2025年新高考数学一轮复习（基础版）对数与对数函数

§2.8对数与对数函数

【课标要求】1.理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将--般对数转化成自然对数或常用

对数2通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调也与特

殊点3了解指数函数)，=a'(a>0,且与对数函数y=1oga(a>0,且a#1)互为反函数.

■落实主干知识

【知识梳理】

1.对数的概念

一般地，如果ax=N(a>0,且aWl),那么数％叫做以a为底N的对数，记作x=logJV,其中

且叫做对数的底数，也叫做真数.

以10为底的对数叫做常用对数，记作］oJV.

以e为底的对数叫做自然对数，记作InJY，

2.对数的性质与运算性质

(1)对数的性质：log“l=0，logm=l，"%N=/y(a>0,且。#1,M>0).

⑵对数的运算性质

如果。>0,且aWl,M>0,N>0,那么：

①lo汝(M/V)=logqM+lOgqN；

_M

②10。百=lo臭M—logqN；

③logM=(〃£R).

(3)对数换底公式：1哂/=%("0,且aWl；/»0；c>0,且cWl).

3.对数函数的图象与性质

a>\

VIy

1X=11X=1

;,'=log/I!

图象一

。/[(1,0)o

r=:y=Iog(fv

定义域(0,+8)

值域R

性质过定点LLO),即x=l时，y=0

当人>1时，v>0;当Q1时、A<0；

当0<x<l时，y<0当07<1时，y>0

增函数减函数

4.反函数

指数函数且与对数函数〉=1。&必>0,且。工1）互为反函数，它们的图象关

于直线y=x对称.

【常用结论】

1.log油•log/Ja=l（〃>0,且。工1,。>0,且Z?W1）,log/,b"=fog<，（〃>0,且/?>0）.

2.如图，给出4个对数函数的图象.则力>”1>上c>0,即在第一象限内，不同的对数函数图

象从左到右底数逐渐增大.

y一产1。&4

……........一

【自主诊断】

1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“J”或“X”）

⑴若M=N,则log“M=log“N.（X）

⑵函数y=lo汝2x（a>（）,且“Hl）是对数函数.（X）

⑶对数函数y=log«x3>0,且。W1）是增函数.（X）

（4）函数），=log2.r与y=log]x的图象关于x轴对称.（J）

2

2.（2023•雅安模拟）已知xbg32=l,则4'.等于（）

A.9B.3C.小D.1

答案A

解析xlog32=l,

即x=i表=1鸣3，

所以4』4咋23=2?啕3=210g?9=9.

3.函数«¥）=1。&闻+1（4>1）的图象大致为（）

AB

答案A

解析yu)=iog/M+i的定义域为{小#()},

因为—X)=logd—用+1=logjkl+1=八¥),

所以是偶函数，

当x£((),+8)时,/(x)=|0gox+l(4>l)单调递增.

结合选项可知选A.

4.已知函数)，=1。纵(x—1)+4的图象恒过定点P,则点P的坐标是

答案(2,4)

解析对于函数y=log〃(x-l)+4,

令x—1=1,解得x=2,则y=4,

所以函数y=log«(x—1)+4的图象恒过定点(2,4),即点夕的坐标是(2,4).

■探究核心题型

题型一对数式的运算

71

例1(1)(2024・洛阳模拟)已知3“=5〃=〃?，且工+至=1，则实数m的值为.

答案45

解析由3"=5〃=根，可知〃?>0,显然机W1.

i.电出,1ht出

则nia=log3/n=宿3，力=log5"?=卜’5，

11g31炊5

所以〃一恒加'b~lgnf

21

由Z+尸，

F■纣21g3+lg5应45

「仔—访—=lg〃?=1°孰45=1，

所以m=45.

(2)计算：log535+21og］四一logs=一logsl4=.

2

答案2

解析原式=logs35—log/j—log§14+10gl(>/2)2

2

D.(XG5vl

答案A

解析由函数图象可知，(r)为增函数，故4>1.

