2025年北京市各区高考数学一模试题汇编：三角函数与解三角形（含详解）

专题08三角函数与解三角形

「题型概览

题型01三角变换及求值

题型02三角函数的图象与性质

题型03解三角形

题型04三角函数与导数等知识交汇

效型01三角变换及求值

1.（2025•北京朝阳•一模）已知sina+sin/?=0,cosa+cos〃=6^i」cos（a-〃）=（）

A.—B.!C.D.1

222

2.（2025,北京东城•一模）在平面直角坐标系xQv中，角。以Ox为始边，其终边落在第一象限,则下列三角函数值中一定大

干零的是（）

A.sin（7t+a）B.cos（7i-a）C.sin2aD.cos2a

2

3.（2025•北京西城•一模）在长方形A3CO中,E为3C的中点,cos乙4包=§,则cosZA£O=（）

1

475-

9一9

A.B.

UA1

4V5-

99-

4.（2025•北京门头沟•一模）在平面直角坐标系,0），也角。以。r为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为-3,写出一个

符合题意的。=.

5.（2025•北京石景山一模）如图，角。以Ox为始边，它的终边与单位圆。相交于点匕且点P的横坐标为，则sin（]+a

的值为.

3

6.（2025•北京延庆•一模）已知。是第四象限角且5皿。=一白2川11〃-854=0,则1211（。-0的值为.

7.（2025•北京房山•一模）若对任意实数x,cos（x+g]=而也"+。）（心0）恒成立,则满足条件的一组4,尹的值为

A=,中=

«02三角函数的图象与性质

1.（2025•北京海淀•一模）已知函数尸瓜in（5+°）3>0）的部分图象如图所示.若A,3（,0四点在同一个圆上,

则W=()

A.1

C.兀D.—

2

2.（2025•北京西城•一模）已知函数〃x）=siar+辰。*.若/（%）=/（9）,则（）

A.玉一天=2E（ZeZ）B.%_/=2E或百+%=+eZ)

C..V]+x2=kn+^(keZ)D.玉一/=2E或芭+/=E+](keZ)

3.（2025•北京门头沟•一模）已知函数/（x）=sinx-常，满足/（5）+/（.12）=。，且/（，1）在区间（内，石）上具有单调性,则

%+七的值可以是（）

n27t4n5兀

A.-B.-C.—D.—

3333

4.（2025•北京平谷•一模）已知函数/（32sM»-外（。>0）,若〃X）在区间j-碧］上没有最值，则◎的最大值为

（）

245

A.-B.-C.-D.2

333

5.（2025•北京东城•一模）已知函数/（x）=sin3x（3>0）,若/（x）的最小正周期为q则啰=，若存在不占金［兀,2可,

使得|/&）二"七）|=2,则。的最小值为.

6.（2025•北京丰台•一模）已知函数/（J）=sin（3x+g）（3>0,|同<］）的部分图象如图所示，其中M,N是直线）与曲线

产/’（力的两个相邻交点.若|MN|=，则①=r/^）=.

7.（2025•北京通州•一模）设函数/（x）=2sin（5+9）（®>0.冏</）

⑴若〃0）=T,求。的值.

⑵己知/（X）在区间一看常上单调递机/传）=2,再从条件①,条件②，条件③这三个条件中选抵一个作为已知，使

函数/（/）存在，求。〃的值.

条件①：小）在区间［y，-，］上单调递减.

JU

条件②：/［£|=2&.

条件③：为函数/"）图象的一条对称轴.

6

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

8.（2025•北京石景山•一模）已知函数"x）=Asin®x+e）（其中A>0,G>0,［同<］）.从条件①,条件②，条件③这

三个条件中选出两个作为已知，使得函数唯一确定.

⑴求函数/（"的解析式.

（2）求函数“X）在恒］上的最大值和最小值.

条件①：/信|=1.

条件②：信可是尸了（X）的对称中心.

条件③：产/（可可以由函数），=sin2T+Gcos2x平移得到.

注：如果选择的条件不符合要求，得。分,如果选择多个符合要求的条件分别解答.按第一个解答计分.

