2025年高考数学二模试题分类汇编：立体几何（河北专用）解析版

立体几何

匚题型概览

题型01空间几何体

题型02点、直线、平面之间的位置关系

题型03空间向量与立体几何

«01空间几何体

I.（2025・河北保定•二模）某艺术展览馆的一座雕塑底座是正四棱台，记为/8CO-44GA,48=2米，

4耳=4米，*4=45米.为举办特展，某策展团队计划以地面顶点4为起点安装一条LED灯带（忽略灯

带的厚度与弹性），灯带沿正四楂台/BCD-44GA的表面经过侧棱3向后到达顶点C,则所需灯带的长度

的最小值为米.

［答案］①师

55

【分析】将侧面川544和4CG4展开到同•个平面，利用两点之间线段最短求解即叽

【详解】如图I,设灯带经过侧棱44上的E点

如图2,连接48,将侧面488/和8CC4展开到同一个平面，

则A,EiCE>4。，当且仅当线段4。与线段BB、有交点时等号成立,

即当灯带的长度取得最小值时，交点即为点E

阳-4切

因为四边形5CC心是等腰梯形，所以「水/力”〃.~T1

vOoZ-zT.Z5|D-1——j

BB、M

由余弦定理可得4B=卜2+（J布y_2x4xVl0x卡=3&米,

1/40

则所以用，即N44B+N44c>N46A+N8/C,

因为/A\B、B+/B、BC=+£B、BC=K,所以几>/力/4+/48。,

即线段4。与线段84有交点.

222

/,DD(3^)+(X/10)-41一出.,ADD2

cosZ.A.BB.=-------j=—■=—=—F=,可得sinZ.A.BB.=-F=-,

2x3^x710J5J5

而cosZB}BC=cos(兀-N48/)=—J=,可得sinNgAC3

*0710,

所以cosN%BC=cos(Z4^+NB\BC)=-^xL3_7

5#5

由余弦定理可得4C=M/5）2+2L2x2x3及x（-£）=2^米,

则所需灯带的长度的最小值为叵米.

图2

故答案为：叵

5

2.（2025•河北沧州•二模）如图，在四面体力8C中，分别为PC48的中点，且

AClBC,PCLDE,AB=2t则该四面体体积的最大值为（）

【答案】B

【分析】据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半结合题意分析得已力,8,。在以£为球心，1为半径的球

面上，利用基本不等式求得S“8c=gm〃Kl，再由三棱锥体积公式即可得解.

【详解】

2/40

连接CE,PE,因为。,七分别为棱产。,44的中点，且4C_L8C/C_LO及月8=2,

所以PE=CE=；/4=1,故尸,4SC在以E为球心，1为半径的球面上.

设4C=m,BC=〃,（〃?>0,〃>0）,则加2+/=4,

（〃？+〃）m~+n~+2inn44-2mn.I

mn<------=-----------=------=H--mn

即m〃<2,当且仅当m=〃=&时等号成立.

则S“sc=gm〃Kgx2=l.

乂四面体?/8C底面V/18C1：的高=

所以VP-ABC&|S"cx//=|xlxl=1,当且仅当尸E_L平面/出C时等号成立•

故选:B.

3.（2025・河北・二模〉已知圆台的母线长为4,卜.底面的半径是上底面半径的3倍，母线与底面所成的角为

60。，那么圆台的外接球的表面积为（）

A.与兀B.三兀C.287tD.

【答案】D

【分析】由圆台的几何结构特征，以及球的截面圆性质及表面积公式可得结果.

【详解】因为母线与底面所成的角为60。，则圆台的高。少=26，上底面半径8。=1,下底面半径ZC=3,

*=//+1其

设外接球的半径为R,球心到上底面的距离为人,则2/厂\2，解得人=独

/?2=（2V3-/Z）+93

所以*=//+i=型，所以5=4几收=!12四

33

故选：D.

