2025-2026学年人教版八年级数学上册同步练习：等腰三角形

15.3.1等腰三角形

第1课时等腰三角形的性质

基础巩固提优

1.若等腰三角形有一个内角为则这个等腰三角形的底角是（）.

A.70°B.45°

C.35°D.50°

2.（2024•兰州中考）如图在△ABC,AB=AC,ZBAC=130°,DA1ACjlJZADB=（）.

A.100°B.115°C.130°D.145°

3.如果等腰三角形的一个内角为另一个内角的2倍，那么该等腰三角形的底角等于（）.

A.36°B.45°

C.36。或45°D.45。或72°

4.（2024.湖南中考）若等腰三角形的一个底角的度数为40。，则它的顶角的度数为。.

5.（2024.镇江中考）等腰三角形的两边长分别为6和2,则第三边长为.

6.（2024•绥化中考）如图,人8〃©口,2^=33。,0©=0已则/4=。.

7.如图.在△ABC中,NC=9（r,BC=5.

（1剂用直尺和圆规在AB边上求作一点P,使得NAPC+NBCP=90。;（不写作法，保留作图痕迹）

（2底⑴的条件下试判断NPCB与NA之间的数量关系，并说明理由.

（第7题）

思维拓展提优

8.（2025•河［田家庄新乐期末）如图，在△ABC中,AB=AC,AD.BE分别是△ABC的中线和角平分线.若NCAD

=20。则NABE的度数为（）.

A.20°B.35°C.40°D.70°

9.如图,D,E分别是△ABC的边BC,AC上的点，若AB=AC,AD二AE很"）.

A.当NB为定值时,NCDE为定值

B.当a为定值时.NCDE为定值

C.当p为定值时,NCDE为定值

D.当丫为定值时,NCDE为定值

10.（2025•江苏南通海安期末）如图，在△ABC中,CA=CB,NACB=II（）。,延长BC到D在NACD内作射线CE,

使得NECD=15。.:过点A作AFJ_CE,垂足为F.若力尸=五则AB的长为（）•

11.（2025•重庆渝北区两江育才中学期末加图，在△ABC中.AB=AC,AD_LBC于点D.DE1AB于点E,BF±AC

于点F,BF=16,则DE的值为（）.

A.6B.7

C.8D.9

12.（2025•内蒙古通辽期末）如图在△ABC中,AB=AC,BD=CE,CD=BF若NA=50。,则NEDF=（）.

A.80。B.65°C.50°D.20°

（第15题）

13.（2024.山东临沂期末）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为60。，则等腰三角形的底角度数为

14.（2025.湖北武汉青山区期末）在等腰三角形ABC中.AB=AC,两腰的垂直平分线交于点P,已知/BPC=1

00。,则等腰三角形的顶角为

15.如图，在△ABC中,NACB=2/A,过点C的直线能将△ABC分成两个等腰三角形，则NA的度数为

16如图，在△ABC中,AB=AC,BC=BD,AD=DE二EB,试求NA的度数.

（第16题）

17（2025•江苏扬州江都区期末）如图.AB二AOAD.

⑴若AD〃BC,

①若NC=80。,则ND的度数为°;

②猜想NC和ND的数量关系并证明.

（2）如果NC=2ND,AD与BC有什么位置关系?请证明你的结论.

18.（2025•重庆黔江区期末）在△ABC中,AB=AC,BD平分/ABC,交AC于点D,BD二AD.

(l^^kl)*NBAC的度数:

⑵如图⑵,E是AB的中点，连接ED并延长,交BC的延长线于点F,连接AF.求证:AF=AB+BC.

（第18题）

第2课时等腰三角形的判定

基枇巩固提优

10024.浙江慈溪期末）下列各组线段中,能构成等腰三角形的是（）.

A.1,1,2B.2,2,4C.3,3,5D.3,4,5

2.（2024.云南中考）已知AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，若点F到直线AB的距离为3厕点F到

直线AC的距离为（）.

A.|B.2C.3D.1

3.（2025•重庆开州区期末）如图.在△ABC中,BE平分NABC,DE〃BC,若AB=12.AD=5,则DE等于（）.

