2025年高三数学 第五单元《三角函数与解三角形》测试卷【含答案】

2025年高三《第五单元三角函数与解三角形》测试卷

一、单选题

1.已知角a的终边经过点(-4,-3),则cos(]+2a)=()

A24Q12r12n24

A•一元B-25C-25D-25

2.“角。是第一象限的角”是“角E是第一象限的角”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.伊丽莎白塔，俗称“大本钟”是英国伦敦的标志性建筑，其上面镶嵌着世界上最大的“钟”，且其分针

长约为4米，则经过25分钟，其分针的端点所转过的长为()

A.誓米B.竽米C,竽米D,胡米

4.将函数/(%)=2tan(cux+骸3>0)的图象向左平移得个单位，得到函数g(x)的图象，若g(x)为奇函数，

则3的最小值是()

A.1B.1C.2D.1

5.已知sin(a+/?)=£tana=2tan/?,则sin(a-/?)=()

A、

A.——1nB.-1"C2.zD.-3

DOOO

6.若函数y=sin(2x-a的图象向右平移>0)个单位后为一个奇函数的图象，则◎的最小值为()

A—B-C-D—

126口312

7.设函数/(%)=sin(tox+勺在区间(0,兀)恰有一:个极值点、两个零点，则3的取值范围是()

A.康总)B.g,第D启，第

8.已知在锐角△48C中，角4B,C所对的边分别为a,b,c,若b2=a(a+c),则广粤J的取值范围

bcosA-acosB

是()

A.©争B.(0,苧)C.©,苧)D.4苧)

9.如图所示，为测量河对岸的塔高AB,选取了与塔底B在同一水平面内的两个测量基点C与D,现测得

tan^U,CD=50m,c3D=gcoszFDC=|,则塔高48为()

A

A.15/3mB.20c7nC.15/57nD.20x/5m

10.已知sin(a+6)=tana=则sin(a-/?)=()

A.-1B.CiD.?

636

11.在△力BC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若力=替(JI-l)sinC=，^tan力sin(C+》则()

A.c<b<y[2cB.V_2c<b<V"5cC.A/_3C<b<2CD.b>2C

12.448C的三个内角4B,C所对的边分别为a,b,c,M在边,48上，且b=2,CM=券，

JJ

2sinA-sinB_c川<

sin28-V则ZMBCT)

A.蜉B./3C.2/3D.浮

*T*5

二、多选题

13.已知角a的顶点为坐标原点，始边与工轴的非负半轴重合，P(-3,4)为其终边上一点，若角夕的终边与角2a

的终边关于直线y=一%对称，则()

A.cos(7r+a)=|B./?=2kn+/+2a(k6Z)

C.tanp=2D.角/?的终边在第一象限

14.已知a,力，c分别为△ABC的内角4B,C所对的边，cos2=1cosficosC+|,则下列说法正确的是()

A.tanFtanC=2B.tanA=tanB+tanC

D.a>b,a>c

15.设函数/(%)=Acos{a)x+0)(A#：0,co>0,0<<TT)的图象关于直线3=对称，它的最小正周期是兀,

则以下结论正确的是()

A.f(x)的图象过点(0,-令B/(x)在上是减函数

OO

C./(%)的最大值与A的取值有关DJQ)的一个对称中心是(一方0)

16.关于函数f(x)=4sm(2x+勺(XER)有下列命题，其中正确的是()

A.y=/(%)的图象关于点(一也0)对称

B.y=/(无)在区间邑,刍上是单调递减函数

C.若y=/'(3X)3>0)在区间［0,白上恰有两个零点，则3的取值范围为虑,4)

D.y=/(%)的图像关于直线》=0寸称

17.已知fCv)=sin2x,gM=cos2x»下列四个结论正确的是()

A.f(x)的图象向左平移?个单位长度，即可得到g(x)的图象

B.节x=/时，函数/'(%)-g(x)取得最大值，

C.y=fM+9(%)图象的对称中心是管J0)，kez

D.y=fM-g(%)在区间管偿)上单调递增

三、填空题

18.sin50°(l+/3tanl0°)=(用数字作答).

19.在△A8C中，BC=2,/,ABC=△48C的面积为第，贝必C=_____.

65

20.把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体(图1),若中间层旋转角无。为锐角，如图2所示)，记表面积增

加量为S=/(x),则/缁)=_____，S的最大值是_____.

图1图2

⑴求PQ,PR(用a表示)；

(2)当P在BC上运动时，求这块三角形绿地的最大面积，以及取到最大面积时a的值.