3/40

故正三楂柱的体枳V=@4%=必二4，

48

则/（。）=・一:/,当0<〃<2时，r（a）>0,/（〃）单调递增，

2o

当2<”26时,r（a）<0,P（a）单调递减,

所以当〃=2时，该正三棱柱体积取得最大值，此时三棱柱的高为毡.

3

故选：B.

6.（2025•河北秦皇岛•二模）折扇是我国古老文化的延续，在我国已有四千年左右的历史.如图所示的某折

扇扇面可视为一个圆台的侧面展开图，该扇面的面积为150兀，若该圆台上、下底面半径分别为5,10,则

该圆台的体积为（）

A,汕B.WC.2D,875氐

333

【答案】C

【分析】根据己知分别求出上下底面面积，最后由圆台的体积计算公式.

【详解】4=5,4=10,圆台的侧面积为1507r=/6+弓）/=兀（5+10）/,用线长/=10.

圆台的高〃=71。2-5n=56,

则圆台上下底面面积为5=/乂52=25%昆=於1。2=100砥

由圆台的体积计算公式可得：〃=；（S+"5W+SJxh=；x175rx5/3J75Pt.

故选：C.

7.12025•河北秦皇岛•二模）在三棱锥尸-"C中，"4C是以3c为斜边的等腰直角三角形，且伙?二2万,

4=08=石，点P在底面48c内的射影E在V48C的外部，且相二6，则该三棱锥外接球的表面积为

5/40

()

49兀497t,50兀50兀

，B.—C.——

A~9~33

【答案】B

【分析】根据已知确定E的位置，并求出相关边的长度，结合外接球相关的几何关系列方程求球体半径,

进而求其表面积.

【详解】由题设，知/5=月。=2且月5_£月。，?石_1_底面/I6C,

若。是48的中点，而尸片=P8=石，则。。=2,且P。_1_力8,

而4Au底面18C,则尸£人48,尸。cPE=P都在平面尸OE内，则48_1_平面POE,

由D£u平面尸OE,则又。Eu底面48C,则DEVMC,

由PE=G，则OE=\IPD2-PE2=1，即DE=g4。，

由点尸在底面45c内的射影E在V/BC的外部,则£在力“功的外侧，如下图,

若E在48的另一侧，则E必与8c的中点/重合，不合题设，

由题意，该三棱锥外接球的球心。在过BC的中点尸垂H于平面4BC的宜线上，

根据几何关系有。8=OP,贝i）8F2+0尸2=EF?+啰后一0尸丫，

所以（近＞+。户2=22+（后一。?）2,可得。尸=击，

（注意B尸+0尸=月尸+（PE+OFf时，2+。产=4+（G+OF）2不成立），

4949

所以，外接球半径则尸=2+。尸==，故其表面积47n二==冗.

123

故选：B

8.（2025・河北•二模）如图，某香包挂件是正四棱锥形状，其高为由，底面边长为衣，若将此棱锥放在一

球内可任意转动，则该球表面枳的最小值为.

6/40

【分析】先求出正四棱锥底面中心到顶点的距离，进而得到侧棱长；然后根据外接球的性质建立等式求出

半径；最后代入球的表面积公式计算.

【详解】如图，设该香包挂件的直观图为正四棱锥2-彳夕。。，其底面的中心为〃，

则P”为止四棱锥P—48CO的高，所以2，=有，

由趣可知在正方形48CO中，AB=AD=41，所以4"=1,所以左==

由题可知正四棱锥P-"CO的外接球即为所求，易知正四棱锥尸-/8CO外接球的球心在直线P〃上，设

其外接球的直径为尸。=2,因为点A在正四棱锥外接球的球面上，所以力P_L4。，

DA244\/T

又AHtPH,所以由几何性质可得PT=PH/0,则尸。=2〃=—=-==—,

PHy/33

所以「=手，故外接球的表面积为S=4+=4兀乂；=竽，即所求球的表面积的最小值为野.

故答案为：号.

