高中数学人教A版选择性必修第一册2.5.2 圆与圆的位置关系教学设计

2.5.2圆与圆的位置关系课程：高中数学教材：高中数学人教A版选择性必修第一册章节：2.5.2圆与圆的位置关系教材分析本节课通过圆的方程，利用距离公式定量分析两圆之间的位置关系，结合几何直观与代数运算，判断两圆相交、相切或相离的情况。教学过程引导学生从特殊到一般，经历观察、计算、归纳的思维过程。本节内容承接直线与圆的位置关系，延续“用代数方法研究几何问题”的基本思想，为后续学习圆锥曲线间的位置关系奠定基础。通过对两圆位置关系的讨论，提升学生数形结合的能力，强化方程思想与分类讨论意识，有助于学生形成系统的解析几何认知结构，增强综合分析能力。在具体判断中，设两圆圆心距为d，半径分别为r1、r2，则当∣r1−r2∣<学情分析针对本节知识内容和学生认知水平而言，学生已掌握直线与圆的方程及其位置关系的代数判定方法，理解几何元素间的位置关系可通过方程联立后解的个数进行定量分析，具备平面解析几何的基本思维基础，同时在初中已了解圆的五种位置关系的几何特征，现阶段学生具备一定的逻辑推理能力和代数运算能力，能够进行两个圆方程联立后对方程组解的情况进行讨论，但对分类标准的把握和数形结合的灵活运用仍需加强，本节课要求学生类比直线与圆的位置关系研究方法，通过比较两圆圆心距d与半径和∣r1+教学目标理解圆与圆的位置关系的三种基本类型（相交、相切、相离），能够准确描述每种位置关系的特征，达到直观想象核心素养水平一的要求。掌握通过两圆方程判断其位置关系的方法，能够运用代数运算计算两圆圆心距与半径的关系，达到数学运算核心素养水平二的要求。能够类比直线与圆的位置关系的研究方法，建立圆与圆位置关系的分析框架，达到逻辑推理核心素养水平二的要求。能够综合运用几何直观和代数方法解决圆与圆位置关系的实际问题，达到数学建模核心素养水平一的要求。重点难点教学重点：圆与圆位置关系的判定，利用圆心距与半径和差的关系判断相交、相切、相离。

教学难点：通过方程联立求解公共点，区分内含与外离、内切与外切的代数特征。d与r1、r课堂导入同学们，在生活中我们常常能看到圆的身影，比如自行车的两个车轮。那大家有没有想过，这两个车轮的位置关系，其实就代表了圆与圆的位置关系。之前我们已经学会通过直线方程和圆的方程研究直线与圆的位置关系，今天我们换个角度，类比这种方法，借助圆的方程，用定量计算的方式来探索圆与圆的位置关系。大家先思考一下，当我们在纸上随意画两个圆，它们可能会出现怎样不同的位置呢？不妨动手画一画，看看能否发现一些规律，接下来我们就一起深入探讨圆与圆的位置关系。圆与圆的位置关系探究新知（一）知识精讲

我们知道，两个圆之间的位置关系可以分为三类：相交、相切和相离。其中，相切包括外切和内切，相离包括外离和内含。为了通过代数方法定量研究两个圆的位置关系，我们可借助两圆的方程，结合几何特征进行分析。设两个圆的方程分别为：

C1:(x−a1)2+(y−b1)2=r12

C2根据d与r1、r2当d>r当d=r当∣r1当d=∣当d<∣上述结论可以通过几何直观理解：当两个圆心距离逐渐减小时，两圆从外离开始，依次经历外切、相交、内切，最终变为内含。反之亦然。此外，也可以通过联立两个圆的方程，消元后得到一个二次方程，利用判别式判断公共解的个数，从而确定位置关系。例如，将两个圆的一般式方程相减，可得一条直线方程（称为两圆的公共弦所在直线，若相交），但该方法主要用于相交情形下的进一步分析。在不相交或相切的情况下，联立方程组的解的个数分别为0和1。如图所示，展示了两圆的五种位置关系：外离、外切、相交、内切、内含。通过观察圆心距与半径和、半径差的关系，能够清晰地区分各种情况。（二）师生互动

教师提问：如果已知两个圆的方程分别为(x−1)2+(y−2)2=4和(x−4)2+(y−2)2=9，你能判断它们的位置关系吗？

学生思考并回答：第一个圆的圆心是(1,2)，半径为2；第二个圆的圆心是(4,2)，半径为（三）设计意图

通过引导学生回顾直线与圆的位置关系的研究方法，类比提出用代数手段研究圆与圆的位置关系，旨在实现知识迁移，强化“几何问题代数化”的数学思想。在讲解中突出圆心距与半径和、差的比较这一核心判据，帮助学生建立清晰的数量关系模型，达成对位置关系分类的理解目标。通过具体例子的演算与提问延伸，培养学生运算求解能力和逻辑推理能力，促进其从图形直观到定量分析的思维跃迁。采用师生对话形式展开探究，鼓励学生主动参与、动手计算、表达观点，体现以学生为主体的学习方式。整个过程强调数学内部的逻辑一致性与方法的普适性，潜移默化地传递严谨、理性的科学态度和数学应用的价值导向。新知应用例5题目：已知圆C1：x2+y2+2x+解答：我们有两种方法来判断两个圆的位置关系。解法1：联立方程组，通过公共点个数判断将两圆的方程联立：

