2025年高一数学寒假讲义-复数的四则运算（人教A版必修第二册）解析版

第06讲复数的四则运算

【人教A版2019】

1.复数的加法运算及其几何意义

(1)复数的加法法则

设ZI=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d€R)是任意两个复数,那么々+a=(a+bi)+(c+d\)=(a+c)+(b+d)\.

(2)复数的加法满足的运算律

对任意Zi为2.z?£C,有

①交换律:zl+z2=z2+zi;

②结合律：(Z|+z2)+Z3=Z|+(z2).

(3)复数加法的几何意义

在复平面内，设Zi=a+6i,Z2=c+di(a,6,c,d£R)对应的向量分别为OZi,OZ2»则OZ〕=(a,6),OZ2=(c,d).

以前，酝对应的线段为邻边作平行四边形OZiZZ?(如图所示)，则由平面向量的坐标运算，可得

次=次+次=伍力)+(cg=(a+c力+㈤，即z=(a+c)+S+d)i,即对角线OZ对应的向量就是与复数(o+c)+S+")i

对应的向量.

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y

(D复数的减法法则

类比实数减法的意义，我们规定，复数的减法是加法的逆运算，即把满足(c+di)+(x+yi)=q+加的复数

x+yi(x,y£R)叫做复数a+6i(q,b£R)减去复数c+di(c,c/WR)的差,记作(a+bi)-(c+di).

根据复数相等的定义，有c+x=md+y=b,因此x=a-c,y=b-d,所以x+yi=(a-c)+(/w/)i,即(a+加)-(c+di)

=(a・c)+S")i.这就是复数的减法法则.

(2)复数减法的几何意义

两个复数z产a+加，Z2=c+di(a力,c,"£R)在复平面内对应的向量分别是厉，况，那么这两个复数的差

N「Z2对应的向量是a-酝，即向量/

如果作成="力，那么点Z对应的复数就是z「Z2(如图所示).

这说明两个向量厉与5N的差五N就是与复数(〃-c)+S-4)i对应的向量.因此，复数的减法可以按照向

量的减法来进行，这是复数减法的几何意义.

(1)复数的乘法法则

设4=a+/)i,Z2=c+4i(4,bcd£R)是任意两个复数，那么它们的积(q+Z)i)(c+di)=ac+bci+4di+/WF

=(ac-bcl)+(ad+bc)i.

可以看出，两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要在所得的结果中把产换成-1,并且把实部与

虚部分别合并即可.

(2)复数乘法的运算律

对于任意4/2/3EC,有

①交换律：Z,z2=z2z,；

②结合律：(Z]Z2)Z3=Z](Z2Z3)；

③分配律：Z|(Z2+Z3)=Z,z2+z,z3.

在复数范围内，正整数指数幕的运算律仍然成立.即对于任意复数Z,4/2和正整数叽〃，有”上"=2"，+",

(z”，)〃=”“，(Z0)”=ZS.

4.复数的除法

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⑴定义

我们规定复数的除法是乘法的逆运算.即把满足(c+di)(x+yi尸什》(什附0)的复数x+W叫做复数4+历除

以复数c+di的商，记作(a+bi)+(c-di)或:(a,b,c,"£R,且e+di翔).

(1)复数的除法法则

/工人、/〃+〃i(a+5i)(c-di)(ac+bd)+(be—ad)\ac+bdbe—adn

(a+bi)+(c+di)=――TT=--T7--------—=-------------；-p-----------=，।八+，।，2i(a,b,c,d£R,且

'7c+di(c+di)(e-di)c2+d2。~+小c2+d-

c+di#)).

由此可见，两个更数相除(除数不为0),所得的商是一个确定的复数.

5.复数运算的常用技巧

(1)复数常见运算小结论

①(1+i)*=2iy^T=1+i；

②(1—i)2=-2i21=1-j«^=^>2i=-I+i；

1—11—1

22

③(l4-i)(1—i)=2—-r=1—i-----r=1+i；

i十i1一i

④1~r=1*^=^*T-J-r=-l；

I—11+1

⑤i4"+=i,]4"+2=一],i4〃+3=-i,i4”=](〃£Z).

(2)常用公式

(a+bi)(a-bi)=a2+l)2:

(a±力i)2=a?+/)2±2abi；

(a±/>i)3=a3-3ab2士(3a2b—b3)i.

