2025-2026九年级数学上学期第一次月考·拔尖卷（华东师大版）解析版

九年级数学上学期第一次月考•拔尖卷

【华东师大版】

参考答案与试题解析

第I卷

一.选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）

1.（3分）（24-25八年级上•上海杨浦•阶段练习）化简二次根式正确的是（）

A.yj—a—1B.y/a+1C.—y/—a—1D.—y/a+1

【答案】C

【分析】本题考杳化简二次根式，根据二次根式的性质，进行化简即可.

【详解】解，小>0，

0a4-1<0,

0a<-1,

团aJ一^^二a•（一"：T）=—y/—a—1；

故选:C.

2.（3分）（2025,河北沧州•二模）甲、乙两人在解一道一元二次方程时，甲在化简过程中写错了常数项，

因而得到方程的两个根为6和1,乙在化简过程中写错了一次项的系数，因而得到方程的两个根为-2和-5,

则原方程根的情况是（）

A.没有实数根B.有两个相等的实数根

C.两根分别是2和5D.两根分别是一6和一1

【答案】C

【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、解一元二次方程.熟练掌握一元二次方程根与系数的关

系是解题的关键.设原方程为a/+以+c=0（aH0）,由根与系数的关系得一£=1+6。=（-2）x（-5）,

得出b=-7a,c=10a,再代入到原方程，解出工的值即可得出答案.

【详解】解：设原方程为"2+bx+c=0（a=0）,

由题意得，一£=1+6=7,：=（—2）x（—5）=10,

：•b=—7a,c=10a,

二原方程为a/—yax+10a=0（。*0）,即/—7x4-10=0,

解律x1=2,小=5，

•••原方程根的情况是两根分别是2和5.

故选：C.

3.（3分）我们把形如la百+b（a,b为有理数，正为最简二次根式）的数叫做百型无理数，如2通+3是

店型无理数，则（a+连/是（）

A.&型无理数B.b型无理数C.通型无理数D.g型无理数

【答案】B

【分析】先根据完全平方公式和二次根式的性质进行计算，再得出选项即可.

【详解】解：（鱼+连产

=2+6+473

=8+473,

即、G型无理数，

故选：B.

【点睛】此题考查完全平方公式和二次根式的性质，能正确根据公式和性质展开是解题的关犍.

22

4.（3分）（24・25八年级下,安徽合肥・期末）关于工的一元二次方程a^x-ni）+n=0与a2（x-m）+n=0

称为“同族二次方程〃.如2a—3/一4=0与3（%—37一4=0就是“同族二次方程〃.现有关于工的一元

二次方程2（%一1）2-1=0与（a+l）x2+（b-2）x-2=0是洞族二次方程“，那么代数式ax2+bx+

2024能取的最大值是（）

A.2023B.2024C.2025D.2026

【答案】D

【分析】本题考查一元二次方程，配方法的应用，根据新定义，得到（。+1）/+（匕-2）工一2=0,可以写

成。2（%一1）2-1=0,展开对应相等求出的值，利用配方法求出Q/+板:+2024的最大值即可.熟练

学握新定义是解题的关键.

【详解】解：国关于x的一元二次方程2（%-1）2—1=0与（。+1）/+（8一2）%-2=0是“同族二次方程〃

回第二个方程（a+l）x2+（b-2）x-2=0可以写成的0-I）2-1=0的形式，

2

团展开得：a2x—2a2%+Q-1）=0

团。+1=。2，b—2=-2az»-2=%—1，

解得：a2=a=-2,b=4

^ax2+bx+2024=-2x24-4%+2024=-2(%-l)2+2026,

0-2(x-I)2<0

0-2(x-l)z+2O26<2O26

13ax2+法+2024能取的最大值是2026.

故选D.

5.(3分)(24-25八年级下•山东烟台•期末)若最简二次根式衣沆二豆与疝不^可以合并，则V3m+6的

值是().

A.36B.3V5C.4V5D.46

【答案】B

【分析】本题考查同类二次根式，亿简二次根式，由最简二次根式扬彳二百与后壬可以合并，可知历』

与而不号是同类二次根式，由此求出〃?的值，代入厮彳石计算即可.

【详解】解：由题意知V2〃i-8与Hv十5是同类二次根式,

•••2m—8=m+5,

解得m=13,

:.V3m4-6="3x13+6=V45=3V5»

故选B.

