2025年山东聊城市高三三模高考数学试卷（含答案详解）

2025年聊城市高考模拟试题

数学（三）

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试用时120分钟,答卷前，考生务必将自己的姓名、

准考证号等填写在答题卡的相应位置上.

2.回答选择题时，选出每小题的答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答

案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择

题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.

3.考试结束后，只将答题卡交回.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.集合A=>2­,B={^-2<x<3},则（）

A.1}B.{.v|—2<x<—1}

C.{xlx<3}D.{x|-lWx<3}

2.“av。”是“In。<In/?”的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.已知数据x,9,7,9的中位数和平均数相等，那么X的值为（）

A.5B.7C.5或9D.7或II

4.已知平面向量〃，b是两个单位向量，若1-那的模为、行，则6在。上的投影向量是（）

11-I一1r

A.—HR.—hC.—〃O.—b

4422

5.记3为公差不为0的等差数列{%}的前〃项和，若4+%=2,%,“一生成等比数列，

则$6=（）

A.0B.6C.12D.18

6.已知M是直线/：61+），-8=0上一点,过点河作圆0:.12+丫2=4的切线，切点分别为尸，

Q,则△OPQ面积的最大值为（

A.73B.2x/3

7.已知某圆台的轴截面中有一个角为三，且下底是上底的2倍，若该圆台的外接球的表面

积为16几，则该圆台的体积为()

B.5信D.7后

8.已知/(丫)是定义域为R的可导函数，设其导函数为g(x).若/(x+l)-2x为偶函数，旦

g(x)=g(4—x),则2g(j)=(

A.60C.20

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0

分.

9.己知sin(a-6)=---,sinacos〃=-,则

A.cosasin/7=-—

C.3tana=2tan/7D.sin2min2〃=—

10.已知曲线^(0,-75),口0.石)，P为曲线C上的动点，则()

A.若〃在第一象限，则产工(1,9十3小)

\PF21

B.若P在第二象限，则在轴上存在两点A,8,使I尸41+1产闭为定值

4

C.若尸在第三象限，过点尸向直线y=±2x作垂线，垂是分别为4B,贝力以川尸以=1

D.直线21-)，+20=0是曲线。的一条切线

11.对于数列｛4｝,设区间(l,qj内偶数的个数为“，则称数列｛"｝为｛%｝的“，数列”，则

()

A.若数列｛%｝是数列付+1｝的“〃数列，，，则j=13

B.若数列｛%｝是数列｛2〃+3｝的“”数列"，则｛%｝是常数列

C.若数列｛%｝是数列｛2"-、2｝的“〃数列”，则匕｝是等比数列

D.若数列仁｝是数列｛2”“+2｝的“〃数列，，，则数列｛(〃+1)%｝的前项的和为〃.2用

试卷第2页，共4页

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.己知l—i是关于x的方程f+2px+9=0（p，4wR）的一个根，则〃+于的模为一.

13.函数〃力=卜+3|+2,+2|+尸的最小值为一.

14.己知£（-1,0）,6（10）是椭圆C的左、右焦点，椭圆C与抛物线），=4%在第一象限的

交点为户，连接区与y轴交于点Q,若入。是NPFf的第平分练则椭圆。的离心率为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

15.记VABC的内角A8,C的对边分别为a,b,c,已知点inB+ManBcosA=2Z?sinC.

⑴求4;

（2）若。=3,且4c边上的高为士且，求VA8C的周长.

7

16.如图，在三棱柱ABC-ABG中，AB工BC,AB=BC,乙4阴=/。阴=券.

⑴求证：四边形ACGA为矩形:

⑵若AB=AAi=2,求平面ABB.A.与平面ABC夹角的余弦值.

17.已知椭圆。:/+《=1（4＞人＞0）的短轴长为2,离心率为当.

（1）求。的方程；

（2）若4.4分别是C的左、右顶点,不与x轴垂直的动直线/与C交于P.。两点（不同于

A，&）,且直线AP的斜率等于直线AQ的斜率的2倍，求证：直线/经过定点.

18.已知函数/（力="ilru+-（ZZZGR）.

X

⑴若/（"之o恒成立，求刑的取值范围;

⑵当〃=71时，（i）求的最小值；（ii）证明：

cosx+2

19.一种微生物可以经过自身分裂不断生存下来，对于每个微生物，每次分裂的结果为：有

I.B

【分析】利用指数函数的单调性来解指数不等式，再利用交集运算即可.