9.（2025・河北•二模）陀螺是中国民间较早的娱乐工具之一，它可以近似地看成是由一个圆锥和一个同底的

圆柱组合而成的几何体.如图1是一种实木陀螺，其直观图如图2所示，其中P为圆锥顶点，。为圆柱上底

面圆的圆心，圆锥底面半径为1,高为2,且上部分圆锥的体积为卜部分圆柱体积的g,若该陀螺是由一个

大圆柱体通过切削得到，则该大圆柱体体积的最小值为（）

7/40

A.3兀C.5兀D.67r

【答案】B

【分析】首先求圆柱的高，再分析大圆柱体积最小时，与陀螺底面，以及高的关系，即可求解.

【详解】由题可知圆锥的高为2,圆柱与圆锥的底面半径均为1,设圆柱的高为人

则%惟fx/x2Y'%=7：X12X/?=%因为％Htt=:七柱,所以4=/力,所以4=2.

当大圆柱体与陀螺等高，且与图中的圆柱同底时，大圆柱体的体积最小，

所以大圆柱体的高为4,底面半径为1,所以该大圆柱体体积的最小值为八*1柱4=4几.

故选：B.

10.（2025•河北•二模）在三棱锥P-49c中，/P/IB=NC/1B=3,/iP=4B,4B+AC=6,且二面角P-AB—C

的大小为g,则当该三楂锥的外接球体积最小时，AB=（）

12八-_18r24

A.—B.3C.—D.—

777

【答案】A

【分析】根据二面角的几何法可行N4C=g，即可利用余弦定理以及正弦定理求解外接圆的半径，根据

勾股定理可得球半径即可求解.

【详解】由于"AB=ZCAB=1,I.：面角尸一48-C的大小为g,故/尸4C为二面角尸一48-C的平面角,

故

由「481尸448_1力。,尸/104。=4,/>4力。（=平面产力。，故力81平面产力。，

设48=x,P?JAC=6-x,

在AP/IC中，由余弦定理可得

PC2=x2+（6-x）~-2xxx（6-x）cos—=x2-6.r+36,

8/40

\PC_\尸7——

则的外接圆直径〃=5二方=耳7、1'、

故外接球的半径&2=OT=，+[j48）=i（x2-6x+36）+^7(12]72

+一

1217)7

当了=半12时，球的半径取得最小值，此时三棱锥的外接球体积最小,

故”

故选：A

题逐8点、直线、平面之间的位置关系

11.（2025・河北保定•二模）如图，在四棱锥2-月月。。中，底面力8C。为直角梯形，ABLAD,AD//BC,

（1）当£为棱P。的中点时，证明：EC7/平面218；

Q）若PE=2ED,求平面4C与平面P44夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

Q

偿6

【分析】（1）通过线线平行即可证得线面平行;

（2）建系后，写出相关点的坐标，出平面£4C和平面的法向量，利用空间向量的夹角公式计算即得.

【详解】（1）

9/40

取PA的4'点F,连接EF,BF,

因为E为尸。的中点，

所以EF//AD,EF=、AD,

2

因为4D“BCMD=2BC,

所以E/3/8C,W=8C,

所以四边形以为C为平行四边形，所以EC//BF.

又8尸u平面产”从EC(Z平面PAB,

所以EC〃平面产力8.

因为力8JL4D,尸平面/18CQ,即48,40,4。两两垂直，

故可以A为原点，力民力。，力P所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.

则J(0,0,0),P(0,0,2),P(0,2,0),C(l,l,0),

、

因为尸E=2EO,所以40,54守2)

所以就=(1,1,0),)方=(0,2,0),前=((),*：

设平面口。的法向量为万=(x,y,z),

n-AC=x+y=0

则一42

n-AE=—y+—z=0

33

10/40

取y=i,得x=-i,z=-2,

所以行=（—1,1,一2）.

因为力8J_AD,AP1AD,ABcAP=4,48,/lPu平・面PAB,

所以4O_L平面P/18.

所以标二（0,2,0）为平面48的一个法向量.

设平面EAC与平面PAB的夹角为0,

则cose=|cos^,75\=竺I=^==—.

11间.卜4286

所以平面4C与平面48夹角的余弦值为好.