6.(3分)(24-25八年级下•安徽合肥•期末)已知关于％的一元二次方程Q/+b无+c=0(aW0,cH0)满

足a-b+c=0,且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是()

A.a—c=0B.b-2c=0C.2a—b=0D.b2—ac=0

【答案】D

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义.

根据题意得出b=Q+c,a=b-c,c=b-a,再根据判别式的意义可知A=0,进而可得答案.

【详解】解：^a-b+c=0,

•••b=Q+c,a=b-c,c=b-a.

*元二次方程a/+bx+c=。有两个相等的实数根，b=a+c,

・••A=b2-4ac=(a+c)2—4ac=(a—c)2=0,

.-.a-c=0,选项A结论正确，不符合题意；

•••一元二次方程aM+法+c=0有两个相等的实数根，a=b-c,

=b2-4ac=b2—4(b—c)c=b2-4bc+4c2=(b-2c)2=0,

团当（〃+1）=741时，解得：nj=~~~——39（舍），&=；"=38,

当，（/?+1）=600时，解得：n==笋（舍），

当+（〃+1）=465时，解得：％=——=-31（舍）＞九2=‘卫'=30,

22

当，（〃+1）=300时，解得：叫一1一49（4、-1+49o.

2—-25（舍），九4？——2—24,

故选:B.

【点睛】本题考查了图形的变化规律，通过从一些特殊的数字变叱中发现不变的因素或按规律变化的因素,

然后推广到一般情况.

8.（3分）（24-25八年级下•河南开封•期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为15cm2和24cm2的两个

小正方形，余下部分的面积为（）

A.6\/l0cm2B.12-710cm2C.18\^10cm2D.20VT0cm2

【答案】B

【分析】本题考杳了算术平方根在几何图形中的应用，二次根式的运算等知识，根据已知条件求得大正方形

的边长是解决问题的关键.根据开方运算，可得阴影的边长，根据二次根式的乘法，可得大正方形的面积,

根据面积的和差，可得答案.

【详解】解：♦.♦两个空白小正方形的面积是15cm2、24cm2

二两个空白小正方形的边长是VT亏cm、2Vsem

•••大正方形的边长是（同+2连）cm

•••大正方形的面积是（小+2V6）2=（39+125/10）cm2

••・阴影部分的面积是39+12>/10-15-24=12同cm?.

故选：B

9.（3分）已知m、n是关于％的一元二次方程“2一倔不1%+上一1=0的两实数根，则代数式^=

（W?+1）（M+1）的取值范围是（）

A.^-<y<16B.y<y<16C.4<y<D.4<y<16

【答案】A

【分析】首先根据二次根式的性质以及关于汇的一元二次方程/-VFTZe+k-1=0有两个实数根，可列

出关于k的不等式组，求解即可获得k的取值范围；再根据一元二次方程根与系数的关系可得m+n=

VF短，mn=k-l；求得y关于k的函数解析式，然后根据二次函数的图像与性质解得(m?+i)(M+。的

取值范围即可.

【详解】解：根据题意，m.n是关于x的一元二次方程/一所1%+上一1=0的两实数根，

%=(-vm)2-4xlx(/c-l)>0，

解得一2<k<2,

又+n=>Jk+2,mn=k-1,

22

0y=m2n2+TH+n4-1

=(mn)2+(77i+n)2—2mn+1

=(k-I)2+(VTTz)2-2(/c-1)+1

=k2-3k+6

✓|3、2.15

=(—2)+7，

团此y关于k的函数图像开口向上，对称轴为k=|,

团一2<k<2,

团当k=T时，可有y最小=中，

当”=一2时,可有y最大=(-2—}2+?=16,

回y=(m2+1)(/+1)的取值范围是曰<y<16.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、二次根式的性质、解不等式组、一元二次方程根与系

数的关系以及二次函数的图像与性质等知识，综合性较强，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键.

