2023年浙江省中考数学一轮复习：直线与圆的位置关系 练习题

浙江省2023年中考备考数学一轮复习直线与圆的位置关系练习题

一、单选题

1.（2022•浙江嘉兴•模拟预测）已知。O的直径为12cm,如果圆心O到一条直线的距离为7cm,那么这条

直线与这个圆的位置关系是（）

A.相离B.相切C.相交D.相交或相切

3.（2022・浙江温州・统考一模）如图，是半径为4的。O,弦AB平移得到CD（AB与CD位于。点

的两侧），且线段CD与。。相切于点E,DE=2CE,若4,。，。三点共线时，48的长（）

A.4Gc.875

5.（2022•浙江宁波・校考一模）如图,是半径为1的圆弧,/AOC等于45。，。是上的一动点,则

四边形AOOC的面积S的取值范围是（）

D

6.（2022•浙江衢州•模拟预测）如图，AB为OO的直径，AC=2,BC=4,CD=BD=DE,贝ijCE;（）

8.（2022•浙江嘉兴•模拟预测）下列命题是假命题的是（）

A.三角形的内心到这个三角形三边的距离相等

B.有一个内角为60。的等腰三角形是等边三角形

C.直角坐标系中，点（a,b）关于原点成中心对称的点的坐标为（b.aj

D.有三个角是直角且一组邻边相等的四边形是正方形

二、填空题

9.（2022•浙江宁波・统考中考真题）如图，在△ABC中，AC=2,804,点。在8C上，以为半径的圆

与AC相切于点A,。是4C边上的动点，当aAC。为直角三角形时，的长为.

C

BO

13.（2022•浙江杭州•模拟预测）如图,。是正方形折88边上一点,以。为圆心，OB为半径画圆与4。

交于点E,过点E作。。的切线交CO于F,将。月尸沿E尸对方，点。的对称点O恰好落在。。上.若

AB=6,则AE：ED=,08的长为.

XG

B

三、解答题

（I）试证明OE是，。的切线；

17.（2022•浙江金华•模拟预测）如图，用与。。相切于点A,点B在。。上，PA=PB.

（I）求证：08是。。的切线；

（2）A。为。。的直径，AD=2,PO与。。相交于点C,若C为PO的中点，求P。的长.

⑴求证：以是。的切线；

19.（2022•浙江杭州•统考二模）如图，点A是。上一点.

（1）请用直尺和圆规过点A作出。的一条切线；（不要求写出作法，不要求证明，但要保留作图痕迹）

B

(1)求证：C。是。的切线.

23.(2022・浙江绍兴•统考中考真题)如图，半径为6的。。与故△A8C的边A8相切于点A,交边灰?于

点C,D,N8=90°,连接O。，AD.

⑴若NAC8=20。，求月o的长(结果保留江〉.

(2)求证：4D平分N8Q0.

(2)若。。与4C相切，求-4的度数;

(3)用无刻度的直尺和圆规作出劣弧的中点E.(不写作法，保留作图痕迹)

(1)求半圆。的半径.

(2)求)，关于x的函数表达式.

②作点尸关于QR的对称点尸，当点尸落在BC上时，求名的值.

B卜

⑶如图2,A。为O的直径.

①当48的长为2时，求AC的长.

参考答案:

1.A

【分析】这条直线与这个圆的位置关系只要比较圆心到直线的距离与半径的大小关系即可.

【详解】•・・。0的直径为12cm,

30的半径r为6cm,

如果圆心0到一条直线的距离d为7cm,

d>r,

这条直线与这个圆的位置关系是相离.

故选择：A.

【点睛】本题考杳直线与圆的位置关系问题，掌握点到直线的距离与半径的关系是关健.

2.A

V(C的半径为1,

故选：A.

【点睛】此题主要考查与圆相关的动点问题，解题的关键是熟知勾股定理的应用、点到直线的距离的性质.

3.C

【分析】连接。E，延长EO交AB于点尸，由题可知，NOED=90。,AB//CD,AB=CD,进而得;H。/垂

直平分A从根据△OEQs/xo布，得票二半，得出。f二3,由勾股定理，得AF=5,进而求出A6的

长.