6

12.（2025•河北保定•二模）刻画空间弯曲性是空间几何研究的重要内容，我们常用曲率来刻画空间弯曲性,

规定：多面体顶点的曲率等干2兀与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面角的角度用弧度制）.例如:

正四面体每个顶点均有3个面角，每个面角均为三，则其各个顶点的曲率均为2兀-3＞冷二兀.若正四棱锥

S-/13C。的侧面与底面的夹角的正切值为及，则四棱锥S-48C7）在顶点S处的曲率为（）

71--3冗-2乃

A.-B.C.—D.—

243

【答案】D

【分析】利用正四棱锥的结构特征得到NSWO为侧而y底面所成的角，进而利用勾股定理推得正四棱锥

S-48co的每个侧面均为正三角形，从而利用“曲率”的定义即可得解.

【详解】如图，连接彳。，BD,设力Cn8O=O.连接S。，贝!SO_L平面力8。。，

取8c的中点连接。旭，SM,

则由正四棱锥的结构特征可知OM±BC、SM1BC,

所以NSM。为侧面与底面所成的角，

设AB=BC=a,则OAZ=—,

2

11/40

在RtzXSQW中，tan^SMO=--=拉，

()M

所以SO=gOM=旦。，又OB二旦a，所以ST?=yjsO2+OB?=a，

22

所以正四棱锥S-48C。的每个侧面均为正三角形，

所以顶点S的每个面角均为方，

故正四棱锥S-/ACQ在顶点S处的曲率为2n-4，々二与.

故选:D.

13.(2025・河北•二模)在长方体相C。-48c〃中，底面46CD是边长为1的正方形，AA、=^,。是空

间中的一个动点，且满足血犯二/。明，则直线力。与力G所成角的正切值的取值范围为.

【答案】[5石-8,56+8]

【分析】方法一：根据题意建、丁.空间直角坐标系，设点。(x,y,z),再由NC明=NQ%转化为

cos05,福润cosR0,N瓦可得0的轨迹方程，因线段我长度不会影响夹角，故不妨取

M0|=&2+，+Z2=1简化运算,再把卜os〈恋,表示出来，即可求得取值范围，再转化为正切值的

取值范围即可.

方法二、根据题意可得ND4〃=N〃2=W，所以点。的轨迹是以4A为轴的圆锥侧面，由圆锥的对称性

即可得出答案.

【详解】方法一：如图，以4为原点，建立空间直角坐标系，

AJ（0,0,0）,。（0/,0）,D,（0,1,V3）,G（I1,6）,

设0（x,y,z）,

ZDAL\=ZQAE\，,卜os（而，位）卜卜os（羽，函）,

12/40

即—~l^=^=l===g,不妨取|40=y/x2+y2+z2=1,

：.y+\/3z|=l,

3

若)=i-,则x2=i->>-z

4

rx/3

，即Hllxe--5-，

国，码卜x+y+A+I--历+26氐2s

,Zcos6

yjx2+y2+Z2-45亚1010

2

3

若？=-[-6z»则x2=\-y2-z2=1-(1+屈j-z2=-4z2-2\^z=-4z++-

4

3_x/3茎

X2<—,即K€

4

x+y+&x-\—\^5~+2后x/f5+2

・•cos国，利=e

ylx2+y24-Z2-\/5亚1010

・•・直线4。与/G所成角的正切值的取值范围为卜石-8,56+8],

故答案为：[5石—8,5石+8，

方法二：如图在长方体力88-44GA中，底面力8。是边长为1的正方形，力4=百,

/.ADy=2,AC、=旧,Z.DADX=Z.QAD}=y,tanZC(JZ)t=,

•・•ADADl=^QAD[=y,

・•・不妨取力。=4,则点。的轨迹是以力乌为轴，且乙M1N=胃的圆锥底面圆,

图形如下:

13/40

・•・当。在M时，直线力。与4G所成角取得最小值,

tan/.MAG=tan(Z.MAD}-ND、AC})=tan--Z.DiAC}

k3

，当。在N时，直线彳。与AG所成角取得最大值，

tanNM4G=tan（NN力〃+NO/G）=tan-+ZD.JC,=——亲=8+56,

[3）、

1--------

2

・•・直线4。与4G所成角的正切值的取值范围为36-8,5石+8],

故答案为：卜百一8,5石+8].