10.(3分)(24-25八年级下•重庆丰都・期末)对于一个正实数加，我们规定：用符号［标］表示不大于向的

最大整数(［刈表示不大于，〃的最大整数)，称［标］为，〃的根整数，如：N可=2,［丽=3.如果我们

对加连续求根整数，直到结果为1为止.例如：对11连续求根整数2次，［何=3->［V5］=l,这时候

结果为1.现有如下四种说法：®［V3］+［V6］=［V9］：（2）［VS］2=［（VH）2］：③若方程司-NT=可=

1，则满足条件的x的整数值有4个：④只需进行3次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数阳中，

最大值与最小值之差为239.其中正确说法的个数有（）

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】B

【分析】本题考有新定义“根整数”的理解与应用，涉及无理数的估算、二次根式及最值分析.根据新定义再

结合无理数的估算、二次根式及最值逐一验证各说法的正确性即可.

【详解】解：①：计算左边［V5］=l，［n］=2,和为1+2=3：右边［诏］=3,等式成立.故①正确.

②：［份「=［（荷）2］,取反例Q=2,左边［回2=12=L右边［（或）2］=［2］=2,显然1H2.故②错误.

③：方程［，12-万一［衣=词=1,x为整数且3工无工12.

逐一验证：

当％=4,5,6时，左边分别为2-1=1,2-1=1,2-1=1,满足条件：

其他x值均不满足.故满足条件的x有3个，而非4个.故③错误.

@：设正整数〃?进行3次连续求根整数运算后结果为［，即［后］=mi->W而］=根2-W万引=1，

第三次操作时：［而另=1,贝UiW加2<4；

第二次操作时：［师口=血2，则H4m2V（k+1）2,其中k=1,2,3：

第一次操作时：=叫，贝Um/<愕v（n+1）2.

排除提前终止的情况：

若k=l,则1W血1<4,对应mV16,但这些机在2次操作内即可终止，需排除；

若k=2,则4工加1<9,对应16工mV81；

若k=3,M9<mr<16,对应81Wmv256；

团需进行3次根整数运算结果为1的正整数〃?的范围为16<m<256,

团〃?的最大值为255,最小值为16,差值为255-16=239.故④正确.

综上，正确说法为①④，共2个.

故选：B.

二.填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）

11.（3分）（2025•河北沧州•模拟预测）若Q<顺一两VQ+1,则正整数a的值是.

【答案】4

【分析】本题考查二次根式的运算，无理数的估算，掌握相关知识是解次问题的关键.先进行二次根式的加

减运算，然后估算结果的值即可.

【详解】解：V80-V20,

=4石-2瓜

=2V5,

••⑷<(2V5)2<52,

4<2V5<5,

回止整数Q的值4.

故答案为：4.

12.(3分)若关于x的一元二次方程(忆-1)/-2同％-5=0有两个不相等的实数根，则k的最小正整

数值是.

【答案】2

【分析】本题主要考查根的判别式、一元二次方程的定义、解不等式等知识点，解题的关键是掌握一元二次

方程a/+bx+c=0(a。0)根的判别式A=b2-4ac.

__o

根据一元二次方程有两个不相等的实数根得出A=(-2g)-4x(/c-l)x(-5)>0,结合一元二次方程

的定义知左一1H0求解即可.

【详解】解.：田关于x的一元二次方程(k-l)/一-5=0有两个不相等的实数根，

/(-2回)2_4x(Ar-1)x(-5)>0,

k于1

解得：k>—1且kH1,

欧的最小正整数值是2.

故答案为：2.

13.(3分)(2025•浙江杭州•模拟预测)用团定义一种新运算：对于任意实数机和n,规定mEln=m2n-mn-

3n.如1m2=12X2-1X2-3X2=-6,则(-2鸿75=.

【答案】3V3

【分析】本题考查了新定义运算，二次根式的混合运算，根据新定义运算求解即可，掌握相关知识是解题的

关键.

【详解】解：由题意得：

(—2)团百

=(-2)2xV3-(-2)xV3-3xV3

=46+2百-3后

=3V3,

故答案为：3V3.

14.(3分)关于％的方程a(x+nt)?+匕=0的解是/=-5,x2=3(Q、b.m均为常数，。工0),则方

程G(X+m—27+匕=0的解是.

【答案】%i=-3,%2=5/必=5,x2=-3

【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，首先把方程a(x+m-2)2+h=0,整理成矶(x-2)+m]2+

匕二0的形式，根据方程a(x+m)2+b=0的解是与=—5,x2=3,可知方程矶(无一2)++力=。的解

是々-2=-5,%2-2=3,从而求出方程a(%+771-2)2+b=0的解.