【详解】由A=>2={X|X<-1),

贝！JAc8={x|—2Vx<3}={x|—2<xW—1},

故选：B.

2.B

【分析】根据对数函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解.

【详解】由lna<ln”，根据对数函数的性质，可得〃>。>0,所以必要性成立；

若〃<。<0时，，此时ln〃<lnZ?不成立，所以充分不成立，

所以"〃"是"In"1M”的必要不充分条件.

故选：B.

3.D

【分析】根据平均数的计算及中位数的定义，分类讨论，列出方程即可求解.

【详解】平均数为入+7〃+9')2:一v225,

44

将这组数据排序，若x，?，9,9,则中位数为7+*9=8,

x+25

所以匚卢=8?A-7,符合题意；

将这组数据排序，若7,盯9,9,则中位数为等，

所以土产=8?x7,符合题意；

若7,9,9,x,则中位数为9,

+25

所以x三二=9?x11,符合题意；

综上所述，x的值为7或11,

故选：D.

4.C

【分析】根据给定条件，利用数最积的运算律求出7人再求出投影向量.

【详解】依题意，修-2方|=6，则7-47B+4片=3，而|a|=|B|=l,解得。・b=g,

答案第1页，共14页

—•—•

ab

所以日在〃上的投影向量是而—a

2

故选：C

5.C

【分析】由等差数列的性质可得的,再由等比中项的性质可得4卬，结合等差数列的求和

公式代入计算，即可得到结果.

【详解】设等差数列的公差为。（3工0）,

由q+%=2可得2%=2,即%=1,

又〃3，4，2成等比数列，所以即（1一2"『=lx（l+4d）,

化简可得4/-84=0,解得4=2或d=O（舍），

则。3=4+4=1,所以4=-3,

则$6=6x（—3）+号AxSx2=12.

故选：C

6.A

【分析】应用点到直线距离得出d=4,|OM|最小时，利用面积公式结合角的范围即得.

O

【详解】：圆心O到直线/：&+），一8=0的距离4=/=4,所以|QM|N4,

设NMOQ=8,cos〃=犒=就所以5>0之；，7t>2^>y,所以sin20W手，

则△OPQ面积5a8Q=；|0P|x|0Q|xsin26wgx2x2x¥=G

故选:A.

7.C

【分析】首先根据己知条件求出圆台的高，然后根据外接球的表面积求出上底和下底半径,

然后根据圆台体积公式求出其体积.

【详解】设圆台的上底半径为「，则下底半径R=2r.

轴截面为等腰梯形，两底边长分别为2,•和4>腰与下底的夹角为

则圆台的高，即梯形的高为力=；（由『2中3微=小厂.

答案第2页，共14页

因为外接球的表面枳为16兀，所以球半径为悟=2.

设球心到上底圆心距离为。，则到下底圆心距离为

根据球心到上下底面圆周的距离均为2,得方程：

r2+a2=4厂

..、2，解得r=

4r2+(fl-/z)=4

所以圆台体枳为：

V=g/+Rr+r2)=gm而，(a1+)=2^.

故选：C.

8.B

【分析】根据函数的奇偶性结合求导数，得出函数周期，应用周期计算求解函数值即可.

【详解】因为71+1)-2为偶函数,所以/(x+l)_2x=/(r+l)+2x,

所以，(x+i)—2=—r(—x+i)+2,所以r(x+i)+r(—)+i)=4,

所以g(x+l)+g(-x+l)=4,且g(r)=g(4—x),

所以g(H+g(T+2)=4,g(-x+4)+g(x-2)=4f所以g(x—2)=g(2—x),

所以g(”=g(T)=g(4f),所以8(X)的周期为4,

因为g(x+l)+身(_1+1)=4,令x=0,g(l)+g(l)=4,可得g(l)=2,

令j=l,g⑵+g(O)=4,

所以g⑴+g(2)+g⑶+g(4)=g⑴+g(2)+g(—l)+g(0)=8

20

所以Zg(i)=g(l)+8(2)+月(3)+…+g(20)=5x8=40.

/=!

故选：B.

9.BC

【分析】根据两角和差公式计算求解判断A,B,结合同角三角函数关系判断C,应用二倍

角正弦公式计算判断D.