9.（2025•北京顺义•一模）已知函数/（x）=sin（公r-1+Gcos5®>0）.

⑴求/（O）的值.

⑵再从条件①，条件②，条件③中选择两个作为一知条件，使函数/（“存在且唯一确定.当在区间（0，。）5>0）上

仅有一个零点时，求。的取值范围.

条件①：”力在去蔡上是单调函数.

条件②：y=/W图象的一个对称中心为（去。）.

条件③：对任意的xeR,都有小）《/（总成立.

注：如果选择的条件不符合要求，得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

题，结解三角形

1.（202s•北京石景山•一模）在VA8C口，若asin8-J5sinA=0,则人=（）

A.出B.2百C.1D.2

2.（2025•北京通州•一模）在VA8C中，已知a=7,c=5,C=；.则cos2A二.

3.（2025•北京顺义•一模）在VA3C中,~=3c,?八2?C,则8sC=.

条件③：/W边上的高〃==

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

9.（2025•北京丰台•一模）在V44C中/2-/-c2=-：ac.

⑴求sinB.

⑵若VABC的面积为凶，再从条件①，条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VABC存在，求a.

4

条件①：C=y.

条件②：0=5.

条件③：sinA-sinC=1.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

10.（2025•北京朝阳•一模）在"WC中,〃COSA+4COSB=/.

⑴求。的值.

⑵己知sinC=：,再从条件①,条件②，条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得VA3C存在且唯一，求VA8C的周

长.

条件①：

条件②：AB边上的高为

条件③：a=g.

注：如果选择的条件不符合要求，第（1）问得。分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

11.（2025•北京平谷•一模）在V48C中,2ccos8=2a—b,c=G.

⑴求NC的大小.

⑵再从下列三个条件中，选择一个作为已知，使得VA5c存在且唯一，求VA4C的面积.

条件①：cosA=-^.

条件②：〃=0.

条件③：8c边上的高为力=.

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

12.（2025・北京延庆•一模）在VABC中,c=6,2Zx2s+2a8s8=3Z?.

⑴求b.

⑵再从条件①，条件②,条件③这三个条件中选择一个作为已知，使VA3C为锐角三角形，并求VA8C的面积.

条件①：。=4,条件②：八8边上中线的长为JT7,条件③：sinB=sin2C.

注：如果选择多个符合要求的条件分别解答,按第一个解答计分.

败理加］三角函数与导数等知识交汇

1.（2025•北京房山•一模）已知函数/（x）=sin2x,则"+占=。"是"/（百）+/（9）=。〃的（）

A,充分而不必要条件

B.必要而不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.（2025•北京朝阳•一模）某市计划在一条河上修建一座水上休闲公园，如图所示.这条河两岸所在直线44互相平行,

桥。E与河岸所在直线垂直.休闲公园的形状可视为直角三角形,它的三个入口分别设在直角三角形的顶点A,B,C处，其

中入口A点（定点）在桥。七上，且4到直线《4的距离分别为4》2（匕，生为定值），入口8,C分别在直线人“上，公园

的一边A8与直线，2所成的锐角NA8D为a,另一边AC与43垂直.设该休闲公园的面积为S（a）,当a变化时，下列说法

A.函数5（a）的最大值为他2

B.函数5（。）的最小值为牛

C.若且囚〈巴，则S（a1）＜S（%）

D.若。］,见40，9且%+%=［则S（ai）=S（4）

3.（2025•北京平谷•一模）已知函数/"）=si吟x,任取/wR,定义集合：A=｛引y=/（x）,点。（，J（1））,Q（xJ（x））满足

设M,鹏分别表示集合人,中元素的最大值和最小值，记〃（，）=M%.则函数仪，）的最小值是（）

A.2&B.1C.72D.2

4.（2025•北京海淀•一模）如图所示，某游乐场有一款游乐设施，该设施由转轮A和转轮3组成,8的圆心固定在转轮A上

的点。处,某个座椅固定在转轮8上的点M处.A的半径为10米,8的半径为5米,A的圆心”距离地面竖直高度为20

米.游乐设施运行过程中,A与8分别绕各自的圆心逆时针方向匀速旋转,A旋转一周用时万分钟,8旋转一周用时!■分

钟.当。在〃正下方且M在。正下方时，开始计时,设在第，分钟M距离地面的竖直高度为米.给出下列四个结论:

转轮力

转轮8〃⑺

①归=25.