【详解】解：a(x+血-2)2+b=0,

整理得：a[(x-2)4-m]2+b=0,

,••方程a(k+7n7+b=0的解是=—5,x2=3,

2

二方程矶(％-2)+m]+b=0的解是%i-2=-5,x2—2=3,

解得：=-3,&=5.

故答案为：勺=-3,次=5.

15.(3分)将关于％的一元二次方程/—p%+q=0变形为/=px—q,就可以将/表示为关于％的一次

多项式，从而达到“降次〃的目的，又如x3=xr2=%(p%—q)=...,我们将这种方法称为“降次法”，通过

这种方法可以化简次数较高的代数式.根据"降次法"，己知：/一工一1=o,且％>0,则r-2X2+2X+1

的值为.

【答案】1+V5

(分析]先利用/一%-1=0得到/=x+l,代入得到％3-2x2+2x+1化为2%,然后解方程一一%-1=

0得，从而得到炉一2/+2%+1均值.

【详解】解：•••/-工-1=0,

x2=x+1

•••x3=x-x2=x(x+1)=x2+x=2x+1

:.x3-2x2+2x+l=2x+l-2(x+1)+2x+1=2x,

解%2一%-1=0得，

a=l,b=—l,c=—1

b2-4ac=1+4=5

Vx>0

-b+yJb2-4ac_1+V5

••X—T-T

2a2

•••x3-2x2+2x+l=2x=2x=14-V5,

故答案为：1+而.

【点睛】本题考查了高次方程：通过适当的方法，把高次方程化为次数较低的方程求解，所以解高次方程一

般要降次，即把它转化成二次方程或一次方程，也有的通过因式分解来解，通过把一元二次方程变形为用

一次式表示二次式，从而达到“降次”的目的，这是解决本题的关键.

16.（3分）（24-25八年级上•宁夏银川•期末）观察下列分母有理化.

-J—=—1'T)—=—、=V2-1-

V2+A(V2+1)(V2-VT)(在)2_(⑹2J&

募3一技

从计算结果中找出规律：

岛+康+高+…+礴袅声）（^砺+D=-----------•

【答案】2024

【分析】本题考杳了二次根式的混合运算，平方差公式的运用，光分母有理化，然后合并同类二次根式后利

用平方差公式计算.

【详解】解：Q+i+6+显+V5+7I++V2025+V2024）（^2025+1）

=（V2-1+V3-V2+V4-V3+-+V2025-72024）（V2025+1）

="2025-1）（720254-1）

=2025-1

=2024,

故答案为：2024.

第n卷

三.解答题（共8小题，满分72分）

17.（6分）（24-25九年级上•北京海淀•期中）已知关于x的方程/一（加+1）%+（血一3=0.

⑴求证：方程必有两个不等实数根：

⑵当m取0VmV5的整数时，存在两个有理数根，求m的值和这两个有理数根.

【答案】（1）方程必有两个不等实数根；

⑵川的值为1，这两个有理数根为/成.

【分析】本题考查了根的判别式以及公式法解一元二次方程.

（1）由方程的系数结合根的判别式△二炉一4M，可得出A=（1）2+1>U,进而可证出方程必有.两个

不等实数根；

（2）由〃?的取值范围及方程存在两个有理数根，可得出租=1,代入后可得出原方程为/-2刀+］=0,且

4

A=l,再利用公式法，即可求出原方程的两个有理数根.

【详解】（1）证明：△=［一（7H+1）］2-4X1x（m-?

-m?+2ni+1-4771+1

=m2—2m+2

=（m-l）2+1.

0（m-I）2>0,

0（m-l）24-1>0,

即A>0,

团方程必有两个不等实数根；

（2）解：团当机取0V771V5的整数时，存在两个有理数根，且△=（?九一1）2+1,

0m=1,

团原方程为"一2%+?=0,且4=1,

4

（3此时原方程的解为x=土|出，

加?的值为1,这两个有理数根为;和|.

18.（6分）（24-25九年级上•福建原门•阶段练习）如图，在矩形ABCU中，AB=16cm,BC=6cm,动点

P、。分别以3cm/s,2cm/s的速度从点A,C同时出发，沿规定路线移动.