A.6B.7C.8D.9

4.（2025.福建师大附中期末）如图的正方形网格中，像点A,点B这样网格线的交点称为格点以AB为边的等

腰三角形ABC的三个顶点都属于格点，这样的等腰三角形有（）.

A.10个B.8个C.6个D.4个

5.如图，在△ABC中,AB=AC.NBAC=108o,AD,AE三等分NBAC.图中共有等腰三角形个.

（第5题）（第6题）

6.（2024.浙江绍兴竦州期中）如图.在四边形ABCD中.AD〃BC,DC=AB,BF平分NABC,交AD于点F,CE平分

NBCD,交AD于点E,AB=6,EF=2,贝!JAD的长为.

7.如图，在△ABC中,AB=AC,过BC上一点D作BC的垂线，交BA的延长线于点P,交AC于点Q,试判

断aAPQ的形状，并证明你的结论.

8.（2025•山东临沂莒南期中）如图在△ABC中,/8人©=126。,/8=42。,边AB的垂直平分线DE与AB交于点

E,与BC交于点D,连接AD.求证:△ACD是等腰三角形.

思睢拓展提优

9.（2025•广东潮州饶平期末）如图在△ABC中,NABC和NACB的平分线交于点E,过点E作MN〃BC交A

B于M,交AC于N,若BM=4,CN=3,则线段MN的长为（）.

A.6B.7C.8D.9

10（2025•江苏扬州高邮期末）如图，已知AD平分△ABC中的NBAC,过点D作BD_LAD,点E是边AC的

中点，连接BECD,若DC=AC=4,则图中两个阴影部分面积之差的最大值为（）.

A.6B.8C.10D.12

11定义：等腰三角形的顶角与一个底角的度数的比值称为这个等腰三角形的“特征值”，记作k,若等腰三角形

ABC中,/A=40。厕它的特征值k=.

12.（湖南长沙长郡中学自主招生）已知点A（l,1）在平面直角坐标系中，在x轴上确定点P,使仆AOP为等腰

三角形，则符合条件的点P共有个.

13.（2025•北京西城区期中）如图在△ABC中,AD平分/BAC,E是BC上一点BE=CD,EF〃AD交AB于点

F.交CA的延长线于点P,CH〃AB交AD的延长线于点H.

⑴求证:△APF是等腰三角形:

⑵猜想AB与PC的大小有什么关系，证明你的猜想.

（第13题）

14.（2025.陕西延安延长期末）如图.在△ABC中,AB=AC,D为BC的中点，连接AD,AC的垂直平分线EF交

AB于点E.交AD于点O,交AC于点F.连接OB.OC.

（1）求证溶人08是等腰三角形；

（2）若NBAD=18。,求NAEF的度数.

（第14题）

15.（2025•广东东莞期末）如图，在△ABC中、AB=AC,D是BC边的中点，连接AD.BE平分NABC交AC于点

（l）若NC=40。,求NBAD的度数：

⑵过点E作EF〃BC交AB于点F,求证:△BEF是等腰三角形；

⑶若BE平分△ABC的周长,△AEF的周长为15.求4ABC的周长.

延伸探究提优

16如图在△ABC中,/13=90。48=1651,肥=125^^=205]©是4人1^边上的两个动点，其中点P从点

A开始沿A—B方向运动，且速度为每秒1cm,点Q从点B开始沿BC—CA方向运动，且速度为每秒2cm,P,

Q两点同时出发，当点P运动到点B时两点停止运动，设运动时间为t秒.

(1)BP=cm(用含t的式子表示).

⑵当点Q在边BC上运动时.

①出发几秒后,△PQB是等腰三角形？

②通过计算说明PQ能否把△ABC的周长平分.

(3)当点Q在边CA上运动时，若△BCQ是以BC或BQ为底边的等腰三角形，直接写出此时t的值.

17.(2025福建龙岩漳平期中)在△ABC中,AB±AC,NABC与NACB的平分线交于点O,MN经过点O,与AB,

AC相交于点M,N,且MN〃BC.

⑴如图(1),直接写出图中所有的等腰三角形:猜想:MN与BMCN之间有怎样的数量关系，并说明理由.