【详解】解：连接0E,延长EO交AB于点F

由邈可知，ZOED=90°,AB"CD,AB=CD

••・/O"=NOED=90。，ZD=ZDAB

・••△OEOs/xo附

.OEED

0F=AF

由垂径定埋得A卜三5A8

乂DE=2CE

：,AF=\.5CE

：.0F=3

在/?/△AOF中

:・AB=2百

故选：C.

【点睛】本题主要考查了垂径定理，切线的性质，平移的性质，勾股定理以及相似三角形，作辅助线利用

相似三角形是解决本题的关键.

4.C

故选：C.

【点睛】本题考杳切线的性质、切线长定理，锐角三角函数解三角形等知识，是重要考点，掌握相关知识

是解题关键.

5.B

【分析】根据题意首先得出AAOCl的面积，进而得出四边形最小值，要使四边形AODC面积最大，则要使

△CO。面积最大，以C。为底。E为高，要使△CO。面积最大.则。E最长，进而得出答案.

【详解】解：如图，过点。作CFL40于点凡过点。作。E_LCO于点E,

\'CO=AO=\,N/10O45。，

/.C?=FO=—,

2

••.△AOC的面积=?xlx2^二立，

224

则面积最小的四边形面积为。无限接近点C,

工最小面积无限接近立但是不能取到.

4

•••△AOC面积确定，

・•・要使四边形AODC面积最大，则要使△COD面积最大.

以CO为底。E为高，要使△COD面积最大，则。E最长.

当/。。。=90°时，QE最长为半径，

四边形AOQC面积的最大值=△AOC的面积+△C。。的面积

故选B.

【点睛】本题主要考查了圆的综合，正确得出四边形的最大值是解题关键.

6.D

【详解】:AB是。O的直径，

/.ZACB=90°,

VAC=2,BC=4,

VCD=BD,

.*.ZCAD=ZBAD,

过D作DP_LAC于P,DQ_LAB于Q,连接OD,

・・・PD=DQ,

ARtADPC^RtADQB(HL),

・・・CP=BQ,

易得aAPD9Z\AQD,

.\AP=AQ,

设PC=x,则AP=2+x,AQ=ABBQ=2逐x,

2+x=2>/5x,

X=y/51，

ABQ=CP=x/51,OQ=1,

VDE=DC,

.e.ZDEC=ZDCE,

ZDEC=ZCAD+ZACE,ZDCE=ZECB+ZACE,

・•・ZCAD+ZACE=ZECB+ZDCB,

AZCAD=ZDCB,

AZACE=ZECB,

ZACB=90°,

.•.ZACE=ZECB=45°,

过E作EF_LAP于F,

AAEFC是等腰直角二角形.

设EF=FC二a,则CE=&a,AF=2a,

•・・EF〃PD,

/.△AFE^AAPD,

a=3x/5,

***CE=5/2a=5/2（3垂>）=3>/2\To.

故选D.

【点评】本题是有关圆的计算问题，题意虽然简单，但有难度，考查了圆周角定理、勾股定理、三角形相

似的判定和性质，作辅助线构建等腰直角4EFC是关键.

7.C

【分析】阴影部分的面积可理解为S蒯FSMBC-SaOBD-SMOr—S叱OOF，算出各边的长，代入面积公

式即可求解.

【详解】如图，连接OF、OD.

由题意可知Sff/ff^=SAABC-SAOBD-SAAOF—S不琏DOF,

•・3O=8E=2,

・・・DO=2,80=4.

由迤意可得，三角形6Q4为直角三角形，

・•・SABOD=；x2x2G=26.

根据RlB。。的三边关系，可知/BOQ=60。，ZB=30°,

/.ZCAB=60°,

•••△人。尸和4。0厂均为等边三角形，

・・・S/A0F=gx2x6=G，

故选C.

【点睛】本题考查圆中的不规则图形面积的计算.不规则图形面积的计算，可以采取“割补”的方式，解决

本题的关键在于阴影部分的面积可以用大图形的面积减去小图形的面积.

8.C

【分析】根据二角形内切圆、等边二角形的判定、关干原点对称点的性质、正方形的判定进行分析即可.

【详解］A.三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，是真命题，故此选项错误；

B.有一个内角为60。的等腰三角形是等边三角形，是真命题，故此选项错误：

C.直角坐标系中，点(a,b)关于原点成中心对称的点的坐标为(b,a),是假命题，故此选项正确；

D.有三个角是直角且一组邻边框等的四边形是正方形，是真命题，故此选项错误.