②〃（/）最大值是35.

③M在竖直方向上的速度大小低于40米/分钟.

④存在/0€（。，乃），使得/="时M到尸的距离等于15米.

其中所有正确结论的序号为.

5.（2025•北京丰台•一模）已知函数/（x）=e'-acQSx.给出下列四个结论：

①当a=l时，/⑴在区间卜去0）上单调递增.

②对任意实数〃,/（“都没有最小值.

③当4。0时，设/（X）的零点从大到小依次为士户2,占〃则对任意正整数都有七-七+】〈冗.

④对任意实数存在实数小,当，＞/时，恒有+

其中所有正确结论的序号为.

专题08三角函数与解三角形

。题型概览

题型01三角变换及求值

题型02三角函数的图象与性质

题型()3解三角形

题型04三角函数与导数等知识交汇

题型夕［三角变换及求值

1.(2025•北京朝阳•一模)已知sina+sin4=(),cosa+cos〃=64iJcos(a-/?)=()

A.--B.；C.—D.1

222

【答案】B

【分析】将给定的两个等式平方相加，再逆用差角的余弦公式即得.

(详解】由sina+sin/?=0,cosa+cos夕=J5,得(sina+sin/尸+(cosa+cos〃f=3.

整理得2+2(cosacos/y+sinasin/?)=3,所以cos(a-/?)=g.故选：B

2.(2025,北京东城•一模)在平面直角坐标系xQy中，角a以Ox为始边，其终边落在第一象限，则下列三角函数值中一定大

于零的是()

A.sin(7t+a)B.cos(jr-a)C.sin2aD.cos2a

【答案】C

【分析1先得到sina>0,cosa>0,利用诱导公式和倍角公式得到AB错误,C正确,举出反例得到D错晟

【详解】由题意得sina>0,cosa>(),A选项,sin(7t+a)=-sinQ〈(),A错误,B选项,cos(兀-a)=-cosa<(),B错误,C选

项,sin2a=2sinacosa>(),C正确,D选项,cos2a=cos%-sin?a,若a=，此时cos2tz=0,D错误.故选：C

4

2

3.(2025•北京西城一模)在长方形48co中，七为BC的中点,cosZAE5=§,则cosZAED=()

A4万R1

99

r475n1

99

【答案】B

2

【分析】设ZAEB=/则cos"：,分析可知乙4£/)=兀-现利用诱导公式结合二倍角的余弦公式可求得cosZAEQ的值.

【详解】设44所=?则cos"：,如下图所示：

c

因为=|明，忸目二|3，/八8石=/乃8=90,所以,八48£g2\。0£,所以,/。反?=24反二/故44包＞二兀一2/因

0—1—2xf—'j=L.故选:B.

此,cosZAED=COS(K-2^)=-COS2^=l-2cos2

⑴9

4.（2025・北京门头沟•一模）在平面直角坐标系X。），中，角。以Ox为始边，其终边与单位圆交点的横坐标为-会写出一个

符合题意的。=.

【答案】彳9jr（答案不唯一）

【分析】根据终边相同的角以及余弦函数的定义，计算即可.

【详解】由题意,cosa=-1则。=今+2也或。=弓+2阮法€乙故答案为：笄（答案不唯一）.

4JJJ

5.（2025•北京石景山•一模）如图，角a以3为始边，它的终边与单位圆。相交于点P,且点尸的横坐标为|,则sin[^+a

的值为.

【答案】|A6

【分析】先根据三角函数的定义可得ccsa=]进而结合诱导公式求解即可.

勺勺/、7々

【详解】由题意，点P的横坐标为则ssa=；,则sing+a=cosa葭.故答案为：

3

6.（2025•北京延庆・一模）已知。是第四象限角且411。=一白24117?-856=0,则1211（。-0的值为.

【答案】-2

31

【分析】由已知求得tana=-：,tan〃=；,再根据两角差的正切公式计算即可.