⑵如图(2),在4ABC中,/ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点0,过点O作。M〃BC交AB

于点M,交AC于点N.图中有等腰三角形吗?如果有，分别指出它们.写出MN与BM,CN之间白徵量关系.并说明

理由.

18（2024.重庆中考）如图在△ABC^,AB=AC,ZA=36°,BD平分/ABC交AC于点D.若BC=2,则AD的长

度为.

15.3.1等腰三角形

第1课时等腰三角形的性质

1.C

2.B［解析］在△ABC中.AB=AC,・・・/B=NC.

匚口8-。=130”,□匚3=口。=二°=25.

VDA1AC,/.ZDAC=90°,.\ZADC=90°-25°=65°,

□UADB=1800-□JDO180D-65n=115.

故选B.

思路引导解答本题需要先根据等边对等角得出NB=NC再根据/BAC=130唧可求出/C的度数面DA1A

C得出/DAC=90。,从而求出NADC的度数.

3.D

4.100［解析］•・•等腰三角形的一个底角的度数为40。，

・•・这个等腰三角形的另一个底角的度数为40。，

・•・等腰三角形的顶角的度数为180-2x40=100.

5.6［解析］当6为一腰长时，则另一腰长为6,底边长为2,・・・6+6>2,・•.能构成三角形.・•・第三边长为6;

当2为一腰长时，则另一腰长为2,底边长为6,・・・2+2<6,・••不能构成三角形.舍去.

综上,第三边长为6.

归纳总结分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时.分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系

判断是否能构成三角形，即可得出答案.

6.66［解析「・・OC=OE,NC=33。・,・/£=NC=33。,

NDOE=NE+NC=66°.

VAB//CD,AZA=ZDOE=66°.

7.⑴如图，点P即为所求.

A

(2)口尸。8=汨4理由如下：由作图可知,AC=AP,/ACP二/APC.

AZA+2ZACP=180°.

2(第7咫)

•・•ZACB=90°,

・•・ZPCB+ZACP=90°.・•・ZPCB=:NA.

2

8.B［解析］YAD是ZkABC的中线,AB=AC,NCAD=20o,・・・NCAB=2ZCAD=40°,AZABC=ZC="18

0一口C/8)=7(P.

•••BE是^ABC的角平分线，

匚□18£=；口48。=35,故选B.

9.B

10.B［解析］如图过点C作CH_LAB于点H.

A

H

I*----------#--------1）

（第ioO>

VCA=CB,ZACB=110°,

a\ACH=^ACB=55,QACD=704H=BH

,/ZECD=15O,AZACF=ZACD-ZECD=55°,

/.ZACH=ZACF=55°,/.CA平分/HCF.

VAF±CE,CH±AB,AAH=AF=层

I48=2彳”=26.故选B.

名师点评过点C作CH1AB于点H,根据等腰三角形的性质以及角的和差求出AH=BH.ZACH=ZACF

=55。.则CA平分NHCF,根据角平分线的性质可得AH=AF,即可得AR的长.

IIC［解析］,•,AB=AC,AD_LBC,

AAD是^ABC的中线，

SABC=2SABD=2X：XDEAB=DEAB.

LSABC=）CBF,R4CBF=DEAB.

•・•AC=AB,・•・BF=2DE.VBF=16,・*DE=8.

故选C.

12B［®Uf］VAB=AC,ZA=50°,.\ZB=ZC=65°.

BD=CE,

在ABDF与4CED中｛口8=匚£,

BF=CD、

AABDF^ACED,.*.ZBFD=ZCDE.

*.•ZBDF+ZBFD=180。-ZB=U5\

AZBDF+ZCDE=115°,

匚□万。尸=180L（口〃。产+口。。£'）=65口..故选B.

13.75。或15。|解析］在等腰三角形ABC中,AB=AC,BD为腰AC上的高,NABD=60。.

当BDABC内部时，如图⑴,

VBD为高,..・NADB=90°,

□B/1D=9O-60=3()u.n/IB=JC,

口480匚1C8=；X(180:30)=75);

(第13题)

当BD在^ABC外部时.如图⑵,

VBD为高,・・・NADB=90。，

匚口比1。=90-60=30.

VAB=AC,AZABC=ZACB.

,:ZBAC=180。-ZBAD=I50°,

匚口48。=匚XC8=gx(i80-150)=15.