14.（2025・河北邯郸・二模）直角梯形48c力所在平面与正方形/片石/所在平面互相垂直，AD//BC,

AD1DC,CD=&AD=2BC=2,M,N分别是力&《尸的中点.

（1）证明：平面V_L平面。EW；

（2）求平面QEN与平面ENC夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

*

【分析】（1）根据面面垂直性质定理得平面相环，再证出硒平面进而证!H结论;

（2）建立空间坐标系，求出平面。EN的法向量和平面CEN的法向量，再计算面面角的余弦值即可.

【详解】（1）如图,过4作力。的垂线交于，，二8"=百,4"=1,，48=2.

•;AB=AD=2、AM=AH=\,

14/40

:.dABH*ADM，DM1AB,DMu平面,

•.•平[IIIABCD工平面,平面ABCDQ平面ABEF=AB.

：.OM_L平面ABEF,DM1EN.

又分别是/从4"的中点，

:&AMF三AFNE,4MFN=4NEF,

£MFN+NENF=90"，即EN1FM,

乂DMcFM=M,OM/Mu'F面DM产，

.•.而_1平面0胡产，

又ENu平面DEN,

平面DEN1平面DFM.

建立如图所示的空间坐标系，

则D(2,0,0),E(1,V3,2),N(0,0,1),Q2,瓜0),

EN=(-1,-百1),丽=(-2,0,l),CF=(-1,0,2).

设平面QEN的法向量为而二(x，%zj,

..=0

-2x}+Z1=0

令X[=l,.,.而=0,—

设平面CEN的法向量为后=仇，力22)，

1-x2-y13y2-z2=0

-X2+2Z2=0

15/40

设々=2,.•.万=（2,—G,l）.

因为Icos0％〃〉1=2土:土2.=2,

OO

所以平面。EN与平面ENC夹角的余弦值为

O

15.（2025•河北保定•二模）如图，在直五棱柱48。。后-4864E中，四边形8cOE为正方形，“BE为

等腰直角三角形，AB=AE=e,AA、=BC.

4

A

（1）求该九棱柱的体枳.

（2）证明：平ffiA8C11平面BDDE.

（3）求直线BQ与平面4B&所成角的正弦值.

【答案】（1）10

（2）证明见解析

【分析】（1）根据直棱柱体积计算公式计算即可；

（2）根据面面垂直的判定定理证明即可；

（3）建立空间直角坐标系，运用空间向量法计算求解即可.

【详解】（1）因为△彳8E为等腰直角三角形，AB=AE=6,所以48_L4E,且8E=2,

因为四边形〃CQE为正方形，所以/4=8C=8E=2

在直五棱柱ABCDE-44GA巴中，力4J■底面ABCDE,

所以该五棱柱的体积P=f；x6<x/I+2x2）x2=10；

IZ/

（2）在直五棱柱为8COE-44GAE中，B8J底面4BCDE,

因为48u底面在。£,则MJ",

16/40

因为=+==巴，所以力8,

42

因为cBD=B且B&,BDu平面BDD/i,所以48_L平面,

又ABu平面48G，所以平面g1平面BDDB

(3)由题意可得£8，ED,E&两两垂直，以E为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系,

则8(2,0,0)中(2,0,2),。(0,2,0)出(0,0,2),4(1,-1,2),

54=(-1,-1,2),福=(-1,1,0),瓦5=(-2,2,-2),

设平面的法向员为历=(x,y,z),则济可=济福=0.

即{1：：：：；=。，取x=l，则加=(1」,1)

1L同8向Gx2G3,

故直线BQ与平面A}BE.所成角的正弦值为1.