42

3431

【详解】因为。是第四象限角且sina=-《,所以8$。=缶泮111。=一^，因为20111万一8§/7=0,所以1@11/?=/,则

31

tana-tan/?

tan(«-^)==-2.故答案为:

1+tanatanp

7.（2025•北京房山•一模）若对任意实数x,cos“看卜小而（刀十8）（八＞0）恒成立,则满足条件的一组人中的值为

A=，①=

【答案】1y

【分析】应用诱导公式计算求解即可.

【详解】若对任意实数x，cos（x+江Sin1+泊卜inb+D=4sin（x+0）（A>O）恒成立，则满足条件的一组4#

的值为A=l,Q=g27r+2E#cZ9.7t故答案为：1,千（答案不唯一）.

JJ

眼型02三角函数的图象与性质

1.（2025•北京海淀•模〉己知函数y三瓜in（3+w）（o>0）的部分图象如图所示.若A,8,C,Q四点在同个圆上，

则”=()

A.1

C.兀

【答案】D

【分析1根据对称性可知E为圆心，根据［4目=忸目即可求解.

【详解】连接8C交x轴于E.

由于A*,C,O四点在同一个圆上，且4。和aC均关于点E对称，故E为圆心，故|4目二|明.

闷中KT嗫即拈讣㈣7层）+3，故也）+3/解得吟，故迄D

2.（2025•北京西城•一模）已知函数〃x）=siiu+底osx.若/（xj=f（w），则（）

A.不一天=2丘（攵eZ）B.玉一当=2E或玉+赴=2E+](ZwZ)

C.D.X)=2^7tngX]+x=kn+—(keZ)

23

【答案】B

【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式,利用正弦型函数的周期性和对称性求解.

【详解】因为〃x）=sinx+GcosA=2sinx+g,则该函数的最小正周期为2兀，由x+g=E+］（丘Z）可得

x=E+：（&eZ）,所以，函数的对称轴方程为工=履+［（&£Z）,因为/（%）=/（9）,则X=2反或

A+x,=2依+二］=24兀+三伏€2）,故选：B.

I6J3

3.（2025•北京门头沟•一模）己知函数/“卜疝卜-1）,满足〃与）+/（&）=0,且/（”在区间（小玉）上具有单调性，则

%+占的值可以是（）

4715兀

uWD.

T

【答案】B

【分析】由/（“满足/（N）+/（xJ=0,且/（另在区间（不当）上具有单调性，得至以牛".O）为函数/（X）的对称中心，根

据三角函数的性质，得到玉+/=92配入Z,结合选项，即可求解.

【详解】因为f（x）满足〃M）+/（W）=O,且/（x）在区间（小天）上具有单调性，则点即/3））和（丹/。2））关于点

（Qk,O）对称，即（号10）为困数“X）的对称中心，又由函数〃x）=sinx-三的零点为=解得

x=~+kn.keZ,所以'十四=—+kn.k&T.x}+x2=—+2kit、kwZ.

3233

当k=0时,X］+x2=与,即xx+x2的值可以是笄.故选：B.

4.（2025•北京平谷•一模）已知函数/（”=2sin［5-外®>0）,若〃x）在区间,工）上没有最值测G的最大值为

:3）\Z/

（）

245

A.-B.—C.-D.2

333

【答案】A

【分析】由xc得的―卜（一3一弓口一曰，进而结合题意可得C所弓，卜一外』一?孔进而求解即

42J3143237\4323）y22J

可.

【详解】由x/q，孔0>0,则5—黑（一部—雪0—孔因为/⑺在区间CW）上没有最值.

n

2

所以卜卜一22

，解得0<©45,所以。的最大值为十故选：A.

5.（2025•北京东城•一模）已知函数〃x）=sin3x（3>0）,若/（x）的最小正周期为n,则&=，若存在小吃金［兀,2可,

使得|/（%）-/（W）|=2,贝卜。的最小值为.

【答案】24

【分析】由正弦型函数的最小正周期公式可求0,由题意可得/（内）,/（々）为函数的最大值或最小值，由题意可得

,3兀

COTt<,—兀COTl<—

22

或，，可求出的最小，直.