函数图象与y轴的交点坐标为(0,log滴)，

由函数图象可知一lvlog/<0,

解得*“<L

综上，

|lgx|,iKv^lO,

(2)已知函数yu)=<1若a,b,c,互不相等，月.14)=川？)=/(c),则。。c的取

—/+6,x>IO>

值范围是()

A.[10,12]B.(10.12]

C.(1012)D.[10,12)

答案C

解析不妨设CK/KC,作出函数/lx)的图象，如图所示,

由图象可知

由人〃)=<〃)，得|lg〃|=|lgb|,

即一Ig〃=lgby

Algab=Ot则〃。=1,

:.abc=c,又10<c<12,

・••4c的取值范围是(10,12).

思维升华对数函数图象的识别及应用方法

(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、

最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.

(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.

跟踪训练2(1)(2024•乌鲁木齐检测)我国著名数学家华罗奥先生曾说：“数缺形时少直观，

形缺数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数

的图象来研究函数性质，也常用函数解析式来琢磨函数的图象特征，函数？U)=〃与g(x)=

logix(〃>0且aHl)在同一坐标系中的大致图象是()

答案c

解析对于A,由指数函数的图象，可得。＞1,则。4＜1,即函数g(x)在(0,+8)上单调递

减，故A错误；

对于B,由指数函数的图象，可得则卜1,即函数g(x)在(0,+8)上单调递增，故B

错误；

对于C,由指数函数的图象，可得公＞1,则即函数g(x)在(0,+8)上单调递减，故c

正确;

对于D,由指数函数的图象，可得则ogjvl,即函数g(x)在(0,+8)上单调递减，故

D错误.

⑵(2023・濮阳模拟)已知。)0且函数y="的图象如图所示，则函数於)=log〃(一x+1)

的部分图象大致为()

答案D

解析由函数y=a'的图象可得a＞\.

当。＞1时，y=log«x经过定点(1,0),为增函数.

因为y=lo&力与y=log，-x)的图象关于y轴对称，

所以y=lo以一X)经过定点(-1,0),为减函数.

而_/U)=log«(—x+1)可以看作y=log“(一x)的图象向右平移一个单位长度得到的,

所以yu）=log〃（一x+1）的图象经过定点（00）,为减函数.结合选项可知选D.

题型三对数函数的性质及应用

命题点I比较对数式的大小

例3已知4=k）g20.3,0=ln3,C=log32,则小b,c•的大小关系为（）

A.a>b>cB.b>c>a

C.b>a>cD.c>a>b

答案B

解析•••。=1噂0.3〈1噂1=0,

b=\n3>lne=1,

0=10g31<10g32<10g33=I,

即0〈cv1,b>c>a.

命题点2解对数方程、不等式

例4（2023•衡阳模拟）若log、V2,则。的取值范围是（）

A.售4-oo）B.（0,平）

C.停1）D.（（）,叫U（l,4-0°）

答案D

解析因为log\v2,

2

所以logfz1<logzx/.

当。<a<l时，对数函数为减函数，

所吗>/,

可得0<苕；

当4>1时，对数函数为增函数，

所以可得

综上所述，4的取值范围为（o,乎）U（l,+8）.

命题点3对数函数的性质及应用

例5（2023•郑州模拟）设函数於）=1球左+1|—11）3—1|,则加）（）

A.是偶函数，且在R，+8）上单调递增

B.是奇函数，且在（一1号上单调递减

C.是偶函数，且在（一8,一；）上单调递增

D.是奇函数，且在（一8・一9上单调递减

答案D

解析由/U）=ln|2x+1|-ln|2x-1|,

得7U）的定义域为卜,之±（）,关于坐标原点对称，

又7（—x）=ln|l—2v|—In|—2x—l|=】n|2x—1|—ln|2x+”=一,仆），

・・・"r）为定义域上的奇函数，故排除A,C；

当（一/0时，

危）=ln（2v+1）—ln（l—2x）.