故选C.

c3,6

9.5或二

【分析】根据切线的性质定理，勾股定理，直角三角形的等面积法解答即可.

【详解】解：连接。4,

①当。点与O点重合时，NC4。为90。,

设圆的半径二「,

/.OA=rfOC=4r,

VAC=2,

在心△AOC中，根据勾股定理可得：r+4=(4r)2

3

解得：『,，

即AD=AO=—；

2

②当NAOG90。时，过点A作人O_LBC于点。,

\*-AO-AC=-OOAD,

22

35

VAO=-,AC=2,0C=4r=-,

22

5

综上所述，AO的长为白或9，

«J

故答案为：m或

【点睛】本题主要考杳了切线的性质和勾股定理，熟练掌握这些性质定理是解决本题的关键.

【分析】根据对称性作O关于CD的对称点W,则点。、E、F、B都在以M为圆心，半径为6的圆上，再

结合切线的性质和垂径定理求解即可.

【详解】作O关于CD的对称点M,则ON;MN

连接MO、ME、MRMO,MO交CD于N

•・•将CQ沿弦CD折叠

••・点。、E、F、3都在以M为圆心，半径为6的圆上

•・•将CQ沿弦CD折叠后恰好与。4，OB相切于点E,F.

：,MELOA.MFLOB

即"的度数为6。。；

'：MOLDC

【点睛】本题考查了折叠的性质、切线的性质、垂径定理、勾股定理；熟练掌握折叠的性质作出辅助线是

解题的关键.

II.?##8-

33

【分析】设圆的半径为mm,连接。8、0A,过点A作AOJ_O6,垂足为。，利用勾股定理，在Rtz\A0。

中，得到/=(r-6)2+82,求出「即可.

【详解】解：连接08、0A,过点A作AQ_LO6,垂足为。，如图所示：

•・・C8与(。相切于点6,

・•・四边形AC8。为矩形，

即产=(r-6)2+82,

故答案为：-y.

【点睛】本题主要考查了切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，作出辅助线，构造直角三角形，利

用勾股定理列出关于半径，•的方程，是解题的关键.

12.25。##25度

【详解】解:如图：连接。B,

C

•••/W与C夕相切于点B,

故答案是：25。.

13.1:2；—.

3

•・•将沿七/对折得

YE尸是。。的切线，

在“EO和AHEO中

VAE+ED=AE+2AE=3AE=AD=6,

故答案为：1:2；号.

【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠性质，勾股定理，垂径定理的推论，切线的性质和判定、方程,

全等三角形的判定与性质等知识；掌握正方形的性质、折叠性质，勾股定理.，垂径定理，切线的性质和判

定、方程，全等三角形的判定与性质等知识；关键是作出辅助线构造三角形全等.

14.25

【详解】解：连接OC,

•・•PC是60的切线，C为切点，

•・•点尸是直径AB的延长线上一点，

故答案为：25

【点睛】本题考查了切线的性质、直角三角形两锐角互余、三角形的外角和定理、等边对等角，解本题的

关健在熟练掌握相关的性质定理.

・•・交点K的运动轨迹在以8。为宜径的圆上，圆心为8。中点0,显然点A、C也在圆上，AK为该圆的弦,

故AK最大值为圆的直径AC,即当点K与点。重合时取得最大值

显然此时四边形CHKN为正方形

【点睛】本题考查矩形的性质特征，全等形的判定及性质，相似的判定及性质，圆的应用，熟练掌握相关

知识是解题的关键.

【详解】（I）证明：连接00,BD,

〈AB为。的直径，

，8。又是AC边上的中线，

：・DE是。的切线.

•・•（O的半径为5,

【点睛】本题考查了圆的切线判定定理以及相似三角形的判定与性质，熟练掌握圆的切线判定以及相似三

角形的判定是解题的关键.

17.（I）见解析；（2）不

【分析】（1）利用SSS证明△丝△3PO,推出NPBO=N%O=90。，即可证明必是。。的切线:

（2）先求得PO=2,以=&,在M△%。中，利用勾股定理求解即可.