(1)若点产从点A移动到点N停止，点2随点产的停止而停止移动，问经过多长时间从Q两点之间的距离

是10cm?

(2)若点P沿着力818。1。。移动，点。从点。移动到点。停止时，点~随点Q的停止而停止移动，试探

求经过多长时间仆P8Q的面积为12cm2?

【答案】(1)经过*或后P、Q两点之间的距离是10cm

DD

(2)经过4秒或6秒4P8Q的面积为12cm2.

【分析】此题主要考查了矩形的性质以及勾股定理和一元二次方程的应用等知识，熟练应用矩形的性质是解

题关键.

(1)如图，过点P作PEJ.CO于E,设x秒后尸Q=10cm,利用勾股定理得出即可.

(2)分类讨论：①当点P在48上时；②当点P在8C边上；③当点P在。。边上时，根据面积列方程求解

即可.

【详解】(1)解：过点P作PE_LCO于E.

设无秒后，点P和点Q的距离是10cm.

根据题意得：

(16-2x-3x)2+62=io2,即(16-5x)2=64,

016-5x=±8»

E824

取］=-,x2=不；

13经过!s或§s后P、Q两点之间的距离是10cm；

AD

E

BC

(2)连接BQ.设经过ys后APBQ的面枳为12cm2.

①当OWywg时，则PB=16-3y,

^PB-BC=12,Bplx(16-3y)x6=12,

解得y=4；

②当暂时，

BP=3y-AB=3y-16,QC=2y,则

和PCQ=*3y-16)x2y=12,

解得力=6,y=-^(舍去)；

2•J

③弓＜”8时,PC=3y-22,

QP=CQ-PC=2y-(3y-22)=22-y,

吗QP•C8=122-y)x6=12,

解得y=18(舍去).

综上所述，经过4秒或6秒APBQ的面积为12cm2.

19.(8分)阅读下列材料•，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如今

V373

2

V3+1

一样的式子，其实我们还可以将其进•步化简：

s_sxQ_s75

V3一V3xs/3-3

2=2x(--1)=2(6-1)=6_1

V3+1-(V3+1)(73-1)-(V3)2-I2-一

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

⑴化简：专=_;Jf=_；短=一：

(2)化简：冉+i+遥+心+近+病+…+^/2019+\/2^17；

(3)已知“=晦六,y=簪噜，求］+汇的值.

V5+V3JV5-V3xy

【答案】⑴竽，祟穹⑵萼1⑶62

【分析】（1）分子分母分别乘百，遮，花一6即可•.

（2）每一个分母都乘以它的有理化因式化简后合并即可.

（3）将x,y化简后，对后面算式运用完全平方公式进行变形，代入即可.

【详解】(1)专=瑞二学,

(2_12x5_逗

5/5-yJSxS~~5~，

1__®近_>/5-V3

百+6-(V5+>/3)(>/5->/3)一~2~

故答案为当，F，学

JD/

（2）原式-1+花一百+次一花++-

2

V2019-1

后《_8«］代8I2/15

(3)x=V5+V3-2''-

0%4-y=8,xy=1

yx（%+y）264

—+—=---------z=----2=52

xyxy1

【点睛】考查二次根式的有理化.根据二次根式的乘除法法则进行二次根式有理化.二次根式有理化主要利

用了平方差公式，所以一般二次根式的有理化因式是符合平方差公式的特点的式子.

20.18分）（24-2S八年级下•湖南长沙•期末）关于“的一元二次方程。遂+人工+。=0有两个实数根分别

是%1，%2（%1<32），若%1，冷为整数，则称（无i，%2）为"。eep"点.

（l）x2+5x+4=0_（填是或否）存在"Deep"点;

⑵若关于x的一元二次方程：/+以+c=0的"Deep”点为（2,3）,求〃，c的值；

⑶关于x的一元二次方程/+2mx+m2+m=0是否存在一"Deep”点，旦该点在直线y=-2x+2上，若

存在，求出川的值，若不存在，请说明理由.

【答案】（1）是

（2）b=—5»c=6

（3）存在，m=-1

【分析】本题考查解一元二次方程，一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，一次函数图象上点的特征,

新定义及规律探究.

