.

4/n2+2n'4〃?-n

①求〃的值；

②如图，四边形A3CO是长方形，点E、尺G、”分别在边A3、BC、CD、上，连接EG、用交于点尸，

且EG、FH将长方形ABC。分割成四个小长方形，若A8=9〃，BF=3〃,CF=3m,DG=m,在①的条件

下，求图中阴影部分的面积.

-kmn+4n2；±4

⑶①2;②当

【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、求完全平方式中的字母系数、多项式乘多项式一一化简求值

【分析】本题考查「新定义，完全平方公式的变形求解.，熟练掌握新定义和完全平方公式是解答本题的关

键.

（I）根据弓计算即可；

（2）根据^=/+/+加计算，再根据完全平方式的特征求解即可；

cd

（山

（3）①根据="+/+正得出（用+4"）｝+（4加一〃）一4（4〃「+2/）=13,再结合〃?+3〃=5即可求出=2；

cd

②根据图象可得S阴影=S矩形ABC/〉-S矩形AEPH-SVEBC-SVHDC,化简后代入，〃+3〃=5,HUI=2即可求解；

-1-222

【详解】（1）解:=(-1)+4+3X(-2)=1+16-6=11；

34

m-n

(2)解:,_=m~-kmn+4〃~；

km2n

m-n

若是完全平方式，则&=±4；

km2n

m+4〃-4

(3)解：①团=13,

4m2+2n24m-n

回(川+4〃)~+(4〃?一〃一4(4〃『+2叫=13,

(W+9〃2=i3,

0(m+-6mn=13,

0m+3〃=5,

团25-6/77/7=13»

0mn=2，

-S^EBC-S'HDC

②[11题意可知：S阳影=5H,形A8s一S矩形AEP”

=9n(3〃+3/77)-3mn-—•3m•9〃一(9〃-〃?)(3〃+3〃?)

22

27।

=27/J+2hnn-3mn------mn------(27/?2+24inn-3/zz2)

22

27i,

=27rr+27，〃〃—3mn------run------(27,J+24，〃〃—3〃J)

22

2733

=—，厂2—mn+—n2r

222

=T[(3〃+〃2)2-7〃"?,

33

将加+3〃=5,〃〃7=2代入可得，原式=彳.

【变式5-2]如图1,边长为。的大正方形中有一个边长为〃的小正方形，把图1中的阴影部分拼成如图2

:用字母b表示)

⑵运用以上等式计算:

（3）如图3,100个圆由小到大套在一起，从外向里相间画阴影，最外面的圆的半径为100cm,向里依次为

99cm,98cm,…，|cm,那么在这个图形中，所有阴影的面积和是多少？（结果保留乃）

【答案】（1）/一〃=3+8）3—㈤

⑵慧

(3)5O5O^cnr

【知识点】运用平方差公式进行运算、平方差公式与几何图形

【分析】本题主要考查了平方差公式的应用，考核学生的计算能力和应用意识，找到规律是解题的关键:

（1）根据图I和图2图形的面积相等列出等式即可；

“、"丁八…此34520242025I2320222023.......

（2）利用平力型公式整理成一x-x-xx----x-----x-x-x-xx-----x-----即可求

2342023202423420232024

（3）根据圆的面积公式列出式子，根据（1）的规律计算即可.

【详解】（1）解:解:①根据图1和图2阴影部分面积相等可得:a2-b2=（a+b）（a-b）,

故答案为：-=(a+b)(a-b)；

3452024202512320222023

=­X—X—XX-----------X------------X—X—X—XX------------X------------

2342023202423420232024

20251

~^-X2024

2025

~4048：

(3)解：100,乃一99?兀+…+4?乃一3?;r+2'%一

=M1002-992+...+4:-32+22-12)

=^(100+99+...+4+3+2+1)

100x(1+100)

=4------------------

=5050>r(cm2),

答：阴影部分的面积为5050乃cn?.

【变式5-3】【知识生成】

通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式.如图1，在边长为。的

正方形中剪掉一个边长为〃的小正方形(〃＞力)，把余下的部分剪开并拼成一个长方形(如图2),图1中阴

影部分的面积可表示为：a2-b2,图2中阴影部分的面积可表示为：(a+b)(a-b),因为两个图中的阴影部

分的面积是相同的，所以可得到等式：a2-b2=(a+b)(a-b).

阁S

【结论探究】

图3是一个长为2%宽为功的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四个小长方形，然后按图4的形状拼成

一个大正方形.