►题型归纳

【题型1复数的加、减运算】

【例1.1]（23-24高一下•陕西西安•期中）已知Z]=4-2i,Z2=2-4i,则一z2=（）

A.6-6iB.2-2iC.24-2iD.-2+2i

【解题思路】根据复数的减法法则运算即可求解.

【解答过程】Zi-Z2=4-2i-（2-4i）=4-2i-2+4i=2+2i.

故选：C.

【例1.2]（23・24高一下•黑龙江哈尔滨•期中）若复数z满足z+3-2i=4+i,则z=（）.

A.-1-3iB.l+3iC.1+iD.-1-i

【解题思路】根据复数代数形式的加减运算法则计算可得.

【解答过程】因为z+3-2i=4+i,

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A.5B.V5C.2V5D.2V2

【解题思路】根据里数减法的几何意义求得正，再根据模长公式即可求解.

【解答过程】因为瓦=正一而，又向量与，公分别表示复数Z|=2-i,Z2=3+i,

所以说表示复数Z2—Z[=1+2i,

所以I说I=|l+2i|=V5.

故选:B.

【变式2.1]（23-24高一下•江苏常州•期末）已知Zi，Z2WC,IzJ=\z2\=1»\zx+z2\=V3,则％-Z2l=

（）

A.0B.1C.V2D.V3

【解题思路】根据复数加减运算的几何意义运算求解.

【解答过程】在复平面中，设Z1,Z2分别与向量函:两对应，

由膻意可得|西|一|两|二1，|西十两|一方，

因为I西+两（+|两一西『二2Q西『+|西|2）,

即3+1西一西|'=2（1+1）=4,解得|西一两1=1,BP|Z1-Z2|=1.

故选:B.

【变式2.2]（2024•贵州六盘水一模）在更平面内，O为原点，四边形O/4C是生平面内的平行四边形，

且4,B,。三点对应的复数分别为2/,22，Z3,若Z]=1,z3=-24-i,贝U2尸（）

A.1+iB.1—iC.—1+iD.—1—i

【解题思路】根据复数加法的几何意义及法则即可求解.

【解答过程】因为。为原点，四边形。力8C是复平面内的平行四边形，

又因为Z]=1,z3=—24-i,

所以由复数加法的几何意义可得，

Z2=Zi+Z3=1-2+i=­1+i.

故选：C.

【题型3复数的乘除运算】

【例3.1]（23-24高一下・福建厦期中）已知复数z在复平面内对应的点是（0,-1）,则巴二（）

Z

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

【解题思路】根据复数的几何意义，写出复数z,在运用复数的除法运算化简即可.

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【解答过程】因为复数z在复平面内对应的点为(0,-1),

所以z=-i,

所以密=臀=-l+i,

故选：C.

【例3.2](24-25高一下•全国•单元测试)已知z=-*,则zi°°+z5。+1的值为()

A.iB.-iC.1+iD.1-i

【解题思路】先计算z2,再由哥的运算求解即可.

【解答过程】因为(1-i)2=l-2i+i2=-2i,所以z2=(-*)2=?=—i,

50250

所以Z】。。+Z+1=(z)+02)25+1=(-1)50+(-i)25+1=卢0-j25+1=j2-j十]=一j

故选：B.

【变式3.1](23-24高一下•山东青岛期木)若(l+2i)5—4+3i,贝收一()

A.1-iB.2+iC.1+iD.2-i

【解题思路】根据复数除法以及共枕复数的概念直接求解.

【解答过程】由题意知"潦户瑞髓=2T,

所以z=2+i.

故选：B.

【变式3.2](23・24高一下•江苏营州•期末)已知复数z满足(2-i)z=5(i是虚数单位),z的共扼复数为2,

贝！)2-2=()

A.6B.5C.4D.3

【解题思路】由复数的除法、乘法运算，结合共桅复数的概念即可求解.

【解答过程】由(2-i)z=5,可得z==J=2+i,所以2=2-i

2-1(2—1)(2+1)

所以z•z=5.

故选：B.

