2025-2026学年广东省江门某中学高二（上）开学数学试卷（含解析）

2025・2026学年广东省江门一中高二（上）开学考试

数学试卷

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求

的。

1.若复数z满足备=若«为虚数单位），则z的虚部为（）

A.-3+iB.IC.-3D.1

2.某保险公司为客户定制了5个险种：甲，一年期短险；乙，两全保险；丙理财类保险；丁，定期寿险;

戊，重大疾病保险，各种保险按相关约定进行参保与理赔.该保险公司对5个险种参保客户进行抽样调查,

得出如下的统计图:

*SA峥比例不同年的世人均多保G用

用样本估计总体，以下四个选项不正确的（）

A.丁险种最受参保人青睐

B.随着年龄的增长人均参保费用越来越高

C.30周岁以I：的参保人数约占总参保人数的20%

D.30〜41周岁参保人数最多

3.若圆锥的底面半径为1,体积为9则该圆锥的侧面展开图的面积是（）

A.7B.\T2TIC.V_37rD.27r

4.某数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为：94,96,98,96,95,97.则这组数据的（）

A.众数为98B.平均数为95C.方差为日D.标准差为目

5.已知△力的内角4B,。所对的边分别为a,b,c,若9SE2B=4sE24cosc=-1贝拉=（）

4a

3/2口S2/34

AA--B-4C..Dn.§

6.设a,/?是两个不同的平面，772,72是两条不同的直线，下列命题中正确的是（）

A.若mua,nc/?,且。〃0,则m〃nB.若mua,nu0,且m1n,则a1£

C.若a工/3,an/?=n，且mln,则m1£D.若?n〃n,九〃/?,且m1a,则a1£

7.如图，欲测量河对岸的塔高AB时，选与塔底8在同一水平面内的两个观测点C与。，在C,。两观测点处

测得塔顶A的仰角分别为30。,45°,并测得480C=120。，CD=30m,则塔高48为()

A.15，57n

B.15m

C.30V-2TH

D.30m

8.已知函数/(x)=Asin(cox4-(p)(A>0,co>0,0<(p<TT)的部分图象如图中实线所示，图中圆C与/'(x)的

图象交于M,N两点，且M在y轴匕则下列说法中错误的是()

A.函数/(%)在(-得,-g)上单调递减

B.函数/(%)的最小止周期是7T

C.函数/⑴的图象向左平移专个单位后关于直线无=别称

D.若圆。的半径为冷则函数/⑴的解析式为/'(%)=等sin(2%+勺

二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

9.已知向量d=(2,1),5=(1,乃)，则()

A.当五〃3时，x=B.当|4+2行|=5时，%=1

C.当％=1时，，在石方向上的投影向量为D.当a与3夹角为锐角时，x>-2

10.已知△48C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则如下判断正确的是()

A.若A>B,贝iJsizM>sinB

B.若s加24=sin2B,则4718c为等腰三角形或直角三角形

C.若siM/l+sin2F>sin2C,则△ABC是锐角三角形

D.若Q=10,b=9,B=60°,则符合条件的△48C有两个

11.如图，正方体ABCD—ABiGDi棱长为1,P是&D上的一个动点，下列结论中正确的是()

A.8P的最小值为竽

B.当尸在&D上运动时，都有GPLBDi

C.当P在直线4。上运动时，三棱锥4-BiPC的体积不变

D.PA+PC的最小值为/2-72

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.某机构研究得出10名肺炎病患者的潜伏期(单位：天)分别为8,12,11,7,9,17,14,13,12,

15,则这10个数据的第70百分位数是.

13.已知复数z满足|z-l+i|=L其中i为虚数单位，则|z|的最小值为____.

14.在《九章算术”中，将四个面部为直角三角形的三棱锥称为鳖嚅.已知在鳖腌力-6co中，BC=CD=

4,AB当该鳖嚅的外接球的表面积为48"时，则它的内切球的半径为.

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

15.(本小题13分)

如图，在平行四边形48C。中，BE=^BC,CF=2FD.

(1)若丽二%而+y而，求3x+2y的值；

(2)若|彳月|=6,|彳方|=4,Z.BAD=60%求彳？•丽的值.