（1）先解一元二次方程，得到方程的两个根，再根据"Deep"点的定义判断即可：

(2)根据一元二次方程根与系数的关系得2+3=-42x3=c,进而可得答案；

(3)假设存在，根据题意△=(2m)2-4x1x(爪2+7n)=N0,求出mW0；再根据%1+小=一2血,

2

xtx2=m+m,得到必=2+2m,x2=-2—4m,代入/乃=m?+m化简为9血？+13^+4=0,求出

加，检验是否符合题意即可.

【详解】(1)解：由/+5%+4=0,得(x+4)(x+1)=0,

回x+4=0或％+1=0,

解得=-4,x2=-1,

团-4,-1为整数,

12(-4,-1)是“Deep"点,

故答案为：是；

⑵解：团关于x的一元二次方程：/+b%+c=0的〃Deep"点为(2,3),

囹2+3=—b,2x3=c,

故6=-5,c=6；

(3)解：假设关于x的一元二次方程/+2mx+m2+m=0存在一"Deep”点，且该点在直线y=-2x+2上,

由炉+2mx+m2+m=0,

得A=(2m)2-4x1x(m2+m)=-4m>0,

故n<0,

2

由一元二次方程的根与系数的关系得％1+x2=-2m,xxx2=m+m,

回X2=-2m—,

(TUeep”点(与,"2)在直线y=-2x+2上，

0x2=-2%i+2,

0—2xj+2=-2m—%i，

解得无1=2+2m,x2=-2—4m,

所以％1为2=(2+2m)(-2-4m)=m2+m,

整理得9m2+13m+4=0,

解得m=-1或m=-£

当？n=-l时，方程为/-2x=0,x1=0,小=2，"Deep"点坐标为(0,2),符合；

当m=时，.=2+2/n=争％=-2-4771=-:不是整数解，舍去.

综上，关于x的一元二次方程M+277ix+m?+m=o存在一"oeep”点，且该点在直线y=-2丫+2上，此

时?n=-1.

21.(10分)(24-25八年级下•江西赣州•期中)阅读材料：像(乃+2)(遍-2)=1,布•份二Q(QN0),

……这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式.在进行二

次根式运算时.，利用有理化因式可以化去分母中的根号.

如:廿鬲岛厂企+1，

请你解决如下问题：

⑴国+我的有理化因式是,而%=.

⑵化简嬴+募+占+…+720231^025-

⑶数学课上，老师出了一道题“已知Q=4-,求3a2-6a-1的值〃

V2-1

聪明的小明同学根据上述材料，做了这样的解答：

因为a=-^―=:、=V2+1,所以Q-1=

V2-1(V2-1)(V2+1)

所以(a—1y=2,所以Q2—2Q+1=2,所以小―2Q=1,

所以3a2—6Q=3,所以3a2-6a-1=2

利用上述方法：若a=；-",求一2a2+12a+3的值.

3-V7

【答案】(1)百一VLV6-V5

(2)22

(3)7

【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，平方差公式完全平方公式，理解题中所给有理化因式的定义

及熟知二次根式的运算法则是解题的关键.

(1)根据平方差公式和互为有埋亿因式的意义得出答案即可；

(2)先分母有理化，再根据二次根式的加减法法则进行计算即可；

(3)根据题干给出的解题方法，进行求解即可.

【详解】⑴解:0(V3+V2)(V3-V2)=3-2=1,

0V3+或的有理化因式是V5—衣，

1_1x(、用一⑹—/Z_/F

石市一(s/6+V5)(V6-V5)一V。一V3?

故答案为；\f3-yf2,76-75；

(2)余至•——----1---------1---------..._|----------i------

/册.S+WW+麻居^72023+72025

V3-VTV5-V3V7-V5

=----------------------------1-----------------------------1-----------------------------1-...

(V1+V3)(V3-VT)(V3+^)(V5-V3)(V5+V7)(V7-V5)

V2025-V2023

(V2023+72025)(72025-^023)

_\Z3-V1+V5-V3+V7->/5+-4-V2025-V2023

二2

_\z2025--/1

=2

45-1

2

=22；

(3)解：加=2=,2gy)3+夕

3-V7(3-⑺(3+仞V

0a-3=A/7,

0(a-3)*2=(V7)2,

0a2—6Q=-2,

0—2ct2+12a+3

=-2(a2-6a)+3

=-2x(-2)+3

=7.