【详解】A选项，已知sin(a-/?)=sinacos/?-cosasinW=-"-,sin<7cos/?=—,

63

则cosasin尸=^+-=-,A错误；

答案第3页，共14页

B选项，sin(<7+^)=sincrcos/?+cosasin/?=—+—=—,B正确:

326

1

3-

tana_sinacos/j-2

C选项,1二牙，所以3tana=2tan〃，C正确:

tan/?cos«sin/>

2-

D选项，sin2asin2/?=2sin6tcoscrx2cospsiny?=4sincycosyy-cosasin/7

=4xiIxli=±?,D错误;

故选：BC.

10.BCD

【分析】求出IPR1,1I的表达式，进而求出嘿的范围判断A；利用椭圆的定义判断B；

I尸卜［I

利用点到直线距离判断C：联立方程组，借助判别式计算判断D.

【详解】对于A,设点户(.％,%),玉)>。,%>2,?_片=1,|0£|=JX+(为+括/

______________@『2

=gy；+2舟。+4=岑％+2,同理|P尸21=乎%-2,则檀卜古-----

25■%-2

=^°+j•+-f=~~~-，而石稣-4>26-4,因此;e(L9+4⑹,故A错误；

V5y0-4V5y0-4I丝I

对于B,当尸在第二象限时，曲线。:工+/=1是椭圆£+/=］在第二象限的部分，

44

该椭圆的焦点为A(0,-6),4(0,6),长轴长为4,由椭圆定义得1必1+口8|=4，故B正确;

对于C,设P(x1,y)，K<-1，,<0,工；一/~二1,

4

则|尸4|・|尸8|=气更•巴纠=宜二或=±,故C正确；

757555

2x-y+2拒=0

对于D,当P在第一象限时，由消去V得2/+2五-1=0,

2-+x2=l

△=(2V2)2-4x2xl=0,因此直线2x-y+2夜=0与椭圆?+/=1相切于点(-与,拉),

即直线2x-y+2忘=0是曲线C的一条切线，故D正确.

答案第4页，共14页

故选：BCD.

11.ACD

【分析】根据数列新定义，结合常数列，等差数列，等比数列及错位相减法即可分别判断各

个选项.

【详解】对于A,由题意得，在区间(1.28)内偶数有13个，故J=13,故A正确；

对于B,设q=2/?+3,在区间(1,2〃+3)内最大的偶数为2〃+2,

2/74-9

所以共有三尸=〃+1个偶数，则配=〃+1，不为常数列，故B错误;

对于C,%=2用+2,在区间(12川+2)内最大的偶数为2向，

所以共有1■=2”个偶数，则c“=2",为等比数列，故C正确；

对于D,由C得，{(〃+1)%}={(〃+1>2”},设前”项和为S.,

则S”=2?2'3?22L+〃叱、(〃+1)2”,

2S„=2?223?23L+〃?2"(〃+1)2””,

两式相减得，1=-4-(22+23+L+2")+(〃+l)2w+,

4(1-2"'')

=-4------------+(n+li?2,,+,故D正确；

1-2v

故选：ACD.

12.后

【分析】由题知(1-炉+2〃(1)+,/=0,即(2〃+q)-(2p+2)i=0,再根据复数相等求解

即可.

【详解】知1-i是关于x的方程V+2px+夕=0(p,夕eR)的一个根，

答案第5页，共14页

所以(l_i『+2p(|_i)+q=0,即(2〃+g)―(2p+2)i=0,

2〃+q=0

所以解得〃-2.

〃+5的模为，(-1『+模=区.

故答案为：75.

13.10-31n3

【分析】根据4>-2,工<-3和-3忘入忘-2三种情况，分别对函数解析式进行化简，求导,

讨论单调性，计算出最小值

【详解】/(x)=|x+3|+2|x+2|+e-X

当刀＜一3时，/(x)=-x-3-2(x+2)+e-x=-3x-7+e-\

故"X)在(-00,-3)上单调递减;

当-3〈工〈-2时，/(x)=x4-3-2(x+2)+e-A=-x-l+e-\

r(x)=-y

/(x)在［-3,-2］上单调递减；

当x>-2时，f(x)=x+3+2(x+2)+eTx=3x+7+ex.

小)=33,

令r(x)>0,解得x>-hi3,令r(x)vO,解得-2<x<-ln3,

故/W在(-2,Tn3)上单调递减,在(-瓜3,钙)上单调递增.