16.(本小题15分)

某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100

份作为样本，将样本的成绩(满分100分，成绩均为不低于40分的整数)分成六组：[40,50),[5。,60),

[60,70),[70,80),[80,90),[90,100],得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值与样本成绩的平均数；

(2)在样本答卷成绩为[70,80),[80,90),[90,100]的三组市民中,用分层抽样的方法抽取13人,则样本的

答卷成绩在[70,80)中的市民应抽取多少人？

(3)若落在[50,60)的平均成绩是57,方差是2,落在[60,70)的平均成绩为69,方差是5,求这两组成绩的总

平均数之和总方差S?.

17.(本小题15分)

已知函数/'(%)=2sinxcosx—2>/_3sin2x+

答案解析

1.【答案】D

［解析］解：因为，一=—=■+'」-1T+21-3

k111JW-八1+311-t(l-i)(l+O2

所以z=i(l+3i)=-3+K

由复数的概念可知，z的虚部为1.

故选：D.

根据复数代数形式的乘法、除法运算化简z,即可判断.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：由柱状图可知，丁险种参保比例最高，故人正确；

由折线图可知，随着年龄的增长人均参保费用越来越高，故B正确；

由扇形图可得，30〜41周岁参保人数最多，

30周岁以上的人群约占参保人群的39%+33%+8%=80%,

故C错误，。正确.

故选：C.

根据选项逐一对应相应的统计图即可进行判断.

本题考杳通过统计图进行合情推理，数形结合，属于中档题.

3.【答案】B

【解析】解：由题意圆锥的底面半径r=l,体枳为『

◊

设圆锥的高九，可得体积V=/2力=*可得h=1,

则圆锥母线长为/=Vr2+/i2=

则圆锥的侧面积S=zrr/=nrx1x/2=/2/r.

故选：B.

由圆锥的底面半径为1，体积为:可得圆锥的高及母线，然后可得圆锥侧面展开图的面积.

本题考查了圆锥的侧面积，是基础题.

4.【答案】C

【脩析】解:某数学竞赛小组6名同学的初赛成绩分别为：94,96,98,96,95,97,

易知这组数据中只有96出现了两次，所以众数为96,即A错误：

平均数为焉(94+96+98+96+95+97)=96,因此B错误；

222

方差为，[(94-96y+(96-96)2+(98_96)2+(96-96)+(95-96)4-(97-96)]=|；即C正确;

标准差为J[[(94-96尸+。6-96产+。8-967+(96-96/+(95-96/+(97-96/]=二

亨，即。错误.

故选：C.

根据众数、平均数、方差、标准差定义计算可得结果.

本题考查众数、平均数、方差、标准差的定义，属于基础题.

5.【答案】D

【解析】解：根据9sm28=4sin24由正弦定理得9〃=4Q2,即垓=疗，可得仁华.

根据cosC=-；,由余弦定理得32b丁2=。2+(第j-2,

42ab2ax—4

化简得C2=苧，所以6)2=5,结合Q>0且。>0,可得：=

故选：D.

根据正弦定理化简所给等式，可得b=,Q,然后运用余弦定理建立关于a、c的等式，算出£的值.

3a

本题主要考查运用正弦定理与余弦定理解三角形的知识，考查了计算能力，属于基础题

6.【答案】D

【解析】解：若mua,nu0,且a〃/?，则m〃n或m与n异面，所以A选项错误；

若mua,nu/?,且mln,则a与0平行或相交，所以8选项错误；

若al£,an£=n,且m1n,则m与。相交或mu£,所以C选项错误；

若m〃九，77ila,WJn1a,又九〃/?,所以存在九iu/?使得几〃小，

所以九i_La,%u0,所以a10,所以。选项正确.

故选：D.

根据空间中各要素的位置关系，逐一判断即可.

本题考查空间中各要素的位置关系，属基础题.

7.【答案】D

【解析】解：设A8=/i,则在直角三角形ABC以及直角三角形力8。中，

由ZACB=30°,4ADB=45。得8c==h,

Xz5DC=120°,CD=30,由余弦定理得8(72=0。2+。82-2D8・D8cos乙BOC,

即3/=900+h2-2x30/ICOS120。，解得力=30(负值舍去)，

所以AB=30m.

故选：D.

由余弦定理求解•.