综上所述，这个等腰三角形底角的度数为75。或15。.

1450。或13()。［解析］分两种情况:

当点P在^ABC的内部时，连接AP.如图(1).

•・•两腰的垂直平分线交于点P,AAP=BP=CP.

二ZCAP=ZACP,ZBAP=ZABP

VZBAC=ZBAP+ZCAP,

・•・ZBAP+ZCAP+ZACP+ZABP=2ZBAC.

VZBPC=100°,

匚□8尸/1+口。产力=360-100=260

「ZBPA+ZCPA+2ZBAC=360°,

，NBAC=50°.

当点P在4ABC的外部时.连接AP,如图(2),

（第M题⑵）

由邈意狷AP=BP=CP,

/.ZPAC=ZPCA,ZPBA=ZPAB,

；・ZPBA+ZPAB+ZPCA+ZPAC=2ZBAC.

VZPBA4-ZPAB+ZPCA4-ZPAC+ZBPC=360O,ZBPC=I00O,A2ZBAC=360O-I00O=260°,

.,.ZBAC=130°.

综上,等腰三角形的顶角为50。或130。.

1545。或36。或（帘或管）或件）

16设NABD=x.•・•AD=DE=EB,

.\ZEDB=x,ZA=ZAED=2x.

VBD=BC,AZC=ZCDB=ZA+ZABD=3x.

又AB=AC,：・ZC=ZABC=3x.

.•・3x+3x+2x=l80。,解得x=22.5°.AZA=2x=45°.

17.⑴①40

②NC=2ND.理由如下：

VADZ/BC,.*.ZD=ZDBC.

VAB=AD,AZD=ZABD,

AZABD=ZDBC=ZD,ZABC=2ZD.

VAB=AC,.\ZC=ZABC=2ZD.

（2）AD〃BC,理由如下：

VAB=AC,.\ZABC=ZC=2ZD.

VAB=AD,AZABD=ZD.

又/ABC=ZABD+ZDBC,/.ZDBC=/D,：・AD〃BC.

18.(1)设\^ABD=x\

VBD平分/ABC,，ZDBC=Z/\BD=x0.

VAB=AC,AZC=ZABC=2x°.

VBD=AD,.\ZA=ZABD=x°.

在AABC中,NA+NABC+NC=I8O。，

・・・x+2x+2x=18(),解彳导x=36,AZA=36°.

AZBAC的度数为36。.

(2)VE是AB的中点BD=AD.

・・・EF是AB的垂直平分线,・・・AF;BF,

ZFBA=ZFAB=72°,.\ZAFB=ZFAC=36°,

/.CA=CF,/.AB=AC=CF,

AAF=BF=BC+CF=AB+BC.

19⑴如图(1)中J；DB=DC,DE±BC,.\CE=BE(三线合一).

（1）（2）

（第19题）

⑵/ABC-NACB=2NADE.理由如下：

如图⑵中作BN1AD于点N.交AC于点M,设AD与BC交于点0.

VAD平分NBAC,，NBAN=NMAN,NBAN+ZABN=90°,ZMAN+ZAMN=90°,

AZABN=ZAMN.

*/ZDOE=NBON,NDEO=ZBNO=90°,

••・NADE=NCBM,

・•・ZABC-ZACB=ZABM+ZCBM-ZACB=ZAMB+ZCBM-ZACB=ZMCB+ZCBM

+ZCBM-ZACB=2ZCBM=2ZADE.

(3)如图⑶中作DM1AC于点M.DN_LAB交AB延长线于点N.

'：ZDAN=ZDAM,DM1AC,DN1AB,

ADM=DN.

在RtADBN和R(ADCM中，/

”B=DC,。隔~~^4

/.△DBN^ADCM,.*.ZBDN=ZCDM,'

(第196(3))

AZCDB=ZMDN.

VZCAB+ZMDN=180°,

AZCDB+ZCAB=180°.

,**ZACB=40°,ZADE=20°,ZABC-ZACB=2ZADE,

/.ZABC=8(r,

匚□CAB=180u-80J-40=60LJ,DDCD5=120J,

・•・ZEDB=ZEDC=60\.\ZDCB=90°-ZEDC=30°.