【题型4根据复数的四则运算结果求参数】

【例4.1](23-24高一下•天津红桥・期末)已知aWR,i为虚数单位，若同为实数，则。=()

2+1

A.-1B.1

C.-2D.2

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【解题思路】根据题意得Z=2"iy2)i,又ZWR,求解即可.

【解答过程】由于Z=舒=*黯=2a-：,+2)i=2＞：(a+2)i,

因为z€R,则Q+2=0,解得Q=-2.

故选：C.

【例4.2](23-24高一下•河南郑州•阶段练习)复数z1=a+3Lz2=-4+bi,a,b为实数,若Zi+z?为实

数，Zi-Zz为纯虚数，则。+8=()

A.-7B.7C.-1D.1

【解题思路】由Z1+Z2为实数，Z1-Z2为纯虚数列方程求出a,b,进而可得a+b值.

【解答过程】因为Z1+z2=a-4+(3+b)i为实数，所以3+方=0,即b=-3,

又21-22=。+4+(3—6»为纯虚数，所以即。二一4且bH3,

综上可知｛；二:，所以a+b=-7.

故选：A.

【变式4.1】(2023•四川资阳•模拟预测)已知复数2=。+加(a力ER),且y=l+2i,则ab=()

i+i

A.-9B.9C.-3D.3

【解题思路】由题意可得(。+6)=(1+2。(1+。，化简后利月兔数相等即可解得。=3,b=l,从而可

解.

【解答过程】由题意可得(Q+帅=(1+2i)(l+i),则-b+ai=-l+3i,

从而a=3,b=1,故ab=3.

故选：D.

【变式4.2](23-24高一下•陕西咸阳•阶段练习)如果一个复数的实部和虚部相等，则称这个复数为“等部

复数”，若早为“等部复数”，则实数a的值为()

A.-1B.0C.3D.-3

【解题思路】先运用复数的四则运算法则化简型，再根据等部复数的定义列方程计算即得.

1

【解答过程】因过色="殳=-3i—Qi2=Q—3i,依题意得，a=-3.

1r

故选：D.

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【题型5根据复数的四则运算结果求复数特征】

【例5.1](23-24高二下•陕西咸阳,期中)设i是虚数单位，5是复数z的共扰复数，若z=2-i,则z+泛

在复平面内对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D.第四象限

【解题思路】利用复数的运算公式，以及复数的几何意义，即可求解.S

【解答过程】由条件可知z+泛=2—i+i(2+i)=2—i+2i-1=1+i,

对应的点是(1,1),位于第一象限.

故选：A.

【例5.2](23・24高一下•湖南邵阳•期末)实数时，复数6(3+。一(2+。在复平面内对应的点位于

()

A.第一象限B.第二象限C.笫二象限D.第四象限

【解题思路】先将复数化为一般形式，结合m的范围判断出实部和虚部的符号，从而得到答案.

【解答过程】•••m(3+i)-(2+i)=(3m-2)+(m-l)i,

又m>1,故37/1-2>1>0,ni-1>0,

故该复数在复平面内对应的点位「第一象限.

故选:A.

【变式5.1](23-24高二下•江西九江•阶段练习)设复数z的共加复数为5、复数z满足l+i二M±(i为虚

Z

数单位)，则，的虚部为()

A.3B.-3C.3iD.-3i

【解题思路】求出复数z,进而求出复数z的共扼复数为区即可得到答案.

【解答过程】Z=甘¥=-l-3i,fflz=-1+3i.则5的虚部为3.

l+i(l+i)(l-i)2

故选:A.

；：2024

【变式5.2](23・24高一下•河北•期中)在复平面内，设i是虚数单位，则复数毛丁的共挽复数对应的点位

于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】由若=^，得-9+a，然后根据共甄复数的定义，再确定在复平面内对应的点所在的象

限.

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【解答过程】由题意知，等*=就*罟7+1，

其共枕复数为一!一5，

DD

所以在复平面内对应的点为位于第三象限.

故选：C.

模块二

A知识梳理

I.复数范围内实数系一元二次方程的根

若一元二次方程a/+bx+c=O("0,且。力,cWR),则当△>()时,方程有两个不相等的实根工】

_Z?+y/b2—4ac-b—y/b2—4ac

工，石二五；

当△=()时，方程有两个相等的实根汨=4=-白；

当△<()时,方程有两个虚根/=一"+1丫4"二£,必」一可。。二2,且两个虚数根互为共枕复

2a2a

数.