(1)如图4,用两种不同方法表示图中阴影部分面积，可得到一个关于(〃+。)2,(。_力＞，。〃的等式是

(2)若a+b=7,ab—5,求(a-〃『的值.

【类比迁移】

(3)如图5,点C是线段BG上的一点，以8CCG为边向上下两侧作正方形A8CO,正方形C£FG,两正

方形的面积分别记为5和S1,若BG=9,两正方形的面积和§+邑=47,求图中阴影部分的面积.

【答案】(1)(〃-4=5+方)2-4而；(2)29；(3)17

【知识点】完全平方式在几何图形中的应用、平方差公式与几何图形、列代数式

【分析】(1)根据题意，阴影部分的面积=大正方形的面积-4个小长方形的面积，列出代数式即可；阴影

部分的面积=正方形的面积一长方形的面积一小长方形的面积，弋入字母求出代数式即可；

(2)根据(1)代入数据计算即可；

(3)根据题意，延长AQ、尸G交于点”，设正方形CEPG的边长为羽正方形43co的边长为(9-力，两

个正方形的面积和是47,得出方程--9x+17=0,根据

S阴彰=S.EFH-SACH-S正c列出代数式，求出阴影部分面积即可.

本题考查了平方差公式、完全平方公式，代数式，解决本题的关键是熟练运用正方形的面积公式、三角形

的面积公式、梯形的面积公式.

【详解】解：(1)阴影部分的面积：

(a+b)~-4ab

=cr+2ub+b~-4ab

=cr-lab+b2

阴影部分的面积：

a2-ab-(a-b)xb

—a2—ab—ab+b2

=/-2ab+b2

子-4

故答案为：(〃一〃>=(〃+。)2-4面

(2)若a+b=7,ab=5,

=(«+〃『-4ai)

=7:-4x5

=29

(3)如图：延长A。、FG交于点、H

设正方形C£FG的边长为羽正方形48CD的边长为(9r),

得/+(9-4『=47,

X2+81-18X+X2=47,

2x:-18x+34=0,

即/一9x+17=0,

9x-/=I7，

5力影.=S⑼EFH-SAGH-S正CEFG

gp(x+9)x94-2-9x(9-x)4-2-x2

9818192

=-X+-------------------+—x-X

2222

=17

答：图中阴影部分的面积是17.

压轴专练

一、单选题

1.计算20242-2023x2025的结果是()

A.1B.-1C.2025D.2024

【答案】人

【分析】本题主要考查平方差公式的运用，将2023x2025变形为(2024-1)(2024+1),运用平方差公式计算

即可.

【详解】解：20242-2023x2025

=20242-(2024-1)x(2024+1)

=20242-(20242-12)

=20242-20242+1

=1>

故选：A.

2.如果/一3〃一7=0,那么代数式3-1)2+。(。-4)-2的值为()

A.-15B.-8C.6D.13

【答案】D

【分析】本题考查了整式的化简求值，完全平方公式，单项式乘以多项式，利用整体代入的思想解决问题

是关键.由已知可知3a=7,再将代数式变形为2s即可计算求值.

【详解】解：•,/-3。-7=0，

a2-3a=7,

/.(a-1)2+a(a-4)-2

=a2—2a+\+a2—4a—2

-2LI2—6a—1

=2s-3a)-1

=2x7-1

=13,

故选：D.

3.若〃为任意整数，则(〃-8『-(1+2)2的值总能()

A.被25整除B.被20整除。.被16整除。.被9整除

【答案】B

【分析】本题主要考查了完全平方公式("±〃)2=/±2〃〃+〃，熟记完全平方公式是解题关键.利用完全平

方公式计算化简出结果，由此即可得.

【详解】解：原式=/-16。+64-(/+4〃+4)

=/-16。+64-a?-467-4

=-20«+6()

=-20(a-3),

由此可知，若〃为任意整数，则(“-8)、("2)2的值总能被20整除,

故选：B.

4.如图，正方形AAC。和长方形OEFG的面积相等，且四边形极H也为正方形.欧几里得在《几何原木》

中利用该图得到了：AH2=ABXBH.设BH=b,若必=45,则图中阴影部分的周长为()

D---------

'HB

EI---IF

A.25B.26C.28D.30

【答案】。

【分析】本题考查完全平方公式在几何图形中的应用.根据题意得AH?=他=45,AH=a-b,故可得

(a-力了=45,经过变形得(〃十力)；=225,从而求得。十。=15,进一步可求得阴影部分的局长.