16.(2025•河北张家口•二模)如图，四棱锥P-月8c。的各个顶点均在球。的表面上，且44=力。=4,

(l)i正明：平面尸M?_L平面力灰?。；

⑵求四梭锥尸-力山。体积的最大值;

17/40

(3)当51ali.|心1=24上时，求直线尸C与平面48CO所成角的正弦值的最小值.

【答案】(1)证明见详解

喈

⑶噜

【分析】(1)由题可得N&41)=5，即利用线面垂直的判定定理证明/D_L平面P48,根据面面

垂直的判定定理得证；

(2)作得PHJL平面49CQ,由尸32+212=432=16,利用基本不等式得

PA14-PR2PAPB81

以•尸人/力-；/“=8,结合三角形面积公式得。”=-^-工^=2,同理可得纵8皿=5・8℃。48,由

此得解；

(3)取力8的中点N,以N为原点，M?为x轴，过点N且平行于力。的直线为V轴，过点N且平行于产”

(yFj£石、

的直线为z轴，建立如图所示空间直角坐标系，由几何关系可得尸±t,。,弋-卜设点

C(2V2costz,2V2sina+2,0),其中NC此，=5-a,求出京和平面44。。的一个法向量，表示直线尸。与

平面43CQ所成角的正弦值，根据三角函数求出最值得解.

【详解】(1)由题，四边形N8CZ)在球。的•个圆面的圆周上，故NB4D+NBCD=*

乂8c_LCO,故乙BAD=-,故46_L，

2

由P8J_平面夕力力，力Ou平面尸得PB上4D,

又ABcPB=B,4Bu平面H4B,PBu平面P4B,

故力。1平面尸

乂NOu平面儿"?。，故平面平面月8CQ.

⑵作尸〃_L48,由平面48_L平面48C0,平面P/8c平面力PHu平面P4B,可得PH工

平面ABCD,

记四棱锥尸-/5C。的体积为P,

则联;•P"•S.g=1PH.电ABD+S.BCD),

JJ

而S、ABD=J.48°4D=；x4x4=8,

由PBJ_平面产力。，则PZ?_L4,故PB2+PA?=16,

18/40

A

于是P小PBJH8,当且仅当"二2拉时，取等号，

2

由S\R8=L.PB.P4=LMB.PH,得PHJ"PB/=2,

S'BCD卷BCCD,由8C1CO，得32=BD2=BC?+CD?之2BC.CD，

故8CCQW16,当且仅当8C=CZ)=4取等号，

于是,口=；•ACC，

i232

故/=晨尸"・(邑利+凡丽)工5、［6=7.

32

故四棱锥尸-46。。体积的最大值为奇.

(3)取48的中点N,以N为原点，汽8为不轴，过点N且平行广4)的直线为V轴，过点N3平行于P"

的直线为z轴，

建立如图所示空间直角坐标系，则PH=叫空=辿,NP==AB=2,

AB52

故NH?=NP2-PHj-马=某,解得NH=匝,故尸j±",0,丝

2525555

记8。9y轴交r•点〃，易知M(0,2,0),而CM=；BO=2拒,

故可设点。(2后cosa,2V2sina+2,0),其中ACMy=^-a,

于是PC=2x/2cosa±孚2"+2.一寄.

_(6五

易知平面/8CO的•个法向量为加=°，°，子

设直线PC与平面ABCD所成角为0,

19/40

I曲园72_______

1

则…阿可彳坷

2V2cosa±2j

ina+2)+

672

当P［竺,0,挈］,tana=9时，等号成立，

155yl7

故直线PC与平面44CO所成角的正弦值的最小值为典.

17.（2025•河北•二模）如图，在多面体力4。£：尸中，四边形户为梯形，AF//DE,AF1AD,四边形

/BCD是菱形,ZBAD=60°,AD=DE=2,JF=1,BE=2&.

（2）求平面4Q”与平面BCE的夹角的余弦值.

【答案】（1）证明见解析

20/40

⑵半

【分析】（1）根据题给条件证线面垂直，再根据面面垂直的判定定理证面面垂直即可.