,、3兀_、5兀

2c。兀>—2(on>—

22

【详解】因为函数/（x）=sins：3〉0）的最小正周期为兀，所以3=兀，解得刃=2,因为〃x）=sin的又

（0

|/（内）-“/）|=2,所以"xJJH）为函数的最大值或最小值.

要使8最小,则最大值与最小值应在同一个周期内，由X€［兀,2可,则（OXG［加,2（（m］,

,n,3兀

ct)n<—(DU<—

2,或，257sS

则，解得;Ko、,所以回的最小值为力故答案为：①2,②

37t5冗

2con>—1COTI>—

22

6.（2025•北京丰台•一模）已知函数/（1）=sin®r+e）（3>0.|同的部分图象如图所示，其中M,N是直线），=；与曲线

【答案】2立

2

【分析】先根据|MN|与周期的关系求出。，再利用图象过的点求出。，最后将x代入函数求/（女.

【详解】已知M,N是直线y=；与曲线尸f（x）的两个相邻交点，且IMN|二g.

殳则H.且sin（s］+0）=!，则叫+展1+2如则丫_5+之正、同理工+2日一夕,因

k2；V2；326%=A2=

CO（0

+2

此Yv_6^6+2E3_T_TI.解得0=2.因为函数/a)=sin(2x+°)的图象过点40),可得

人2-X一一一彳6

CO(0693

$m(2><：+0]=0,所以2+0=〃兀，〃亡2,则o=〃兀-1，〃^2.由于|同<9，则*=一],那么f(x)=sin(2%-：].将.\=g代

ko/3323\5)2

入/(x)=sin(2x-,)可得:6)=sin(2x/j)=sin停)=[.故答案为:2,与.

7.（2025.北京通州•一模）设函数/（x）=2sin®x+》）（0>O,时苦）

⑴若/（0）=T,求夕的值.

（2）已知小）在区间岑］上单调递漕,/俘］=2,再从条件①,条件②，条件③这三个条件中选拦一个作为已知，使

L66」）

函数/（X）存在，求巴。的值.

条件①：/（X）在区间一三，一2上单调递减.

条件②：/仁）=2企.

条件③：％=为函数/（"图象的一条对称轴.

6

注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得。分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第•个解答计分.

【答案】⑴

O

⑵选择条件①或③,0=1,8=-5.

【分析】（1）利用/,（0）=7得sine=-g再结合。的范围即可.

（2）选择条件①或③，则可利用最小值和最大值求出半周期，即可求。，再根据最值即可求解?若选择②，因2近不在值

域范围内，故不存在解析式.

【详解】（1）由题意可知〃0）=2sin°二-l,即疝8=-g,因附则0=-三.

226

（2）条件①：,f（x）在今上单调递减，在等］上单调递增,且/传^=2,则“力在处取最小值,在学处

L36J66k6；66

取最大值，则彳=5=知一（-看）=兀年°+9=］+2E/eZ,则3=1,0=-1+2E入2,因［“］,则*=一1，则

/（x）=2sin^-^.

条件②：因/（力4-2,2］,则/仁）=272不可能成立,故无解析式.

条件③：因《票）=2,则“X）在卷史取最大值，又为函数“X）图象的一条对称轴，且在-今期上单调递增,

则/（刈在-尚处取最小值，则］=二二自一（一?）=冗夕=5+2杭人Z,则啰=l4=V+2E/wZ,因则

6236、6232

8=g则/⑺=2sin（x-5）.综上可知，若选择条件①或③，则/（"=2sin（冶），若选择条件②，则不存在解析式.

8.（2025•北京石景山•一模）已知函数"x）=Asin（公v+协（其中4>00>0,倒<］）.从条件①,条件②，条件③这

三个条件中选出两个作为已知，使得函数/（x）唯一确定.

⑴求函数/（"的解析式.

⑵求函数/（“在［。，］上的最大值和最小值.

条件①：尼）=】•

条件②：信°）是k/CO的对称中心.

条件③：y=/（x）可以由函数尸sin2x+Gcos2x平移得到.

注：如果选择的条件不符合要求，得。分,如果选择多个符合要求的条件分别解答.按第一个解答计分.