22.(10分)(24-25八年级下•浙江•阶段练习)已知关于x的方程/-(k+2)%+2k=0.

⑴求证：无论上取任何实数值，方程总有实数根：

⑵若Rt△斜边长Q=3,另两边长沙，c恰好是这个方程的两个根，求△4BC的周长.

⑶已知三个不同的实数a,b,c满足a-b+c=3,方程产+GD:+1=0和/+Z?%+c=。有一个相同的实

根，方程/+无+Q=o和/+ex+b=0也有一个相同的实根.求。，。，c的值.

【答案】(1)证明见解析

(2)54-75

⑶Q=—2,b=—3»c=2

【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，勾股定理的应用.

(1)把•元二次方程根的判别式转化成完全平方式的形式，得由A20可知方程总有实数根.

(2)根据根与系数的关系得b+c=k+2,bc=2k,再由勾股定理得到(k+27-2x2k=9,即可解得Z

的值，利用b+c>0取舍攵的值，即可得到△48。的周长.

(3)依次将题设中所给的四个方程编号为/+以+1=0①，x2+以+c=O②，x2+%+a=o③，M+

cx+b=0④.设%】是方程①和方程②的一个相同的实根，可得：M=悬.设不是方程③和方程④的一

个相同的实根，可得小=三，可得%1不=1・再进一步求解即可.

【详解】(1)证明：(3X2-(/C+2)X+2/C=0,

0A=[一(k+2)]2-4x1x2+

=A?+4k+4-8Z

=k2-4k+4

=也一2产

•••(k-2)2>0,

0,

••・无论我为任意实数值方程.，总有实数根.

(2)解：团口△ABC斜边长a=3,另两边长江c,恰好是方程/一(k+2)》+2攵=0的两个根，

(3b+c=k+2,be=2k,

回仄。为直角边，斜边长a=3,

0b2+c2=32,

日(b+c)2—2bc=9,

0(/c+2)z-2x2k=9,

整理得/=5,

解得自=V5,k2=-V5,

•••b+c>0,

：・k2=一遍舍去，

团b+c=遍+2,

团△力BC的周长=5+遍，

(3)解：依次将题设中所给的四个方程编号为/+Q%+1=0①，/++。=o②，/+X+Q=0③,

/+c%+b=0④.

设勺是方程①和方程②的一个相同的实根，则｛1：：：：：：；，两方程相减，

设必是方程③和方程④的一个相同的实根，贝4学:不+:=）,两方程相减,

+CX2+b=0

用解得％2=4

C—1

0XtX2-1.

又方程①的两根之积等于1,

耽2也是方程①的根，则右+«X2+1=0.

又好+小+Q=0，

两方程相减,得（a-l）x2=a-L

若a=l,则方程①无实根，

回aH1,

0x2=L

01+1+a=0,

□a=-2,

由④得：b+c=-1.

又a—b+c=3,

解得：b=-3,c=2.

23.（12分）（24-25八年级下•福建福州•期中）阅读下列材料，然后回答问题：

①在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如日样的式了，其实我们还可以将其进步化简:

高==糕*=华D=V3-1,以上这种化简的步骤叫做分母有理化・

V3+1（v3+l）（v3-l）（V3）-12

②学习数学，最重要的是学习数学思想，其中一种数学思想叫做换元的思想，它可以简化我们的计算，比

如我们熟悉的下面这个题：已知Q+b=2,劭=-3,求小+/.我们可以把Q+b和ab看成是一个整体，

令刀=。+6,y=ab,则a?+/=（。+匕）2-2ab=/-2y=4+6=10.这样，我们不用求出a,b就

可以得到最后的结果.

（1）计算：焉+康；

（2）若m是正整数，a=一'b="且Q+匕+3ab=2025,求m的值；

Vm+1+v•vm+1-Vm

（3）若、15+/一\26—。2=1,则V15+%2+，26-％2的值是.（直接写出答案结果）

【答案】（1）空

(2)m=505

(3)9

【分析】本题考查了分母有理化、利用完全平方公式进行计算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是

解此题的关键.

(1)利用分母有理化的方法对各式子进行整理，从而可求解；

(2)先利用分母有理化的方法对各式子进行整理，再代入式子a+b+3ab=2025化简求解即可；

(3)先求出(V15十人2——(26-八=1,再冲算出M15十42,26—=20»结-合V15十二>o,V26—x2>

0,即可求解.