►题型归纳

【题型6复数范围内分解因式】

【佛6.1](24-25高一k-上海•课后作业)在另数范围内分解因式：

(l)r4-16；

(2)2x2—6x+5.

【解题思路】(1)根据i2=—l,利用平方差公式即可得解：

(2)将原式配成完全平方式，再根据i2=-l,利用平方差公式即可得解;

【解答过程】(1)《一16

=(x2+4)(7-4)

=[r2-(-4)](x2-4)

=(x2-4i2)(x2-4)

=(%+2i)(x-2i)(x+2)(%—2)

(2)2x2-6x+5

99

=2(x2-3x+---)+5

44

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3.>1

=2(x--)2+-

31°

292

=2(x--)-7i

=2[(x-1)2-ii2]

乙1

【例6.2](24-25高一•全国•课后作业)在复数范围内分解因式：

(1)X4+6X2+9；

⑵%4-2/-8.

【解题思路】(1)(2)结合复数运算求得正确答案.

【解答过程】(I)由于(％+7^)0一7^)=/+3,

所以为4+6x2+9=(，+3)2=(.v—V3i)2(x+V3i)2.

(2)由于(％+&i)(x—&i)=d+2,

所以x4-2x2-8=(x24-2)(%2-4)=(x+V2i)(x-V2i)(x+2)(%—2).

【变式6.1](24-25高一上•上海课堂例题)在复数范围内分解因式：

⑴/+i；

(2)3x2—6%+4.

【解题思路】将原式配成完全平方式，再根据i2=-l,即可得解：

22

(解答过程]⑴省+1=(%+1)(/一五+1)=(%+1)[(X-1)2+*]=(%+1)[(%-i)-1i

=(x+l)(x-l-^i)(x-l+^i).

(2)3x2—6x4-4=[3(x—l)2+1]=[3(x—l)2—i2]=3(x-1—fi)(%—1+Ri)

【变式6.2](23-24高一•上海•课堂例题)在复数范围内分解因式：

(1)a2+2ab+b2+c2t

(2)x2+5y2；

(3)2x2—6x+5.

【解题思路】(1)直接根据复数范围的要求分解因式即可.

(2)直接根据复数范围的要求分解因式即可.

(3)先应用求根公式再写成两个因式相乘；

【解答过程】(1)a2I2ab\b2\c2=(aIb)2Ic2=(aIbIci)(aIbci)；

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(2)x2+5y2=x2-(V5yi)2=(x+V5yi)(x-V5yi)；

(3)令2d-6X+5=0,A=36-4X2X5=-4,

解方程可得：打=?,%2=?，

所以2d一6%+5=2-3)("一U)，

【题型7复数范围内方程的根】

【例7.1](23-24高一下,福建龙岩•阶段练习)在复数范围内，方程%2-4%+5=0的根是()

A.2+iB.2-i

C.2±iD.无解

【解题思路】利用根与系数关系求复数范围内方程的根即可.

【解答过程】由A=16—4x5=—4,则方程的根为竽=等=2士i.

故选：C.

【例7.2](23-24高一下•江苏连云港•期中)已知2+i是关于复数z的方程z?-mz+九=0(巾,nGR)的一

根，则m+n=()

A.7B.8C.9D.1()

【解题思路】根据虚根成对原理可得2-i也是方程的根，再由韦达定理计算可得.

【解答过程】因为2+i是关于复数z的方程z2-mz+九=0(m,neR)的一根，

所以2-i也是关于复数z的方程z?-mz+几=0(?n,neR)的一艰，

所以『=(才1*RA”，

(n=(2+1)(2-1)=5

所以m4-n=9.

故选：C.

【变式7.1](23-24高一下•上海期末)已知关于工的实系数一元二次方程为2—2%+k=0.

(I)若方程有一个根1+四】(1是虚数单位)，求Z的值；

(2)若方程有两虚根勺,%2，且%-MI=3,求k的值.

【解题思路】(1)由已知条件得1-企i是方程的另一-复数根，再结合韦达定理即可得解..

(2)先设/=。+加,冷=。-孤。、66氐再结合韦达定理和复数模长公式即可求解.