•・}=111（21+1）在（一/上单调递增，

尸|11（1-2%）在（一；，上单调递减，

・・・危）在（一/号上单调递增，故排除B；

当工£（一8,一9时，AX）=M（—2Y—1）一

ln（l-2v）=lngr7=ln（l+5^7）,

•：u=]+2:j在（-8,一§上单调递减，y（〃）=ln〃在（0,+8）上单调递增，

根据复合函数单调性可知«》）在（一8,一上单调递减，故D正确.

思维升华求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是

定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成.

跟踪训练3（1）（2023•宜宾模拟）已知函数/Wulogza2-%，）在3，+8）上单调递增，贝！a的

取值范围是（）

A.[2,+8）B.[1,+8）

C.（—8,I]D.（—8,0]

答案A

解析由题意得，/一2%>00上£（一8,0）U（2,+8）,

而函数y=A■—2x的对称轴为x=l,

所以函数y=f-2A•在(-8,1)上单调递减，在(1,+«：)上单调递增，

根据复合函数单调性“同增异减”的原则，

函数的单调递增区间为(2,+8),

又因为函数./U)在3,+8)上单调递增，

所以。£[2,+8).

(2)若函数/U)—1。汝(J—2“人—1)有最大值，则a的取值范围为()

A.(0,0B.&1)

C(|，D.(1,2)

答案B

解析令t=JC—2ax+^a—1,

根据复合函数的单调性，要使函数.心)=1叫位一26戊+|1)有最大值，

则函数尸f—2or+,4-1有最小正值，且函数&)=logj为减函数，

可知0<«<1.

要使函数t=}r—2ax+^a—\有最小正值，

则A=4a2—4(^a—1)<0,

解得/V2.

综上，4的取值范围为Q,1).

课时精练

ib知识过关

一、单项选择题

1.(2023•哈尔滨模拟)函数尸Mogo.5(4x-3)的&定义域为()

A.[1,+8)B.

341I

答案c

4v—3>0,

解析函数的定义域满足

logo,5(4.r—3)^0,

故函数的定义域为1.

2.若函数次x)=lo即M“>0,且4*1)的反函数的图象过点(1,3),则/(log28)等于()

A.-1B.1C.2D.3

答案B

解析依题意，函数儿:)=1。削电>0,且。W1)的反函数，即函数y="的图象过点(1,3),

则。=3,所以flx)=log*,

于是得、川Og28)=Iog3(log28)=log33=1.

3.®iogVi0.8<logv?0.8<0,则由与制的关系正确的是()

A.0<X2<A’l〈lB.0<.VI<X2<1

C.l<Xi<X2D.1<V2<V|

答案c

解析因为log20.8<log.0.8<0,

所以10go,8X2<10gO.&Xl<0=Sg0.81，

又因为y=logo.&t在(0,+8)上单调递减,

所以1<X|<A2

4.已知函数次x)=lo&G—"〃>0,且〃工1,小小为常数)的图象如图，则下列结论正确的是()

A.a>(),h<—1B.—1</?<()

C.0<〃v1,b<一1D.()<a<1.—I</><0

答案D

解析因为函数fix)=\og(l{x—b)为臧函数，

所以()<a<\,

又因为函数图象与x轴的交点在正半轴，

所以令X—8=1,则x=l+b>0,即比>一1,

又因为函数图象与)，轴有交点，

所以X0,所以一

5.（2024・通化模拟）设a=logo14,/?=Iog5（）4,则（）

A.2ab<2（a-\~b）<abB.2ab<a~\~b<^ab

C.ab<a-\-h<2ahD.2ah<a+lT<ab

答案D

解析因为a=log（）,|4,b=logsM，

所以a<0,/?>0,所以a/Y）,

~+^=log40.H-log450=log45e（l,2）,

即弓+Q,

所以2ab<a+b<ab.