答案和解析

1.【答案】A

【解析】由题意可得％=-4,y=-3,r=5,

x4y3

•••cosa=-=-r,sina

r5r5

3424

•••cos(n-+2a)=-sin2a=-2sinacosa=(-2)x(--)x(--)=.

故选:A.

2.【答案】D

【脩析】当角a是第一象限的角时，则a€(2k;r,2kzr+€Z,

.*W(k7i,kn+J不一定是第一象限的角.

当角褪第一象限的角，则江(2面,2"+?且kWZ,

•••aG(4/CTT,4kn+兀)不一定是第一象限角.

•••“角a是第一象限的角”是“角视是第一象限的角”的既不充分也不必要条件.

故选：D.

3.【答案】C

【解析】分针每60分钟转一周，故每分钟转过的弧度数是尊，

OU

故经过25分钟，分针的端点所转过的弧度数为：寡x25=目，

OUO

故弧长为着x4=苧米.

故选:C.

4.【答案】B

【解析函数/(乃=2tan(3x+5)3>0)的图象向左平移,个单位长度后，

得到函数g(%)的图象，由题意，^(x)=2tan[(w(x+?)+?]=2tan(tox+?+V)>它是奇函数，

n,u)nkn13k»_

M6+T=T*3=-2+丁kwz,

又3>0,则其最小值是当k=l时，3=1.

故选:B.

5.【答案】B

【解析】tana=2tan/?,

sina2sin0日口.°rn

---=----小即acosB6,

cosacos/?sin广=2cosasm产

3

s:n(«+/?)=sinacos/?+cosasin/?=-,

2cosasin夕+cosasin0=*,解得cosasin£=g，

c2

:.s:nacos/?=-,

211

：

•sm(a—/?)=sinacosp—cosasin。。。

故选:B.

6.【答案】D

【解析】函数y=sin(2x-器)向右平移◎个单位后，解析式为y=sin[2(x-<p)-^]=sin(2x-2(p-",

奇函数满足f(0)=0,故代入x=0,sin(-2w—弓)=0=-2尹一:=/t7T(kEZ),

整理方程程=_3_%因W>0,取k=一1,使3最小，(P==5-75=77,

通过平移公式和奇函数性质推导，3的最小值为:，对应选项D

故选。.

7.【答案】C

【解析】当3<0时，不能满足在区间(0,兀)极值点比零点多，所以3>0；

函数/'(%)=sin(s+勺在区间(0,九)恰有三个极值点、两个零点，

<OX+1e&37T+今，

•••y<(OTT+^<3TT,

求得琶<3卷，

oJ

故选：C.

8.【答案】C

【解析】

22

由/=a(a+c)及余弦定理力2=a+c-2accosB,可得c-a=2acosB,

由正弦定理边化角，得si"C-sinA=2sinAcosB,

A+B+C=n,

二s:n(B+A)-sinA=2sinAcosB,l^sinAcosB+cosAsinB-sinA=2sinAcosB,

，s:n(B—力)=sinA.

•.♦ABC是锐角三角形，・••B-zl=A,即8=24

v0<^<p^<A+B<n,

A<-y—<sin/1V—~~

6422

....asin/1_sin2/l

bcosA-acosB~sin(B-A)

故选c.

9.【答案】C

【解析】因为cos48co=合，cos^BDC=3

竽，sin^BDC=J1一(J=j.

所以sin^BCD=

所以sinziCBD=sin(Z.BCD+Z.BDC)

=sinz.BCDcosz.BDC+cosz.BCDsinz.BDC

243,\f~542/5

=—X5+TX5=—

在八BCD中，由正弦定理可得号=』，

即孩=竿，解得BC=20C.

4-5

在At△ABC中,4B=BC.ta山CB=20<5x1=15cm.

故选C.

10.【答案】C

【解析】解:由"”等嗤=鬻

所以sinacos/?=3cosasin/?,

又sin(a+/?)=sinacos/?+cosasin/?=

11

解得cosasin/?=—,sinacos。=-»

所以sin(a-/?)=sinacos/?-cosasin/?=1

故选：C.

11.【答案】A

【解析】由题意，(门一l)sinC=氏苧sinC+苧cosC),

(V-3—l)sinCcos/l=sin/lsinC+sin/lcosC,

CsinCcosA=sin/lsinC+sin4cosc+sinCcoszl

=sin/lsinC+sinQ4+C)=sin/lsinC+sinB,

即sin8=(xf5cosA-sir)A)sinC,

即9=2sin(1-A)=2sin^G(l,/2),

c<b<\Tlc.