本题考查了解三角形问题以及余弦定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

8.【答案】A

【解析】解：由图看的点C的横坐标为务

所以/⑴的最小正周期7二？€—1—^^〃，故8正确；

所以3=2,又/'(一奇=0，由五点作图法可得2•(—3)+9=0,

所以8=[,因此/(%)=4sin(2x+1),

由X6(-瑞，-g),可得2%+gW(一患，

JIOJOJ

所以函数/⑶在(一普,—勺上不单调，故A错误；

函数f(%)的图象向左平移卷个单位后，得到函数y=Asin(2x4-=Acos2x,

1ZL

对称轴为2%=kzr,kEZ,即％=等，kEZ,故关于直线x=]对称，故C正确；

若圆半径为相，则?4=所以力=等，

函数/(乃解析式为/(%)=粤sin(2x+g),故。正确.

OO

故选：4.

由函数图象可求/(外的周期，利用周期公式可求3=2,由五点作图法，可求W的值，求得函数解析式，利

用正弦函数的图象和性质即可求解.

本题考查由y=4sM®x+9)的部分图象确定其解析式，考查了三角函数的图象与性质，三角函数的平移

变换，属于中档题.

9.【答案】AC

【脩析】解•:根据题意，依次分析选项：

对于4当G〃亩时，则有2x=l,解可得％=2，A1E确；

对于8,向量2=(2,1),b=(l,x),即2+2b=(4,1+2」),

当|2+2方|=5时,即42+(2%+1尸=25.解可得：x=l或一2,B错误:

对于C,当x=lH寸，b=6在族方向上的投影向量为酷方=5反C正确；

向乙

对于0,当％="时，向量d=2几两个向量夹角为0,不是锐角，。错误.

故选:AC.

根据题意，由向量平行的坐标表示方法分析4由向量模的计算公式分析8,由投影向量计算公式分析C,

举出反例可得D错误，综合可得答案.

本题考查向量数量积的性质和应用，涉及向量的坐标计算，属于基础题.

10.【答案】ABD

【解析】解：在Ai48c中，若A>B,则a>b,结合正弦定理得sim4>siziB,可知A项正确；

由sE2/l=sm28,且4、8为三隹形的内角，可得24=28或24+28=九，

所以A=B或A+B=*可得△ABC为等腰三角形或直角三角形，故8项正确；

△48。中，若siMA+siM8>sin?。，结合正弦定理得a?十加>

所以cosC=a>0,可知C为锐角，但无法确定4、B是否为锐角，

2ab

因此不能判断出△2WC是锐角三角形，故C项错误.

△4BC中，Q=10,6=9,B=60°,根据正弦定理可得sin/l=竺学=浮>¥，

b9Z

所以?<?!<•="8,且力耳，可知满足条件的△4BC有两个，故。项正确.

故选：ABD.

根据正弦定理与三角形中“大角对大边”，对乂项作出判断；若sin2/l=s勿2氏结合诱导公式算出24=

22

28或24+2B=n,从而对B项作出判断；根据正弦定理得到a?+b>c,结合余弦定理对C预作出判

断；若Q=10,h=9,B=60%根据正弦定理判断出A/IBC的解的个数，即可对D项作出判断.

本题主要考查三角形形状的判断、正弦定理与余弦定理.、三角函数的诱导公式等知识，属于中档题.

11.【答案】ABC

【解析】解：对丁月，连接43,3D,在正方体ABC。-Ai/GOi中，A1B=BD=AXD=y[2,

故BP的最小值为正三角形&BD的边&D上的高，即=人正确；

对于8，连接4G，B]D1，DClt

由于SB】_L平面AiBiG。]，&GJ平面故68i_LAiG，

而BiOi_L&G，幽，8也u平面叫人

故A©_L平面8当。1，幽匚平面映。1,故AiQJLBOi；

同理可证AiDlBDi，A1DC\A1Ci=Alf&D,&&u平面&。的,

故BOil平面4DG，GPu平面&DG，故孙1GP,即GP1BJ,B正确;

对于C，连接48i，BCAC,因为4i8]//DC,AXBX=DC,

故四边形48iCD为平行四边形,则&D〃8iC,%Cu平面4%C,a0C平面4/C,

故AW//平面4/配P点在直线刈。上运动，即P到平面481c的距离为定值，

而么4&C为边长为的正三角形，其面积为定值，

故三棱锥P-的体积为定值，由于以_/PC=4TB|C，

故三棱锥4-P&C的体积为定值，C正确；

对于。，将平面DC814沿着必。翻折到平面力为。上，连接4C,

与交于点P,则力C即为P4+PC的最小值;

在AADC^,/.ADC=135°,AC=VAD2+CD2-2AD-CDcosl350=J2+微，

即P力+PC的最小值为J2+/I，。错误.