6.（2023・银川模拟）当0<r<1时，5<logd（a>0,且"U）,则实数。的取值范围是（）

A（Olb）B痣,1）C,（0,制D./1）

答案B

解析由题意可得当。令4时，y=G的图象位于y=log*r图象的下方，

因为），=正在（0,J上单调递增，

所以1。用

0<a<l,

『砥卜尹log“诉

0<<7<1,

所以《、1

可得自Wavl.

二、多项选择题

7.（2023・西宁模拟）已知函数_/U）=ln（x+2）+ln（4—x）,贝］下列说法正确的是（）

A.府）的定义域为（一2,4）

B./U）在区间（-2,1）上单调递增

C.人0在区间（1,+8）上单调递减

D.人工）的图象关于直线x=l对称

答案ABD

x+2>0,

解析令，八解得一2<t<4,

4—x>0,

所以7U)的定义域为(一2,4),故A正确；

函数外)=ln(x+2)+ln(4—X)

=ln[(x+2)(4-x)]

=ln(—2x+8)(—2<v<4),

令f=—f+2r+8,则函数f=—x2+2x+8

在(-2,1)上单调递增，在(1,4)上单调递减，

又)，=ln/是增函数，

所以_/U)在(一2,1)上单调援增，在(1,4)上单调递减，故B正确，C错误；

又，=-f+2r+8的图象关于直线％=1对称，

所以«r)的图象关于直线x=l对称，故D正确.

8.(2023・济宁模拟)若l(T=2,ia=5,则下列结论中正确的是()

A.a~\rb=1B.5a<2b

C.5a<2bD.2。+2，>2啦

答案AD

解析由题意可得。=怆2,Z?=lg5,

所以a+b=lg2+lg5=lg10=1,故A正确；

5a=51g2=lg25=lg32,2b=21g5=lg52=lg25,

所以5»2。，故B不正确；

因为542“=10“=2,2〃2"=2"+'=2,

所以542a=2"2°,

所以5。=2)，故C不正确；

2"+2〃>2机讶=2、m标=2小，故D正确.

三、填空题

9.计算：怆25+犯8—除227乂叫32+2脸3=.

答案2

解析原式=21g5+21g2-31og23Xlog32+3

=2(lg5+lg2)—3+3=2.

10.设函数/U)=log2(4x>log2(2x),则/(x)的最大值为

答案12

解析fix)=log2(4x)«Iog2(2v)

=。。群4+log2A)(log22+log2A)

=(2+log2，v)(1+log2X),

令f=log>,・・・；《xW4,

1

则+-

g-4

・••当1=2时，g⑺取得最大值12,

即人幻的最大值为12.

四、解答题

11.(2024・武威模拟)已知函数/(x)=log]匕竺的图象关于原点对称，其中。为常数.

2X-\

⑴求。的值；

(2)若当x£(l,+8)时，.)+108]*一1)〈〃?恒成立，求实数机的取值范围.

2

解(1)因为火x)=log]匕竺的图象关于原点对称，

2X-1

所以该函数为奇函数，

所以其定义域也关于原点对称，

由题可知^―华>0,

X—1

即(1一尔)(工一1)>0，要使定义域关于原点对称，显然。工0,

令(1—at)(x—1)=0,

解得人1=1,人2=£,

由定义域关于原点对称可知Xl+X2=。，

所以。=-I,经检验，。=—1成立.

x+1

(2)由题可知/)+log](X-1)=logI---+log1(x-l)=log1(x+l),

22x-122

因为x£(l,+°°),

所以log[(二+1)<log|(l+l)=-l,

又因为火X)+1og।a-1)</〃恒成立，

2

所以机2—1,

即实数"，的取值范围是[-1,+8).

12.(2023・南昌模拟)已知函数凡r)=log3(9"+1)+kx是偶函数.

⑴求我的值：

(2)解不等式於)Kog3(7-3,-1).

解（i）・・・yu）是偶函数，

•\Ar）=y"），

即叫3（9一"+1）一履=log3（*+1）+丘对任意xeR恒成立，

9一*+1一

xv=1

，2匕=log3（9+1）—log3（^+I）=log3-^q7j-°g332*=-Zr,

：.k=~\.