（2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，再根据两个平面夹角的余弦值的公式求解即可.

【详解】（1）因为四边形力8CQ是菱形，且N8/D=60°,所以80=40=2.

又因为£>E=2,BE=2五，所以BD2+DE?=BE,，所以BDLDE.

因为力产〃DE,所以BQ_L力尸.

又因为四边形Z8CQ是菱形，所以8。_L4C,又力f力Cu平面力CE,且"A/C=力，所以8。_L平面力CF.

因为6。u平面8。尸，所以平面4CF_L平面8。厂.

（2）记力。08。=。，以O为坐标原点，（元,双的方向分别为x,V轴的正方向，平行OE向上的方向

则8（1,0,0）,C（0,x/3,0）,£（-1,0,2）,F（0,-Al）,

则就=（一1,右,0）,=（-2,0,2）,5F=（-1-x/3,1）,为=0,0,0）.

设平面BCE的一个法向量为J?=（为,乂4）,

m-BE--2x.+2z.=0f-\..

则一।，令K=石，得加=（行r眄r=".

7

niBC=-xi+x/3yl=0'

设平面BDF的一个法向最为:=的必修），

nOB=x=0

则，2令，2=1，得万=（0J石），同=2.

iii-BF=-x2-+z2=0

/n•«=1+3=4.

设平面B。/与平面BCE的夹角为。,

rIll八|/-|历•司42y/7

则COS°=|8S5，〃）卜丽=害=三，

21/40

所以平面与平面BCE的夹隹的余弦值为空.

7

18.(2025•河北•二模)已知平行六面体力4a)-44GA如图所示，3AB=3AAi=6AD=46AlB,

ZABC=ZADD,=\20°.

(1)求证：8。工平面力。〃4；

(2)若力£=；方G，求二面角力-48-E的余弦值.

【答案】(1)证明见解析

(2)-萼

【分析】(1)设/8=44=2,根据已知可得4)14。，BDIA^D,即可证明3。人平面/OD/；

(2)以。为坐标原点，。力所在直线为x轴，所在直线为y轴，。4所在直线为z轴，建立坐标系，求

平面和平面48E的法向量，利用向量法求解二面角的余弦值即可.

【详解】(1)在平行六面体48co—44GA中，

因为3/8=344=6/。=C48,]^AB=AA}=2,

则4。=1,A[B=八,

因为Z.ABC=/.ADD,=120,所以N4力。=/BAD=60°,

所以4。I/O,AD1BD,

在A48O中，AQ=DB=6，48=所以8Q_L4。，

又因为4OC/1Q=D,A,D,ADu平面力。力/,所以5。1平面ADD}A]:

(2)[t|(1)已得4。_!_/。，AyDLBD,且力。,8。u平面48c。，故4。，平面为BC。，

故可以。为坐标原点，0力所在直线为x轴，08所在直线为y地，所在直线为z轴，建立坐标系，

22/40

则D(0,0,0),4(1,0,0),5(0,73,0),4(()、0,万)，C(-l,V3,0),

C,(-2,73,5/3),JB=(-1,AO),怒=(-1,0,石)，

_ABn.=0

设平面448的法向量为“=(x”,z3则—2

AA}n]=0

I〉*:‘…则”⑹」)'

则

(_2立苴]

因为西=卜2,行,6），DE=^DCX,则无=

3'3''

贝当，所以痔乎,一¥?|,又奉二（0,、§询,

JjjI—*nJJ

则声H

设平面48£的法向量为%=（9，）'2*2），

[4〃•％=0

2826八

—X.+—--------Z)=0,.一

则33"3'，令，2=1，则〃2=币,

6无-任2=0

3।1

丁+1病

因cos(%,%)=

\/5xH55

设二面角力的平面角为6,由图知。为钝角,

底

则cos®=一

55

即二面角A-A.B-E的余弦值是一叵

55

19.（2025•河北秦皇岛•二模）如图，在四棱锥尸-力8C。中，ABLAD,ABHCD,PC=AB=2CD=2AD2,

PC_L底面/8c。，E是PB上一点.