【答案】⑴/（月=2如（2"专）

⑵最大值为2,最小值为-1

【分析】（1）分析易得要使函数/（、）唯一确定，则必须要选③，选①③或选②③，进而根据正弦函数的性质求制即可.

（2）根据正弦函数的性质求解即可.

【详解】（1）①，由尼卜,得Asin［詈+尹）=1.

②，由七0）是广/（6的对称中心，得Asin倍+0）=0,则冷好

③，由y=sin2x+6cos2x=2sin2x+^，因为/（x）=Asin（s+c）可以由函数y=2sin（2x+g平移得到，则

A=2,o=2.由上述可知，要使函数“X）唯一确定，则必须要选③.

选①③，由上述可知，A=2,3=2,Asin[]=I,则2sin(三+(f>=1,即0皿(弓+9)=；,所以弓+夕=1+2也或

?+2E,&eZ,则e=-[+2E或弓+2E,AeZ,又倒<[,则>二一三,即/(.r)=2sin(2x-m).

66226koy

选②③，由上述可知,A=2,3=2，F+*=E,AwZ,则/+9=E,AwZ4[19=-5+E,AwZ.

1266

又则0=-[，即/(x)=2sin(2x-5.

2bk07

.九c兀兀57t‘则"2TH，则2而

(2)由xw0.-，得

zJ。L666

所以函数/(x)在[o,£|上的最大值为2,最小值为-1.

9.(2025•北京顺义•一模)已知函数/(x)=sin(公r-g+Gcosar®>0).

⑴求”0）的值.

⑵再从条件①，条件②，条件③中选择两个作为一知条件，使函数/（“存在且唯一确定.当在区间（0M）S>0）上

仅有一个零点时，求。的取值范围.

条件①：”力在去蔡上是单调函数.

条件②：y=/W图象的一个对称中心为仁，。｝

条件③：对任意的xeR,都有小）《/（总成立.

注：如果选择的条件不符合要求，得0分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】（1）立

2

⑵答案见解析

【分析】（1）利用三角恒等变换化简函数解析式即可求解.

（2）关于条件①，从函数的周期，以及单调区间两方面限制。求出。的取值范围，关于条件②求出函数对称中心表达式,

将（则代入，确定出的取值，关于条件③根据己知条件确定/国=1,从而确定①的取值，再从选条件

①②，①③，②③三种情况分别确定。的值，再利用函数的性质即可求解.

【详解】（1）因为/（x）=sincox-—+5/3cosfyx(<y>0).

所以/（火）=sinry.rcos]-coscoxsin+75coscox=；sins+—•coscox=sin（GX+.

所以/（0）=sin-^=-^.

（2）对于条件①：/（x）在匡，上是单调函数，因为/（x）在值图上是单调函数，所以WYW所以口£

.1212」L""」12122CO2

又因为<y>0,解得0<3工2,因为-5+2’瓦“0+兀（仁Wk+（匕eZ）,所以函

232Geoco6（oco

数/（1）=相（8+的的单调单调递增区间为：一4+"乃纽（4eZ）.

\376a）co&t）co

0<<y<2

0<co<2

若函数在联，卷上单调递增网一浮等哈化eZ），整理有，

近-10+2软（4次）.

,22秋

71-4-2k1M>、7兀go+r

I二77

66yco12

0<<y<2

2

当4=（）时,，<y>-10，解得0<ow±.

2

co<-

7

0<M<2

当4=I时,0214无解,k1得其他值时不等式无解.

因为呜号+2"化团解得号等"各手的团所以函数十下由词的单调

单调递减区间为:焉+等X寻等叱力.

0<co<2

0<ry<2

7C2kn/.y\蚣,甲右，

些函A-2L12L।•米；田；的）就皿|,2TI>94-94Z-(L-c=.7\

右由双判仕12'12上半晌地颁，则60+「12-引,整理有

/024公

7兀22,兀、Inco<2+----

-_-_十□_-_-_-〜-，>-_-_-7r

6(。(D12

0<co<2

当心=0时,（勿之2，解得3=2.

a）<2

0<co<2

当&2=1时,◎226无解,融得其他值时不等式无解.