20(1)7ZDAE=ZBAC,

・•・ZDAE-ZCAD=ZBAC-ZCAD.

AZCAE=ZBAD.

AB=AC,

在ADAB和△EAC中，｛口8ZD=E1C4£,・・・Z\DABg△EAC(SAS).

AD=AE,

(2)®I3O［解析］由(I)知,△DAB^AEAC,/.ZABC=ZACE.

在AABC中,AB=AC,NBAC=a=50。，

QABC=/IC5=1(180!］-CBJC)=1X(|80-50°)=65°./.P=ZACB+ZACE=ZACB+ZABC=65+65口=130口.

②a+p=180。证明如下：

由⑴知,△DAB^AEAC,/.ZABC=ZACE.

在AABC中,AB=AC,NBAC=a,

□/14C=匚4。=；(180〕一匚4/10)=；口(1801-a)=90-^a.

/.p=ZACB+ZACE-ZACB+ZABC-9O°-氐+90-a.匚a切=180L

(3)p=a.证明如下：

VZDAE=ZBAC,

/.ZDAE-ZBAE=ZBAC-ZBAE.

AZCAE=ZBAD.

AB=AC,

在乙DAB和^EAC中｛[BAD=2CAE,

AD=AE,

AADAB^AEAC(SAS).AZABD=ZACE.

在乙ABC中,AB=AC,NBAC=a,

[48C=匚4cB=；(I8O-CC)=；d(180-a)=90°-ZACE=ZABD=180°-ZABC=180-(90-^a)=9

0+；a.

匚外EUCE-D4C3=9()」+；a—(90-1a)=a.

21100。[解析]:AC=AE.BC=BD,

/.设ZAEC=ZACE=x°,ZBDC=/BCD=y。，

匚口/=180J-2xll匚B=\80J-2yc.

□4C8+[4+[JB=180口,□BDC+U4EC+(JDCE=180,□L^C5+(180]-2xa)+(180)=180」，180J-(x+

y)=CDCE

匚EMC8+360,-2(”+y)=180,

AZACB+2ZDCE=180o.

ZDCE=40°,AZACB=100°.

第2课时等腰三角形的判定

1.C

2.C[解析「・*AF是等腰三角形ABC底边BC上的高，

・・・AF是顶角NBAC的平分线.

•・•点F到直线AB的距离为3,

・••点F到直线AC的距离为3.故选C.

名师点评根据等腰三角形的性质：三线合一，可知AF也是顶角NBAC的平分线，然后根据角平分线的性质,

即可得到点F到直线AC的距离.

3.B［解析］・.・AB=I2,AD=5,

ABD=AB-AD=12-5=7.

VBE平分/ABC,・・・NABE=NCBE.

VDEZ/BC,.*.ZDEB=ZCBE,.\ZABE=ZDEB,

・・・DE=BD=7.故选B.

4.A［解析］如图所示，分以下情况讨论：

①当AB为等腰三角形ABC底边时，符合条件的C点有6个:Ci。2。3,C4,C5,C6;

②当AB为等腰三角形ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个C7,C8,C9G0

・♦・这样的等腰三角形有6+4=10（个）.故选A.

5.6［解析］：AB=AC,NBAC=108。，

AZB=ZC=36°,/.AABC是等腹三角形.

VZBAC=108°,AD,AE三等分/BAC,

・•・ZBAD=ZDAE=ZEAC=36°,

AZDAC=ZBAE=72°,

AZAEB=ZADC=72°,

・•・BD=AD=AE=CE,AB=BE=AC=CD,

.\AABE,AADC.AABD,AADE,AAEC是等腰三角形，则等腰三角形共有6个.

6.10［解析］:BF平分NABC,，/ABF=NCBF.

•・•AD〃BC,・・・ZAFB=ZCBF,

JZAFB=ZABF,/.AF=AB.

VAB=6,AAF=6.又EF=2,AAE=AF-EF=4.

VDC=AB,AB=6,ADC=6.

VCE平分/BCD,・・・/BCE=/DCE.

•・•AD〃BC,工ZBCE=ZDEC,

・•・ZDEC=ZDCE,JDE=CD=6.

AAD=AE+DE=10.