【详解】解：•・•四边形4EFH是正方形，

••$正方物由=AH?=ABxBH=ab=45：

AH=AB-BH=a-b,

(a-b)2=45,

即a2-Zab+b2=45,

(a+/?)'-4"=45,

.ab=45,

二.(a+娟=225,

：.a+b=\5^a+b=-\5(舍去)

•••四边形ABC。是正方形,

AB=BC=a,

・•・阴影部分的周长是2(8C+8")=2(〃+〃)=3O,

故选：D.

133

5.观察规律:1一方==-X—=—

2VI4W224

13242

—X—X—X—

22333

若「2025

碗(〃为正整数),则〃的值为()

A.2012B.2013C.2024D.2025

【答案】c

【分析】本题考杳了利用平方差公式的规律类运算，理解规律和掌握平方差公式是解题关键.

根据题目中式子的特点，利用平方差公式分解因式，然后约分即可求得答案.

【详解】解：t卜卜蠡

1]_2025

^J-4048

132435n-\n+12025

：.—X—X—X—X—X—X-----X-----=-------

223344nn4048

.-+12025

,2X-^T-4048

解得：«=2024

故选：C.

二、填空题

6.若实数x满足(x-2025)(20207)=：,则、=.

【答案】2024.5或2020.5

9

【分析】此题考查了完全平方公式的变形应用，设a=x-2025,b=2020-x,根据题点得到助=[,

a+h=-5,然后利用完全平方公式的变形求出a-b=±4,然后分情况代入求解即可.

【详解】解：设a=x-2025,Z?=2020-x,

o

•・•(x-2025)(2020-x)=p

9

/.ab=—,a+h=x—2025+2020—x=-5,

4

:.(4+〃)2=(-5)。

:./+从+2"=25,

22

«*«d+b+2x2=25t

4

・2,241

••u+h=—

29

(4—b)~=a2+b2—2ab=^--2x—=16,

a-b=±4,

・••当a-/?=4时，x-2025-(2020-x)=4,

解得x=2024.5；

・••当a—匕=Y时，x-2025-(2020-x)=-4,

解得x-2020.5；

综上所述，x=2024.5或2020.5.

故答案为：2024.5或2020.5.

7.若〃一力二一3,a2-b2=12,则(a+〃)(a-b+l)=.

【答案】8

【分析】此题主要考查了代数式求值以及多项式乘以多项式的知识，掌握以上知识是解答本题的关键；

本鹿先通过。一人二一3,a2-Z?2=12,求得。+8=4,然后把。一〃=一3,。+/?=4代入(•+〃)(。一8+1),即可

求解：

【详解】解：•••。一人=-3,a2-/7=12,

/.a2-b2=(a+b)(a-b)=12,

解得：a+〃=-4,

把〃一力=-3,a+0=T代入(a+b)(a-b+l),

即(a+/?)(a—Z?+l)=^4x(—2)=8,

故答案为:8；

8.若〃满足(〃-2023)2+(2025-〃门=|,贝I」(〃一2023)(2025-〃)=.

【答案】|3

【分析】本题考查了完全平方公式，能灵活运用完全平方公式进行变形计算是解此题的关键.

根据完全平方公式得出■〃-2023)+(2025-〃)T=(“-2023)2+(2025-〃)2+2(〃-2023)(2025-“)，即可得

出答案.

【详解】解：根据题意得：[(〃-2023)+(2025-〃)丁二(“—2023)2+(2025『+2(〃—2023)(2025-〃)，

5-2023)+(2025-〃)=2

4=[(〃-2023)+(2025-〃)｝，

又•.5—2023尸+(2025-〃>=1,

/.I+2(〃-2023)(2025一〃)=4,

3

.•.笛—2023)(2025—〃)=1,

故答案为：

9.如图，小明制作了一些A类、B类、C类卡片各1()张，其中A,B两类卡片都是正方形，。类卡片是长

方形.取其中的若干张(三种图形都要取到)拼成一个新的正方形，拼成大小不同的正方形的种数为.

【答案】6

【分析】此题考查完全平方公式的运用，熟记公式内容是此题关键.根据各种纸片数最，不超过10张，写

出完全平方公式.