【解答过程】(1)由题意可知1-企i是方程的另一复数根，

2

所以(1—V2i)(l+>/21)=1—(x/2i)=1+2=3=Zc,

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所以k=3.

(2)设％i=a+历,X2=Q一方La、bWR,

22222

则由题意与+x2=2a=2,XXX2=a-b\=a+b=k且A=4-4k<0,

所以a=1,乒=上-i,k>i,

所以|打一Ml=|2bi|=J(2匕/=V4b2=44(k-1)=3,

解得A=苧.

4

【变式7.2](23-24高一下•四川雅安•期末)已知复数Z[=2-7汨，z?=血一i(其中mWR).

(1)若久为实数，求血的值；

Z2

(2)当m=l时，复数Z1•Z2是方程2%2+p%+q=0的一个根，求实数p,q的值.

【解题思路】⑴利用复数代数形式的除法运算化呜再根据复数的类型得到方程，解得即可:

（2）首先求出Zi"2，代入方程，再根据复数相等的充要条件得到方程组，解得即可.

【解答过程】（1）因为z1二2-mi,z2=m-i,

z\2-mi(2->ni)(m+i)_3m+(2-m2)i3m,2-m2.

+--71

Z2zn-i(m-i)(m+i)1+zn2l+zn21+m2

因为芋r实数,所以三1=0.解得m=±也

艘为实数时，m的值为土也

(2)当m=l时，Z]=2-i,Z2=1-i,

则复数z-Z2=(2-i)(l—i)=l—3i,

因为l-3i是方程2/+px+q=0(p,q为实数)的一个根,

所以2(1-3i)2+p(l-3i)+q=0,

化简得p+Q-16-（12+3p）i=0,

叱益：乳〉解得仁温

A课后作业（19题）

一、单选题

I.（23-24高一下•广东茂名•阶段练习）若z+2=3-2i（i为虚数单位），则前勺虚部为（）

A.-2B.2C.-2iD.2i

【解题思路】根据复数运算和共轨复数定义进行计算，求解虚部.

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【解答过程】z=3-2i-2=l-2i,z=l+2i,故2的虚部为2.

故选：B.

2.(23-24高一下•辽宁・期末)如果复数z满足：z+|z|=2+4i,那么z=()

A.—3+4iB.3+4iC.—5+4iD.5+4i

【解题思路】先设复数2=。+以再计算即可求出复数.

【解答过程】设2=Q+bi,a.bGR,则z+|z|=a+bi+，屋+乒=。++炉+bi=2+4i.

所以b=4,Q+Va2+b2=2,

所以次+16=(2—a)2=a2—4a4-4,a=-3,

所以z=-3+4i.

故选：A.

3.(24-25高一•全国•课后作业)已知Zi、z2€C,且口|=1,若Z1+Z2=2i,则口一Z2I的最大值是().

A.6B.5C.4D.3

2

【解题思路】设为=a+b\,得到a?+b=1,z2=-a+(2-b)i,计算得到％-々I=-8b,根据范

围得到最值.

【解答过程】设Zi=a+bi,(a,bER),怙1|=1,故M+匕2=z1+z2=2i,则z2=-a+(2-b)i,

22

|zi-z2\=\2a+(2b—2)i|=yj(2b-2)4-(2a)=74bz—8b+4+4a2=V8-8b,

be[-1,1],当b=-l时，%-Z2l有最大值为4.

故选：c.

4.(23-24高一下•江苏•期末)已知复数2=舟，则z的实部是()

A.一：B.!C.一！iD.

2222

【解题思路】利用复数的乘方及除法运算求出z,进而求出其实部.

【解答过程】依题意，2=号=竽=乎=一：+3，

-2i-21-1222

所以Z的实部为-点

故选:A.

5.(24-25高一上•浙江杭州•期中)设复数z满足z(l+i2023)=2(i为虚数单位)，则复数Z在复:平面内对

应的点在()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【解题思路】根据复数的除法运算化简复数，进而求解其共在复数，最后求出对应点的坐标即可得解.

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【解答过程】由题意所以2=1—i,

则复数2在复平面内对应的点(1,-1)在第四象限.

故选：D.