又〃力=卜+3|+2,+2|+97为连续函数,

因此函数的最小值为/(-ln3)=7-31n3+eM3=10-31n3.

故答案为：10—31n3.

14.V2-I

【分析】利用角平分线定理，转化线段之比，再利用已知线段以及抛物线焦半径公式可求出

答案第6页，共14页

点p(l,2),从而可得方程求解4=应+1，最后可求得离心率.

利用角平分线定理:

因为尸2。是/P鸟片的角平分线，所以有玛=髓，

设P(醇〃)，根据抛物线尸=4%的定义可得IP同=1,

由图可知|PQ|与|Q用之比等于点P横坐标与|。娟之比，

则有等=会解得切=1,根据〃2=4,〃，交点户在第一象限,

所以〃=2,即把点尸(1,2)代入椭圆方程可得：

」+：=1=//+4/,

a-b~

2

又因为/一〃2=c=1=/=/+1,

所以联立」:面两式可得：/+4/+4=力』+/=/一46一4=0,

解得/=4+ViK7道=2+2夜,

2

所以片=/+1=3+2&=(0+1)[〃=&+1,

即离心率。=

V2+1

故答案为：J5-1

15.⑴5

(2)5+77

【分析】。)根据题意,利用正弦定理和三角恒等变换的公式,化简得到包*=2sinC,

求得网84,即可求得8的大小;

答案第7页，共14页

（2）根据题意，利用面积相等法，求得。=翁，再由余弦定理，列出关于〃的方程，求得

b=币,进而求得V4BC的周长.

【详解】（1）解：因为c/sin8+〃tan8cosA=2Z?sinC,

由正弦定理，可得sinAsinB+sinB-S'ncosA=2sinBsinC,

cos4

又因为Be（O.n）,可得sinK>0,所以,sinA+=2sinC,

cos3

sinAcosB+cosAsinBsin（A+8）sinC一一

即Hn-------------------=---------=-----=2sinC,

cosBcosBcosB

因为Ce（0,7i）,可得sinC>0,所以cosB=L

2

又因为8w（0"）,所以8=

J

（2）解：由AC边上的高为巫，可得s.8c='岳西，

7AAHL27

乂由〃=3且B=可得VA3C的面积为SABC=—acsinh=-cx—=^^-c,

3&ABC2224

所以递c=_L〃.诙，解得4b2=7/,即。=若，

427J7

在VABC中，由余弦定理得〃=4十°:一2a℃osB,

可得y=9+（万）2-3x/r,整理得从+2质>—21=0,

解得力=J7或力=—3j7（舍去），此时c=2,

所以V48C的周长为3+/+2=5+方.

16.（1）证明见解析

⑵4

【分析】（1）要证明四边形ACGA为矩形，需证明其中一组邻边垂直，可通过向量运算或

儿何方法利用已知角度和边长关系来证明；

（2）首先建立空间直角坐标系，利用平面的法向量来求解.

【详解】（1）根据题意，设A6=4C=a,A4]=c,BA=a.BC=b,AA；=c

=明.（BC-BA）=AA.BC-丽®f=BB.BC-西出人.

;

因为BB{BC=|cosZ.B{BC=becos

答案第8页，共14页

BB.BA=忸4]|网cosZB,BA=accosy=-^«c

所以福京=幽灰-咽面=(),所以福J_A?.

又三棱柱AAC-ABC中，四边形ACCA为平行四边形,

所以四边形ACGA为矩形.

(2)取4c的中点。，连接08,(用.作与交于点O.

由(1)知，四边形ACC0为矩形，所以AC_LCG.

因为CCJ/B6,所以AC_L84.

因为△人为等腰直角三角形，。是中点，所以O8JLAC.

又OBcBB、=B,所以AC_L平面06%.

因为用Du平面。84，所以AC_L玛。.

又OOcAC=O,所以BQ，平面ABC.

在AABq中，由余弦定理得：AB：=A82+8B：-2M网44°322-x*2xg=

所以Ag=2jL

在RSAO4中，由勾股定理可得Og=jABj-OA)=《12-2=M.

082+8用2_（闻_2+4-10V2

在AO网中，由余弦定理/cos/Og

208.播B-2xV2x2-

所以NO34=135°,从而/6出。=45°.