故选:ABC.

判断BP的最小值即为正三角形为80的边为。上的高，即可判断,4；证明BAL平面40Q,根据线面垂直

的性质定理可判断B；根据线面平行的性质结合棱锥的体积公式可判断C；将平面DCB14沿着勺。翻折到

平面。上，将PA+PC的最小值转化为线段4c的长度，判断D.

本题考查立体几何的综合问题，距离的最值的求解，动点轨迹问题，三棱锥的体积问题，属中档题.

12.【答案】13.5

【蟀析】解：将这10个数据从小到大排列:7,8,9,11,12,12,13,14,15,17,

因为10x70%=7,故第70百分位数是第7个和第8个数据的平均数，即为毁1=13.5.

故答案为：13.5.

利用百分位数的求解公式即可求解.

本题考查了百分位数的求解，属于基础题.

13.【答案】/2-1

【解析】解：设z=a+bi(a,bER),

|z-l+i|=1,

则(a—1)2+(b+1)2=1,表示以(1,一1)为圆心，1为半径的圆,

|z|表示圆上的点到原点的距离，

故团的最小值为J(0-1)2+(-1-0)2-l=/2-l.

故答案为：/2-1.

结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解.

本题主要考查复数模公式，以及复数的几何意义，属于基础题.

14.【答案】2/2-2

【解析】解：根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图,

由题意可得三棱锥4-BCD的外接球即为长方体的外接球，

设三棱锥4-BCD的外接球的半径为R,内切球的半径为r,

因为三棱锥A-8co的外接球的表面积为48兀，可得4TTR2=48n,

解得R=2/3，

因为BC=CD=4,2R=4/3=V42+42+4/?2.

解得力B=4,

所以匕-BCD=4S&BCD.AB=gxgX42X4=学,

因为=BC=CD=4,可得AC=BD=V2AB=472,

所以三棱锥4-BCO的表面积为S=S*BC+S^BCD+S^BD+^CD

1111

=xAB9+,«xCD9ABxBDCDxAC

111l1广

=^X16+^X16+^X4X4V2+5x4x4V2

乙乙乙乙

=16+16xf2»

因为以-8CD=彳*JSr=QoS^BCD,AB,

可得丁=%1=4普=2Vl-2.

S16+16v2

故答案为：2，W-2.

利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再利用等体积法即可求解.

本题考查三棱锥的表面积的求法及等体积法求内切球的半径，属于中档题.

15.【答案】-1；

-18.

【解析】(1)由题意得就=说=2亘乙而=，而二一,反，

~EF=~EC+CF=^BC+^CD=^AD-IAB=-1AB+^~AD,

乙J4JJ乙

结合加=%而+y而，可得％=Jy=［可得3%+2y=-2+1=-1；

O乙

(2)若|而1=6,|而|=4,/.BAD=60°,则荏•而=6X4xcos60。=12,

因为配=宿+前，~EF=-^AB+^AD,

所以而-EF=(AB+ADy(一,而+；而)

=-}AB\\ADZ-］：AB-AD=-1x36+ixI6-7X12=-18.

J，63Z0

(1)根据平面向量的线性运算法则、平行四边形的性质求出并=-,而+1而，结合平面向量基本定理算

JL

出x=-|,y=|,进而可得3x+2y的值；

(2)根据平面向量的定义与运算性质进行求解，可得冠•丽的值.

本题主要考查平行四边形的性质、平面向量的线性运算法则、向量数量积的定义与运算性质等知识，属于

中档题.

16.【答案】a=0.03；平均数为74；

6人；

为z=65,s2=36

【解析】(1)根据题意可得(0.005+0.01+0.02+Q+0.025+0.01)x10=1,解得Q=0.03；

所以样本成绩的平均数为：

45x0.05+55x0.14-65x0.2+75x0.3+85x0.25+95x0.1=74；

(2)因为［70,80),［80,90),［90,100］三组的频率之比为0.3：0.25：0.1=6：5：2,

所以样本的答卷成绩在［70,80)中的市民应抽取6人：

(3)因为［50,60)与［60,70)的频率之比为0.1：0.2=1：2,

乂落在［50,60)的平均成绩是57,方差是2,落在［60,70)的平均成绩为69,方差是5,

所以这两组成绩的总平均数为5=57x1+69x|=65,

所以这两组成绩的总方差为s2=［2+(57-65y］x：+［5+(69-65)2］x|=36.