6.(23-24高一下•吉林•期中)已知复数4+3i是关于x的一元二次方程d+mx+25=0(m6R)的一个根,

则m=()

A.-8B.-4C.4D.X

【解题思路】根据已知条件，复数4+3i和4-3i是关于x的一元二次方程/+加为+25=0(血€口的两

个根，结合方程的根与系数关系即可求解.

【解答过程】更数4+3i是关于x的一元二次方程/+77IX+25=0(?n6R)的一个根，

则方程的另一根为4-3i,

故4+3i+4—3i=-m,解得m=-8.

故选：A.

7.(23-24高一下•河南南阳・期末)已知复数Z],Z2满足怙1|=20|=2迷，且为-z2=3+4L则|z1+工2|=

()

A.V5B.2V5C.5D.5V2

【解题思路】利用好数的几何意义，把里数和平面向量建立一一对应关系，再利用向量的模长加减运算数

形结合求解即可.

【解答过程】设65对应的复数为Zi，用对应的复数为Z2，

则初+而对应的复数为Zi+Z2,0A-而对应的复数为Z1-z2,

因为忆11=2花,%|二遍，且|z「Z2l=5,由勾股定理逆定理知道，

△40B为直角三角形，且忸司=5.

则瓦？+0B=沆对应的复数为Zi+Z2，故忆+Z2\=\OC\=\BA\=5.

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故选：c.

8.(23-24高一下•江苏无锡・期末)已知i为虚数单位，则下列结论正确的是()

A.i+i3+i5+i?是纯虚数

B.若z(l+i)=2,则z是方程¥2一%+1=()的一个复数根

C.若Z6C,则忆2|=|z|2

D.若复数z满足l<|z|V2,则复数z在复平面内对应的点所构成的图形面积为IT

【解题思路】根据虚数i运算法则和复数的分类，可判定A错误；根据复数的运算法则，可判定B错误；

根据复数模的计算公式，可判定C正确；根据复数的几何意义，结合圆的面积公式，可判定D止确.

【解答过程】对于A中，由i+i3+i5+i7=i-i+i-i=o,不是纯虚数，所以A不正确：

对于B中，由z(l+i)=2,可得z=、=一，

因为(1-i)2-(1-i)+1=-2i-1+i+1=-i*0,

所以z不是方程%2一%+1=0的一个复根，所以B不正确；

对于C中，设复数z=Q+bi,(a,bER),可得z?二次一82+2abi,

22

所以忆2|=J(Q2一62)2+(2出))2=a+bt

乂由|Z|2=(A^E^)2=Q2+52,所以|Z|2二|Z|2,所以C正确；

对于D中，设2=%+yi,(x,yWR),由1V|z|V2,可得1V9+y2<4,

所以笈数z在复平面内对应的点构成的图形为一个圆环，

其中小圆的半径为1,大圆的半径为2,其面积为S=ITX22-nxl2=3ir,所以D错误.

故选：C.

二、多选题

9.(23-24高一下•福建厦门•期中)下列命题正确的()

A.若复数z=(一)(2-i),则|z|=g

B.若Zi=2—i,z2=1-3i,则复数Z]-Z2的虚部是2i

C.若z=1+i是关于x的实系数方程/+px+q=0的根，则p+q=0

D.若|z-l|=2,则|z-l-3i|的最小值为1

【解题思路】根据复数运算、复数的模、虚部、方程的根、复数模的几何意义对选项进行分析，从而确定

正确答案.

【解答过程】A选项，z=(1-i)(2-i)=2-3i-1=1-3i,|z|=+(-3程=V10,A选项正确.

第15页共20页

B选项，Zi=2-i,Z2=1-3i,-z2=1+2i»虚部为2,B选项错误.

C选项，由于z=l+i是关于x的实系数方程d+p%+q=o的根，

则2=1-i是关于x的实系数方程/++勺=o的根，

所以IeIe,解得p=-2,q=2,所以p+q=°,C选项正确•

((1+1)(1-1)=qr

D选项，|z-l|=2表示z对应点与点(1,0)的距离为2,

|z-1-3i|=|z-(1+3i)|

表示z对应点与点(1,3)的距离，结合图象可知，怙一1一3”的最小值为3-2=1,

所以D选项正确.

故迄ACD.