【详解】（1）证明：连接OB,

二切是0。的切线,

.•・上附0=90°,

•・•点B在。0上，

：,AO=BO,

*：PA=PB,PO=PO,

:.△AP0§2BP0(SSS),

：,ZPBO=ZPAO=90°,

••・尸6是OO的切线；

(2)解:〈A。是。。的直径，AD=2,

：.OA=\,

•・・c为。。的中点，

：・P()=2,

【点睛】本题考查了切线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识；熟练掌握切线的判

定与性质，证明三角形全等是解题的关键.

18.(1)证明见解析

⑴

(2)

解：如图，连接QA,交BC于点、E,

由(1)已证：04垂直平分8C,

【点睛】本题考食了圆的切线的判定、圆周角定埋、止切等知识点，熟练掌握圆的切线的判定和圆周角定

理是解题关键.

19.(1)见解析

⑵小

【分析】(1)根据过直线上•点作直线的垂线的作法，即可作得：

(2)根据勾股定理即可求得.

(I)

解：如图：⑴连接。4,并延长到C,使AC=OA

(2)分别以点0、C为圆心，以大于。人的长度为半径画弧，两弧交于点M

(3)过点M、4作直线直线AM即为所求的直线

由作法可知：点4是线段0C的中点，0M=CM

(2)

【点睛】本题考查了过直线上一点作直线的垂线的作法，切线的判定定理，勾股定理，熟练掌握和运算过

直线上一点作直线的垂线的作法是解决本题的关键.

20.(1)见解析

【分析】对于(I),先连接O。，再根据直径所对的圆周角是直角及角平分线定义求出/人8。=45。，然后

根据圆周角定理求山乙40。=90。，最后结合平行线的性质得NOOE=90。，结合切线的判定得山答案；

对于(2),先根据两角对应相等的两个三角形相似得AAB。LDBE,再根据相似三角形的对应边成比例,

同时代入数值求出答案即可.

(1)

连结。。，

〈AC使。。的直径，

工/ABO90。.

・•・/ABQ=NQ8E=45。，

/.^AOD=2ZABD=90°.

*：AC//DE,

：./OO石=NA">=90。，

即OD1DE,

・・・DE为。。的切线.

(2)

*：AC//DE,

：,ZE=ZBCA=ZADB.

NA3D=NDBE=45。,

•••△A3。2DBE,

•・・AB=2,BE=3,

【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，相似三角形的性质和判定等，掌握性质定理是解题的关键，连接

圆心和圆上的点，再证明垂直是圆的切线的判定的常用方法.

21.(1)见解析；

(2亭.

【分析】3)连接(M,根据垂直定义可得NA£O=90。，从而可得NO4Q+N4OF=90。，再根据等腰三

角形的性质，可得NOAO=NOOA,从而可得NA£>C+NOD4=90。，进而可得NOZ)C=90。，即可得证;

【详解】(1)证明：如图，连接0Q,

•・•OFLAD,

・•・/AEO=90。，

•••/OAO+NAO广=90°,

'：OA=OD,

：.ZOAD=ZODA,

VZADC=ZAOF,

：.4OC+NODA=90。，

AZODC=90°,

•・・。。是。。的半径，

・・・CZ)是。。的切线；

AZC=30°,

AZCOD=60°,

*：OA=OD,

・・・NO4D=60。，

TAB是直径，

/.ZBDA=90°,

：.OD=2,

【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，熟练学

握经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线是解题的关键.

22.(1)见解析

(2)1

【详解】(1)解：如图，连接OE,

DB

〈AC切半圆。于点£

AOEVAC,

，ZOEC=ZOFC=ZC=90。.

，四边形OFC石是矩形，

OF=EC；

【点睛】本题主要考查了切线的性质、矩形的判定与性质以及含30。角的直角三角形性质等知识，正确作

出辅助线并灵活运用相关性质是解题关键.

23.(1)Y

(2)见解析

【详解】(1)解：连接OA,

•・•ZACB=20°,

JNAOQ=40。，

【点睛】本题考杳与圆有关的计算及圆的性质，解题的关键是掌握弧长公式及圆的切线的性质.

24.(I)证明见详解

(3)作图见详解

【分析】(1)根据直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的三线合一即可证明;

<2)根据切线的性质可以得到90。，然后在等腰直角三角形中即可求解；

【详解】(1)