23/40

p

（1）求证：平面P4C_L平面P8C；

（2）若E是PB的中点，求平面PAC与平面ACE的夹角的正弦值.

【答案】（1）证明见解析；

喈.

【分析】（1）根据给定条件，借助余弦定理及勾股定理的逆定理证得4C_L8C,再利用线面垂直的性质判

定推理得证.

（2）由（1）的信息得二面角的平面角，再利用几何法求解.

【详解】（1）在四棱锥尸一片8c。中，AHLAD.ABH^D,CD=AD=\,则/C48=NACO=45°，

JC=V2»在中，48=2，WOBC=yjAC2+AB2-2ACABcos45a=»

即月。2+〃。2=4="/，于是/c_L8C,由尸CJ_平面力8CO,ACu平面48CO,

得PC_L4C,又PCCBC=C,PC,BCu平面尸BC,则/C_L平面尸8C,又4Cu平面4C,

所以平面PACA.平面PBC.

（2）由（1）知，4C_L平面P8C,而CEu平面P8C,则47_L应，乂尸C_L力C,

因此NPCE是二面角尸-力C-E的平面角，

在△尸8。中，PCLBC,PC=2,BC=C，则依=",由七是P8的中点，

得CE=PE/PCE=NCPB,

于是sinNPCE=sin/CPB=XT

所以平面尸力。与平面4CE的夹角的正弦值为正•.

3

20.（2025•河北秦皇岛•二模）如图①，已知正方形力8CO的边长为4,民尸分别为4Z8C的中点，沿E/将

四边形EFCQ折起，如图②，使二面角力-七厂-C的大小为60。，.”在线段力B上，宜线与直线£4的交

点为O.

24/40

【答案】(1)证明见解析；

(2)p

【分析】⑴接。打交EC卜点。，连接。时，先证明"。//。。，再由线面平行的判定定理得证；

(2)取力£中点G,BF中点P,先证明G4,GP,G。两两垂直，以G为坐标原点，G4GRGD分别为x,y,z

轴建立平面直角坐标系，通过空间向量求解直线的方向向量和平面的法向量，进而求解线面角的余弦.

【详解】(1)连接。户交EC于点。，连接。河，因为正方形力8c力，&F分别为力。,8。的中点，所以四边

形E尸。为矩形，所以。为。尸中点，

又M为AB的中点,AE//BF,所以M为O尸的中点,

所以M0/O力，

乂。。＜7平面EMC,历。1平面EMC,

所以0。〃平面EMC.

(2)

25/40

6MB

由题知：EFXAE,EFIDE,二面角力一所一C的大小为60。，

故：/OE4是二面角力一上/一。的平面角，NDE4=60。,

又ED=EA，所以为止三隹形，

取月E中点G,8/中点P,连接GDGP,

则GP//EF,易证：GP^L面DE/,所以GP_LE4GPJ.OG,OG_4E,

以G为坐标原点，G4,GP,GQ分别为x,»z轴建立平面直角电标系，

则E(-l,0,0),D(0,0,扬,M(1,1,0),C(0,4,扬，

所以瓦二(-l,0,-V3),£M=(2,1,0)，反二(1,4,73),

设平面MEC的法向量为〃=Q,y,z)，

n•EM=02x+y=07r

则r令x=-l,则y=2,z=-；j3

w£C=0x+4y+j3z=03

则：=(-12-(百)，

J

n.777;-।,DEn1+0+7,石

设直线DE与平面EMC的夹角为。，贝J狙11°=1cos<DE，n>1=1蔺而1=1惭3l=T，

又薪呜)，所以e=m，所以COS"；,

直线DE与平面EMC所成角的余眩值为y.

空间向量与立体几何

21.(2025•河北•二模)如图，△用C为圆锥PO的轴截面，B为底面圆周上一点，04=3,乙4CB毛，点、

6

。在线段8c上，且8C=3“力.

26/40

p

B

（1）证明：ADA-PB；

（2）若二面角/-P8-O的余弦值为