,38

一

7

对于条件②：产/3图象的一个对称中心为伍（）1因为8+9=匕冗（人斗,解得户-4+显化€2）,所以函数

IJ/33c。co

TC畀若与0）是尸/（x）图象的一个对称中心,则？*+卓

f(x)=sin的对称中心为％二-

3J

解得。=-1+3%.

对于条件③：对任意的xcR,都有/（小/信）成立，则x=V时，函数取得最大值，有詈+g=>2"（£eZ）,解得

<y=2+24k4（k«eZ）.

0=-1+3&f=_]+3k

若选条件①②，则有0</<2（壮2）,方程无解,或仁；、（&eZ）£=l时°=2.

<co<-皿一

所以/（/）=sin（2x+3因为x«0,a）,所以24+畀备24+2）因为f（“在区间（°M）S>°）上仅有一个零点，所以

n

2a+—>it

3"解得2泮.

,3兀36

2a+—<27ta<一

36

0=2+24&f（y=2+24&

若选条件①③，则有有八2亿eZ）,方程无解，或：'化eZ）人=0时,0=2.

（）<69<—（1）=1

7

所以/（/）=sin（2.T+]）因为xt（。，。）,所以2H枭停2〃+]｝因为/（“在区间（OM）（”O）上仅有一个零点，所以

_717C

2。+—>兀:「解得青

.3

2a+-<2兀a<一

36

X-v\（D=-\+3k,..

若选条件②③，则有、（3&WZ）,即&-1=8%（&&GZ）,方程解不唯一，此时。取值不唯一，所以函数

\CD=Z+24K.

不唯一，不合要求.

题型站解三角形

1.（2025•北京石景山•一模）在VA3C口，若asin6-VJsinA=0,则人=（）

A.枢B.2石C.1D.2

【答案】A

【分析】利用正弦定理计算可得.

[详解】因为“sin3-5/5sinA=0,即“sinB=75sin4,由正弦定理."=所以asinB=Z?sinA.

sinAsmB

所以〃sinA=>/3sinA,又A£（（）,兀），所以sinA>0,所以2=G.故选：A

2.（2025•北京通州•一模）在VA8C中，已知a=7,c=5,C=：.则cos2A=_____.

4

24

【答案】--/0.96

【分析】根据正弦定理求解sin4=述，即可根据余弦的二倍角公式求解.

10

【详解】由正弦定理可得=故.AosinC"彳7&,故cos24=l-2sin2A=1-=一空故

sinAsmCsin4=---------=--^=——I10J25

c510v7

答案为：一2言4.

3.(2025•北京顺义•一模)在VA3C中,〜=3c,?A2?CjlJcosC=.

【答案】叵二如

44

【分析】先根据正弦定理，结合三角形内角和定理，把2〃=3c化成2sin(A十C)=3sinC,再结合？A2?C,利用二倍角公式

可得cos?。,再判断角。的取值范围，即可求得cosC.

【详解】根据正弦定理,％=3cn2sinB=3sinC.所以2sin(4+C)=3sinC.

又？A2?C,所以2sin(2C+C)=3sinC.所以2(sin2CcosC+cos2CsinC)=3sinC.

所以2(2注1。852。+8$2。$而。)=35皿。.因为。为三角形内角,所以5皿。工0.

所以2(2cos2c+cos2C)=3,所以2(2co$C+2cos2。-1)=3=(^20=』.又抄=30,所以0<3.

8

所以C为锐角，所以cosC=Jf=®.故答案为：巫

V844

4.(2025•北京海淀•一模)在VA8C中，已知2asinA=36(1—cos2A)/=2«.

(1)求sinB的值.

(2)若々为锐角，再从条件①，条件②和条件③这三个条件中选择一个作为已知，使V/1AC存在且唯一，求V"C的面积.

条件①：c=5.

条件②：cosA=^^.

条件③：〃sinA=>/5.

注：如果选择的条件不符合要求，第(2)问得。分，如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】⑴5皿8=孚,(2)答案见解析.

【分析】(1)转化已知条件求得上]解得正弦定理，即可求得sin