7.AAPQ是等腰三角形.证明如下：

VAB=AC,AZB=ZC.

又PD_LBC,・・・ZBDP=ZPDC=90°,

・•・ZP+ZB=90°,ZDQC+ZC=90°,

・•・NP二/DQC,又NDQC=NAQR

・•・NAQP=NP,・・・AAPQ为等腰三角形.

8.VDE垂直平分AB,DB=DA,.\ZB=ZDAB.

•；NB=42。,，ZB=ZDAB=42°,

・•・ZADC=ZB+ZDAB=84°.

匚CiQ/lO匚8/C—匚£M8=126—42=84JDC,

・•・CA=CD,・•・△ACD为等腰三角形.

9.B［解析］・・,NABC和NACB的平分线相交于点E,

ZMBE=ZEBC,ZECN=ZECB.

•・,MN〃BC,・•・NEBC=ZMEB,ZNEC=ZECB,

・•・ZMBE=ZMEB,ZNEC=ZECN,

ABM=ME,EN=CN,

:.MN=ME+EN=BM+CN.

•.•BM=4,CN=3,，MN=7.古烟B.

10Bl解析］如图，延长BD交AC于点H,设AD交BE于点0.

（第lojffi）

VAD±BD,AZADB=ZADH=90°,

JZABD+ZBAD=90°,ZH+ZHAD=90°.

VAD平分NBA"ZBAD=ZHAD,

.,.ZABD=ZH,/.AB=AH.

VAD±BH,ABD=DH.

VDC=CA,AZCDA=ZCAD.

,/ZCAD+ZH=90°,ZCDA+ZCDH=90°,

.*.ZCDH=ZH,.\CD=CH=AC.

=产;

[AE=EC,SABE^ABH、SCDSABlh

匚$「口

O8O-SdO£=ScHO8-S[X8£=SADHT8H=SxACD.

•••AC=CD=4,・••当DC_LAC时,△ACD的面积最大.最大面积为^4x4=8,

・•・图中两个明影部分面积之差的最大值为8.故选B.

H.沙中解析I当/A为顶角时底角/B=70。,此时，特征值七弟；；

当NA为底角时，顶角为100。，此时，特征值公器=(.

124[解析]分三种情况：

如图.当AO=OP时，与x轴有2个交点，分别为P】R:当AO=AP时与x轴有1个交点，为P4；

当AP=OP时与x轴有1个交点为P2,故符合条件的点有4个.y\

13.⑴如图，・EF〃AD,・・.N1=/4,N2=NP.

-2P^1O\1X2x

VAD平分ZBAC,AZ1=Z2,Z4=NP,

(第12题)

AAF=AP.EPAAPF是等腰三角形.

(2)AB=PC.理由如下:

VCH/7AB,.'.Z5=ZB,ZH=Z1.

VEF/7AD,AZ1=Z3,

/.ZH=Z3.

在ABEFCDH中,

R=5

｛口3=匚〃,

BE=CD,

/.△BEF^ACDH(AAS),

/.BF=CH.

VAD平分NBAC,・・・N1=N2,

・•・Z2=ZH,.\AC=CH,/.AC=BF.

VAB=AF+BF,PC=AP+AC,AB=PC.

14(l)VAB=AC,D为BC的中点，

AAD是BC的垂直平分线,，OB=OC.

VEF是AC的垂直平分线,・・・OA=OC,；.OA=OB,

/.△AOB是等腰三角形.

(2)VEF±AC,/.ZAFE=90°.

VAB=AC,D为BC的中点,.'AD平分NBAC,

/.ZEAF=2ZBAD=36°,

:.口力EF=90i-DE/i尸=54°.

15.(1)VAB=AC,••・NGNABC.

VZC=40o,AZABC=40°.

VAB=AC,D为BC的中点，

AADIBC,.*.ZBDA=90°,

匚口84。=90—口/8。=90-40=5().

(2)VBE平分NABC・・・/ABE=NEBC.

EF〃BC,；・ZEBC=ZBEP,

工ZEBF=ZFEB,.\BF=EF,

•••△BEF是等腰三角形.

(3)VAAEF的周长为15,/.AE+AF+EF=15.

BF=EF,AE+AF+BF=15,即AE+AB=15.

「BE平