故选4.

12.【答案】B

2sinA-sinB_c

【解析】△ABC中,

sin2BP

2sinA-sinB_sinC

sin2B—sinBf

A2sinCcosB=2sinA—sinB,

:，2sinCcosB=2(sinBcosC+cosBsinC')-sinB,

_1

:.cosC=

又CG(0°,180°),

/.C=60°；

乂而7=g福

：.CM=CA+AM=CA-]-^AB

=CA+^(CB-CA)=|cX+1cfi,

:.3CM=2CA+CB,

9CM2=4CA2+CB2+4CA-CB；

二28=16+a?+4Q,

解得Q=2或a=-6（不合题意，舍去）,

ABC的面积为S△ABC=1x2x2s汾600=73

故选：B.

13.【答案】ACD

【解析】由题意可知，cosa=-3,sina=&

27

所以sin2a=2sinacosa=,cos2a=2cos2a-1=,

乙J4D

所以点力(-7,-24)是2a终边上一点，所以点8(24,7)是0终边上一点，即cos/?=刍sin/?=

3

4项：cos(7r+a)=—cosa=正确；

C项：tan£=*当=/,正确；

厂cosR24

B项：若3正确,则有cos0=cos(2E+2a+J)=cos(2a+与)=—sin2a=荽,

sin$=sin(2A;r+5+2a)=cos2a=-卷，与已知矛盾，故8错误；

D项：易知正确.

故选ACD.

14.【答案】ABD

［解析］选项A:cos21cosBcosC+5

所以l+；s'=|cosBcosC+I，

to4*乙

所以1+3“=cusBc3c+1,

所以cospr—(B+C)］=cosBcosC,

所以一cos(B+C)=cosBcosC,

所以-cosBcosC+sin^sinC=cosBcosC,

所以sinBsinC=2cosBcosC,

即tanBtanC=2,故A正确；

选项股由tan4=Tan(B+G=—^^，

代入tanBtanC=2,得tan4=tanB+tanC,故B正确；

选项£):由tanBtanC=2及tanzl=tanS+tanC可知，

tanB>0,tanC>0,tanA>0,

所以A,B,C均为锐角，A>B,A>C,故a为最大边，故。正确，

选项C：由。的解析知A为最大角，且△ABC不是等边三角形，

所以力>:故C错误.

故选：ABD.

15.【答案】ACD

【解析】函数/(x)=Acos(o)x+<pXAO,o)>0,0<<p<九)的最小正周期是广，

故3=2,

由于函数的图象关于直线x=对称，所以2x(T)+0=kW6Z),整理得令="+当(kGZ),

而0csV兀，当k=0时，◎=等；

故/(%)=ACOS(2X+y),

对干4：当％=0时，/(0)=-故A正确：

对于8：由于％W《，争,故2%+茎W［凡2江］,

函数y=cos(2%+各上单调递增，当A>0时，函数/Xx)在该区间上单调递增，当AV0时，函数f(x)在该

区间上单调递减，故函数的单调性不确定，故8不正确；

对于C：/(%)的最大值为|川，与人的取值有关，故C正确；

对于D：当％=寸，f(—与二0,故。正确.

故选：ACD.

16.【答案】ABC

【解析】对于《由于/(一9=0,所以y=f(x)的图象关于点(-20)对称，A正确，

对于8,由xwa,,则2%+"(Q)G&竽),故y=/(X)在区间(*》上是单调递减，6正确，

对于C,/(cox)=4sin(2(n)x+^),由％W［0,刍，则ge《，等3+刍，

JJJJJ

要使y=f(3X)®>0)在区间上恰有两个零点，则2"竽G+gv3亢，解得、3V4,故C正确,

对于D,f©)=4si几G+勺工±4,故X=£不是y=f(x)的对称轴，故。错误.

oOOO

故选：ABC.

17.【答案】CD

„i/=siii2fJ:4--J=sin(2x4-TT)=-曲曲沟(N),故A错

【解析】由/'(幻的图象向左平移J个单位长度得，’'?)