{用①减去②，消去二次项：

(x2+y2+这是两个圆的公共弦所在直线的方程（如果相交）。接下来，我们将这条直线代入其中一个圆的方程求解交点个数。由③得：

y代入①式：

x先展开并整理：

x2+(1通分合并：

4计算判别式：

Δ说明方程④有两个不相等的实根，对应两个不同的x值。再代回直线方程可得对应的y值，因此有两个公共点。结论：两圆相交。解法2：利用几何法——比较圆心距与半径和、差的关系先把两个圆化为标准形式。对C配方：

x所以圆心O1=(对C配方：

x所以圆心O2=(计算圆心距d=∣O估算数值便于比较：rrr∣d显然：

∣根据圆与圆的位置关系判定法则，当圆心距介于两半径之差与和之间时，两圆相交。总结：1.题目考查内容①圆与圆的位置关系的判断方法；

②联立方程组求解公共点个数；

③将一般式圆方程化为标准式；

④利用圆心距与半径关系进行几何判断。2.题目求解要点①方法一（代数法）：联立两个圆的方程，消元后得到一个二次方程，通过判别式Δ判断解的个数，从而确定位置关系（Δ>0:相交；Δ=0:相切；Δ<0:相离）。

②方法二（几何法）：将圆化为标准形式(x−a)2+(若d>r若d=r若∣r1若d=∣若d<∣r1−例6题目：已知圆O的直径AB=4，动点M与点A的距离是它与点B的距离的2倍。试探究点M解答：建立平面直角坐标系：以线段AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，垂直平分线为y因为AB=4，所以A(−2,0)，B(2设动点M(x,即：

(两边平方：

(展开：

x移项整理：

x配方：

x所以点M的轨迹是以P(6,0)现在判断这个轨迹圆与原圆O（圆心O(0,0计算圆心距：

∣比较：rrrr而圆心距d=6，满足：因此，两圆相交。总结：1.题目考查内容①动点轨迹的求法（利用距离关系建系列式）；

②轨迹方程的化简与识别（轨迹为圆）；

③两圆位置关系的判断（结合圆心距与半径关系）；

④数形结合思想的应用。2.题目求解要点①建立合适的坐标系是关键，通常取对称点为原点，使计算简化；

②根据题设中的几何条件（如距离比例），列出等量关系，通过平方消根号，化简得轨迹方程；

③化简后的方程需配方成标准圆的形式，明确圆心与半径；

④判断轨迹圆与已知圆的位置关系时，仍采用“圆心距vs半径和差”的方法；

⑤注意轨迹本身也是一个圆，因此问题转化为两个圆之间的位置关系判断。新知巩固题目：已知圆x2+y2=4与圆x2−10x+y2解答：我们先将两个圆的方程化为标准形式，以便分析它们的圆心和半径。第一个圆：

已知方程为：

x2+y2=4

这是以原点(第二个圆：

方程为：

x2−10x+y2+16=0

接下来计算两圆的圆心距d：

d现在我们分析两圆的位置关系：r1=2，r2=圆心距d因为d=r1根据两圆外切的性质，它们有3条公切线：两条外公切线（在两侧）一条内公切线（在切点处共用）因此，公切线条数为3。答案选C．3总结：1.题目考查内容本题考查圆与圆的位置关系判断，以及不同位置关系下公切线条数的结论，重点在于通过圆的方程确定圆心与半径，进而计算圆心距并判断位置关系。2.题目求解要点将一般式圆的方程化为标准形式，找出圆心和半径；计算两圆圆心之间的距离d；比较d与两圆半径之和r1+r2、半径之差若d>r1若d=r1若∣r1−若d=∣r若d<∣r根据位置关系确定公切线的条数。3.同类型题目解题步骤将两个圆的方程化为标准形式：(x−计算两圆圆心之间的距离d=(计算r1+r2和比较d与r1+r2、根据位置关系查表确定公切线的条数。板书设计圆与圆的位置关系

├─位置关系分类

│├─相交：有2个公共点

│├─相切：有1个公共点

││├─外切

││└─内切

│└─相离：无公共点

│├─外离

│└─内含

├─判定方法（设两圆半径为r1,r2，圆心距为d）

│├─外离：d>r1+r2

│├─外切：d=r1+r2

│├─相交：∣r1−r2∣<d<r1+r2

│├─内切：d=教学反思本教学设计以类比直线与圆位置关系的研究方法，引入圆与圆位置关系的探究。通过介绍两圆相交、相切（外切与内切）、相离（外离与内含）这三种位置关系，引导学生运用圆的方程定量计算。课程完成度较高，学生能初步理解圆与圆位置关系。成功之处在于借助类比，降低学生理解难度，激发学生探究兴趣；不足之处在于定量计算部分，对部分学生而言较难理解，讲解过程应更细致，且学生实际动手计算环节可适当增加，以加强对知识的掌握。课堂练习第1题【题文】过点P(3,2)作圆C ⁣:(xA．2B．xC．xD．3【答案】A第2题【题文】若圆C ⁣:x2+y2+2A．(B．(C．(D．(【答案】C第3题【题文】若圆C1 ⁣:x2A．3B．4C．−D．−【答案】A课前任务1.知识回顾

上节课我们利用直线方程与圆的方程，通过联立方程组并分析判别式，判断直线与圆的位置关系（相交、相切、相离）。请回忆：当d为圆心到直线的距离，r为半径时，d<r对应相交，d=2.预习教材

阅读教材“圆与圆的位置关系”内容，了解两圆位置关系的三种类型：相交（两个公共点）、相切（外切与内切，一个公共点）、相离（外离与内含，无公共点）