【详解】(1)解：原式二(一V3二+1；二7+鼠(v5+哥v3)港(V5-Fv3)

1Vs-V3

=-2-+-2-

=-x(V3—1+V5—V3)

_^-1

二2

yjm+l-yfm.y/m+l+y/m

(2)a=,------L，O=

%/zn+l+vmdm+1-标’

,_____,2

(Vm+1-4m)f------..2

a=7-7-----=i--------------=---=r=(Vm+1-y/m)

(vrn+1+yjm)\ym4-1—xjm)

_____(，m+l+标)2_____,2

(Vm+1+Vm).

(Vm+l-v*m)(Vnt+l+y'm)

•••a+b=(\!m+1-Vrn)2+(x/nTTT+Vm)2=2(2m+1)=4m+2.

ab=(Vm+1-Vm)2(yjm+1+Vm)2=[(Vm4-1-Vni)(V7n+1+Vm)]2=(m+1-m)2=1.

a+b+3ab=2025,

•••4m4-24-3x1=2025,

:.4m=2020,

解得：m=505；

(3)vV15+x2—V26—x2=1,

:.(V15+%2—V26—x2)2=1,

2222

A154-%-2V15+xxV26—x4-26—%=1,

•••V15+x2xV26—x2=20,

2

•••“15+/+726-x2)

2

=(V15+x2-V26-x2)+4V15+x2xV26-x2=l2+4x20=1+80=81,

•••V15+x2>0,V26-X2>0

•••V15+x2+V26-X2=9.

故答案为：9.

24.(12分)(2025•湖南长沙•二模)我们知道：关于工的一元二次方程Q/+8x+c=0(Q工0,a,b,c均

为整数)，如果/—4acN0时，这个方程的实数根就可以表示为％=生平王，其中炉—4QC就叫做一元

二次方程根的判别式，我们用△表示，即△=b2-4ac,通过观察公式，我们可以发现，如果△的值是一个完

全平方数(若九=62(TH为整数)，则九是一个完全平方数)时：一元二次方程的根不一定都为整数，但是

如果一元二次方程的根都为整数，△的值i定是一个完全平方数.

例：方程27一k一1=0,△=62-4ac=(-1)2-4x2x(-1)=9=32,△的值是一个完全平方数，但

是该方程的根为/=1，x2=-1.不都为整数；方程/-6%+8=0的两根勺=2,“2=4,都为整数，

此时A=b2-4ac=(-6)2-4xlx8=4=22,△的值是一个完全平方数.

我们定义：两根都为整数的一元二次方程Q/+bx+c=0(Q学0,Q,b,c均为整数)称为“幸运方程”，

两整数根称为"幸运根''，代数式竺子的值为该“幸运方程''的“幸运数〃，用F®,瓦c)表示，即尸(a,b,c)=

若卢.若有另一个“幸运方程"p/+qx+r=0(p^O,p,q,r均为整数)的“幸运数“为"(p,q,r),若r•

F(a,b,c)=c•尸(p,q,r),则称尸(a,b,c)与F(p,q,r)互为"开心数".

⑴关于工的一元二次方程/一(m+l)x+m=0是一个"幸运方程

①当巾=2时，该幸运方程的“幸运数〃是；

②若该幸运方程的“幸运数”是-1,则m的值为.

⑵若关于汇的一元二次方程/-(2m-l)x+m2-2m-3=0(zn为整数，且4<m<15)是“幸运方程”,

求加的值及该方程的“幸运数〃；

⑶若关于x的一元二次方程/一本为+根+1=0与-(n+2)x4-2n=0(m、九均为整数)都是“幸运方

程"，且其"幸运数〃互为"开心数〃，求"的值.

【答案】⑴①一右②一1或3；

(2)加=9,该方程的“幸运数"为一?

4

(3)n=3或九=0

【分析】本题考查了•元二次方程根的判别式以及“幸运方程”的定义，解一元二次方程，一元二次方程根与

系数的关系；

(1)①把m=2代入方程/一(m+l)x+m=0得到方程/-+2=0,根据“幸运数〃的定义即可求解；

②艰据“幸运数”的定义可得方