10.(23-24高一下•山东青岛・期末)已知i为虚数单位，复数2=等，则()

2—1

A.2=—2B.z的虚部为:

C.zz=^D.z在复平面内应应的点在第一象限

【解题思路】利用复数的除法运算化简可得2=彳，即可结合选项逐一求解.

【解答过程】由2=罗可得Z=(；+2；)(2+；)=彳,

2-1(2-i)(2+i)5

对于A,2故A错误，

对于B,z的虚部为(故B正确，

对于“2=(等)第二管/故C正确,

对于D,z在复平面内对应的点为3,()，它在第一象限，故D正确，

故选：BCD.

11.(23-24高一下湖南衡阳阶段练习〉已知复数z满足z+4-i=8+i,则下列命题是真命题的是()

第16页共20页

A.2的虚部为一2

B.z-2为纯虚数

C.若z与复数/+3Q+(a?+5Q+6)i(a£R)相等，则a=1

D.z在复平面内对应的点位于第一象限

【解题思路】首先化简复数z,再根据复数的概念及复数的儿何意义判断即可.

【解答过程】因为z+4-i=8+i,所以z=8+i-(4-i)=4+2i,

所以5=4-2i,则5的虚部为一2,故A正确；

又z-2=2+2i,所以z-2不是纯虚数，故B错误；

若2与复数。2+3。+(小+5。+67(。£/?)相等，贝解得。=一4,故C错误；

(出+5a+6=2

复数z在复平面内对应的点为(4,2),位于第一象限，故D正确.

故选：AD.

三、填空题

12.(23-24高一下•新疆•期末)已知a6R,方程/-Q%+3=0的一个根为％=-1+&i,则a=二2.

【解题思路】根据复数的乘法运算和复数相等的概念求解.

【解答过程】因为“2-ax+3=0的一个根为“=-1+V2i,

2

(―1+\/2i)—a(-1+\/2i)+3=0=(2+a)—V2(2+a)i=0=a=—2.

故答案为：一2.

13.(23-24高一下•四川乐山•期中)在复平面内，复数3+2»,-2+3»对应的向量分别是6(，OB,其中0

是坐标原点，则向量方对应的复数为-5+i.

【解题思路】运用复数几何意义，结合平面向量减法运算可解.

【解答过程】复数3+21,-2+31对应的向量分别是以，而，则a=(3,2),丽=(-2,3)

AB=OB-OA=(-5,1).则向量而对应的复数为-5+i.

故答案为：一5十i.

14.(23-24高一下•天津,阶段练习)已知㈤=1,\z2\=1，z-+z2=V3,则lzi-z)|=1.

【解题思路】设出更数Z[,Z2的代数形式，结合更数模的意义列式求解即得..

[解答过程]设Z]=a+bi,Z2=c+di,(a,b,c,dER),

22

rh|?il=\z2\=1，得VQ2+川=1,yjc+d=1,即02+=],02+=1，

由Z]+Z2=V^,Zi+Z2=(Q+c)+(8+d)i,得Q+c=百,b+d=0,

第17页共20页

有a?+《2+2ac+b2+d2+2bd=(a+c)2+(b+d)2=3,整理得2(ac+bd)=1,

而Z]—z2=(a—c)+(b—d)i,

2222

所以|Z]-z2\=J(a—c)2+(b_d)2=y/a+c+b+d-2(ac+bd)=1.

故答案为：1.

四、解答题

15.(24-25高一上•上海•课堂例题)计算：

(1)(3-5i)+(-4-i)-(3+4i)；

(2)5i-[(3+4i)-(-l+3i)]；

(3)(a+bi)-(2a-3bi)-3i(a,beR).

【解题思路】(1)利用复数的四则运算法则求解即可.

(2)利用复数的四则运算法则求解即可.

(3)利用复数的四则运算法则求解即可.

【解答过程】(1)(3—5i)+(—4—i)—(3+4i)

=(3-4-3)+(-5-1-4)i=-4-10i.

(2)5i-[(3+4i)-(-l+3i)]

=5i-(44-i)=-4+4i.

(3)(a+bi)-(2a-3历)-3i

=(a-2a)+[b-(—36)—3]i=-a4-(4Z?-3)i.

16.(23・24高一下•黑龙江鸡西•期中)已知复数z〔=—2+i,z2=-1+2i.