(1)求根据频率分布直方图的性质，平均数的概念，即可求解；

(2)根据分层抽样的概念，即可求解；

(3)根据加权平均数与方差的结论，即可求解.

本题考查频率分布直方图的综合应用，属中档题.

17.【答案】殁虫.

(-co,-/3)

【蟀析】(1)函数/'(%)=2sinxcosx—2y/~3s\n2x+y/~3=sin2x+\J_3cos2x=2sin(2x+勺,

因为fG)=2sin(a+勺=/所以sin(a+?)=

4O10OAO

因为ae所以a+(w(言,竽),所以cos(a+1=—卷,

所以simr=sin[(a+?)-5]=sin(a4-勺cos?-cos(a+^)sin=+=5+^v3；

OOOJOOAOAO41]

(2)当％W[0,勺时，2x+"点胃卜

所以当2尤十3=引即尤=5时，函数/'(%)取得最小值25t71等=一\/3,即实数771e(—8,一6).

⑴利用二倍角和辅助角公式可化笥得到了(%)，再根据同角三角函数关系可得cos(a+5由sma二

(3

sin[(a+》-§,利用两角差的正弦公式可求得结果;

(2)利用正弦型函数最值求法可求得;"QOmE，由此可得m的范围;

本题考查不等式恒成立问题，属于中档题.

18.【答案】证明见解析;

虫.

亍

PC=1或PC=/5

【解析】(1)证明:连接B。、AC,

•••PC•1平面力80)，BOu平面力BCD,:.PC上BD,

•.•正方形4BCZ)中,ACA.BD,且PC、4c是平面P4C内的相交直线,

BD1平面P4C.

P

(2)解：-AB//CD,CDu平面PCD,U平面PCO,，4B〃平面PCD,

又•；ABu平面H4B,平面Pz48n平面PCD=，，.•"〃/B,

直线I与PA所成的角等于直线AB与P4所成的角，即乙PAB或其补角，

•••PCJ_平面ABC。，ABu平面ABC。，•••PCA.AB,

•；AB1BC,PC、8C是平面尸8C内的相交直线，

AB_L平面PBC,结合PBu平面PBC,可得力81PB,

•：RtAPBC中,PC=BC=1,可得PB=7I，中，PA=73,可得cos/P/48=黑=?，

iA3

.••直线西直线PA所成角的余弦值为学

(3)解：在四棱锥P-48G9中，PC_L平面4BCD,四边形力BCD是正方形，

将四棱锥P-48。。补形成正四棱柱PB14D1-CBAD,平面/BE即平面48尸。1，

在平面AOD14内，过点。作。F1AD］于F,连接EF,

•••_L平面。户u平面DF±AB,

又•./Bn/10i=/1,AB./ID】u平面力BPD1，

DF_L平面4"Oi，NO”是直线DE与平面/BE所成的角,

取8c中点G,连接OG、EG,

由E是BP的中点，可得EG〃PC,

vEG1平面A8CZ),DGu平面力B。。，•••EG1DG,

设PC=h,则EG=^PC=刑，"=苧，则DE3G2+EG2=M，

2

而。尸=f由直线DE与平面力BE所成角的正弦值为¥，

J1+h3

1

看sinWEF=辟=।2"国,

得册河.而

整理得於-6/i2+5=0,解得h=1或h=75,即PC=1或PC=75.

(1)根据题意，利用线面垂直的判定与性质进行推理，可得结论;

(2)根据线面平行的判定与性质证然后利用异面直线的定义进行求解，可得答案;

(3)将四棱锥补形成正四棱柱，作出直线OE与平面48E的所成角，然后利用几何法，根据解三角形的知识

列式求解，可得PC的长.

本题主要考查线面垂直的判定与性质、线面平行的判定与性质、空间角的求法等知识，考查了计算能力、

空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题.

19.【答案】C=^.

(0)m=~(0)1473-24.

【解析】(l)ccos力+y/~3csinA-b-a=0,

则2RsinCcos力+V_3x2RsinCsinA-2RsinB-2RsinA=0,

化简得sECcosA+\/~3sinCsinA-sinB-sinA=0.

所以si-Ccos4+\/~3sinCsinA-sinAcosC-cosAsinC—sinA