误；

由/(n)—(j(x)=sin2z—OJ«2N=\/2sin

()()(

/T-^T=V^sin2Xj=0

oo\o4,故8错误；

y=f(x)+g(N)=siu2z+coe<2z=gsin(2N+

由，

令2X十•三kzr,kWZ,解得A;—多一看keZ,

・•・y=fW+g(%)图象的对称中心是管Y,o),k£z,故c正确;

jf/(l)♦1")xin2l・<，例2]♦LinLr

由‘‘2

令一£+2krc<4x<2kn+%k€Z,

7TklT*7T7T

——+"T*<J'<™—+-

解得8228,kEZ,

：•y=/(x)•g(x)=；sin4%的单调递增区间为kez,

当k=i时,单调递增区间为(詈,？)，

OO

,(8仝(8，8人

y=/(%)-g(x)在区间作上单调递增，故。正确,

故选CD.

18.【答案】1

【解析】sin50°(l+<3tanl0°)

_sin500(cosl00+口sinl00)

coslO0

=2sM50。$皿30。+10。)

cos10°

2cos400sin40°

sin80cos10-

CDS10°一COS10°-

故答案为：1.

19.【答案】警

【解析】因为"人"=:/口-9。7也*=浮，RC=2,

4UD

所以48=?,

«3

由余弦定理得力。2=AB2+BC2-2AB•BC-cosZ-ABC=^+4-2x2x^x^=l

O*34J

所以AC=券.

故答案为：等.

20.【答案】^-4；；12-8/2

【解析】设三角形的斜边长为a，则acosx+asinx+a=1,(1)

所以S=f(x)=1•acosx-asinx-16=4a2sin2x,

当x屋时，由①式得，a=1-洋

所以5=〃々=4乂(1一苧)2乂暮=苧一4：

S=8a2sinxcos无,

因为sinxcosxK(sE'T°s'),当且仅当sinx=cos%时，等号成立，

又由①可得，sinx+cosx=V_2sin(x+：)=与^，

(sinxSX)22

所以S48a2x7=2a2x(与孑=2(1-a),

因为汇为锐角，所以％W(00)，所以％+3£(彳,与)，所以V2sin(x+》=^E(1,，2],

所以QW[0—13),所以1—QW0,2所以(1—Q)2W(2-，I)2=6-4/LUPS<12-8/2.

且当a=V~^-l时，Smax=12-8-/^.

（2）；a,6均为锐角，・••a+HW（O，7），。+江（，竽）

.0.sin(a4-/?)>0,cos(a+.)€(-号),

7?4

■:cos(a+^)=,•••sin(a+/?)=—,

又sin(a+[)=，，.•.cos(a+1)=g或cos(a+勺=一g(舍掉)

o□ooo□

n=cos[(a+6)_(a+6]

•••cos(0-a)

=cos(a+/?)cos(a+奇+sin(a+/?)sin(a+n

6)

=---7x-4+,—24x—3=-4-4-

255255125

22.【解析】(1)设8。=%,CO=y,则A0=2-y,

在么BOC和△力。。中，BC=AD,

由余弦定理可得：x2+y2-2xycos=(2>f2-x)2+(2-y)2-2(2/2-x)(2-y)cos^,

整理得：x=/2,所以80=：BD,即。为B。中点；

(2)由正弦定理：吟=驾=雪=%,

、/sinesin.sinqsin/1

由B。=DO,得sinC=sin/1,

若C=A,此时在aBOC和d。。力为全等的等腰直角三角形，A=^,8=%不符合条件，

所以C+i4=7T,此时A=7T—C=7T—岑—B)=8+：,

V~5sin2i4+cosB=V3sin(2B+今+cosB=VTcos2S+cosB,

所以6(2COS28—1)+COS8=G,由OVBVTT,解得：cosB=阜，

此时sinB=g,sinC=sin(1—5)=竽(sinB+cosB)=3

在AB。。中，由正弦定理：黑=黑，代入得：0C=1.

23.【解析】(1)/(%)=V~3sin2x+2cos2x

=傍疝12上+co«2工+1=2sin(2j：+：)+1，

由一弓+2kn<2x4-+2kn,kEZ,

ZOz

得一弓+AzrWxW[+kw,kEZ.

3O

・•./'0）的单调增区间为［-1+忆兀（+攵兀］,keZ.

（2）因为/（1）2曲i（,，l+：）+l/I+l,

可得ain（/l.；）

由题意知4为锐角，则4=%

O

由正弦定理可得⑤=七

sinC)

贝.

-Ha

-C9—sin信一.

所以,

a+0+c=--------------4-2=--------------------------；+2

sinBsinB

l+cos£?

+\/~3+2=----»-+\r34-2=