由此可得BD=BQ=y/2.

以O为原点，分别以。叫。。所在直线为x，5'轴，过O作垂直丁平面A6C的直线为z轴，建

立空间直角坐标系，如图所示.

答案第9页，共14页

小

设平面48C的法向量为所，则而二（0,0,1）为平面A8C的一个法向量.

因为网点,0,0）,A（0,-五0）,（272,0,72）

所以羽=（夜,拒,0）,^=（72,0,72）.

设平面A84A的法向量为万=（x,yz）,则

AB-n=0&x+五y=0

,所以令z=1,

网切=0X/2X+72Z=0

则平面的一个法向量为万=（TJ1）.

所以cos5㈤=尚向=&=曰-

所以平面与平面A8C夹角的余弦值为立.

3

2

17.⑴三+/=］；

4

（2）证明见解析.

【分析】（1）利用椭圆的参数意义，即可联立求解椭圆方程；

（2）利用直线与椭圆联立方程组和韦达定理公式，再借助已知的斜率关系，可转化根与系

数的关系上来，最后可得加=；4,从而可证直线过定点.

【详解】（I）由题意得：2）=2=〃=1=a'-c'=1,

£=立=/=3。2,所以解得/=412=3,

a24

2

即椭圆方程C：土+），2=1：

4'

（2）

答案第10页，共14页

y

设直线/方程为歹=履+，〃，与椭圆工+）3=1联立，消y得：

4

（4公+1+gh?次+4m2-4=0,

其中△=16（4女2+1-〃「）>0=4r+1>m2,

设尸（内，y），。伍，%）,则x+%=清彳，中2=

4K+14K一+1:‘

由已知得：气=鼻=*=汽=叱必3=户不

玉+2,v,-2玉+2x2-2X1+z2（/-2）

再化简得：（2A2+1卜]々+（26〃+2）（内+9）+2/〃2+4=0,

代入得：（2公+1）4〃:-4+（26+2）一吁〃+2//+4=0,

\，4r+1'74A:2+1

整理得：（2k—3，〃）（2人一切）=0,

因为直线/不经过点4（-20）,所以2人〃?？0,

HP2k-3m=0=>m=—k,

3

所以直线/的方程为广质+京=《x+£],

因此直线/经过定点卜豹）.

18.（l）[0,e];

（2）1；证明见解析.

【分析】（1）利用分类讨论，再求导研究单调性，即可求出最小值/（同由=〃?-〃?111"栏（），

从而可求解加的取值范围；

（2）（i）利用常规求导来判断函数的单调性，即可求得最小值；

（ii）利用第（i）问的结论/.WNl,从而把要证明的不等式转化为再作差构

coSur+2

造函数求导来证明即可.

答案第11页，共14页

【详解】(1)因为函数〃*="?巾+入〃?£1<)的定义域为(0,+8),

当〃?=0时，/(工)=,>0恒成立，

X

_111.

当机<0时，fe"'=/Hlne«+-r=-|+e-<0,所以此时/("=〃?1必+!>()不恒成立,

\✓QmX

当〃?>0时，求导得r(x)=〃J--!=,

XXX

当xe„)时，外#=史?<0,所以/(力=阳山+：在入40,\)上单调递减；

当xw(',+8)时，f(x)=tnX~X>0,所以/(x)=〃nnj+g在xe上单调递增；

所以/(x)m，n=m+/zHn—=-mInm,

即不等式J(x)20恒成立，等价于〃z—〃?lnni>0<=>/?/(1-Inm)>0<=>1-In//z>0<=>0</?i<e,

综上，，〃的取值范围为［0、e］.

(2)(i)当〃?=1时，/(x)=lnr+—,JllJ/f(x)=-—-y=

XXXX

当x«0,l)时,r(x)=*<0,所以/(x)=hr+，在无w(0,l)上单调递减；

•XX

当xe(l,+8)时，/'(x)=上?>0,所以/(x)=lnx+」在xw(l,+8)上单调递增;

.VX

所以HAL=i,

(ii)由/(x)Zl,则要证明才■(入”‘喂，只需要证明工>因］,

COSJV+2cosx+2

构造g(x)=x-3^,则

85+2

)

,()I3cos.r(cosx+2)+3sin2x】6cos+3_cos'x-2cosx+1_(COSA-1)'

>0,

(cosx+2)2cosx+