LW)®(a+b)2=a2+2ab+b2,即可以用A、3正方形纸片各1张，。长方形纸片2张拼成一个边长为

(a+b)的正方形；

②5+/+4,活+4〃，即可以用正方形A纸片1张，8纸片4张，C氏方形纸片4张拼成一个边长为

(。+»)的正方形：

@(2a+by=4a2+4ab+b2,即可以用A纸片4张，8纸片1张，C纸片4张，拼成一个边长为(2+b)的正

方形；

④(2。+抄『=4/+&而+4/，即可以用A正方形纸片4张，8纸片4张，。纸片8张，拼成一个边长为

（勿+»）的正方形；

⑤（3。+32=9"+6。力+/,即可以用A纸片9张，8纸片1张，。纸片6张，拼成一个边长为（3〃+3的正

方形；

⑥（a+3b）2=/+6c力+9从，即可以用A纸片1张，8纸片9张，C纸片6张，拼成一个边长为（。+幼）的正

方形.

综上所述，共有6种不同的正方形.

故答案为：6.

10.边长分别为。，〃的两个小正方形（。＞〃）在边长为的大正方形内按如图1所示位置放置，此时阴影

部分的面积为30.将图1中大正方形的边长减少1个单位后得到新的大正方形，边长分别为。，人的两个小

正方形在新的大正方形内按如图2所示位置放置，此时阴影部分的面积为16.则a+〃的值为.

图1图2

【答案】8

【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，根据图1中阴影部分的面积是30,可得必=15,再用代数式

表示图2中阴影部分的面积，再代入计算即可.掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键.

【详解】解：如图1,

30=5=阴影=（。+人）"一（a，+b'+2ab-a:-h~=lab,

:•ab=15,

如图2,

每个阴影部分长方形的长为4-1,宽为b-l,

16=S阴影=2s长方形—2（a-1）（6-1）,

ab—（a+b）+\=S,

A15-(«+Z?)4-l=8,

...。+力=8.

故答案为：8.

三、解答题

11.计算：

(D(T+2y)(-x-2y)；

⑵U+2心-2)-仆-1)(>，+5)：

(3)(«+/J+C)'；

(4)I、2a+。+1)(2a—Z?-1)；

(5)(3«-2/?)(/?-3«)；

(6)I—2x+1)(—3x+5).

【答案】⑴――4y2

⑵-4y+l

(3)a2+b2+c2+lab+2ac+2bc

(4)V-Z>2-2/>-l

(5)-2b2-9a2+9ab

(6)6X2-13X+5

【分析】本题考查了多项式与多项式的乘法运算，多项式与多项式相乘：先用•个多项式的每一项分别乘

另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.

(1)利用平方差公式计算即可；

(2)利用平方差公式、多项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项即可；

(3)利用完全平方公式计算即可；

(4)利用平方差公式计算，再利用完全平方公式多计算即可；

(5)利用多项式与多项式的乘法法则计算即可；

(6)利用多项式与多项式的乘法法则计算即可;

【详解】⑴解：［-x+2y)(-x-2y)

=(-x)2-4y2

=r-4y2；

(2)解：()，+2)()，-2)-()，f()，+5)

=J-4-(y2+4y-5)

=y2-4-y2-4y+5

=-4y+l：

(3)解：(a+》+c)2

=(a+b)~+2c+/?)+c2

=a'+lab+b~+2ac+2bc+c~

=cr+b2+C1+2ab+2ac-\-2bc\

(4)解：(2a+b+l)(2a-b-l)

")2-0+1)2

=46r-(Z>2+2/?+l)

=4a2-b2-2b-\;

(5)解：(3a-2b)(b-3a)

=3ab-2b2-9a2+6ab

=-2b2-9a2+9ab；

(6)解:(-2x+l)(-3x+5)

=6X2-3X-10X+5

=6X2-13X+5.

12.先化简，再求值［(2x+)，)2-(x-y)(x+)，)-2)，2］+(-3］，其中1、)'满足上一5|+()，+4)2=0.

【答案】-6x-Sy,2

【分析】本题考查了完全平方公式与平方差公式、多项式除以单项式等知识，熟练掌握运算法则是解题关

键.先计算完全平方公式与平方差公式，再计算括号内的整式加减，然后计算多项式除以单项式，最后根

据绝对值和偶次方的非负性求iiw，y的值，代入计算即可得.

【详解】解：原式=卜/+4冷，+52_卜2一9)_2丁］+(一；1)

［］、

=(4x2+4xy+y2-x2+y2-2/)4-|一x

=3x24--—xJ+4x>?4-(^-—xj

=-6x-8y,

V|x-5|+(y+4)2=0,|x-5|>0,(y+4)2>0,

，x—5=0,y+4=0,

••工=5,y=4,

将工=5,y=-4代入得：原式=-6H—8y=-6x5-8x(Y)=-30+32=2.

13.先化简，再求值：

(1)13x4-y)2-(3x+y)(3x-y)>其中x=2,y=3；

⑵-4可+(a-20)(a+2Z?)—2日［+2〃，其中〃=1,b=-2.

【答案】(1)54

(2)-16

【分析】本题考查完全平方公式，平方差公式，整式混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则.

(1)根据完全平方公式和平方差公式去括号，合并同类项，对原式进行化简，代入字母的值，计算即可;

(2)根据完全平方公式和平方差公式去括号，合并同类项，再根据整式的除法运算法则，对原式进行化简，

代人字母的值，计算即可.

【详解】⑴解:(3x+»-(3x+y)(3x-y)

=9x~+6xy+y2-(3x)2-y2

=9x2+6xy+y2-9x2+y2

=2y2+6.ry

当x=2,，=3时,

原式=2y?+6xy

—2x32+6x2x3

=2x9+12x3

=18+36

=54

(2)解：^a-4b)2+(a-2b)(a+2b)-2a2^2b

=(一一&必+16/?2+/-4/-2。2卜》

=(-8必+12阴+20

=^a+6b

当a=1,〃=一2时，

原式=4/+6/?

=^xl+6x(-2)

=-4-12

=-16

14.若一个正整数X能表示成从(小〃是正整数，且〃＞力)的形式，则称这个数为“开明数”，。与人是

工的一个平方差分解.例如：因为5=3?-22,所以5是“开明数”，3与2是5的平方差分解；再如：

M=x2+2,^=x2+2xy+y2-y2=(x+y)2-y2(x,y是正整数)，所以“也是“开明数”，(x+y)与y是"的

一个平方差分解.

⑴判断:20：开明数”(填“是”或“不是”

(2)已知(丁+"与/是P的一个平方差分解，求P；

(3)已知N=x2-),2+4..6.y+X:(.v,y是正整数，々是常数，且要使N是“开明数”，试求出符合

条件的攵值，并说明理由.

【答案】(1)是

(2)2x2y+y2

(3)k二-5,理由见解析

【分析】本题主要考查了完全平方差公式的运用，解题的关键是理解新定义运算.

(1)根据“开明数”的定义解答即可；

(2)根据“开明数”的定义进行计算即可；

(3)先变形可得N=(X+2)2—()，+3『+&+5,再根据"开明数''的定义解答即可.

【详解】(1)解：：20=36-16=62-42，

A20是“开明数”；

故答案为：是

(2)解：・・・(x2+y)与/是尸的一个平方差分解，

AP=(x2+y)2-(x2)2

=x^+2x2y+y2-x4

22

=2xy+yi

(3)解:k=-5,理由如F：

N=x2-y2+4x-6y+k

=A2+4x-()J+6))+A

=A2+4x+4-(y2+6y+9)+Z+5

=(x+2)~-(y+3)2+k+5

TN是“开明数”，

，上+5=0,

：,k=-5.

15.一个正方形边长为〃?+4(m为常数且〃?>0),记它的面积为S-将这个正方形的一组邻边长分别增加

2和减少2,得到一个长方形，记该长方形的面积记为$2.

(1)求邑(用含m的代数式表示)；

(2)小丽说无论机为何值，S和$2的差都不变，你同意她的意见吗？为什么？

(3)洛原正方形的边长减少1,得到一个新的正方形，记它的面积为耳，若存在常数小使得不论机为何值，

S?-S3-卬〃始终是一个定值，求。的值.

【答案】(1电=济+8〃?+12

(2)同意;理由见解析

⑶。二2

【分析】本题主要考杳了整式乘法的应用和整式加减的应用，解题的关键是根据题意列出代数式，熟练掌

握整式乘法运算法则.

（1）根据题意得出长方形的两条边长，求出长方形的面积即可：

（2）求出S-S2,然后进行判断即可；

（3）表示出，，然后求出§2-53-“，?-（2-4）6+3,根据不论切为何值，$2-$3-。切始终是•个定值，

得出2-4=0,求出”的值即可.

【详解】（1）解：得